重難點(diǎn)專(zhuān)題35 圓錐曲線離心率壓軸題（含二級(jí)結(jié)論）十九大題型匯總（解析版）

重難點(diǎn)專(zhuān)題35圓錐曲線離心率壓軸題（含二級(jí)結(jié)論）十九大題型匯總題型1直接型 ②由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，變形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，(x1-x2≠0，x1+x2≠0)【例題11】（22·23·吉安·一模）橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的內(nèi)接四邊形ABCDA．14 B．32 C．12【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y【詳解】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1可得1-x1,1-y1由A,C兩點(diǎn)在橢圓有x11-2×4即2b同理可得2b因此，直線AB的方程為2b從而直線AB的斜率為-b由e2=1-故選：B【變式11-1】1．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e≠22，C的左右焦點(diǎn)分別為F1,【答案】3【分析】根據(jù)題意，作圖，計(jì)算得AF2=a-ex0，AF1=a+ex0【詳解】由點(diǎn)A在橢圓C上，且∠F1AF2=π則A=c同理AF設(shè)角平分線交x軸于T(S△S△∴AF2AF可得直線AB:y=由AB=2BD，可得設(shè)AB中點(diǎn)為M，則xM=2點(diǎn)差法的結(jié)論，證明如下：設(shè)A(x1,y1)，B故x12a又由x1+x2=2最后化簡(jiǎn)得，y0進(jìn)而得到，kOM得2-3e因?yàn)椤螰1A聯(lián)立x02+所以y02x02故答案為：32【變式11-1】2.（2022下·云南昭通·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)斜率為-18的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2)，直線AP交E于另一點(diǎn)C，直線BPA．2 B．72 C．62 D【答案】D【分析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),，線段AB的中點(diǎn)M(xM,yM)，代入雙曲線的方程中可得x12a【詳解】設(shè)A(x1,y則x12a所以yM=-設(shè)C(x3,y3),D因?yàn)閗AB=kCD，所以所以yM-2xM+1=所以a2=4b所以e=故選：D.【變式11-1】3.（22·23·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為-2的直線l1與雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，l2//l1，直線【答案】7【分析】設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)及中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線作差得yM=-b22a2xM【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2AB的中點(diǎn)MxM,yM則x12a2-所以b2a2?xMy因?yàn)锳B//CD，所以P，M，N三點(diǎn)共線，所以將①②代入得-b22因?yàn)閤M≠xN，所以b2又點(diǎn)P恒在直線l:y=-3x上，所以所以雙曲線E的離心率為e=故答案為：7

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，采用設(shè)而不求點(diǎn)差法求解，本題通過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系建立a，b關(guān)系，從而求出雙曲線的離心率.【變式11-1】4.（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(【答案】55/【分析】先由FB+FP+FQ=0得到【詳解】設(shè)F(c,0),B(0,由FB+FP+FQ=0，知即(c,-b又M為線段PQ的中點(diǎn)，則x1又P、Q為橢圓C上兩點(diǎn)，則x1兩式相減得x1所以kPQ化簡(jiǎn)得2a2解得b=2c或c=2則a2=b故答案為：5【變式11-1】5.（2020上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線AB交橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、AB的垂線AP，AQ分別交橢圓C于點(diǎn)P，Q，連接BQ交【答案】3【解析】設(shè)A(x1,y1)，Q(x2,y2)，根據(jù)已知條件得B、P、M的坐標(biāo)，AB⊥AQ、B，M【詳解】設(shè)A(x1,y1)，Q由AB⊥AQ，則y由B，M，Q三點(diǎn)共線，則kBQ=kBM，即y又因?yàn)閤12a2+y12將①②代入③得b2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)表示兩線垂直以及三點(diǎn)共線，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得到相關(guān)參數(shù)的方程，聯(lián)立方程求橢圓離心率.題型12二級(jí)結(jié)論之中點(diǎn)弦問(wèn)題橢圓或者雙曲線，已知中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，K2.P為橢圓上一點(diǎn)，e為離心率，①A1，A②A1，A以上結(jié)論也適用于雙曲線.【例題12】（22·23上·徐州·期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線交C于A，B兩點(diǎn)．P是C上一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），直線BP交x軸于點(diǎn)D．若直線A【答案】5【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求斜率，由題知x02a∠BDO=∠BOD，知kAP【詳解】設(shè)Px0,y0則直線AP的斜率為y0-nx0由題知x02a即x0+my0又∠BDO=∠BOD，則k即b2a2=4即c2a2=5故答案為：5【變式12-1】1.（22·23下·安徽·一模）已知直線l與橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于M,【答案】3【分析】利用點(diǎn)差法證明二級(jí)結(jié)論kMN?kOP=-b2a2，再結(jié)合【詳解】設(shè)Mx1,y1記坐標(biāo)原點(diǎn)為O，直線l,OP,又x12a即kMN?kOP=-即y0x0y0所以離心率e=故答案為：32【變式12-1】2.（2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作橢圓C內(nèi)部的圓E：x2-2mx+y2【答案】3【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2將A，B代入C，得x12a所以y1-y由E：x2-2mx+y2=0由題意可知DE⊥AB，不妨設(shè)OD的斜率為k>0∵OE=DE,△∴tan∠DEx由OD的斜率與DE的斜率之積為2，可得2k21-k所以kDE=22，所以k所以-24×所以C的離心率為e=故答案為：32【變式12-1】3.（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為4，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，雙曲線E：x2m2-y2n2=1(m>0，n>0)的左?右焦點(diǎn)分別與橢圓C的左?右頂點(diǎn)AA．355 B．32 C．8【答案】D【分析】由橢圓C的短軸長(zhǎng)為4得B的坐標(biāo)，D的坐標(biāo)∴設(shè)A1P的中點(diǎn)為M連接得kPA直線A1P的方程得M的坐標(biāo)，P的坐標(biāo)，求出雙曲線解得雙曲線E的離心率e=【詳解】因?yàn)闄E圓C：x2a2+y2b2=1(設(shè)A1P的中點(diǎn)為M，連接OM，則kPA1所以1a×-43=-4與直線OM的方程y=-43x所以M的坐標(biāo)為-35,45又雙曲線E：x2m2-y2n所以根據(jù)雙曲線的定義，得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2m所以雙曲線E的離心率e=故選：D【點(diǎn)睛】充分利用橢圓和雙曲線的幾何特征，特別是雙曲線的左右焦點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)重合.結(jié)論拓展已知直線l：y=kx+mk≠0,m≠0與橢圓x2a2+y【變式12-1】4.（22·23下·南通·階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)A，M在雙曲C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上，點(diǎn)A與點(diǎn)BA．5 B．6 C．7 D．2【答案】D【分析】設(shè)O為AB的中點(diǎn)，設(shè)Bx1,y1x1<0,y1<0，Mx2,y2，Q【詳解】如圖，不妨設(shè)A在第一象限，取BM的中點(diǎn)Q，連接OQ，因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，故OQ//Bx1,y1x1B，M在雙曲線上，則x12a即y1+y2x故kBM?k又因?yàn)锳B⊥AM，則OB⊥所以y1x1?y又ON2+8OA即|ON|=-8|OA所以kBN=8y1故b2a2=7，則雙曲線根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)A在第四象限時(shí)，同理可求得e=2當(dāng)A在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，由于AB⊥AM，此時(shí)故雙曲線C的離心率為e=2故選：D.題型13角平分線相關(guān)1.角平分線“拆”面積：S△ABC2.角平分線定理性質(zhì)：ABBD=【例題13】（22·23下·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，PA．2 B．2 C．52 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得F1QF2【詳解】∵PF2⊥F1分別在△PQF∵PQ平分∠F1PF2且sin∠故sin∠PQF所以PF又∵PF2=所以b2a+2故c2-a2=3所以e=故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).方法定睛：1.雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e=2.焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將雙曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．【變式13-1】1.（22·23下·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于A．7 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)CB=3F2A可知CB//F【詳解】因?yàn)镃B=3F2A，所以設(shè)F1F2=2c，則F2C因?yàn)锽F2平分∠F所以BC=2BF由雙曲線定義知AF2-AF1又由BF1-所以BF2=所以∠F在△F1B即12=4把①代入上式得e=ca故選：A．【變式13-1】2.（22·23高三·云南·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，P為橢圓上一點(diǎn)，直線AP與直線x=a交于點(diǎn)M，【答案】1【分析】利用垂直關(guān)系而得出MB=2b2【詳解】由題意知，A-a,0，Ba,0，F(xiàn)由PFAF=MBAB，得又∠PFB的角平分線與直線x=a交于點(diǎn)N，可知NBS△MABS△NFB=1故答案為：13【變式13-1】3.（2023·山東煙臺(tái)·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1-c,0A．33 B．2-1 C．2【答案】D【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系以及橢圓的定義求解.【詳解】依題意作上圖，因?yàn)镕1Q是∠PF1F2又P點(diǎn)在圓x2+y2=c2的圓周上，根據(jù)橢圓的定義有PF1由勾股定理得：F1F22=即e2+2e-2=0解得e故選：D.【變式13-1】4.（2023春·江西贛州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．橢圓C在第一象限存在點(diǎn)MA．6-12 B．5-12【答案】B【分析】根據(jù)題意和橢圓定義可得到MF2，AM和a，c的關(guān)系式，再根據(jù)△MF1F2∽△【詳解】由題意得F1又由橢圓定義得MF記∠M則∠AF2則AF所以AM=4故△M則MF則a-cc故選：B．題型14圓錐曲線與圓相關(guān)【例題14】（2023·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F2為圓心的圓與x軸交于F1，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)A，線段A．3-12 B．12 C．【答案】D【分析】先求出以F2為圓心的圓的方程，求出A0,3c，B3c【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為c，因?yàn)橐訤2為圓心的圓過(guò)F1，故該圓的半徑為故其方程為：x-令x=0，則y=±3c，結(jié)合A在令y=0，則x=-c或x故kF1A設(shè)Mm因?yàn)锳在y軸的正半軸上，F(xiàn)1在x軸的負(fù)半軸上，故m而B(niǎo)M=故3c-m故m=-23所以49c2整理得到：4e4-故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過(guò)點(diǎn)在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.【變式14-1】1.（23·24高三上·福建福州·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F2為圓心的圓與x軸交于F1，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)AA．3+12 BC．5+12 D【答案】D【分析】先求出以F2為圓心的圓的方程，求出A0,3c，B3c【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c，因?yàn)橐訤2為圓心的圓過(guò)F1，故該圓的半徑為故其方程為：x-令x=0，則y=±3c，結(jié)合A在令y=0，則x=-c或x故kF1A設(shè)Mm因?yàn)锳在y軸的正半軸上，F(xiàn)1在x軸的負(fù)半軸上，故m而B(niǎo)M=故3c-m故m=-23所以49c2解得e2=4+72或4-則e2=4+故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過(guò)點(diǎn)在圓錐曲線上等合理構(gòu)建.【變式14-1】2.（2023·全國(guó)·二模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右頂點(diǎn)分別是A1，A2，圓x2+yA．2 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】利用M在漸近線和圓x2+y2=a2上，可得M坐標(biāo)，利用M坐標(biāo)結(jié)合A1【詳解】設(shè)Mx1,y1，因M在漸近線上，則y1=bax又由題可得A1-a,0，則直線將其與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得：b2由題，其判別式大于0，設(shè)Px2,則x2=a又A2I⊥x，則則kMA2即ba故選：B【變式14-1】3.（22·23·馬鞍山·三模）已知F1?，?F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1?(a>0?，?b>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A．62 B．324 C．3【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得MF1?MF2【詳解】由題意可得：MF可得4a2+2過(guò)點(diǎn)O分別作AB,PQ的垂線，垂足分別為則C為AB,MF1的中點(diǎn)，D為所以O(shè)C?由題意可得：OC2因?yàn)閳AO:x2可得AB=2所以四邊形APBQ的面積1=29可得3c4+b4所以C的離心率e=故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．【變式14-1】4.（22·23上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知圓C1:x2+y-2332=163過(guò)雙曲線C2:xA．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意可求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)推出∠F1MF2=π3【詳解】由C1:x2+y-23故F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)圓心為C1(0,23由于|C1F1因?yàn)镸為雙曲線右支上一點(diǎn)，MF設(shè)MF1=m故m2+在△F1M即42=m故4a故雙曲線離心率為e=故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)條件可求得雙故曲線的焦半距，因此要求離心率，就要求出a的值，因此關(guān)鍵點(diǎn)就在于要利用圓的幾何性質(zhì)推得∠F1MF2=π3，設(shè)MF題型15內(nèi)切圓相關(guān)【例題15】（22·23高三下·江西·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.點(diǎn)P在C上且位于第一象限，圓O1與線段F1P的延長(zhǎng)線，線段PA．12 B．35 C．22【答案】A【分析】設(shè)圓O1、O2與x軸的切點(diǎn)分別為A，B，圓心O1、O2在∠PF1F2的角平分線上，從而切點(diǎn)D也在∠PF1【詳解】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心O1、O2在∠P設(shè)圓O1、O2與x軸的切點(diǎn)分別為A，B，由平面幾何知識(shí)可得，直線切點(diǎn)D也在∠PF1由橢圓的定義知PF1+所以F2所以F2所以F1F1又圓O1與圓O2的面積之比為所以圓O1與圓O2的半徑之比為因?yàn)镺2B?即3c-aa+c=故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)【變式15-1】1.（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)F2與拋物線C2:y2=2pxpA．94 B．54 C．95【答案】B【分析】令F1(-c,0),F2(c,0)，由題設(shè)知c=【詳解】由題設(shè)F1(-c,0),F由-c2a2-y2如下圖示，內(nèi)切圓與△PF1F所以PD=PE,則(PD所以K為雙曲線右頂點(diǎn)，又△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為故b2=9，則c=5故選：B【變式15-1】2.（22·23下·寧波·階段練習(xí)）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為FA．13 B．12 C．33【答案】B【分析】設(shè)Px0,y0,Ix1,y1，設(shè)圓與P【詳解】設(shè)Px0,y0則PM=又PM+PN+所以PM+所以F1即F1過(guò)點(diǎn)P作直線x=a2則PHP所以PHP所以PF2=∴F1∴x1由三角形面積相等，得12∴y∵k∴y所以ca∴a=2c故選：B..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)【變式15-1】3.（23·24高三上·云南昆明·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)【答案】2【分析】先根據(jù)傾斜角求出AB弦長(zhǎng)，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式求出a,c【詳解】因?yàn)橹本€AB過(guò)左焦點(diǎn)F1且∠AF聯(lián)立x2a2+y所以x1+x又因?yàn)椤螦F1F2所以S△根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可得r=2Sl，其中l(wèi)為所以r=2×22【變式15-1】4.（2023·山西·二模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點(diǎn)【答案】2【分析】設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與AF1切于P，由切線性質(zhì)知NF1=【詳解】設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與AF1切于P，由切線性質(zhì)知MN＝MQ=由對(duì)稱(chēng)性知AF所以PF1=所以2a所以e=故答案為：2【變式15-1】5.（22·23·紅河·一模）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若E【答案】1+3/【分析】由OP=12F1F2可得PF1⊥PF2，PF12【詳解】因?yàn)镺P=12F1又因?yàn)镻在雙曲線上，所以PF1|-|PF1+因?yàn)椤鱌F1所以S△即PF1?所以b2-ac即c2-2ac-2a因?yàn)閑>1，所以e故答案為：1+3【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱(chēng)為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|P題型16與立體幾何相關(guān)【例題16】（2023·安徽安慶·一模）.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來(lái)證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱(chēng)為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球O1，球O2的半徑分別為4和1，球心距O1O2=6，截面分別與球O1，球O2切于點(diǎn)E，A．339 B．63 C．22【答案】A【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長(zhǎng)軸和焦距作答.【詳解】依題意，截面橢圓的長(zhǎng)軸與圓錐的軸相交，橢圓長(zhǎng)軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球O1，球O點(diǎn)A,B分別為圓O1橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a過(guò)O2作O2D⊥O1A又|O則2a過(guò)O2作O2C⊥O1E橢圓焦距2c所以橢圓的離心率e=故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【變式16-1】1.（22·23高三下·河北衡水·階段練習(xí)）已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作直線AB⊥F1F2

A．3 B．22 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可知銳角二面角α=∠A【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c>0由題意可得：AF則A'且A'F1在△A'F在△A'F因?yàn)?-cosα1-可得a2+c故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值【變式16-1】2.（2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)所在的課外興趣小組計(jì)劃用紙板制作一個(gè)簡(jiǎn)易潛望鏡模型（圖甲），該模型由兩個(gè)相同的部件拼接粘連制成，每個(gè)部件由長(zhǎng)方形紙板NCEM（圖乙）沿虛線裁剪后卷一周形成，其中長(zhǎng)方形OCEF卷后為圓柱O1O2的側(cè)面．為準(zhǔn)確畫(huà)出裁剪曲線，建立如圖所示的以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y為裁剪曲線上的點(diǎn)，作PH⊥x軸，垂足為H．圖乙中線段OH卷后形成的圓弧OH（圖甲），通過(guò)同學(xué)們的計(jì)算發(fā)現(xiàn)y與

A．255 BC．12 D．【答案】B【分析】結(jié)合題意，利用函數(shù)y=1-cos【詳解】函數(shù)y=1-cosx所以相應(yīng)圓柱的底面圓的周長(zhǎng)為4π，故其直徑為4故根據(jù)題意可知該橢圓的短軸長(zhǎng)為2b=4，即又y=1-cosx故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4故橢圓的離心率為e=故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵的關(guān)鍵在于根據(jù)題中所述，明確橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)與已知函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求得長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，從而求得答案.【變式16-1】3.（2022·遼寧沈陽(yáng)·一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為.

【答案】3【分析】由題意如圖所示，由球的半徑可求得BF,BO的值，進(jìn)而可得∠BOF=∠ODM的正弦值，所以可求出OD的值，即可以求出【詳解】如圖所示：

由題意可得BF=1,BO=2又因?yàn)閟in∠ODM=sin∠所以O(shè)D=a=2，而2所以c=a2故答案為：32【變式16-1】4.（22·23下·遼寧·階段練習(xí)）如圖所示圓錐，C為母線SB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為底面圓心，AB為底面圓的直徑，且SC，OB，SB的長(zhǎng)度成等比數(shù)列，一個(gè)平面過(guò)A，C，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為．【答案】55/【分析】令r=OB,l=SB，由等比數(shù)列性質(zhì)可得l【詳解】令r=OB,l=SB，則l2所以r2=l由題意，顯然SO⊥OB，在直角△SOB中|SO所以△SOB為等腰直角三角形，故圓錐軸截面SAB為等腰直角三角形且∠ASB所以AC=l2+l軸截面SAB如下圖示：該橢圓的短軸與圓錐底面平行，過(guò)O作OE//SB交AC于D，交SA于E，則O為AB中點(diǎn)，所以D為AC中點(diǎn)，即D為橢圓中心，過(guò)D作FG//AB交SA,綜上，有△EFD～△EAO均為等腰直角三角形，故EDEO=同理△CDG～△CAB，故CDCA=所以2b=2FG綜上，橢圓離心率為e=故答案為：5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：注意短軸長(zhǎng)為過(guò)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=【變式16-1】5.（多選）（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓錐PO的軸PO與母線所成的角為α，過(guò)A1的平面與圓錐的軸所成的角為ββ>α，該平面截這個(gè)圓錐所得的截面為橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸為A1A2,短軸為B1B2,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，橢圓的中心為N,再以B1B2A．當(dāng)β<B．|C．平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率eD．平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率e【答案】BC【分析】由截口曲線的含義可判斷A；過(guò)N作NG⊥PC1于點(diǎn)G，求出而|C1N|=asin(【詳解】由截口曲線知，當(dāng)β<α?xí)r，平面截這個(gè)圓錐所得截面為雙曲線，A對(duì)于B，過(guò)N作NG⊥PC1于點(diǎn)所以|NG|=asin同理過(guò)N向PC2作垂線，可得∴|NC1對(duì)于C，D，設(shè)圓錐上部球O1與橢圓截面圓錐側(cè)面均相切，軸截面的內(nèi)切圓O1，半徑為球O1與A1A設(shè)∠O1φ=|A解得e=tanφ故e=sin(π2故選：BC【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：求解橢圓的離心率時(shí)，要能根據(jù)圖示求得a,c之間的關(guān)系，這是解答的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵之處，因此通過(guò)設(shè)∠O1A2題型17二級(jí)結(jié)論之切線方程圓錐曲線切線方程的常用結(jié)論【結(jié)論1】（1）經(jīng)過(guò)圓x2+y2=（2）當(dāng)Mx0,y0【結(jié)論2】（1）若圓心不在原點(diǎn)，圓的方程：x-a2+y-（2）若Mx0,y方便記憶，求切線和切點(diǎn)弦的方法，統(tǒng)一稱(chēng)為“代一留一”．【結(jié)論3】（1）過(guò)圓x2a2+y（2）當(dāng)Mx0,y0在橢圓x（3）設(shè)過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0外一點(diǎn)Mx0?,?y0引兩條切線，切點(diǎn)分別為Ax1,y1，Bx2,y同理可得焦點(diǎn)在y軸上的情形．【結(jié)論4】（1）過(guò)圓y2a2+x（2）當(dāng)Mx0,y0在橢圓y【結(jié)論5】（1）過(guò)雙曲線x2a2-y（2）當(dāng)Mx0,y0在雙曲線x（3）設(shè)過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0外一點(diǎn)Mx0,y0引兩條切線，切點(diǎn)分別為Ax1,y1、Bx2同理可得焦點(diǎn)在y軸上的情形．【結(jié)論6】（1）過(guò)雙曲線y2a2-x（2）當(dāng)Mx0,y0在雙曲線y【例題17】（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)Ax1,yA．22 B．5 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)Ba2x1【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，由x2a2則y'點(diǎn)Ax1,y1可得y'可得在點(diǎn)Ax1,令y=0，解得x又因?yàn)閤12a所以x=即點(diǎn)Ba設(shè)雙曲線C的半焦距為c>0，則F1-因?yàn)镕1B=2BF則y1可得AF且點(diǎn)A為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，則AF可得AF在△AF1即4c2=16所以雙曲線C的離心率e=故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值；2．焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)【變式17-1】1.（22·23高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0上的一點(diǎn)M（異于頂點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)M作雙曲線C的一條切線l.A．13 B．23 C．32【答案】A【分析】表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，分別用坐標(biāo)和a、b、c表示出直線OM與l的斜率，最后計(jì)算出斜率的積即可.【詳解】由雙曲線C的離心率e=23所以12a2=9c2=9a2+b2，得b2直線l的斜率kl=b2故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若二次曲線方程為：A設(shè)過(guò)二次曲線的切線切點(diǎn)為Mx0證明（僅供參考，結(jié)論考生可直接使用）：對(duì)方程Ax2+2AxBx+2Cy+Ey'=-因此，所求切線方程y-y化簡(jiǎn)并整理，得2用因?yàn)锳x2即Ax0【變式17-1】2.（2022·全國(guó)·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0與橢圓x24+y23=1．過(guò)橢圓上一點(diǎn)P-1,3A．132 B．13 C．32 D【答案】A【分析】設(shè)出切線方程，與橢圓方程聯(lián)立后利用根的判別式求出k=12，求出切線方程，從而得到M點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立漸近線得到N，Q的橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)得到方程，求出【詳解】由題意得：漸近線方程為y=±設(shè)切線方程為y-323+4k由Δ=64k2解得：k=所以切線方程為y=令y=0得：x=-4，所以聯(lián)立y=bax與聯(lián)立y=-bax與因?yàn)镹為MQ的中點(diǎn)，所以-4解得：ba所以離心率為1+故選：A【變式17-1】3.（2017·江蘇南通·校聯(lián)考一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，右焦點(diǎn)為F2，點(diǎn)M在圓x2+y【答案】x【分析】根據(jù)離心率化簡(jiǎn)橢圓方程，由兩點(diǎn)間距離公式與勾股定理計(jì)算△P【詳解】橢圓的離心率為12,則a=2設(shè)Px1|連接OM，OP，由相切條件知：|PM|2|PF2由題意得△PF2Q的周長(zhǎng)為4∴橢圓C的方程為x2故答案為：x【變式17-1】4.（2019下·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是焦距為2的橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P【答案】5【分析】設(shè)P(x0,y0)，求得過(guò)點(diǎn)P的橢切線方程b2x0x+【詳解】由題意，橢圓C:x2設(shè)P(x0則經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線方程為x0xa因?yàn)镕1(-c,0),F所以-c所以a4b4-c又因?yàn)?c=2，即c=1所以橢圓的離心率為e=故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a題型18正切公式的運(yùn)用【例題18】（2022·山東濰坊·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右頂點(diǎn)分別是A1，A2，圓x2+y2=A．2 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】由題設(shè)可得M(a2c,abc)，A1(-a,0)，A【詳解】聯(lián)立{y=baxx2+y所以|MA1由題設(shè)，∠A1MA所以∠MA2P=45°所以∠MA1A2則tan2∠M所以e=故選：B【變式18-1】1.（2022·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C；x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為2c，過(guò)C的右焦點(diǎn)F的直線l與C的兩條漸近線分別交于AA．2 B．213 C．263【答案】D【分析】根據(jù)tan∠AFO=ab，tanα=ba，得到AB⊥【詳解】因?yàn)镕B=3FA，畫(huà)出示意圖如圖，設(shè)∠AOF=所以sin2所以cos2所以tan∠又tanα所以∠AFO所以AB⊥所以O(shè)A=又因?yàn)镕B=3所以AB=2在Rt△AOB中，tan∠所以tan2化簡(jiǎn)得：b2所以c故選：D【點(diǎn)睛】圓錐曲線離心率問(wèn)題，要能結(jié)合題目信息列出關(guān)于a,b【變式18-1】2.（2022·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)F是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，斜率為34的直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A．207 B．165 C．259【答案】A【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,【詳解】如上圖所示，過(guò)P作PE⊥x軸，設(shè)∠PFM=θ，則∠PME=2θ，根據(jù)題意得：tanθP點(diǎn)處的切線方程為：y-y0=k(x-x0)，聯(lián)立{y-所以{y0x0=724?b2a2①y0x0+c=34②故選：A【變式18-1】3.（22·23下·遼寧·一模）過(guò)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0焦點(diǎn)F【答案】3【分析】依題意，F(xiàn)N垂直于漸近線，結(jié)合圖形在直角三角形利用三角函數(shù)構(gòu)造a,c齊次式求C【詳解】解法1：雙曲線的焦點(diǎn)F（c,0）到漸近線bx-因?yàn)镕N=b，所以則OF=c，ON=a，sin∠因?yàn)镸F+3FN=0過(guò)作另一條漸近線的垂線，垂足為P，則FP=b，在直角△MFP因?yàn)椤螹FP=2∠OFN，因?yàn)閏os因此C的離心率為3.解法2：因?yàn)镕N=b，所以FN垂直于漸近線，則OF=因?yàn)镸F+3FN=0在Rt△OMN中，tan∠MON==tan∠2ba=-2ba1-所以C的離心率e=故答案為：3.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，可得FN垂直于漸近線，這是本題的著手點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合在直角三角形中利用三角函數(shù)構(gòu)造a,c齊次式可求C【變式18-1】4.（2021上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(A．13 B．12 C．32【答案】C【分析】設(shè)直線MF1，MF2的傾斜角分別為α，β，M(-a,t【詳解】由題意知，F(xiàn)1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，直線l為x=-由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)M為第二象限的點(diǎn)，即M(-a,t)，(∵∠F∴tan當(dāng)且僅當(dāng)t=b2t，即t=∴c=3b，即c2=a故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)及MF1，MF2的傾斜角，由∠F1MF題型19圓錐曲與內(nèi)心結(jié)合【例題19】（23·24上·南寧·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)A．1312 B．135 C．137【答案】C【分析】先判斷出PH是∠F1【詳解】因?yàn)镻H=λ(PF又因?yàn)辄c(diǎn)H在直線x=a上，且在雙曲線中，點(diǎn)P是雙曲線設(shè)△F1PF2根據(jù)三角形內(nèi)切圓的知識(shí)可知PF1-所以△PF1F2的內(nèi)切圓圓心在直線x=如圖，作出△PF1F2，并分別延長(zhǎng)HP、HFHF1'=5H設(shè)S△HPF即m：又H為△PF1F2則2a=|PF1故選：C【點(diǎn)睛】求解雙曲線離心率有關(guān)的問(wèn)題，解題有兩個(gè)方向，一個(gè)是求得a,c，從而求得雙曲線的離心率；另一個(gè)是求得a,c【變式19-1】1.（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1作傾斜角為【答案】2【分析】由F2PF2P+【詳解】依題意，由F2得F2PF2P如圖，設(shè)∠PF2Q的平分線F2則∠PF2D=∠所以△PDF2≌△QD由題得F1-c,0，F(xiàn)2c,0在Rt△DF1F2中，∠F由雙曲線的性質(zhì)可得QF1-則PD=QD=2a，所以在又t=DF1-即c2+2a2故答案為：2【變式19-1】2.（2023·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F【答案】4【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理、三角形內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)、雙曲線的定義和離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，在焦點(diǎn)三角形中，處長(zhǎng)PQ交F1F2因?yàn)镼為△F1F2PPQ????????F因?yàn)?Q所以有F1因此M的離心率為ca故答案為：4【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用三角形內(nèi)角平分線定理、平面向量線性運(yùn)算、三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式19-1】3.（21·22·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P【答案】2【分析】根據(jù)雙曲線的定義及向量的運(yùn)算，三角形的正弦定理，求出PF1PF【詳解】設(shè)直線PH交x軸于點(diǎn)Q，如圖，設(shè)△PF1F2有OH=故PH=λ?2R設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I，內(nèi)切圓圓I分別切PF1、PF2由切線長(zhǎng)定理可得F1M=F1所以，PF結(jié)合圖形可得xT+c故△PF1因?yàn)辄c(diǎn)H在直線x=a上，所以點(diǎn)H為△由2HP+3H所以，9PH=3P設(shè)PG=37PF所以，點(diǎn)G在直線F1F2上，又因?yàn)镻H∩F且有97由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)Q到直線PF1、故S△PF令PF2=3m，則故F1則雙曲線C的離心率e=故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出點(diǎn)H為△PF1F2的內(nèi)心，再結(jié)合角平分線定理推導(dǎo)出【變式19-1】4.（2022上·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線Γ:x2a2-y2b2=1a,b>0的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)CA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)CD=λCF1CF1+CF2【詳解】由于點(diǎn)D在直線x=a上，且滿足CD=λC設(shè)△F1CF2的內(nèi)切圓分別與邊F1C，結(jié)合雙曲線的定義可得CF1-CF2=NF1由7OD-5DC+OF1=0得5因此5DC分別延長(zhǎng)DC,DF2,DF1故DC'+DF設(shè)S△CDF1=m,又S△CDF1=12DC?DF由于D為△F1CF2的內(nèi)心，故D因此△F1C因此離心率e=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)心，重心的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng).對(duì)于離心率問(wèn)題，要充分挖掘幾何性質(zhì)和圖形中體現(xiàn)的等量關(guān)系，建立出a,b【變式19-1】5.（2021·四川成都·校聯(lián)考三模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由PH=λPF1PF1+PF2【詳解】因?yàn)镻H=λPF1又因?yàn)辄c(diǎn)H在直線x=a上，且在雙曲線中，點(diǎn)P是雙曲線則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心在直線x如圖，作出△PF1F2，并分別延長(zhǎng)HP、HF1、HF2HF'1=3HF1設(shè)S△HPF1=m，即m:又H為△PF1因?yàn)镕1F2=2c，所以P所以雙曲線C的離心率e=故選：C.【點(diǎn)睛】三角形重心、內(nèi)心和外心的向量形式的常用結(jié)論：設(shè)△ABC的角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c（1）△ABC的重心G滿足GA（2）△ABC的內(nèi)心P滿足a（3）△ABC的外心M滿足MA1.（2023·遼寧·三模）雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1-c,0A．5 B．5+12 C．5-【答案】A【分析】設(shè)∠AF1O=θ，求出sinθ=ac及cos【詳解】設(shè)切點(diǎn)為A，∠AF1O=θ，連接過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則S△F1因?yàn)閟inθ=PE由雙曲線定義得PF1-在△PF1化簡(jiǎn)得3a2+所以4a2+b2解得ba=2，所以離心率故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為a,c2.（22·23·南通·二模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1?(?a>0?，??b>0?)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，PF1⊥PF2，圓OA．54 B．85 C．52【答案】D【分析】設(shè)PF1=n，PF2=m，有n-m=2a，n2+【詳解】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，圓O：x2+y2=設(shè)PF1=n，PF2=m，點(diǎn)P在雙曲線上，過(guò)O作MN的垂線，垂足為D，O為F1F2的中點(diǎn)，則OD同理，AB=23c四邊形AMBN的面積為12481c416-m2+n故選：D3.（2023·遼寧丹東·一模）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A垂直于AB的直線與C交于點(diǎn)D【答案】22/【分析】設(shè)直線BD的方程為y=kx+m(k≠0)，與橢圓方程聯(lián)立，由OB?OE=2【詳解】解：設(shè)直線BD的方程為y=kx+則A-由y=kx+顯然存在k,m，使得故由韋達(dá)定理得x1因?yàn)镺B?OE=2OE2則x1因?yàn)锳B⊥所以kAD=y即-2k2所以e=故答案為：224.（2023·四川涼山·一模）如圖，已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1，C2:x2a2+y【答案】2【分析】設(shè)切線PR:y=k1x【詳解】由題可知P-a,0設(shè)切線PR:y=由y=k1所以Δ=整理可得k1由y=k2所以Δ=整理可得k2又兩切線斜率之積等于-1所以k12?所以e2=t所以e=2故答案為：225.（2022·新疆·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知F1，F(xiàn)2為雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作直線l1，l2交雙曲線E于AA．2 B．3 C．52 D．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對(duì)稱(chēng)性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn)，列方程可解.【詳解】設(shè)DF1=AF由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性和平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性可知：CF2連接CF1，則有CDC=由于F1在以AD為直徑的圓周上，∴D∵ABCD為平行四邊形，AB//CD，∴在直角三角形CDF1中，CF1解得：x=3a，D在直角三角形F1F2D中，DF得5a2=2c2故選：D.6.（多選）（2023·廣東汕頭·三模）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)（不在x軸上），△PF1F2外接圓的圓心為H，半徑為R，A．S△PF1F2最大時(shí)，C．橢圓C的離心率等于PIIM D．R?【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)當(dāng)P在短軸的端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F對(duì)于B，根據(jù)PO=對(duì)于C，運(yùn)用角平分線定理即可求解；對(duì)于D，由正弦定理可得R=1sinθ，再又結(jié)合A可得r=【詳解】對(duì)于A，設(shè)Px,y，-2<x所以S△則當(dāng)P在短軸的端點(diǎn)時(shí)，S△PF又S△所以當(dāng)S△PF1F2最大時(shí)，對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥PF又點(diǎn)H為△PF1F2外接圓的圓心，即為△由PH?又PH?PF所以PH?當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF2=對(duì)于C，由△PF1F2內(nèi)切圓的圓心為I，則IF1則由角平分線定理可得PIIM=PF1對(duì)于D，設(shè)∠F1PF2由正弦定理可得2R=F則cosθ=a因?yàn)镾△又結(jié)合A有S△MF1F2=3又因?yàn)楫?dāng)P在短軸的端點(diǎn)時(shí)，θ最大，此時(shí)PF1=所以θ∈0°,60°，即θ2故R?r=故選：ABD．

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義以及幾何性質(zhì)，明確外心的位置和內(nèi)角平分線性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦定理和等面積法是解答本題關(guān)鍵，考查了推理能力、運(yùn)算求解能力，屬于難題．7.（多選）（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線C:x2-y2b2=1(b>0)的左?A．|B．SC．SD．若存在點(diǎn)P，使得S△PF1F2=15【答案】AB【分析】對(duì)于A,先證明雙曲線x2-y2b2=1上一點(diǎn)Px0,y0的切線方程為x0x-y0yb2=1，與雙曲線的漸近線進(jìn)行聯(lián)立，可得A,B坐標(biāo)，可得到AB【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，先求雙曲線x2-y不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對(duì)稱(chēng)性同理可得）.由x2-y2b則在點(diǎn)Px0,所以在點(diǎn)Px0,又因?yàn)閤02-y0當(dāng)P為右頂點(diǎn)1,0時(shí)，切線方程為x=1，易得也滿足x不失一般性，設(shè)點(diǎn)Px0,y0是雙曲線在第一象限的一點(diǎn)或雙曲線的右頂點(diǎn)，A聯(lián)立x0所以點(diǎn)Abbx則AB=又因?yàn)閤0≥1，所以AB≥2b2對(duì)于選項(xiàng)B，由A項(xiàng)知，bb所以點(diǎn)Px0,y0是線段AB對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵邳c(diǎn)Px0,令y=0得x=1則S△當(dāng)點(diǎn)Px0,y0在頂點(diǎn)1,0對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)镕1-c又因?yàn)镕1D=2DF即：x0=3c，代入所以P=9P=9因?yàn)镾△PF所以cos∠解得：c2=4或6，所以離心率為e=ca=2故選：AB【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：雙曲線x2a2-y8.（多選）（2023·湖南·二模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作斜率為A．AF1=2AFC．△AF1F2的面積為7【答案】AD【分析】利用雙曲線的定義求出AF2、AF2，可判斷A選項(xiàng)；在△AF1F2中，應(yīng)用余弦定理可得出關(guān)于a、c的齊次等式，可求得雙曲線的離心率，可判斷【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)锳B=BF由雙曲線的定義可得AF1-AF對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)直線AB的斜率為7，設(shè)直線AB的傾斜角為α，則α為銳角且tanα由tanα=sinαcos在△AF1即2c等式2c2+2ac因?yàn)閑>1，解得e=2對(duì)于C選項(xiàng)，