專題11 圓錐曲線2（解答）-2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)考點(diǎn)分層與專項(xiàng)檢測(cè)（新高考專用）解析版

2/2專題11圓錐曲線2（解答）（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎(chǔ)考點(diǎn)】 29【基礎(chǔ)考點(diǎn)一】圓錐曲線弦長(zhǎng)問題 29【基礎(chǔ)考點(diǎn)二】圓錐曲線點(diǎn)差法 38【基礎(chǔ)考點(diǎn)三】圓錐曲線中的定值 47【基礎(chǔ)考點(diǎn)四】圓錐曲線中的定點(diǎn) 59【基礎(chǔ)考點(diǎn)五】圓錐曲線中的定直線 70【基礎(chǔ)考點(diǎn)六】圓錐曲線與韋達(dá)定理求參數(shù) 81【綜合考點(diǎn)】 91【綜合考點(diǎn)一】圓錐曲線中的范圍與最值 91【綜合考點(diǎn)二】圓錐曲線中探究性問題 101【培優(yōu)考點(diǎn)】 112【培優(yōu)考點(diǎn)一】圓錐曲線中齊次化處理 112【培優(yōu)考點(diǎn)二】圓錐曲線中非對(duì)稱韋達(dá) 118【總結(jié)提升】 123【專項(xiàng)檢測(cè)】 125備考指南備考指南考點(diǎn)考情分析考頻橢圓2023年新高考Ⅱ卷T52023年全國(guó)甲卷T72022年新高考Ⅰ卷T162022年新高考Ⅱ卷T162022年全國(guó)甲卷T102021年新高考Ⅰ卷T52021年全國(guó)甲卷T152021年全國(guó)乙卷T113年8考雙曲線2023年新高考Ⅰ卷T162023年新高考Ⅱ卷T212023年全國(guó)乙卷T112022年全國(guó)甲卷T142022年全國(guó)乙卷T112021年新高考Ⅱ卷T132021年全國(guó)甲卷T52021年全國(guó)乙卷T133年8考拋物線2023年新高考Ⅱ卷T102023年全國(guó)甲卷T202022年新高考Ⅰ卷T112022年新高考Ⅱ卷T102022年全國(guó)乙卷T52021年新高考Ⅰ卷T142021年新高考Ⅱ卷T33年7考直線與圓錐曲線位置關(guān)系2023年新高考Ⅰ卷T222023年新高考Ⅱ卷T212022年新高考Ⅰ卷T212022年新高考Ⅱ卷T212022年全國(guó)甲卷T202022年全國(guó)乙卷T202021年新高考Ⅰ卷T212021年新高考Ⅱ卷T202021年全國(guó)甲卷T202021年全國(guó)乙卷T213年10考預(yù)測(cè)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長(zhǎng)、面積以及弦中點(diǎn)等問題，難度中等.解析幾何中的最值與范圍問題是解析幾何中的典型問題，是教學(xué)的重點(diǎn)也是歷年高考的熱點(diǎn).解決這類問題不僅要善于利用幾何手段對(duì)平面圖形進(jìn)行研究，而且要從代數(shù)角度進(jìn)行函數(shù)、三角等相關(guān)運(yùn)算.解析幾何中的定點(diǎn)問題是高考考查的熱點(diǎn)，難度較大，是高考的壓軸題，其類型一般為直線過定點(diǎn)與圓過定點(diǎn)等.在解析幾何題目中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這類問題被稱為定值問題.定值問題是高考的熱點(diǎn)問題、難度較大，一般作為壓軸題出現(xiàn).解析幾何中的探究性問題，一般探究某種命題是否正確，某種位置關(guān)系是否成立等，是高考的熱點(diǎn)問題，難度較大.二輪復(fù)習(xí)建議加強(qiáng)訓(xùn)練，尤其是計(jì)算與思維的訓(xùn)練，基礎(chǔ)生爭(zhēng)取在高考中學(xué)生盡可能多拿到分?jǐn)?shù)，優(yōu)等生盡量拿到滿分.真題在線真題在線1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長(zhǎng)即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)?，解得：．?）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)椋?，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)即可；（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長(zhǎng)最值，再排除邊界值即可.法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱性不妨設(shè)，，則，易知?jiǎng)t令,令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，

依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.設(shè),根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由于,從而,從而又,故,由此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.

.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第二個(gè)的關(guān)鍵是通過放縮得，同時(shí)為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，對(duì)右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)，最后再排除邊界值即可.4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡(jiǎn)得，反之，若,可得MN過定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法．7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧郑蟪龆ㄖ?，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.8．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，，再根據(jù)，即可解出l的斜率；（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線的距離，即可得出的面積．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，由?）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)椋?，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點(diǎn)坐標(biāo)過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．9．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.10．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．所以．從而有．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．又，解之得，因此．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值同方法一得到．過P作y軸的平行線交于Q，則．．P點(diǎn)在圓M上，則．故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．判別式，即，且．拋物線C的方程為，即，有．則，整理得，同理可得．聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．由弦長(zhǎng)公式得．點(diǎn)P到直線的距離為．所以，其中，即．當(dāng)時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)于圓M上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點(diǎn)的距離的最小值，簡(jiǎn)潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦方程思想得到直線的坐標(biāo)滿足方程，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，利用弦長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到，，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計(jì)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到，且．利用點(diǎn)在圓上，求得的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；11．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點(diǎn)在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）[方法一]：設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．當(dāng)時(shí)，同解法1．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．由直線與相切得，化簡(jiǎn)得，同理，由直線與相切得．因?yàn)榉匠掏瑫r(shí)經(jīng)過點(diǎn)，所以的直線方程為，點(diǎn)M到直線距離為．所以直線與相切．綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．【整體點(diǎn)評(píng)】第二問關(guān)鍵點(diǎn)：過拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；法一是要充分利用的對(duì)稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行證明，方法二更為簡(jiǎn)單，開拓學(xué)生思路12．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對(duì)稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因?yàn)?，所以．于是，所以則直線的斜率為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.基礎(chǔ)基礎(chǔ)考點(diǎn)【考點(diǎn)一】圓錐曲線弦長(zhǎng)問題【典例精講】（2023下·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓（），它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍．

(1)求橢圓伴隨雙曲線的方程；(2)如圖，點(diǎn)，分別為的下頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，過的直線與上支交于，兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若的面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，依題意可得，，根據(jù)離心率公式得到方程，求出，即可得解；（2）設(shè)直線的斜率為，，，直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，求出，由求出，再由可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理，即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，依題意可得，，即，即，解得，所以橢圓，則橢圓伴隨雙曲線的方程為.（2）由（1）可知，，設(shè)直線的斜率為，，，則直線的方程，與雙曲線聯(lián)立并消去得，則，所以，，則，又，又，所以，解得或（舍去），又，所以，因?yàn)?，所?【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為橢圓Γ：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于C，D兩點(diǎn)，且，求四邊形ACBD面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由的周長(zhǎng)即可得到，從而求得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，所以的周長(zhǎng)為，解得，所以.所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

當(dāng)直線，中的一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為0時(shí)，四邊形ACBD的面積.當(dāng)直線，的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立得，整理得，則，則，，，因?yàn)?，故直線的方程為，同理可得，（把上式中的k替換為，即可得到）則四邊形ACBD的面積，令，則，故，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.所以.綜上所述，四邊形ACBD面積的取值范圍為.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4.(1)求C的方程；(2)證明：，求.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，表示出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合三角形的面積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，再由弦長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）根據(jù)題意有，C的漸近線方程為，將代入兩個(gè)漸近線方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)為，，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為，所以，C的方程為.（2）

設(shè)，，其中，，由（1）可知，，當(dāng)軸時(shí)，顯然MN與不垂直.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為時(shí)，代入C的方程有：，故，，，，當(dāng)時(shí)有：①，由得到，代入，整理有②，由①，②可得.所以.3．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）已知拋物線為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為（在軸兩側(cè)），與分別交軸于.(1)若點(diǎn)在直線上，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；(2)若點(diǎn)在曲線上，求四邊形的面積的范圍.【答案】(1)證明見解析，定點(diǎn)(2)【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合處的切線方程求得直線所過定點(diǎn).（2）先求得四邊形的面積的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求得面積的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，直線，聯(lián)立，可得.在軸兩側(cè)，，，由得，所以點(diǎn)處的切線方程為，整理得，同理可求得點(diǎn)處的切線方程為，由，可得，又在直線上，.直線過定點(diǎn).（2）由（1）可得在曲線上，.由（1）可知，，，令在單調(diào)遞增，四邊形的面積的范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解拋物線的切線方程，有兩種方法，一種是利用判別式法，即設(shè)出切線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)后利用判別式為0列方程來求得切線方程；另一種是利用導(dǎo)數(shù)的方法，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.4．（2022·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，，為上不同的兩點(diǎn)，且，．(1)證明：，，成等差數(shù)列；(2)試問：軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】(1)分別考慮直線的斜率存在時(shí)和不存在時(shí)證明即可；(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)，使得，記的中點(diǎn)為，由此可得，結(jié)合(1)解方程求出的坐標(biāo)，再檢驗(yàn)直線的斜率不存在時(shí)點(diǎn)是否滿足要求.【詳解】（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，．不如令，，則，．∴，，，∴，，成等差數(shù)列；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)．由得，∴．∵，，∴，∴，，成等差數(shù)列．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)，的中點(diǎn)為．∵，∴．∵∴∴，∴，即，∴．由（1）知，∴，∴，∴，∴存在點(diǎn)，使得．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然點(diǎn)，滿足．故總是存在點(diǎn)，使得．【點(diǎn)睛】設(shè)而不求法是解決直線與橢圓綜合問題的常用方法，條件的轉(zhuǎn)化有助于簡(jiǎn)化運(yùn)算.5．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于，且.(1)求的值；(2)若的中點(diǎn)為，直線：被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為，被拋物線截得的弦長(zhǎng)為，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，利用焦半徑及直線垂直建立方程組求解即可；（2）利用垂徑定理求出弦長(zhǎng)，聯(lián)立直線與拋物線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出，然后利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】（1）拋物線：的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立可得，，設(shè)，則，則中點(diǎn)，又，所以，①又，②由①②解得；（2）由（1）知，，所以以為直徑的圓的方程為，所以，聯(lián)立，得，即有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)（滿足），則的最小值為.

【考點(diǎn)二】圓錐曲線點(diǎn)差法【典例精講】（2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）設(shè)，其中，利用點(diǎn)差法化簡(jiǎn)求出線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；（2）設(shè)，由直線過點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得，同理可得，代入直線化簡(jiǎn)，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)，其中，由，得，化簡(jiǎn)得，，即，線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為；（2）證明：設(shè)，，直線的方程為，化簡(jiǎn)可得，在直線上，解得，同理，可得，，，又直線的方程為，即，直線恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查定點(diǎn)定值問題，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，關(guān)于定點(diǎn)定值問題的思路，一般有以下兩種：1.先猜再證，通過特殊位置或者特殊點(diǎn)得出要求的定點(diǎn)或者定值，再用一般方法證明，對(duì)任意符合條件的直線都成立；2.邊猜邊做，直接聯(lián)立直線與曲線方程，寫出韋達(dá)定理，將已知條件轉(zhuǎn)化為等式，找出直線所過的定點(diǎn)或者所求的定值．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山西呂梁·高二?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)2，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率以及短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的關(guān)系得到方程組，解出即可.（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法得，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出，，代入即可得到直線斜率，最后寫出直線方程即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得．．又橢圓的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)2，所以，聯(lián)立方程組，解得所以橢圓的方程為．（2）顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩個(gè)方程相減得，即，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，所以．所以的方程為，即．2．（2021上·江蘇南通·高三海安市曲塘中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點(diǎn)為A，直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q均不是雙曲線的頂點(diǎn)，M為PQ的中點(diǎn)．(1)設(shè)直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2，求k1·k2的值；(2)若＝，試探究直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由．【答案】(1)(2)直線l過定點(diǎn)(，0)【分析】（1）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，根據(jù)M為PQ的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解；（2）根據(jù)＝，得到APQ是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則AP⊥AQ，然后直線l的斜率不存在，直線l的斜率存在時(shí)，將直線方程y＝kx＋m，與雙曲線方程－＝1聯(lián)立，由(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）解：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，因?yàn)镻、Q在雙曲線上，所以－＝1，－＝1，兩式作差得－＝0，即＝，即＝，即k1·k2＝；（2）因?yàn)椋?，所以APQ是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，即AP⊥AQ；①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，得t＝或a(舍)，故直線l的方程為x＝；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝kx＋m，代入－＝1，得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝－；因?yàn)锳P⊥AQ，所以·＝0，即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，即＝0，即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，所以k＝－或k＝－；當(dāng)k＝－時(shí)，直線l的方程為y＝－x＋m，此時(shí)經(jīng)過A，舍去；當(dāng)k＝－時(shí)，直線l的方程為y＝－x＋m，恒過定點(diǎn)(，0)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；綜上①②，直線l過定點(diǎn)(，0)．3．（2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線l與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線TP，TQ分別與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)（異于P，Q）．則在y軸上是否存在一定點(diǎn)S，使得直線MN恒過該點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，的坐標(biāo)為【分析】（1）設(shè)，，代入拋物線方程相減（點(diǎn)差法）即可得；（2）設(shè)y軸上存在定點(diǎn)，設(shè)直線，同時(shí)設(shè)，，，，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由三點(diǎn)共線得，，結(jié)合直線的斜率可得值．即定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)，，其中．由，得．化簡(jiǎn)得．

，即．線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為．（2）設(shè)y軸上存在定點(diǎn)，由題意，直線MN斜率存在且不為0，設(shè)直線，，，，．由，消去x，得．，．，．

，T，M三點(diǎn)共線，．解得．同理，可得．

又，

．解得．

直線MN恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題的解決方法，（1）由特殊值確定定點(diǎn)位置，確定定點(diǎn)坐標(biāo)或得出定點(diǎn)滿足的條件，設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程代入圓錐曲線方程應(yīng)用韋達(dá)定理，得兩根和與兩根積；（3）韋達(dá)定理結(jié)果代入已知條件驗(yàn)證定點(diǎn)滿足一般情形或由韋達(dá)定理的結(jié)果代入動(dòng)點(diǎn)（動(dòng)直線）與定點(diǎn)的關(guān)系求得定點(diǎn)坐標(biāo)．4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）已知拋物線T：和橢圓C：，過拋物線T的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)．(1)若F恰是橢圓C的焦點(diǎn)，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓方程求出，再由F恰是橢圓焦點(diǎn)，即可求得；（2）設(shè)直線，，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出和，設(shè)的中點(diǎn)，得出，，設(shè)，，且直線MN的斜率為，由點(diǎn)差法得出，代入得出，根據(jù)由點(diǎn)G在橢圓內(nèi)及，得出，根據(jù)計(jì)算的面積即可．【詳解】（1）在橢圓中，，所以，由，得．（2）設(shè)直線l：，，，聯(lián)立方程，消去x得，，則，設(shè)的中點(diǎn)，則，，設(shè)，，則直線MN的斜率為，，，相減得到，即，即，解得，由點(diǎn)G在橢圓內(nèi)，得，解得，因?yàn)椋詐值是1，所以面積．5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)，其中或(2)存在，【分析】（1）設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，得且，即且，由韋達(dá)定理，得，則，，聯(lián)立消去k，得，再根據(jù)的范圍得出的范圍，即可得出答案；（2）設(shè)，，根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出，，則，即線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)，若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，結(jié)合弦長(zhǎng)公式列式得，即可化簡(jiǎn)代入得出，即可解出答案.【詳解】（1）設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．（2）雙曲線E的漸近線方程為．設(shè)，，聯(lián)立得，同理可得，因?yàn)?，所以，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則．即，．而，．所以，，解得，所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．【考點(diǎn)三】圓錐曲線中的定值【典例精講】（2023·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)為其左頂點(diǎn)．過A的直線交拋物線于B、C兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程；(2)求證：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值；(3)若直線m過C點(diǎn)，其傾斜角和直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求p的值，使得的面積最大．【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為1；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出a，b得橢圓的方程作答.（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合中點(diǎn)問題推理計(jì)算作答.（3）利用（2）中信息求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式求解作答.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，依題意，，，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)的方程為，設(shè)，由消去x得：，，則，而C是AB的中點(diǎn)，即有，于是，滿足，因此，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是定值，該定值為1.（3）由直線過C點(diǎn)，其傾斜角和直線l的傾斜角互補(bǔ)，得直線和直線l的斜率互為相反數(shù)，則由（1）得直線的方程為，即，由消去x得：，，設(shè)，則，，點(diǎn)到直線：的距離，由C是AB的中點(diǎn)得的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為A，，P是橢圓E上一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，Q在線段上，且∥，．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與x軸交于點(diǎn)C、與橢圓E交于點(diǎn)M，N，B與N關(guān)于x軸對(duì)稱，直線MB與x軸交于點(diǎn)D，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用三角形中位線定理結(jié)合橢圓的定義及已知條件可求出，再由可求出，然后由可求得，從而可求出橢圓方程；（2）由題意知直線MN，MB的斜率均存在且均不為零，設(shè)，，，，然后表示出直線MN，MB的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到兩個(gè)相等，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】（1）由題知，O是線段的中點(diǎn)，Q在線段上，∥，則Q是線段的中點(diǎn)，可得，，所以，即，又因?yàn)?，則，

可得，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知直線MN，MB的斜率均存在且均不為零，設(shè)，，，，則，可得直線MN的方程為，直線MB的方程為，聯(lián)立方程，消去y并整理得，則，，聯(lián)立方程，消去y并整理得，則，．因?yàn)?，即，整理得，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，C，D，M三點(diǎn)重合或N，B，C，D四點(diǎn)重合，此時(shí)；綜上所述：，為定值．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；(3)得出結(jié)論．2．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知點(diǎn)是圓：上一動(dòng)點(diǎn)（為圓心），點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率分別為和，且，則的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；(3)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)(2)是，(3)．【分析】（1）由已知得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，待定系數(shù)法求方程即可；（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的面積，利用橢圓的參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算，求的面積.（3）求出點(diǎn)的軌跡方程曲線，，分類討論設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理表示，由直線與曲線有交點(diǎn)確定參數(shù)范圍，求面積最大值.【詳解】（1）因?yàn)榫€段的中垂線交線段于點(diǎn)，則，所以，，

由橢圓定義知：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，，，，所以曲線的方程為（2）設(shè)，，直線：；，到直線的距離，所以另一方面，因?yàn)椋菣E圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，，，由，得，為定值.（3）設(shè)，，，代入：得，所以曲線的方程為.由知，同理，，設(shè)，

①當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)：，代入橢圓的方程得：，，，將：代入橢圓的方程得：，與橢圓有公共點(diǎn)，由得：，令，則，．②當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)：，代入橢圓的方程得：，，綜合①②得面積的最大值為，所以面積的最大值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．要強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．3．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓：，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)M，N分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交雙曲線右支A，B兩點(diǎn)，若直線AM，BN的斜率分別為，.(1)求雙曲線的方程；(2)試探究與的是否定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；(3)求的取值范圍.【答案】(1)；(2)是，定值；(3)；【分析】（1）根據(jù)題意，直接列式計(jì)算可得答案；（2）直線與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，進(jìn)而證明其比值為定值；（3）根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得出的范圍，然后根據(jù)，可得，進(jìn)而可得取值范圍.【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線：，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，直線AB的方程為，由，消元得.則，，且，∴；或由韋達(dá)定理可得，即，∴，即與的比值為定值.

（3）思路一：設(shè)直線AM：，代入雙曲線方程并整理得：，由于點(diǎn)M為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，由韋達(dá)定理得：，解得.因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（2）中結(jié)論可知，得，所以，故，設(shè)，其圖象對(duì)稱軸為，則在，上單調(diào)遞減，故，故的取值范圍為.思路二：由于雙曲線的漸近線方程為，如圖，過點(diǎn)M作兩漸近線的平行線與，

由于點(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以直線AM介于直線與之間（含x軸，不含直線與），所以，同理，過點(diǎn)N作兩漸近線的平行線與，

由于點(diǎn)B在雙曲線的右支上，所以直線BN介于直線與之間（不含x軸，不含直線與），所以.由（2）中結(jié)論可知，得，所以，故.【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是理解題目定義，求出雙曲線方程，根據(jù)定點(diǎn)位置合理設(shè)出直線的方程形式，再利用直線與雙曲線的位置關(guān)系得到韋達(dá)定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判斷斜率的比值是否為定值，注意非對(duì)稱韋達(dá)的使用技巧，第三問，由第二問較容易得到函數(shù)關(guān)系式，難點(diǎn)是準(zhǔn)確找到斜率的取值范圍，從而得到精確的的范圍.4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，直接列出方程求解，可得答案.（2）根據(jù)題意，分類討論當(dāng)垂直于軸和不垂直于軸時(shí)的情況，對(duì)于垂直于軸的情況，直接列方程計(jì)算；對(duì)于不垂直于軸時(shí)的情況，直線與雙曲線聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算化簡(jiǎn)可證明成立.【詳解】（1）根據(jù)題意有，C的一條漸近線方程為，將代入C的方程有，，所以M，N到直線的距離之和為，所以，C的方程為.（2）

方法1：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由雙曲線的定義可知，，故.設(shè)，代入C的方程有：，設(shè)，，則，，所以，所以.綜上，的值為6.方法2：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，代入C的方程有：.設(shè)，，則，，所以.綜上，的值為6.5．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）過拋物線焦點(diǎn)，斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，．(1)求拋物線的方程；(2)過焦點(diǎn)的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)是否在一條直線上．若是，求出該直線的方程；否則，說明理由．【答案】(1)(2)直線與直線的交點(diǎn)都在上【分析】（1）設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)拋物線定義及求得；（2）分別表示出直線與方程，聯(lián)立得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】（1）由題意設(shè)直線，，，聯(lián)立方程組，消得，，所以，，解得，即指物線的方程為．（2）由（1）可知，，．設(shè)直線，，,聯(lián)立方程組，消得，所以，．直線的斜率為，所以直線，即，同理可得直線，從而，即，解得，所以直線與直線的交點(diǎn)都在上．【考點(diǎn)四】圓錐曲線中的定點(diǎn)【典例精講】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且其離心率小于，為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)為橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線為過點(diǎn)且與平行的直線，設(shè)與直線的交點(diǎn)為.證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，將長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，的面積的最大值為，轉(zhuǎn)化為，可得；（2）先設(shè)：，聯(lián)立橢圓，得，根據(jù)，可得直線的方程，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性可得過定點(diǎn).【詳解】（1）由題意可知：，因?yàn)?，所以，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

設(shè)，，：.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，則，所以，因?yàn)?，則：，令，解得，所以，故直線的方程為：，根據(jù)對(duì)稱性，直線所過的定點(diǎn)在軸上，不妨令，則將，代入得所以，代入，得，，故直線過定點(diǎn).【變式訓(xùn)練】1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線E：的焦點(diǎn)為F，E的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)K，過K的直線l與拋物線E相切于點(diǎn)A，且交軸正半軸于點(diǎn)P.已知的面積為2.(1)求拋物線E的方程；(2)過點(diǎn)P的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足.證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意假設(shè)得直線l：，聯(lián)立拋物線方程求得，，再利用三角形面積即可求得，由此得解；（2）根據(jù)題意設(shè)得：，聯(lián)立拋物線方程求得，再依次求得T，H的坐標(biāo)，從而求得直線的方程，化簡(jiǎn)可得為，由此得證.【詳解】（1）由題可知，，準(zhǔn)線，，因?yàn)橹本€l的斜率存在且不為0，所以設(shè)l：，聯(lián)立，消去x，得，因?yàn)閘與E相切，所以，所以或，因?yàn)榻粂軸正半軸于點(diǎn)P，所以,因此，解得，所以，故，所以，所以（負(fù)值舍去），所以拋物線E的方程為.（2）由（1）知，又l：，所以，如圖所示：因?yàn)檫^點(diǎn)P的直線交E于M，N兩點(diǎn)，所以斜率存在且不為零，所以設(shè)：，，，聯(lián)立，消去x，得，則，所以且，.又直線：，令，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以直線的方程為，所以，因?yàn)?，所以直線為，所以恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不垂直軸，為焦點(diǎn)，且滿足.(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過定點(diǎn)；(2)設(shè)（1）中定點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的斜率.【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程可得，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程根據(jù)中垂線性質(zhì)和韋達(dá)定理分析證明；（2）利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理整理得，進(jìn)而可得，換元令，得到函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，所以拋物線方程為，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去y得，由韋達(dá)定理得：，根據(jù)拋物線定義：，可得，此時(shí)，解得或，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，可得的垂直平分線方程為：，將代入整理得：，故的垂直平分線過定點(diǎn).（2）由（1）可得，且點(diǎn)到直線的距離，則的面積為，可得，設(shè)，設(shè)，則令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)，即.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題的解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將m用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；2.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的解法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時(shí)需先換元后再求最值）．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到定直線l：的距離之比為2．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若Q為l上的動(dòng)點(diǎn)，A，B為E與x軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，QA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為M，QB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求證：直線MN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件列式求軌跡方程；（2）先設(shè)，坐標(biāo)，設(shè)出所在直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，再根據(jù)韋達(dá)定理確定兩根和與積的表達(dá)式，最后根據(jù)題中直線的斜率關(guān)系列方程求直線所過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，則，可得P點(diǎn)的軌跡方程為.（2）方法一：設(shè)，，，．由題意知，．聯(lián)立，得，所以，，，．由A，Q，M三點(diǎn)共線知①，由B，Q，N三點(diǎn)共線知②，由①②兩式得③．又因?yàn)椋?，代入③式得，即，整理得，即，化?jiǎn)得．當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)，不符合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn).方法二：設(shè)，，記，，同方法一得③式，知．設(shè)，代入，得④．因?yàn)?，是方程④的根，所以，得，代入：得．設(shè)，代入，得，解得，．所以，，令，得，所以直線MN過定點(diǎn)．方法三：設(shè)，．連接MB，由雙曲線斜率積的定義知，同方法一得③式，知．所以．設(shè)⑤，雙曲線方程可化為⑥．點(diǎn)M，N滿足⑤⑥兩式，所以也滿足下式：即，即，所以有，解得，代入⑤式得，所以直線MN過定點(diǎn).4．（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：，其漸近線方程為，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的兩條直線AP，AQ分別與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且兩條直線的斜率之和為1，求證：直線PQ過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線與過一點(diǎn)列方程組即可得的值，從而得雙曲線方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)斜率與坐標(biāo)運(yùn)算從而得的關(guān)系來確定直線定點(diǎn)即可.【詳解】（1）∵，，依題意，解得：，，所以雙曲線C的方程為（2）依題意可知斜率存在，設(shè)方程為，，，則，即①，所以設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為，，由題意知：，故有：，整理得當(dāng)，，過舍去，當(dāng)，，過點(diǎn)，此時(shí)，將代入①得，得，滿足題意.∴直線PQ過定點(diǎn)5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓和圓均相切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，記直線與直線的交點(diǎn)為．試問：點(diǎn)是否在一條定直線上？若在，求出該定直線；若不在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)恒在定直線上【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓的圓心為，利用兩圓外切和內(nèi)切的關(guān)系得到，由橢圓的定義即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用待定系數(shù)法求出方程即可；（2）設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到，求出直線與直線的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)滿足的關(guān)系式，整理化簡(jiǎn)可得點(diǎn)恒在定直線上．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑為．由已知條件，得．①當(dāng)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)，，從而．②當(dāng)動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切時(shí)，，從而．綜上可知，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．易得圓與圓交于點(diǎn)與，所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，．聯(lián)立直線與軌跡的方程，得消去并整理，得．所以，，則有．由已知條件，得直線的方程為，直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．又，所以．把代入上式，得．故點(diǎn)恒在定直線上．【考點(diǎn)五】圓錐曲線中的定直線【典例精講】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)若直線與交于、兩點(diǎn)，過、分別做的切線，兩切線交于點(diǎn).在以下兩個(gè)條件①②中選擇一個(gè)條件，證明另外一個(gè)條件成立.①直線經(jīng)過定點(diǎn)；②點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)()(2)答案見解析【分析】（1）由雙曲線的定義得出曲線的方程；（2）若選擇①證明②成立：利用導(dǎo)數(shù)得出過和過的方程，從而得出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由證明點(diǎn)在定直線上；若選擇②證明①成立：利用導(dǎo)數(shù)得出過和過的方程，從而得出，再由直線的方程證明直線經(jīng)過定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)?，所以曲線是以、為焦點(diǎn)，以為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支,所以，即，又因?yàn)?，所以，得，所以曲線的方程為().（2）若選擇①證明②成立.依題意，在雙曲線右支上，此時(shí)直線的斜率必不為，設(shè)直線方程為，，不妨設(shè)在第一象限，在第四象限.因?yàn)?，所以，且，求?dǎo)得，所以過點(diǎn)的直線方程為，化簡(jiǎn)為①，同理②，聯(lián)立方程①②得,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)?、點(diǎn)在直線上，所以，所以，所以的橫坐標(biāo).即點(diǎn)在定直線上.若選擇②證明①成立.不妨設(shè)在第一象限，在第四象限.設(shè)，因?yàn)?，所以，且，求?dǎo)得，所以過點(diǎn)的直線方程為，化簡(jiǎn)為①，同理②聯(lián)立方程①②得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意，，即③.因?yàn)?，所以過直線的方程為，化簡(jiǎn)，整理得由③式可得,易知，即直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決第二問時(shí)，關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出過和過的方程，這里涉及到二級(jí)結(jié)論極點(diǎn)極線的知識(shí)，但大題需要證明，這里給出了導(dǎo)數(shù)的證明.【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，到直線的距離為，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）首先求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，再由，即可求出、，從而求出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，，消元，列出韋達(dá)定理，即可得到直線、的方程，設(shè)直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，求出，即可得解.【詳解】（1）依題意可得直線的方程為，即，則到直線的距離為.又，，故，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，所以直線的方程為，由可得，設(shè)，，顯然，所以，，故.由（1）可得，，則直線的方程為，直線的方程為，設(shè)直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故，解得，故直線與的交點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且的最大值為．(1)求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)作拋物線的切線，交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)橢圓，拋物線(2)證明見解析【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程可求得，進(jìn)而得到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到；根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，由此可由求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線，將其與直線聯(lián)立可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到定直線方程.【詳解】（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)得：，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．，則為橢圓的上頂點(diǎn)，．由題意知：當(dāng)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)在中，，，，則，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)得，直線的斜率，直線的方程為，即．設(shè)，由得：，由得：，，，，，，則直線的方程為．又過點(diǎn)且垂直于軸的直線的方程為，則由得：，點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出所求量，通過已知等量關(guān)系求得動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；④根據(jù)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中變量間的關(guān)系可化簡(jiǎn)得到定直線方程.3．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎獟佄锞€，過點(diǎn)的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為直線與的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，寫出直線的方程，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線、都不與軸重合，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，設(shè)、，由韋達(dá)定理可得，同理可得出，寫出直線、的方程，求出這兩條直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，因?yàn)?，可得，由韋達(dá)定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，拋物線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則可得，設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，同理可得，直線的方程為，即，化簡(jiǎn)可得，同理可知，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，

交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可，由，消去，因?yàn)橹本€與相交，則，解得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，直線與的交點(diǎn)必在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．（2020·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┮阎獟佄锞€和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點(diǎn)且與相切．(1)求p的值：(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．【答案】(1)；(2)證明見解析，定直線方程為.【分析】（1）設(shè)直線l1的方程為，再根據(jù)直線和圓相切求出的值得解；（2）依題意設(shè)，求出切線l2的方程和B點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，即得證.【詳解】（1）由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線l1的方程為，由已知得圓的圓心，半徑，因?yàn)橹本€l1與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以.（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)A，），則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為所以切線l2的方程為．令，即l2交y軸于B點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，∴，∴．設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則，所以點(diǎn)N在定直線上．

5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交于，證明：在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意推出，結(jié)合雙曲線定義即可求得答案；（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線和的方程，推得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由得，其半徑為4，因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，

故，則,而，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，則，故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）證明：由題意知，

若直線l斜率為0，則其與雙曲線的交點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn)，不合題意；故直線l的斜率不能為0，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，，故，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，故，則，即，解得，故直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用雙曲線定義求解雙曲線方程以及直線和雙曲線的位置關(guān)系中的點(diǎn)在定直線上的問題，難點(diǎn)在于證明直線與直線的交點(diǎn)在定直線上，解答時(shí)要設(shè)直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，計(jì)算過程比較復(fù)雜，且大都是關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，要十分細(xì)心.【考點(diǎn)六】圓錐曲線與韋達(dá)定理求參數(shù)【典例精講】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，面積的最大值為：(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件作出圖形并設(shè)出直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，則由橢圓的定義及的周長(zhǎng)為6，知①，由于為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，得到軸距離最大為，因?yàn)榈拿娣e的最大值為，所以②，又③，聯(lián)立①②③，得，所以橢圓的方程為.（2）為定值，理由如下：根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示,

設(shè)，則，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，則直線與橢圓一定有兩交點(diǎn)，聯(lián)立消去得：，，又，且，所以，同理所以.所以為定值.【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作直線軸，垂足為，且.(1)求拋物線的方程；(2)若為上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且直線與直線交于點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，坐標(biāo)，結(jié)合，可求得的值，得解.（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程求出直線的方程，令，求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可知，定點(diǎn)必在軸上，設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，利用，可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意，可設(shè)直線的方程為，將代入，消去得，設(shè)，，則，，是線段的中點(diǎn)，，，即，又軸，垂足的坐標(biāo)為，則，，，對(duì)任意的恒成立，，又，解得，故拋物線的方程為.（2）

設(shè)，，，由（1）可知，，，則，直線的方程為，令，則，，同理，由拋物線的對(duì)稱性可知，若以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上，設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，且，，，或，以為直徑的圓過定點(diǎn)和.2．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，利用拋物線的焦半徑公式，可求得的值，由此可得出拋物線的方程；（2）寫出直線的方程，將代入直線的方程，求出的坐標(biāo)，然后求出的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出、、三點(diǎn)共線.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，，解得，所以，拋物線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，又因?yàn)橹本€的方程為，

將代入直線的方程可得，可得，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，則，所以，直線的方程為，聯(lián)立可得，則，故，則，由的中點(diǎn)為，可得，故、、三點(diǎn)共線．3．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且交右支于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線方程即可求解漸近線方程，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義將其轉(zhuǎn)化為，由坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）由題知，，所以雙曲線的漸近線方程為．（2）雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線方程為，代入雙曲線中，化簡(jiǎn)可得：，設(shè),則．則∴線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線方程為．（i）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好為焦點(diǎn)，此時(shí)存在點(diǎn)或，使得．此時(shí)直線方程為．（ii）當(dāng)時(shí)，令可得，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于所以，由，即，也即：．化簡(jiǎn)可得，解出，由于直線要交雙曲線右支于兩點(diǎn)，所以，即，故舍去．可得直線的方程為．綜上：直線方程為或或．

【點(diǎn)睛】4．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的離心率為，F(xiàn)為C的左焦點(diǎn)，P是C右支上的點(diǎn)，點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為．(1)求C的方程；(2)若線段PF與C的左支交于點(diǎn)Q，與兩條漸近線交于點(diǎn)A，B，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得曲線C的方程；（2）設(shè)直線PF的方程為，再與曲線C聯(lián)立方程組，再利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論>【詳解】（1）由題意得，故，又，C的兩條漸近線方程分別為，設(shè)，則，即所以，所以，，故C的方程為．（2）由（1）知，設(shè)直線PF的方程為，，，，聯(lián)立得，則，，因?yàn)镻是C右支上的點(diǎn)，所以，，聯(lián)立，得，則，，，又，所以，解得，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第（2）小問求的運(yùn)算能力是關(guān)鍵，本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的綜合應(yīng)用，屬于較難題.5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，上頂點(diǎn)為A，橢圓的焦距等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，且的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若B，C是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且直線AB和直線AC的斜率之積為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可列方程求解，，，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式表達(dá)出三角形的面積，利用換元法及基本不等式求面積的最大值.【詳解】（1）由題意得，，①由的面積為，得，②又，得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知點(diǎn)，易知直線AB和直線AC的斜率均存在，所以點(diǎn)B，C與橢圓的上、下頂點(diǎn)均不重合．若直線BC的斜率不存在，不妨設(shè)，則，直線AB和直線AC的斜率分別是，，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，所以，這與直線AB和直線