2021年高考數(shù)學(xué)真題試題(新高考Ⅱ卷)(文本版-含答案與解析)

2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷（新高考I［卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.（共8題；共40分）

1.復(fù)數(shù)咨在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

l-3l

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：鳥(niǎo)黑黑=誓=之+?，表示的點(diǎn)為（白非，位于第一象限.

1—5111—31以_1十31）1UZZ\zZ/

故答案為：A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，及復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可

2.設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6}M={1,3,6},5={2,3,4},則An(CuB)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【答案】B

【考點(diǎn)】子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換

【解析】【解答】解：由題設(shè)可得QB={1,5,6},故4n(CuB)={1,6}.

故答案為：B

【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.

3.拋物線y2=2px（j）＞0）的焦點(diǎn)到直線y-x+1的距離為a,貝Ip=（）

A.1B.2C.2V2D.4

【答案】B

【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為《,0）,則其到直線x-y+l=0的距離為d=幽=a,解

得p=2或p=-6（舍去）,故p=2.

故答案為：B

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可

4.北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道

位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是

一個(gè)球心為O,半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指。&與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面

上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為

S=2nr2（l—coscr）（單位：）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【考點(diǎn)】球的體積和表面積

【解析】【解答】解：由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：2—廣明上箸=1-64。。+36。。。=0.42=42%

47rrz22

故答案為：c

【分析】結(jié)合題意所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

5.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為()

A.20+12V3B.28V2C.口.叱

33

【答案】D

【考點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

所以該棱臺(tái)的高，

下底面面積Si=16,上底面面積S2=4,

所以棱臺(tái)的體積為了=)(Si+J輻+S2)=1X&X(16+AM又彳+4)=yV2

故答案為：D

【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.

6.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,d),下列結(jié)論中不正確的是()

A.6越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大

B。越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.ff越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義

【解析】【解答】解：對(duì)于A,M為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在舊10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落

在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相

等，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次

測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.

7.已知a=logs2,6=log83,c=I，則下列判斷正確的是()

c<b<ab<a<cC.a<c<b0.a<b<c

【答案】C

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

【解析】【解答】解：a=log52<log5VS=|=log82V2<log83=b,即a<c<b.

故答案為：C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較a、b與c的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,/(%+2)為偶函數(shù)，/(2x+1)為奇函數(shù)，則()

A"(一》=。B"(-1)=0C"(2)=0D"(4)=0

【答案】B

【考點(diǎn)】奇函數(shù)，偶函數(shù)，函數(shù)的周期性

【解析】【解答】解:因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù),則有f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(l-x),

又因?yàn)閒(2x+1)為奇函數(shù)，則有f(l-2x)-f(2x-l),可得f(l-x)=-f(x+l),

所以f(x+3)=-f(x+l)=f(x-l),即f(x)=f(x+4)

故函數(shù)f(x)的周期為T(mén)=4

又因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=f(2x+1)是奇函數(shù)，則F(O)=f(l)=O

故f(-l)=-f⑴=0

故答案為：B

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出f(l)=0,結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.(共4題；共20分)

9.下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1,x2,-,xn的離散程度的是()

A.樣本x1,x2,---,xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本x1,x2,---,xn的中位數(shù)

C.樣本x1,x2,-,xn的極差D.樣本x1,x2,-,xn的平均數(shù)

【答案】A,C

【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【解析】【解答】解：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

故選：AC.

【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差，極差，中位數(shù)及平均數(shù)的定義與意義求解即可.

10.如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿足MN1OP

的是（）

【答案】B,C

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：對(duì)于A,如圖（1）所示，

連接AC,則MN〃AC,

故NPOC（或其補(bǔ)角）為異面直線OP,MN所成的角.

在直角三角形OP”，0C=&,CP=1,故tanNP0C='=j

故MN,OP不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如圖（2）所示，

取NT的中點(diǎn)Q,連接PQQQ,貝！|OQ_LNT,PQ_LMN,

由正方體SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而。Qu平面ANDT,

故SN_LOQ,而SNnMN=N,故OQJ■平面SNTM,

又MNu平面SNTM,則OQ_LMN,而OQnPQ=O,

所以MNJ?平面OPQ,而OPu平面OPQ,故MN_LOP.

故B正確；

對(duì)于C,如圖（3）所示，

連接BD,則BD〃MN,由B的判斷可得OP_LBD,故OP_LMN,故C正確;

對(duì)于D,如圖（4）所示，

圖⑷

取AD的中點(diǎn)Q,AB的中點(diǎn)K,連接AC,PQ,OQ,PKQK,則AC//MN,

因?yàn)镈P=PC,故PQ//AC,則PQ//MN,

所以NQPO或其補(bǔ)角為異面直線PO,MN所成的角，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,故PQ=|XC=&,0Q=Ja。+&Q2=陋,po=7PK2+0K2=Vs

則有QO2<PQ2+OP2

故NQPO不可能是直角,

故MN,0P不可能垂直

故D錯(cuò)誤.

故答案為：BC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正

11.已知直線l:ax+by-r2-0與圓C-.x2+y2-r2，點(diǎn)力(a,6),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線I與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線I與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線I與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線I上，則直線I與圓C相切

【答案】A,B,D

【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系

2

【解析】【解答】解：由題意得圓心C(0,0)到直線I：ax+by/=0的距離d=不臺(tái)

對(duì)于A,若點(diǎn)A在圓C上，則a?+b2二心則/-2h2r則直線I與圓C相切，故A正確;

d=y/a2+b2=ll

>r

對(duì)于B,若點(diǎn)A在圓C內(nèi),則a2+b2<r2則d=/；—ll則直線I與圓C相離，故B正確;

-Ja2+b2

2

222l?r

對(duì)于C,若點(diǎn)A在圓C外，則a+b>r則/2-r則直線I與圓C相交，故C錯(cuò)誤;

d=sla2+b2Vll

對(duì)于D,若點(diǎn)A在直線I上，則a2+b2/=0,即a2+b2=r2,貝胴=^^=|川，則直線I與圓C

Va2+b2

相切，故D正確.

故答案為：ABD

【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為a2+b2,a的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓

的位置關(guān)系即可得解.

k-1k

12.設(shè)正整數(shù)ri=?2°+的?2+—I-cikT.2+ak-2,其中ate{0,1},記a>(n)=a。+%_+

…+<2上.貝U()

A.0)(2n)=a)(n)B.a)(2n+3)=a)(n)+1

C.0)(8n+5)=a)(4n+3)D.to(2n-1)=n

【答案】A,C,D

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

12k

【解析】【解答】解：對(duì)于A,a>(n)=a0+d----Fak,2n=a0-2+^-2H----1-ak_t-2+ak-

2fc+1,

貝！|3(2TI)=a。+a】+—Fafc=a)(ji),故A正確；

對(duì)于B,取n=2,2+3=7=l-2°+l-21+l-22,則3⑺=3,

而2=0-2。+1-21,則3⑵=1,即3(7)323(2)+1,故B錯(cuò)誤;

34k+3234k+3

對(duì)于C,8n+5=a0-2+ar2+......+ak-2+5=l-2°+l-2+ao-2+ar2+......+ak-2

所以(jo(8n+5)=2+ao+ai+......+ak,

2k+2012k+2

4n+3=a0-2+ar23+......+ak-2+3=l-2+l-2+a0-2+ar23+......+ak-2,

所以3(4n+3)=2+ao+ai+......+ak,

所以3(8n+5)=3(4n+3),故C正確；

對(duì)于D,2n-l=2°+21+......+2n-1,

所以3(2n-l)=n,故D正確.

故答案為：ACD

【分析】利用3(n)的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.(共4題；共20分)

13.己知雙曲線C:^-4=l(a>0,fe>0),離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_____.

a2b2v'

【答案】y=+V3x

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】解：由e=[==J】+GY=2得[=陋，所以該雙曲線的漸近線方程為曠=

±-x=±V3x

-a

故答案為：y=+V3x

【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合漸近線方程直接求解即可.

14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x):.

①=/Ql)f(X2)；②當(dāng)X6(0,+8)時(shí)，/Z(x)>0；③,(久)是奇函數(shù).

【答案】/(%)=%2(xeR)答案不唯一

【考點(diǎn)】累函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：取f(X)=x2,貝I]f(XlX2)=XpX22=f(Xl)f(X2),滿足①；

當(dāng)x>0時(shí),f'(x)=2x>0,滿足②；

f'(x)=2x的定義域?yàn)镽,Mf'(-x)=2(-x)-f'(x),故f，(x)=2x是奇函數(shù)，滿足③.

故答案為：f(x)=x2(xWR)

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.

15.已知向量a+6+c=0,|a|=1,網(wǎng)=?=2，則a-b+b-c+c-a-.......-

【答案】-1

【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

【解析】【解答】解：由題意得倒+5+[J=o,即滔+京+。+2?工+1”+「7)=9+

2(^a-b+a-c+b-c^=0,

則a-6+a-c+b-c=—a

故答案為：-T

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則直接求解即可.

16.已知函數(shù)/(%)=\ex-l|,%i<0,久2>0，函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)8(%2，/(%2))的

兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，則黑取值范圍是.

【答案】(0,1)

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得/(x)=|；二,則廣。)=[/：；；0°)，

xx

所以點(diǎn)A(xi,l-eXi),點(diǎn)8僅2簿*2一1),KAM=-ei,KBN=e2

xxX1X1

所以-6*1行2=-1,xi+X2=O,所以AM：y-l+ei=-ei(x-xi),M(0,ex1—e+1)

X122x

所以|4M|=yjx-J-+(ex1)=V1+e^\xr\,

2x

同理|BN|=V1+e2|x2|

所以吧=="+e2工1=I1+"=X1(Q

2x2x-2x

|NB|Vl+e2|x2|Vl+e2l+ei、')

故答案為：(0,1)

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得Xx+X2=O,結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式求解即可.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(共6

題；共70分)

17.記Sn是公差不為0的等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，若a3=S5,a2a4=S4.

(1)求數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值.

【答案】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S5=5ci3,則：a3=5a3,a30,

2

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,從而有：a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d,

S4—Cl]+①++04=(。3—2d)+(的一d)+的+(。3—弓)=—2d,

從而：—十=-2d,由于公差不為零，故：d=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a3+(n-3)d=2n-6.

(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：的=2—6=-4,貝lj：Sn=nX(-4)+x2=n2-6n,

2

則不等式Sn>anBP：n—5n>2n—6,整理可得：(幾—l)(n—6)>0,

解得：n<1或幾>6,又n為正整數(shù)，故n的最小值為7.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【分析】⑴根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)直接求解即可；

⑵首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

18.在叢ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sin4,求AABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)a,使得AABC為鈍角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)因?yàn)?sinC=3sin/,則2c=2(a+2)=3。，則。=4,故/?=5,c=6,

cosC=a+b,C--，所以，C為銳角，貝!JsinC=V1-cos2C=—，

2ab88

因此，S^ABC=-absinC=-x4x5x=^2-；

以2284

(2)顯然c>b>a,若△ZBC為鈍角三角形，則C為鈍角，

2

由余弦定理可得COSC=a2+b2~c2="+9+y-墨+2y=a-2a-3<。,

2ab2a(a+1)2a(a+l)

解得一1<a<3,貝ij0<a<3,

由三角形三邊關(guān)系可得a+a+l>a+2,可得a>1,,.?aeZ,故a=2.

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角形中的幾何計(jì)算

【解析】【分析】(1)由正弦定理可得出2c=3a,結(jié)合已知條件求出a的值，進(jìn)一步可求得b、c的值,

利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

(2)分析可知，角c為鈍角，由cosC<0結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)a的值.

19.在四棱錐Q—ABCD中，底面ABCD是正方形，若4D=2,QD=Q4=*,QC=3.

(1)證明：平面QAD1平面ABCD；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

【答案】(1)取AD的中點(diǎn)為。，連接QO,C。.

因?yàn)镼A=Q。，OA=OD,則QO1AD,

而力D=2,Q4=遮，故Q。=V5-1=2.

在正方形ABCD中，因?yàn)锳D=2,故。。=1,故C。=遮，

因?yàn)镼C=3,故QU?=QO2+。小，故△Q0C為直角三角形且Q。10C,

因?yàn)?cd4D=。，故Q。1平面ABCD,

因?yàn)镼Ou平面QAD,故平面Q4D1平面ABCD.

（2）在平面ABCD內(nèi)，過(guò)。作0T“CD，交8C于T,貝1|。714。，

結(jié)合（1）中的Q。！平面ABCD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則D(0,l,0),Q(0,0,2),B(2,—1,0),故的=(—2,1,2),麗=(—2,2,0)?

設(shè)平面QBD的法向量元=Q,y,z),

|7]||產(chǎn)?時(shí)=0nnc~2x+y+2z-0

則卻?的=0即｛-2x+2y=o，取x=1,則y=1,z=3

故元=（1,1，）.

__12

而平面Q4D的法向量為m=（1,0,0）,故cos（m,n）=^=-.

2

二面角B-QD-A的平面角為銳角，故其余弦值為|.

【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，二面角的平面角

及求法

【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，結(jié)合平面與平面垂直的判定定理求證即可；

（2）利用向量法直接求解即可.

20.已知橢圓C的方程為圣+真=1（￡1>6>0）,右焦點(diǎn)為F（應(yīng),0）,且離心率為y.

（1）求橢圓C的方程;

(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線/+丫2=>0)相切.證明：乂，N,F三點(diǎn)共

線的充要條件是\MN\=V3.

【答案】(1)由題意，橢圓半焦距c=&且e=￡=漁，所以a=W,

a3

又爐=a2-c2=1,所以橢圓方程為次+y2=1；

3，

(2)由(1)得，曲線為％2+y2=1(%>0),

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN-X=1,不合題意；

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)M(x1,y1)//V(x2ly2),

必要性：

若M,N,F三點(diǎn)共線，可設(shè)直線M7V:y=/c(x-V2)即kx-y-V2k=0，

由直線MN與曲線%2+y2=l(%>0)相切可得粵=1,解得/c=±l,

''/7k2+1

、y=±（%-V2）萬(wàn)

聯(lián)立{/可得4%2—6A/2X+3=0,所以％1+g=——?%2=-

儼=124

3--17

所以|MN|=Vl+1?+冷/—4/?g=V3,

所以必要性成立；

充分性：設(shè)直線MN\y=kx+b,（kb<0）即fcx—y+b=0，

由直線MN與曲線/+V=l(x>°)相切可得忌=1，所以匕2=卜2+1，

y=kx+b

聯(lián)立{x22_］可得（1+3k2）%2_|_6kbx+3b2—3=0,

3+y-

,6kb3b2-3

所以久1+"2=一百，“1.久2=工

所以\MN\=VF*-V（%i+%）2-）2-4.

2-%2=后*卜黑猾^

二五”?需

=V3，

化簡(jiǎn)得3(卜2一1)2=0,所以k=±1,

所以0)或｛，一/，所以直線MN:y=%—V2或y=—%+V2,

所以直線MN過(guò)點(diǎn)F(V2,0),M,N,F三點(diǎn)共線，充分性成立；

所以M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=8.

【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解即可；

(2)必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證|MN|=百；

充分性：設(shè)直線MN：y=kx+b(kb<0),由直線與圓相切得b2=k2+l,聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可

求解.

21.一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1

代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代.…，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表

示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=Pi(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

23

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+P1x+p2x+p3x=

x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)<1時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1；

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

【答案】(1)E(X)=0x0.4+1x0.3+2X0.2+3X0.1=1.

32

(2)設(shè)/(x)=p3x+p2x+(pi—l)x+p0,

32

因?yàn)镻3+P2+Pl+P0=1，故f[%)=P3X+P2X-(P2+PO+P3)X+Po>

若E(X)W1,貝IjPl+2p2+3p3<1,故P2+2P3<Po-

f(x)=3P3/+2p2x-(p2+p0+Pi)'

因?yàn)?(0)=一(P2+Po+P3)<0,f'(1)=P2+2p3-Pow0，

故f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)%i，x2,且無(wú)1<。<1w右，

z

且比e(—8,萬(wàn)力u(x2,+8)時(shí)，/(%)>o；xeQi,久2)時(shí)，/(%)<0；

故f(x)在(一8,右),(刀2，+8)上為增函數(shù)，在(久1，刀2)上為減函數(shù)，

若刀2=1，因?yàn)樵?*2,+8)為增函數(shù)且/(I)=0,

而當(dāng)X6(0,X2)時(shí)，因?yàn)?(X)在(與,比2)上為減函數(shù)，故/(%)>/(%2)=/(I)=0,

故1為Po+P1久+P2-+03乂3=X的一個(gè)最小正實(shí)根，

23

若久2>1，因?yàn)?(I)=。且在(。，乂2)上為減函數(shù)，故1為Po+P1X+p2X+p3X-X的一個(gè)最小

正實(shí)根，

綜上，若E(X)<1,則p=1.

若E(X)>1,貝！|pi+2P2+3「3>1，故P2+2P3>Po-

此時(shí)f'(0)=-(P2+Po+?3)<0，/(1)=P2+2p3-Po>0，

故廣(久)有兩個(gè)不同零點(diǎn)X3,x4,且X3<。<X4<1，

z7

且xe(一叼%3)u(x4,+叼時(shí)，/(%)>o；xe(%3,%4)時(shí)，/(%)<0；

故f(x)在(―8,犯)，(乂4，+8)上為增函數(shù)，在(久3,*4)上為減函數(shù)，

而/(I)=0,故/(%4)<0,

又/(0)=p0>0，故/(%)在(0,久4)存在一個(gè)零點(diǎn)p，且P<1.

所以p為Po+Plx+P2x2+P3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)P<1,

故當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1.

(3)每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1,則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1,則

若干代后被滅絕的概率小于1.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，離散型隨機(jī)變量的期望與方差

【解析】【分析】(1)利用公式計(jì)算可得E(X).

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f(l)=0及極值點(diǎn)的范圍可得f(x)的最小正零點(diǎn).

(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說(shuō)明.

22.己知函數(shù)/(x)=(%—l)ex—ax2+b.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：/(%)有一個(gè)零點(diǎn)