專題10 圓錐曲線1（選填）-2024屆高考數(shù)學二輪專題復習考點分層與專項檢測（新高考專用）解析版

2/2專題10圓錐曲線1（選填）（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎考點】 21【基礎考點一】圓錐曲線的定義 21【基礎考點二】圓錐曲線的標準方程 28【基礎考點三】橢圓與雙曲線的離心率（求值） 32【基礎考點四】橢圓與雙曲線的焦點及焦距 35【基礎考點五】橢圓與雙曲線范圍及對稱性 38【基礎考點六】橢圓與雙曲線的頂點與軸 43【綜合考點】 47【綜合考點一】拋物線的幾何性質 47【綜合考點二】雙曲線漸近線 52【培優(yōu)考點】 56【培優(yōu)考點一】橢圓與雙曲線的焦點三角形 56【培優(yōu)考點二】圓錐曲線的離心率（求范圍） 63【總結提升】 70【專項檢測】 71備考指南備考指南考點考情分析考頻橢圓2023年新高考Ⅱ卷T52023年全國甲卷T72022年新高考Ⅰ卷T162022年新高考Ⅱ卷T162022年全國甲卷T102021年新高考Ⅰ卷T52021年全國甲卷T152021年全國乙卷T113年8考雙曲線2023年新高考Ⅰ卷T162023年新高考Ⅱ卷T212023年全國乙卷T112022年全國甲卷T142022年全國乙卷T112021年新高考Ⅱ卷T132021年全國甲卷T52021年全國乙卷T133年8考拋物線2023年新高考Ⅱ卷T102023年全國甲卷T202022年新高考Ⅰ卷T112022年新高考Ⅱ卷T102022年全國乙卷T52021年新高考Ⅰ卷T142021年新高考Ⅱ卷T33年7考直線與圓錐曲線位置關系2023年新高考Ⅰ卷T222023年新高考Ⅱ卷T212022年新高考Ⅰ卷T212022年新高考Ⅱ卷T212022年全國甲卷T202022年全國乙卷T202021年新高考Ⅰ卷T212021年新高考Ⅱ卷T202021年全國甲卷T202021年全國乙卷T213年10考預測：圓錐曲線的方程與幾何性質是高考的重點，多以選擇題、填空題或解答題的一問的形式命題，難度較小.近幾年全國卷是必考考點.建議在二輪復習時鞏固好基礎知識，強化基礎知識訓練的同時也行加強對思維能力的訓練.平時訓練的題型建議中檔偏上.真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根據焦點三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據中線定理求出．【詳解】方法一：設，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點睛】本題根據求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據三角形面積比得到關于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據離心率及，解得關于的等量關系式，即可得解.【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，根據斜率公式結合題意可得，再根據，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設而不求設，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設點在軸上方，代入得，，所以.故選：B10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，由，根據兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可．【詳解】設，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據定義域討論函數(shù)的單調性從而確定最值．二、多選題11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據弦長公式求得，根據圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.14．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD三、填空題15．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為，最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.16．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股定理與余弦定理得到關于的齊次方程，從而得解.17．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設，，則，，所以，即所以，即，設直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設，，設直線，，，則，，，因為，所以聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即18．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．【答案】2（滿足皆可）【分析】根據題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結合漸近線的特點，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點”所以，又因為，所以，故答案為：2（滿足皆可）19．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據對稱性將的周長轉化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.基礎基礎考點【考點一】圓錐曲線的定義【典例精講】（多選）（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，曲線C：的焦點為F，直線l與曲線C相切于點P（異于點O），且與x軸y軸分別相交于點E，T，過點P且與l垂直的直線交y軸于點G，過點P作準線及y軸的垂線，垂足分別是M，N，則下列說法正確的是（

）

A．當P的坐標為時，切線l的方程為B．無論點P（異于點O）在什么位置，F(xiàn)M都平分∠PFTC．無論點P（異于點O）在什么位置，都滿足D．無論點P（異于點O）在什么位置，都有成立【答案】BCD【分析】將曲線C變形為，求導可得，利用導數(shù)的幾何意義求出當P的坐標為時的切線方程即可判斷A；根據題意和平面幾何知識可知四邊形PFTM為菱形，由此可判斷B；將和分別表示出來即可判斷C；計算，結合基本不等式和等號成立的條件可判斷D．【詳解】因為曲線C：，即，所以，設點，則，，所以切線l的方程為，當時，切線方程為，故A錯誤；由題意，，，連接，

所以，因為，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，可得FM平分角∠PFT，故B正確；因為，，所以，，所以，故C正確；直線GP方程：，可得，所以，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故．，因為與不垂直，所以，所以，即成立，故D正確；故選：BCD．【點睛】方法點睛：此拋物線方程可以改寫為二次函數(shù)，利用導數(shù)求切線方程；點在拋物線上，用好拋物線的定義，利用設點的方法求距離證明圖中的平行四邊形，可得相關的結論.【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓的上、下焦點分別為，短半軸長為，離心率為，直線交該橢圓于兩點，且的周長是的周長的3倍，則的周長為（

）A．6 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據橢圓的短半軸長得，根據離心率得，根據已知及橢圓的定義得解.【詳解】由題意可得，由離心率為，得，得，易知的周長，的周長，由橢圓的定義得，，則，即，所以，故選：B．2．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）已知雙曲線的上、下焦點分別為，若存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據雙曲線方程可得實軸長和漸近線方程，結合雙曲線定義和點所在直線可確定雙曲線與有交點，由此可得漸近線與直線斜率之間的關系，進而解不等式求得結果.【詳解】由雙曲線方程知：實軸長，漸近線方程為；由雙曲線定義知：在雙曲線上半支任取一點，則；在直線上，若存在點，使得，則雙曲線與有交點，，解得：（舍）或，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.二、多選題3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）設，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內心，且內切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】如下圖所示，設切點為，，，由橢圓的定義結合內心的性質可判斷A；由等面積法求出代入橢圓的方程可判斷B；求出可判斷C；由兩點的斜率公式可判斷D.【詳解】如下圖所示，設切點為，，，對于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為為上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯誤；從而，故D正確.故選:ABD．

三、填空題4．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C的方程為：，離心率為，過C的右支上一點，作兩條漸近線的平行線，分別交x軸于M，N兩點，且．過點P作的角平分線，在角平分線上的投影為點H，則的最大值為．【答案】/【分析】根據離心率及可求出雙曲線方程，再由雙曲線的定義及中線的向量表示運算即可得解.【詳解】，，即，兩漸近線方程為，設為右支上一點，則，設，，分別令，可得，，又，，即，，所以雙曲線方程為，故，延長交于，如圖，

因為平分且，所以，又，，為中點，，，，，即的最大值為.故答案為：5．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）已知拋物線的焦點為，直線，點，點分別是拋物線、直線上的動點，若點在某個位置時，僅存在唯一的點使得，則滿足條件的所有的值為．【答案】或【分析】設，，根據，利用拋物線定義結合兩點間距離公式，可得，根據方程有唯一解列方程求解即可．【詳解】設，，拋物線的焦點為，由拋物線定義，，，，，，，又，即，代入上式可得，，，①當時，可得，解得，由，得，此時方程只有一個解，滿足題意，，②當時，由，解得，代入，可得，求得，可得，綜上所述，的值為或．故答案為：或．【考點二】圓錐曲線的標準方程【典例精講】（多選）（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線的焦點為，定點和動點，都在拋物線上，且（其中為坐標原點）的面積為3，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的標準方程為B．設點是線段的中點，則點的軌跡方程為C．若（點在第一象限），則直線的傾斜角為D．若弦的中點的橫坐標2，則弦長的最大值為7【答案】BCD【分析】根據三角形的面積求得，從而求得拋物線的標準方程，利用相關點代入法、焦半徑、弦長等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A．，拋物線的標準方程為，故A錯誤；B．拋物線的焦點為，，，則，，代入，得，整理得，所以點的軌跡方程為，B正確；C．由于，所以三點共線，設直線的傾斜角為，，，解得，同理可得，依題意，即，，所以為銳角，所以，C正確；D．設直線的方程為，由消去并化簡得，設，則，，則，，所以當時，，，滿足.所以D正確．

故選：BCD【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓的中心為坐標原點，離心率為，過橢圓的上焦點的直線交橢圓于兩點，若線段的中點坐標為，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易知橢圓焦點在軸上，設出直線方程并與橢圓聯(lián)立，再由韋達定理以及中點坐標即可求得，可得橢圓方程為.【詳解】由題意可設橢圓的標準方程為，則，所以，所以橢圓的標準方程為．因為直線經過橢圓的上焦點，且直線的斜率存在，所以設直線的方程為，代入橢圓的方程，消去并整理得，設，則，又，所以可得，所以橢圓的標準方程為．故選：B．2．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標為，則E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，由，利用點差法求解.【詳解】解：設，則，兩式相減得，即，化簡得，又，解得，所以雙曲線的方程為：.故選：D.二、多選題3．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓交于兩點．下列橢圓的方程中，能使得為正三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據題意可知，要使為正三角形，則，可得通徑，再結合橢圓的定義既可求得，對各選項逐一檢驗即可得出答案.【詳解】設橢圓．由題意知，易得，又，故，顯然B、D選項正確．故選：BD.

三、填空題4．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，存在過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，且為正三角形．試寫出一個滿足上述條件的雙曲線的方程：．【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【分析】取，且x軸，根據通徑和雙曲線的定義分析判斷.【詳解】如圖，取，且x軸，可得，，即，為正三角形，符合題意，此時雙曲線的方程為.故答案為：.

5．（2023·上海長寧·上海市延安中學?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校綦p曲線的右焦點恰好是拋物線的焦點，則.【答案】【分析】確定雙曲線右焦點，得到，解得答案.【詳解】雙曲線的右焦點為，則，.故答案為：.【考點三】橢圓與雙曲線的離心率（求值）【典例精講】（多選）（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）已知曲線，，則下列結論正確的是（

）A．曲線C可能是圓，也可能是直線B．曲線C可能是焦點在軸上的橢圓C．當曲線C表示橢圓時，則越大，橢圓越圓D．當曲線C表示雙曲線時，它的離心率有最小值，且最小值為【答案】ABD【分析】設，由的符號和取值結合對應方程的特點，結合條件逐項判斷可得答案.【詳解】設，故曲線C的方程可表示為，對A，當時，曲線C的方程為，可得，此時曲線C為兩條直線；當時，曲線C的方程為，此時曲線C是一個圓；故A正確；對B，當時，，曲線C的方程為，此時曲線C為焦點在y軸上的橢圓，故B正確；對C，當曲線C表示橢圓時，離心率為，則越大，橢圓越扁，故C錯誤；對D，當時，，曲線C的方程為，此時曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，此時離心率為，由，可得，即它的離心率有最小值，且最小值為，故D正確.故選：ABD.【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知點是橢圓上一點，過點作橢圓的切線，則的方程為．若與（為坐標原點）的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，求得斜率建立方程，結合離心率的計算公式，可得答案.【詳解】由的方程為，得的斜率為．又因為直線的斜率為，所以，即，所以橢圓的離心率為．故選：B．2．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點分別是，，是雙曲線上的一點，且，，，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據且，，，利用余弦定理求得c，再利用雙曲線的定義求得a即可.【詳解】解：設雙曲線的半焦距為.由題意，點在雙曲線的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據雙曲線定義得，解得，故雙曲線的離心率.故選：D二、多選題3．（2021上·浙江金華·高二浙江金華第一中學校考期中）已知點?是雙曲線的左?右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（

）A．與雙曲線的實軸長相等 B．的面積為C．雙曲線的離心率為 D．直線是雙曲線的一條漸近線【答案】BCD【分析】結合雙曲線的定義和條件可得，然后，然后逐一判斷即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，因為，所以，故A錯誤；因為以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，所以，所以的面積為，故B正確；由勾股定理得，即，所以，故C正確因為，所以，即所以雙曲線的漸近線方程為：，即，即，故D正確故選：BCD三、填空題4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知是橢圓：的右焦點，過作直線的垂線，垂足為，，則該橢圓的離心率為.【答案】【分析】通過焦點到直線的距離建立a,b,c關系，解方程即可求解.【詳解】由題知，，且，即，∴，∴，∴，∴.故答案為：

5．（2023·湖北武漢·武漢市第四十九中學?？寄M預測）點P是雙曲線：（，）和圓：的一個交點，且，其中，是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】利用圓與雙曲線的定義與性質計算即可.【詳解】

由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則，∴，，，．故答案為：【考點四】橢圓與雙曲線的焦點及焦距【典例精講】（多選）（2023上·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）下列關于雙曲線說法正確的是（

）A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點【答案】ABD【分析】先求出雙曲線的基本量，然后逐一分析每個選項是否正確.【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項正確；雙曲線的焦點在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點也在軸，故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項正確；焦點為，不妨取其中一個焦點和一條漸近線，根據點到直線的距離公式，焦點到漸近線距離為：，C選項錯誤；橢圓的焦點為，根據C選項可知，橢圓和雙曲線焦點一樣，D選項正確.故選：ABD【變式訓練】一、單選題1．（2023上·安徽·高二合肥市第六中學校聯(lián)考期中）若雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出橢圓的焦點，再由兩曲線的焦點重合，列方程可求出的值.【詳解】因為橢圓的焦點為，所以雙曲線的焦點為，故，解得.故選：B.2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點，則的焦距為（

）A．4 B． C．6 D．8【答案】C【分析】由漸近線方程得出，，以及，聯(lián)立即可求得答案.【詳解】由題意，，不妨設雙曲線的漸近線方程為，則.又，且，聯(lián)立解得，，即.故選：C二、多選題3．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的方程為，則（

）A．漸近線方程為 B．焦距為C．離心率為 D．焦點到漸近線的距離為8【答案】BC【分析】A選項，先判斷出雙曲線焦點在軸上，利用公式求出漸近線方程；B選項，求出，得到焦距；C選項，根據離心率公式求出答案；D選項，利用點到直線距離公式進行求解.【詳解】焦點在軸上，故漸近線方程為，A錯誤；，故，故焦距為，B正確；離心率為，C正確；焦點坐標為，故焦點到漸近線的距離為，D錯誤.故選：BC三、填空題4．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為.【答案】9【分析】求出橢圓的焦點坐標，進而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】的焦點坐標為，故，故，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為9.故答案為：95．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦距為.【答案】【分析】利用雙曲線的性質計算即可.【詳解】由題意可知的漸近線方程，故雙曲線的焦距為.故答案為：【考點五】橢圓與雙曲線范圍及對稱性【典例精講】（多選）（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與該橢圓相交于，兩點，點在該橢圓上，且，則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得 B．滿足為等腰三角形的點有2個C．若，則 D．的取值范圍為【答案】ACD【分析】首先求出橢圓方程，當點為該橢圓的上頂點時，求出，即可判斷A；再根據的范圍判斷B，利用余弦定理及三角形面積公式判斷C，根據橢圓的定義及的范圍判斷D；【詳解】解：根據題意：可得，的最小值為1，所以，又，所以，，，所以橢圓方程為，當點為該橢圓的上頂點時，，所以，此時，所在存在點，使得，所以選項A正確；當點在橢圓的上、下頂點時，滿足為等腰三角形，又因為，，∴滿足的點有兩個，同理滿足的點有兩個，所以選項B不正確；若，，，由余弦定理，即，又，所以，所以，所以選項C正確；對于選項D，，分析可得，，所以選項D正確，故選：ACD．【變式訓練】一、單選題1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考模擬預測）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據化簡可得該方程表示雙曲線的右支，再結合雙曲線的性質判斷.【詳解】由，左右兩邊同時平方得，即，該方程可表示雙曲線的右支，如圖所示，

故的最小值為，故選：A.2．（2023·海南海口·?？寄M預測）已知、是橢圓的左右焦點，點為上一動點，且，若為的內心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面積法求出內切圓的半徑的表達式，代入三角形的面積公式，可得所求的三角形的面積．【詳解】由橢圓的方程可得，，，設內切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因為，所以，即．故選：C．二、多選題3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，雙曲線上一點P滿足PA=2，則PF的長度可能為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】設，根據點P在雙曲線上且PA=2，則可求得的值，從而可求得的值，進而可求得PF的長度．【詳解】設，則，，，則，得或，當時，，此時，當時，，此時．故選：AB．三、填空題4．（2022·全國·高三專題練習）若點依次為雙曲線的左、右焦點，且，，.若雙曲線C上存在點P，使得，則實數(shù)b的取值范圍為.【答案】【分析】已知雙曲線C上存在點P，使得，設，則，將點P代入雙曲線方程，綜合可得，根據，，，即可求出實數(shù)b的取值范圍.【詳解】錯解：設雙曲線上的點滿足，即，又，，即，，且，，實數(shù)b的取值范圍是.錯因：忽略了雙曲線中.正解：設雙曲線上的點滿足，即，又，，即，，且，，又，實數(shù)b的取值范圍是.故答案為：.5．（2020上·山西·高二校聯(lián)考階段練習）過橢圓上一點作圓的兩條切線，切點為，過的直線與軸和軸分別交于，則面積的最小值為.【答案】【分析】設出點坐標，根據相切關系分析得到的直線方程，由此表示出的坐標并表示出的面積，再根據在橢圓上結合基本不等式求解出面積的最小值.【詳解】設，點坐標為，點坐標為，因為，所以化簡可得，所以是方程的兩個解，所以直線的方程為，所以且，所以的面積，且，所以，所以，取等號時，即或，綜上可知：面積的最小值為，故答案為：.【點睛】結論點睛：和圓的切線有關的結論如下：（1）過圓上一點作圓的切線，則切線方程為；（2）過圓外一點作圓的切線，切點為，則直線的方程為.【考點六】橢圓與雙曲線的頂點與軸【典例精講】（多選）（2023·山東濰坊·三模）函數(shù)的圖象是雙曲線，且直線和是它的漸近線．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．， B．對稱軸方程是C．實軸長為 D．離心率為【答案】ABD【分析】由基本不等式可判斷A，由雙曲線的性質判斷B，C，D.【詳解】時，，當且僅當即時取等號，時，，當且僅當即時取等號，故A正確；依題意，此雙曲線兩條漸近線為和，，由雙曲線的對稱性，雙曲線的漸近線關于雙曲線的對稱軸對稱，故得雙曲線的兩條對稱軸方程為，故B正確；由雙曲線的性質，雙曲線實軸的兩個頂點為對稱軸與雙曲線的兩個交點，則由得雙曲線實軸的兩個頂點分別為，，故此雙曲線的實軸長即為，故C錯誤；依題意，此雙曲線兩條漸近線和的夾角為，則漸近線與對稱軸的夾角為，由雙曲線的性質有，所以，解得，故D正確.故選：ABD【變式訓練】一、單選題1．（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點，為的上頂點．若，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據離心率及，建立關于的等式即可得解.【詳解】顯然離心率，解得，即，分別為C的左右頂點，B為上頂點，則，，于是，而，即，又，因此聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為.故選：B2．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線：（，）的實軸長為4，離心率為．若點是雙曲線位于第一象限內的一點，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據已知條件求得，從而求得雙曲線的方程，代入點坐標，由此求得的值.【詳解】法一：雙曲線的幾何性質由題知，解得，所以雙曲線：．又點是雙曲線位于第一象限內的一點，所以（），解得.法二：由題知，解得，所以雙曲線：．又點是雙曲線位于第一象限內的一點，所以（），解得.故選：B二、多選題3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）已知是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，則下列結論正確的是（

）A．橢圓的短軸長為 B．的坐標為C．橢圓的離心率為 D．存在點P，使得【答案】AC【分析】由橢圓標準方程可得基本量，從而可求離心率，故可判斷ABC的正誤，根據的大小關系可判斷D的正誤.【詳解】橢圓的焦點在軸上，，則短軸長為，A正確；的坐標為，B錯誤；離心率為，C正確；因為，故以原點為圓心，為半徑的圓與橢圓沒有交點，故不存在點P，使得，D錯誤，故選：AC.三、填空題4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知，分別為橢圓：的兩個焦點，右頂點為，為的中點，且，直線與交于，兩點，且的周長為28，則橢圓的短軸長為.【答案】【分析】根據垂直平分線的性質，結合橢圓的焦點三角形，可得，利用的數(shù)量積為0，即可求解.【詳解】由，為的中點，所以是的垂直平分線，所以,所以的周長為，，所以，由于，所以，故答案為：5．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考一模）已知F為雙曲線的右焦點，A為C的左頂點，B為C上的點，且垂直于x軸，若C的離心率為5，則的斜率為．【答案】【分析】根據雙曲線的幾何性質可知，，即可根據斜率列出等式求解即可．【詳解】設焦距為，則，因為C的離心率為5，所以，的斜率為，又因為，且，所以．故答案為：綜合考點綜合考點【考點一】拋物線的幾何性質【典例精講】（多選）（2023·浙江金華·模擬預測）已知為拋物線上的三個點，焦點F是的重心．記直線AB，AC，BC的斜率分別為，則（

）A．線段BC的中點坐標為B．直線BC的方程為C．D．【答案】ABD【分析】A.設，BC中點，則由重心分中線得到判斷；B.結合選項A得到，再由點M的坐標寫出直線方程判斷；C.，得到判斷；D.分別求得，判斷.【詳解】解：設，因為F為重心，所以，設BC中點，則，，由重心分中線得，即，又因為A在拋物線上，所以，所以，即，故A正確；，直線，故B正確；因為，所以，所以，故C錯誤；，同理，所以，故D正確．故選：ABD【變式訓練】一、單選題1．（2023·河南鄭州·?？寄M預測）已知拋物線，圓，P為E上一點，Q為C上一點，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】設，利用兩點距離公式結合點在拋物線上有，再利用二次函數(shù)的性質和圓的半徑即可得到答案.【詳解】由題意知,設，則,所以當時,，又因為圓的半徑為1，所以.故選：B.

2．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）焦點為的拋物線上有一點，為坐標原點，則滿足的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將點的坐標代入拋物線中，解得，從而得到點和點的坐標，要滿足，則只需點為的垂直平分線和的垂直平分線的交點，進而求解即可．【詳解】將點的坐標代入拋物線中得，解得，則，所以的斜率為1，且的中點為，則的垂直平分線方程為，即，又的垂直平分線方程為，又，則點為的垂直平分線和的垂直平分線的交點，所以點的坐標為．故選：B．二、多選題3．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線的焦點為，焦點到準線的距離為，為上的一個動點，則（

）A．的焦點坐標為B．若，則周長的最小值為C．若，則的最小值為D．在軸上不存在點，使得為鈍角【答案】BCD【分析】利用焦準距求出拋物線，可得焦點坐標，判斷選項A；根據拋物線的定義的應用，結合周長公式，判斷選項B；設，利用兩點間距離公式結合二次函數(shù)的性質，求出的最小值，判斷選項C；設，由數(shù)量積的坐標運算，判斷出選項D．【詳解】選項A，拋物線，焦點到準線的距離為，則，焦點，錯誤；選項B，，，，設到準線的距離為，到準線的距離為，則的周長為，正確；選項C，設，，則，當時，的最小值為，正確；選項D，設，，，，，，不可能為鈍角，正確；故選：BCD三、填空題4．（2023上·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，圓與交于兩點，其中點在第一象限，點在直線上運動，記.①當時，有；②當時，有；③可能是等腰直角三角形；其中命題中正確的有.【答案】①②【分析】聯(lián)立方程求得，結合可得，當時，點三點共線，求得，即可求得，判斷①；當時，由，求得的值，判斷②；分情況討論為等腰直角三角形情況，判斷③.【詳解】由圓與，聯(lián)立方程，解得或（舍），當時，，所以，從而，即，因為點在直線上運動，所以，則，①當時，點三點共線，由于，所以，所以，由題意知，所以，故①正確；②當時，即，所以，即，解得，又，得，所以②正確；③若是等腰直角三角形，則或或為直角，因為，當時，則，得，此時，不是等腰直角三角形，由對稱性可知當時，也不是等腰直角三角形，；當時，因為首先是等腰三角形，由拋物線的對稱性可知點在軸上，此時，，,,即，故不是等腰直角三角形，綜上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③錯誤，故答案為：①②.【點睛】方法點睛：題目中涉及到向量的運算即，因此要利用向量的坐標運算，表示出，則①②即可判斷；判斷是否為等腰直角三角形，要討論直角頂點可能的位置，即分類討論，結合拋物線的對稱性進行解答.5．（2022上·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）拋物線的準線方程是，則實數(shù).【答案】/【分析】將拋物線方程化為標準方程，根據其準線方程即可求得實數(shù).【詳解】拋物線化為標準方程：，其準線方程是，而所以，即，故答案為：【考點二】雙曲線漸近線【典例精講】（多選）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）雙曲線的左、右焦點分別是，過的直線與雙曲線右支交于兩點，記和的內切圓半徑分別為和，則（

）A．和的內切圓圓心的連線與軸垂直B．為定值C．若，則的離心率D．若，則的漸近線方程為【答案】ABD【分析】設，的內切圓圓心分別為，設圓切分別于點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，由切線長定理及雙曲線的定義即可求得，再根據直角三角形邊角關系以及相似三角形的性質求得，再逐項判斷即可得答案.【詳解】對于A，設，的內切圓圓心分別為，設圓切分別于點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，由切線長定理，可得，所以，則，所以點的橫坐標為，即點的橫坐標也為，同理點的橫坐標也為，故軸，A正確；對于B，在中，，，所以，所以，即，B正確；對于C，由解得，即，則雙曲線的離心率，C錯誤；對于D，，由可得，所以或（舍），則，則，所以的漸近線方程為，D正確．故選：ABD.【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知第一象限內的點在雙曲線的漸近線上，為坐標原點，為的右焦點，則取得最小值時，的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據雙曲線的漸近線方程可設，利用兩點間距離公式可得，結合二次函數(shù)性質可得解.【詳解】由題意，，雙曲線的漸近線為，由點在第一象限，可設，則，，所以，所以當時，取最小值，此時，此時的面積，故選：C.2．（2023上·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）雙曲線：的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據雙曲線的離心率的定義求出與的關系，從而得出與的關系，再根據漸近線方程定義即得.【詳解】由可得：又因故有而雙曲線：的漸近線方程為即：故選：D.二、多選題3．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，雙曲線：的下、上焦點分別是，，漸近線方程為，為雙曲線上任意一點，平分，且，，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的方程為C．若直線與雙曲線的另一個交點為，為的中點，則D．點到兩條漸近線的距離之積為【答案】AD【分析】延長，交于點，平分，且，則為的中點，可得，漸近線方程為，得，可得雙曲線方程，逐個驗證選項即可.【詳解】不妨設為雙曲線的下支上一點，延長，交于點，如圖，

因為，因為平分，所以，所以，所以為等腰三角形，則為中點，又為中點，所以，根據雙曲線的定義得，，所以，，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，得，，，所以雙曲線的標準方程為，離心率為，所以A正確，B不正確；設，，，因為，在雙曲線上，所以①，②，①②并整理得，，因為，，所以，，所以C不正確.由，代入，即，即，所以點到兩條漸近線的距離之積為，所以D正確；故選：AD.三、填空題4．（2023上·湖南永州·高二?？计谥校┻^點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為.【答案】【分析】設與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點的坐標即可求得.【詳解】設與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點，得，解得，所以所求雙曲線方程為.5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）雙曲線的離心率為2，則右焦點到其漸近線的距離為．【答案】【分析】由雙曲線離心率結合方程求出，得到右焦點的坐標和雙曲線漸近線方程，利用公式求點到直線的距離.【詳解】雙曲線的離心率為2，由得，則，右焦點，漸近線方程為，到漸近線的距離為.故答案為：培優(yōu)考點培優(yōu)考點【考點一】橢圓與雙曲線的焦點三角形【典例精講】（多選）（2023·山東日照·三模）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內切圓的面積為，的內切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心在直線上C． D．的取值范圍是【答案】AC【分析】根據雙曲線的標準方程、定義和切線長定理結合幾何關系和對勾函數(shù)性質即可求解，【詳解】雙曲線的，漸近線方程為，兩漸近線傾斜角分別為和，設圓與軸切點為過的直線與雙曲線的右支交于兩點，可知直線的傾斜角取值范圍為，的的橫坐標為，則由雙曲線定義，所以由圓的切線長定理知，所以.的橫坐標均為，即與軸垂直.故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.選項A正確；由雙曲線定義知，中，，則只能是的中線，不能成為的角平分線，則圓心一定不在直線上.選項B錯誤；在中，，，則由直角三角形的射影定理可知，即則，故.選項C正確；

由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則的取值范圍為，故，又，則令，則在單調遞減，在單調遞增.值域為故的值域為.選項D錯誤.故選：AC.【變式訓練】一、單選題1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓的一個交點為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，

因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D2．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設，結合雙曲線的定義得到，則，構造函數(shù)，利用導數(shù)法求解.【詳解】解：因為，，∴，又，∴．設，則，，∴，∴，則，∴．∴，則，設，則，∴在上單調遞增，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．二、多選題3．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的焦點在軸上，且分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，則下列結論正確的是（

）A．B．的離心率為C．存在，使得D．面積的最大值為【答案】ACD【分析】A選項，根據焦點在在軸上，列出不等式，求出答案；B選項，求出，進而求出離心率；C選項，寫出以為直徑的圓的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到當時，方程有解，故C正確；D選項，由幾何性質得到當點位于上頂點或下頂點時，面積取得最大值，表達出最大面積，配方后求出最值.【詳解】A選項，橢圓的焦點在軸上，故，解得，A正確；B選項，設，則，故的離心率為，B錯誤；C選項，以為直徑的圓的方程為，與橢圓聯(lián)立得，，整理得，因為，所以，當時，，故，滿足要求，故存在，使得，C正確；D選項，因為，故當點位于上頂點或下頂點時，面積取得最大值，故最大面積為，因為，所以當時，面積取得最大值，最大值為，D正確.故選：ACD三、填空題4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）橢圓的離心率為，分別為的左?右焦點，若，是上軸上方的兩點且，則.【答案】3【分析】根據離心率得到橢圓方程，根據橢圓的性質和勾股定理得到，再利用余弦定理得到，得到答案.【詳解】，解得，故橢圓，，連接，如圖所示：則，，解得，則，，故，即，解得，故.故答案為：5．（2023上·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學考試）雙曲線的光學性質為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經雙曲線上的點A和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為.【答案】【分析】設，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，再由勾股定理結合正切值用表示出，從而建立關系式求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出的關系，求得離心率．【詳解】由題可知共線，共線，如圖，設，則，因為，所以，又，所以，所以，所以，又因為，，所以，所以，得，則，又，且，所以，化簡得，所以.故答案為：.【考點二】圓錐曲線的離心率（求范圍）【典例精講】（多選）（2022·湖南·統(tǒng)考二模）已知雙曲線E：的左?右焦點分別為，，過點作直線與雙曲線E的右支相交于P，Q兩點，在點P處作雙曲線E的切線，與E的兩條漸近線分別交于A，B兩點，則（

）A．若，則B．若，則雙曲線的離心率C．周長的最小值為8D．△AOB（O為坐標原點）的面積為定值【答案】ACD【分析】對于A，由雙曲線的定義知，，結合，即可判定A.對于B，在中，由正弦定理得出，結合雙曲線的定義求出，因為，即可判定B.對于C，由分析知，當直線PQ垂直x軸時，周長的最小值，代入即可判定C.對于D，設，過點P的雙曲線E的切線方程為，與兩條漸近線聯(lián)立，求出A，B的坐標，又因為，故點P是AB的中點，所以，代入計算，即可判定D.【詳解】由題意知，，則，所以有，從而，，故A正確.在中，由正弦定理得，則在，解得.又，所以，整理得，所以，解得，故B錯誤.當直線PQ垂直x軸時，的最小值為，，故C正確.設，過點P的雙曲線E的切線方程為，E的漸近線方程為，不妨設切線與漸近線的交點為A，聯(lián)立方程組，解得，即，同理可得.又因為點P在雙曲線E上，則有，，故點P是AB的中點.設切線與x軸的交點為G，易知，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【變式訓練】一、單選題1．（2023·湖北咸寧·?？寄M預測）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為，且兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據等腰三角形三邊關系可構造不等式求得的范圍，根據雙曲線和橢圓定義可利用表示出，從而得到，結合的范圍可得結果.【詳解】設橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長半軸為，雙曲線實半軸為，，，是以為底邊的等腰三角形，點在第一象限內，，即，，且，，，，解得：．在雙曲線中，，；在橢圓中，，；；，，則，，可得：，的取值范圍為.故選：B.2．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線，點的坐標為，若上的任意一點都滿足，則的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據兩點間距離公式，結合一元二次不等式的性質、雙曲線離心率公式進行求解即可.【詳解】設，，由，代入不等式中，化簡，得恒成立，則有，解得，而，所以故選：A【點睛】方法點睛：一般求雙曲線的離心率的方法是：根據已知的等式或不等式，構造關于中任意兩個量的雙齊次方程或不等式，再結合雙曲線的離心率大于1進行求解即可.二、多選題3．（2022上·江西·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過橢圓上一點和原點作直線交圓：于，兩點，下列結論正確的是（

）A．橢圓離心率的取值范圍是B．若，且，則C．的最小值為D．若，則【答案】AD【分析】A中，由橢圓的離心率的表達式及的范圍，可得離心率的范圍，判斷A的真假；B中，由題意，可得在以為直徑的圓上，再由，可得為的中點，由圓的半徑可得，從而求出的值，判斷B的真假；C中，由橢圓的定義，可得，由三點共線，可得它的最小值，判斷C的真假；D中，由余弦定理及橢圓的定義，可得的表達式，然后得到，的表達式，進而求出的值，判斷D的真假．【詳解】對于A：由橢圓的方程，可得橢圓的離心率，因為，所以，所以，所以，再由橢圓的離心率，可得，所以A正確；對于B：若，且，則在以為直徑的圓上，如圖所示：所以，由題意可得，即，所以，解得，所以B不正確；對于C：由橢圓的定義，可得，當為右頂點時取等號，此時最小，且為，所以C不正確；對于D：因為，所以，在中，由余弦定理，可得，①在中，由余弦定理，可得，②而，，①②，可得，即，所以，所以，所以D正確．故選：AD．三、填空題4．（2023·河北·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為圓與的一個公共點，若，則當時，橢圓的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】根據題意結合橢圓、圓的性質分析可得，結合對勾函數(shù)求其范圍，進而可得離心率的范圍.【詳解】設橢圓的半焦距為，則圓，表示以，半徑為的圓，若圓與橢圓有公共點，則，可得，解得，因為，且，可得，整理得，又因為，即，且，則，解得，可得，整理得，因為在上單調遞減，在上單調遞增，且，可得，則，可得；綜上所述：橢圓的離心率的取值范圍為.故答案為：.

【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．5．（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃╇p曲線：其左、右焦點分別為、，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點，設雙曲線右頂點為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】設，則，然后在中利用余弦定理列方程可表示出，再由可求出離心率的范圍【詳解】設，則，因為直線的傾斜角為，所以，在中，由余弦定理得，，得，因為，所以得，，所以，所以，解得，即雙曲線的離心率的取值范圍為故答案為：【點睛】關鍵點睛：此題考查求雙曲線的離心率的范圍，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是根據題意在中利用余弦定理表示出，然后代入已知條件中可求得結果，考查數(shù)學轉化思想，屬于較難題.總結提升總結提升1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2.求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值.3.求離心率通常有兩種方法(1)橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)，雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1).(2)根據條件建立關于a，b，c的齊次式，消去b后，轉化為關于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.4.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).5.確定橢圓和雙曲線的離心率的值或范圍，其關鍵就是確立一個關于a，b，c的等量關系或不等關系，然后用a，c代換b，進而求eq\f(c,a)的值或范圍.6.求雙曲線漸近線方程的關鍵在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到.7.拋物線的焦點弦的幾個常見結論：設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的傾斜角，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α).(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p).(4)以線段AB為直徑的圓與準線x＝－eq\f(p,2)相切.8.利用拋物線的幾何性質解題時，要注意利用定義構造與焦半徑相關的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來溝通已知量與p的關系，靈活運用拋物線的焦點弦的特殊結論，使問題簡單化且減少數(shù)學運算.專項專項檢測一、單選題1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）橢圓上有兩點、，、分別為橢圓的左、右焦點，是以為中心的正三角形，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，由條件表示出的長，結合橢圓的定義，再由離心率的計算公式，即可得到結果.【詳解】設邊與軸交于點，且是以為中心的正三角形，則，且為的重心，由重心定理可得，，則，在中，，則，所以，由橢圓的定義可得，，即，化簡可得，則.故選：C2．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2得，再由離心率、可得答案.【詳解】由離心率，得，由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，得，根據這兩個方程解得，則，得，所以雙曲線的方程為.故選：B.3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，由取得最小值，則最大，最小求解.【詳解】解：如圖所示：因為，設，則，，當時，取得最小值，此時，最大，最小，且，故選：C4．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓上存在點，使得曲線關于點對稱.若橢圓的一個長軸端點到一個短軸端點的距離大于其焦距，則橢圓的長軸長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據橢圓的幾何性質可得，由函數(shù)圖象的平移可得，即可將代入橢圓得，即可根據不等式求解.【詳解】因為橢圓的一個長軸端點到一個短軸端點的距離大于其焦距，所以,整理得.因為，所以其圖象由奇函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到，所以關于點對稱，故.將代入橢圓的方程，得.兩邊同時乘并整理，得，所以橢圓的長軸長.又，所以，所以，所以.所以橢圓的長軸長的取值范圍是.故選：C.5．（2023·全國·模擬預測）已知直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線右支交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，，由得到，的關系，結合韋達定理得到，，之間的關系式，進而求出離心率.【詳解】設，，則，．由，得．直線l的方程為，即，代入雙曲線的方程中，得，即，∴，，∴，，∴，整理得．又，∴．故選:B．6．（2023·全國·模擬預測）設為拋物線的焦點，點為上第四象限的點．若直線的方程為，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先根據焦點位置求出拋物線方程，再將直線和拋物線方程聯(lián)立求出點坐標，再根據焦半徑公式可得答案.【詳解】由題意可知，，則，所以，．將代入，得，解得，，則，．因為點為上第四象限的點，所以．根據拋物線的定義可知，．故選：C．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）設為坐標原點，為橢圓的焦點，點在上，，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】設，利用余弦定理可得，再由向量表示可知，即可得；聯(lián)立即可求得.【詳解】如下圖所示：

不妨設，根據橢圓定義可得，；由余弦定理可知；又因為，所以，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故選：C8．（2023·全國·模擬預測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是雙曲線上與不同的一點，直線的斜率分別為，則當取得最小值時，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立方程求出的坐標，通過運算得到，代入，利用二次函數(shù)的知識求得取最小值時，的值，即可求解.【詳解】將代入雙曲線方程中，整理得，得，設，則，，所以，所以．當時，取得最小值，此時,所以，解得，所以.故選：C．二、多選題9．（2023·全國·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，滿足，，且的面積為，則的值可能為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】AB【分析】結合題意，先根據橢圓的定義，可得，然后利用余弦定理求出橢圓的離心率或，再利用三角形的面積公式可求出橢圓的，即可求出的值.【詳解】由橢圓的定義，得，又因為，所以，由，得，由余弦定理，得，當時，整理，得，即，解得或（因為橢圓離心率的取值范圍是，