2021年高考數(shù)學真題試題(新高考Ⅱ卷)(文本版-含答案與解析)

2021年高考數(shù)學真題試卷（新高考I［卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.（共8題；共40分）

1.復數(shù)咨在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）

l-3l

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復數(shù)代數(shù)形式的混合運算

【解析】【解答】解：鳥黑黑=誓=之+?，表示的點為（白非，位于第一象限.

1—5111—31以_1十31）1UZZ\zZ/

故答案為：A

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，及復數(shù)的幾何意義求解即可

2.設集合U={1,2,3,4,5,6}M={1,3,6},5={2,3,4},則An(CuB)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【答案】B

【考點】子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換

【解析】【解答】解：由題設可得QB={1,5,6},故4n(CuB)={1,6}.

故答案為：B

【分析】根據(jù)交集、補集的定義求解即可.

3.拋物線y2=2px（j）＞0）的焦點到直線y-x+1的距離為a,貝Ip=（）

A.1B.2C.2V2D.4

【答案】B

【考點】點到直線的距離公式，拋物線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：拋物線的焦點坐標為《,0）,則其到直線x-y+l=0的距離為d=幽=a,解

得p=2或p=-6（舍去）,故p=2.

故答案為：B

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，結(jié)合點到直線的距離公式求解即可

4.北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道

位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是

一個球心為O,半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指。&與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面

上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為a,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為

S=2nr2（l—coscr）（單位：）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【考點】球的體積和表面積

【解析】【解答】解：由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：2—廣明上箸=1-64。。+36。。。=0.42=42%

47rrz22

故答案為：c

【分析】結(jié)合題意所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.

5.正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為()

A.20+12V3B.28V2C.口.叱

33

【答案】D

【考點】棱臺的結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺的體積

【解析】【解答】解：作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，

因為該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,

所以該棱臺的高，

下底面面積Si=16,上底面面積S2=4,

所以棱臺的體積為了=)(Si+J輻+S2)=1X&X(16+AM又彳+4)=yV2

故答案為：D

【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.

6.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,d),下列結(jié)論中不正確的是()

A.6越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B。越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.ff越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義

【解析】【解答】解：對于A,M為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在舊10附近越集中，所以測量結(jié)果落

在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；

對于B,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確；

對于C,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相

等，故C正確；

對于D,因為該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次

測量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯誤.

故選：D.

【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.

7.已知a=logs2,6=log83,c=I，則下列判斷正確的是()

c<b<ab<a<cC.a<c<b0.a<b<c

【答案】C

【考點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】解：a=log52<log5VS=|=log82V2<log83=b,即a<c<b.

故答案為：C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較a、b與c的大小關系，由此可得出結(jié)論.

8.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,/(%+2)為偶函數(shù)，/(2x+1)為奇函數(shù)，則()

A"(一》=。B"(-1)=0C"(2)=0D"(4)=0

【答案】B

【考點】奇函數(shù)，偶函數(shù)，函數(shù)的周期性

【解析】【解答】解:因為f(x+2)為偶函數(shù),則有f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(l-x),

又因為f(2x+1)為奇函數(shù)，則有f(l-2x)-f(2x-l),可得f(l-x)=-f(x+l),

所以f(x+3)=-f(x+l)=f(x-l),即f(x)=f(x+4)

故函數(shù)f(x)的周期為T=4

又因為函數(shù)F(x)=f(2x+1)是奇函數(shù)，則F(O)=f(l)=O

故f(-l)=-f⑴=0

故答案為：B

【分析】推導出函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出f(l)=0,結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.(共4題；共20分)

9.下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1,x2,-,xn的離散程度的是()

A.樣本x1,x2,---,xn的標準差B.樣本x1,x2,---,xn的中位數(shù)

C.樣本x1,x2,-,xn的極差D.樣本x1,x2,-,xn的平均數(shù)

【答案】A,C

【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標準差

【解析】【解答】解：由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

故選：AC.

【分析】根據(jù)標準差，極差，中位數(shù)及平均數(shù)的定義與意義求解即可.

10.如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方體的頂點.則滿足MN1OP

的是（）

【答案】B,C

【考點】異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：對于A,如圖（1）所示，

連接AC,則MN〃AC,

故NPOC（或其補角）為異面直線OP,MN所成的角.

在直角三角形OP”，0C=&,CP=1,故tanNP0C='=j

故MN,OP不成立，故A錯誤；

對于B,如圖（2）所示，

取NT的中點Q,連接PQQQ,貝！|OQ_LNT,PQ_LMN,

由正方體SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而。Qu平面ANDT,

故SN_LOQ,而SNnMN=N,故OQJ■平面SNTM,

又MNu平面SNTM,則OQ_LMN,而OQnPQ=O,

所以MNJ?平面OPQ,而OPu平面OPQ,故MN_LOP.

故B正確；

對于C,如圖（3）所示，

連接BD,則BD〃MN,由B的判斷可得OP_LBD,故OP_LMN,故C正確;

對于D,如圖（4）所示，

圖⑷

取AD的中點Q,AB的中點K,連接AC,PQ,OQ,PKQK,則AC//MN,

因為DP=PC,故PQ//AC,則PQ//MN,

所以NQPO或其補角為異面直線PO,MN所成的角，

因為正方體的棱長為2,故PQ=|XC=&,0Q=Ja。+&Q2=陋,po=7PK2+0K2=Vs

則有QO2<PQ2+OP2

故NQPO不可能是直角,

故MN,0P不可能垂直

故D錯誤.

故答案為：BC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正

11.已知直線l:ax+by-r2-0與圓C-.x2+y2-r2，點力(a,6),則下列說法正確的是()

A.若點A在圓C上，則直線I與圓C相切B.若點A在圓C內(nèi)，則直線I與圓C相離

C.若點A在圓C外，則直線I與圓C相離D.若點A在直線I上，則直線I與圓C相切

【答案】A,B,D

【考點】點到直線的距離公式，直線與圓的位置關系

2

【解析】【解答】解：由題意得圓心C(0,0)到直線I：ax+by/=0的距離d=不臺

對于A,若點A在圓C上，則a?+b2二心則/-2h2r則直線I與圓C相切，故A正確;

d=y/a2+b2=ll

>r

對于B,若點A在圓C內(nèi),則a2+b2<r2則d=/；—ll則直線I與圓C相離，故B正確;

-Ja2+b2

2

222l?r

對于C,若點A在圓C外，則a+b>r則/2-r則直線I與圓C相交，故C錯誤;

d=sla2+b2Vll

對于D,若點A在直線I上，則a2+b2/=0,即a2+b2=r2,貝胴=^^=|川，則直線I與圓C

Va2+b2

相切，故D正確.

故答案為：ABD

【分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關系為a2+b2,a的大小關系，結(jié)合點到直線的距離及直線與圓

的位置關系即可得解.

k-1k

12.設正整數(shù)ri=?2°+的?2+—I-cikT.2+ak-2,其中ate{0,1},記a>(n)=a。+%_+

…+<2上.貝U()

A.0)(2n)=a)(n)B.a)(2n+3)=a)(n)+1

C.0)(8n+5)=a)(4n+3)D.to(2n-1)=n

【答案】A,C,D

【考點】二項式定理，二項式定理的應用

12k

【解析】【解答】解：對于A,a>(n)=a0+d----Fak,2n=a0-2+^-2H----1-ak_t-2+ak-

2fc+1,

貝！|3(2TI)=a。+a】+—Fafc=a)(ji),故A正確；

對于B,取n=2,2+3=7=l-2°+l-21+l-22,則3⑺=3,

而2=0-2。+1-21,則3⑵=1,即3(7)323(2)+1,故B錯誤;

34k+3234k+3

對于C,8n+5=a0-2+ar2+......+ak-2+5=l-2°+l-2+ao-2+ar2+......+ak-2

所以(jo(8n+5)=2+ao+ai+......+ak,

2k+2012k+2

4n+3=a0-2+ar23+......+ak-2+3=l-2+l-2+a0-2+ar23+......+ak-2,

所以3(4n+3)=2+ao+ai+......+ak,

所以3(8n+5)=3(4n+3),故C正確；

對于D,2n-l=2°+21+......+2n-1,

所以3(2n-l)=n,故D正確.

故答案為：ACD

【分析】利用3(n)的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.(共4題；共20分)

13.己知雙曲線C:^-4=l(a>0,fe>0),離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為______.

a2b2v'

【答案】y=+V3x

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：由e=[==J】+GY=2得[=陋，所以該雙曲線的漸近線方程為曠=

±-x=±V3x

-a

故答案為：y=+V3x

【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合漸近線方程直接求解即可.

14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x):.

①=/Ql)f(X2)；②當X6(0,+8)時，/Z(x)>0；③,(久)是奇函數(shù).

【答案】/(%)=%2(xeR)答案不唯一

【考點】累函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：取f(X)=x2,貝I]f(XlX2)=XpX22=f(Xl)f(X2),滿足①；

當x>0時,f'(x)=2x>0,滿足②；

f'(x)=2x的定義域為R,Mf'(-x)=2(-x)-f'(x),故f，(x)=2x是奇函數(shù)，滿足③.

故答案為：f(x)=x2(xWR)

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.

15.已知向量a+6+c=0,|a|=1,網(wǎng)=?=2，則a-b+b-c+c-a-.......-

【答案】-1

【考點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，平面向量數(shù)量積的運算

【解析】【解答】解：由題意得倒+5+[J=o,即滔+京+。+2?工+1”+「7)=9+

2(^a-b+a-c+b-c^=0,

則a-6+a-c+b-c=—a

故答案為：-T

【分析】根據(jù)向量的運算法則直接求解即可.

16.已知函數(shù)/(%)=\ex-l|,%i<0,久2>0，函數(shù)/(x)的圖象在點和點8(%2，/(%2))的

兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，則黑取值范圍是.

【答案】(0,1)

【考點】導數(shù)的幾何意義，直線的點斜式方程，兩點間距離公式的應用

【解析】【解答】解：由題意得/(x)=|；二,則廣。)=[/：；；0°)，

xx

所以點A(xi,l-eXi),點8僅2簿*2一1),KAM=-ei,KBN=e2

xxX1X1

所以-6*1行2=-1,xi+X2=O,所以AM：y-l+ei=-ei(x-xi),M(0,ex1—e+1)

X122x

所以|4M|=yjx-J-+(ex1)=V1+e^\xr\,

2x

同理|BN|=V1+e2|x2|

所以吧=="+e2工1=I1+"=X1(Q

2x2x-2x

|NB|Vl+e2|x2|Vl+e2l+ei、')

故答案為：(0,1)

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得Xx+X2=O,結(jié)合直線方程及兩點間距離公式求解即可.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(共6

題；共70分)

17.記Sn是公差不為0的等差數(shù)列｛即｝的前n項和，若a3=S5,a2a4=S4.

(1)求數(shù)列｛時｝的通項公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值.

【答案】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S5=5ci3,則：a3=5a3,a30,

2

設等差數(shù)列的公差為d,從而有：a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d,

S4—Cl]+①++04=(。3—2d)+(的一d)+的+(。3—弓)=—2d,

從而：—十=-2d,由于公差不為零，故：d=2,

數(shù)列的通項公式為：an=a3+(n-3)d=2n-6.

(2)由數(shù)列的通項公式可得：的=2—6=-4,貝lj：Sn=nX(-4)+x2=n2-6n,

2

則不等式Sn>anBP：n—5n>2n—6,整理可得：(幾—l)(n—6)>0,

解得：n<1或幾>6,又n為正整數(shù)，故n的最小值為7.

【考點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和，等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【分析】⑴根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)直接求解即可；

⑵首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

18.在叢ABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sin4,求AABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)a,使得AABC為鈍角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)因為2sinC=3sin/,則2c=2(a+2)=3。，則。=4,故/?=5,c=6,

cosC=a+b,C--，所以，C為銳角，貝!JsinC=V1-cos2C=—，

2ab88

因此，S^ABC=-absinC=-x4x5x=^2-；

以2284

(2)顯然c>b>a,若△ZBC為鈍角三角形，則C為鈍角，

2

由余弦定理可得COSC=a2+b2~c2="+9+y-墨+2y=a-2a-3<。,

2ab2a(a+1)2a(a+l)

解得一1<a<3,貝ij0<a<3,

由三角形三邊關系可得a+a+l>a+2,可得a>1,,.?aeZ,故a=2.

【考點】同角三角函數(shù)間的基本關系，正弦定理的應用，余弦定理的應用，三角形中的幾何計算

【解析】【分析】(1)由正弦定理可得出2c=3a,結(jié)合已知條件求出a的值，進一步可求得b、c的值,

利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關系求出sinB,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

(2)分析可知，角c為鈍角，由cosC<0結(jié)合三角形三邊關系可求得整數(shù)a的值.

19.在四棱錐Q—ABCD中，底面ABCD是正方形，若4D=2,QD=Q4=*,QC=3.

(1)證明：平面QAD1平面ABCD；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

【答案】(1)取AD的中點為。，連接QO,C。.

因為QA=Q。，OA=OD,則QO1AD,

而力D=2,Q4=遮，故Q。=V5-1=2.

在正方形ABCD中，因為AD=2,故。。=1,故C。=遮，

因為QC=3,故QU?=QO2+。小，故△Q0C為直角三角形且Q。10C,

因為0cd4D=。，故Q。1平面ABCD,

因為QOu平面QAD,故平面Q4D1平面ABCD.

（2）在平面ABCD內(nèi)，過。作0T“CD，交8C于T,貝1|。714。，

結(jié)合（1）中的Q。！平面ABCD,故可建如圖所示的空間坐標系.

則D(0,l,0),Q(0,0,2),B(2,—1,0),故的=(—2,1,2),麗=(—2,2,0)?

設平面QBD的法向量元=Q,y,z),

|7]||產(chǎn)?時=0nnc~2x+y+2z-0

則卻?的=0即｛-2x+2y=o，取x=1,則y=1,z=3

故元=（1,1，）.

__12

而平面Q4D的法向量為m=（1,0,0）,故cos（m,n）=^=-.

2

二面角B-QD-A的平面角為銳角，故其余弦值為|.

【考點】直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，二面角的平面角

及求法

【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，結(jié)合平面與平面垂直的判定定理求證即可；

（2）利用向量法直接求解即可.

20.已知橢圓C的方程為圣+真=1（￡1>6>0）,右焦點為F（應,0）,且離心率為y.

（1）求橢圓C的方程;

(2)設M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線/+丫2=>0)相切.證明：乂，N,F三點共

線的充要條件是\MN\=V3.

【答案】(1)由題意，橢圓半焦距c=&且e=￡=漁，所以a=W,

a3

又爐=a2-c2=1,所以橢圓方程為次+y2=1；

3，

(2)由(1)得，曲線為％2+y2=1(%>0),

當直線MN的斜率不存在時，直線MN-X=1,不合題意；

當直線MN的斜率存在時，設M(x1,y1)//V(x2ly2),

必要性：

若M,N,F三點共線，可設直線M7V:y=/c(x-V2)即kx-y-V2k=0，

由直線MN與曲線%2+y2=l(%>0)相切可得粵=1,解得/c=±l,

''/7k2+1

、y=±（%-V2）萬

聯(lián)立{/可得4%2—6A/2X+3=0,所以％1+g=——?%2=-

儼=124

3--17

所以|MN|=Vl+1?+冷/—4/?g=V3,

所以必要性成立；

充分性：設直線MN\y=kx+b,（kb<0）即fcx—y+b=0，

由直線MN與曲線/+V=l(x>°)相切可得忌=1，所以匕2=卜2+1，

y=kx+b

聯(lián)立{x22_］可得（1+3k2）%2_|_6kbx+3b2—3=0,

3+y-

,6kb3b2-3

所以久1+"2=一百，“1.久2=工

所以\MN\=VF*-V（%i+%）2-）2-4.

2-%2=后*卜黑猾^

二五”?需

=V3，

化簡得3(卜2一1)2=0,所以k=±1,

所以0)或｛，一/，所以直線MN:y=%—V2或y=—%+V2,

所以直線MN過點F(V2,0),M,N,F三點共線，充分性成立；

所以M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=8.

【考點】橢圓的標準方程，橢圓的簡單性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合橢圓的標準方程直接求解即可；

(2)必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證|MN|=百；

充分性：設直線MN：y=kx+b(kb<0),由直線與圓相切得b2=k2+l,聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式即可

求解.

21.一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1

代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代.…，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設X表

示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=Pi(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

23

(2)設p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：p0+P1x+p2x+p3x=

x的一個最小正實根，求證：當E(X)<1時，p=l,當E(X)>1時，p<1；

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.

【答案】(1)E(X)=0x0.4+1x0.3+2X0.2+3X0.1=1.

32

(2)設/(x)=p3x+p2x+(pi—l)x+p0,

32

因為P3+P2+Pl+P0=1，故f[%)=P3X+P2X-(P2+PO+P3)X+Po>

若E(X)W1,貝IjPl+2p2+3p3<1,故P2+2P3<Po-

f(x)=3P3/+2p2x-(p2+p0+Pi)'

因為/(0)=一(P2+Po+P3)<0,f'(1)=P2+2p3-Pow0，

故f(x)有兩個不同零點%i，x2,且無1<。<1w右，

z

且比e(—8,萬力u(x2,+8)時，/(%)>o；xeQi,久2)時，/(%)<0；

故f(x)在(一8,右),(刀2，+8)上為增函數(shù)，在(久1，刀2)上為減函數(shù)，

若刀2=1，因為在(*2,+8)為增函數(shù)且/(I)=0,

而當X6(0,X2)時，因為/(X)在(與,比2)上為減函數(shù)，故/(%)>/(%2)=/(I)=0,

故1為Po+P1久+P2-+03乂3=X的一個最小正實根，

23

若久2>1，因為/(I)=。且在(。，乂2)上為減函數(shù)，故1為Po+P1X+p2X+p3X-X的一個最小

正實根，

綜上，若E(X)<1,則p=1.

若E(X)>1,貝！|pi+2P2+3「3>1，故P2+2P3>Po-

此時f'(0)=-(P2+Po+?3)<0，/(1)=P2+2p3-Po>0，

故廣(久)有兩個不同零點X3,x4,且X3<。<X4<1，

z7

且xe(一叼%3)u(x4,+叼時，/(%)>o；xe(%3,%4)時，/(%)<0；

故f(x)在(―8,犯)，(乂4，+8)上為增函數(shù)，在(久3,*4)上為減函數(shù)，

而/(I)=0,故/(%4)<0,

又/(0)=p0>0，故/(%)在(0,久4)存在一個零點p，且P<1.

所以p為Po+Plx+P2x2+P3x3=x的一個最小正實根，此時P<1,

故當E(X)>1時，p<1.

(3)每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1,則

若干代后被滅絕的概率小于1.

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，離散型隨機變量的期望與方差

【解析】【分析】(1)利用公式計算可得E(X).

(2)利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f(l)=0及極值點的范圍可得f(x)的最小正零點.

(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.

22.己知函數(shù)/(x)=(%—l)ex—ax2+b.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：/(%)有一個零點