2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題06 二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）

專題06二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】二次函數(shù)之等腰三角形存在性問(wèn)題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系下，已知一條邊（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的等腰三角形存在，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的題型.主要考察學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問(wèn)題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的靈活運(yùn)用?！窘忸}思路】等腰三角形的存在性問(wèn)題【方法1幾何法】“兩圓一線”（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．注意：若有重合的情況，則需排除．以點(diǎn)C1為例，具體求點(diǎn)坐標(biāo)：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，則AH=1，又類似可求點(diǎn)C2、C3、C4．關(guān)于點(diǎn)C5考慮另一種方法．【方法2代數(shù)法】點(diǎn)-線-方程表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)C5坐標(biāo)為(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），表示線段：聯(lián)立方程：，，總結(jié)：【典例分析】【考點(diǎn)1等腰角形的存在性】【典例1】（2020?泰安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），在y軸上有一點(diǎn)E（0，﹣2），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式11】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），對(duì)稱軸為x＝1．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線及直線BC的表達(dá)式；（2）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-2】（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線y＝ax2+x+c沿射線BC平移，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M，N，當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形是以MN為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過(guò)程．【典例2】（2020?貴港）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與線段BC交于點(diǎn)M，連接PC．當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式2-1】（2022?東營(yíng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式2-1】（2021?大渡口區(qū)自主招生）如圖，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)M，連接PC．①線段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)M，恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專題06二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】二次函數(shù)之等腰三角形存在性問(wèn)題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系下，已知一條邊（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的等腰三角形存在，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的題型.主要考察學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問(wèn)題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的靈活運(yùn)用?！窘忸}思路】等腰三角形的存在性問(wèn)題【方法1幾何法】“兩圓一線”（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．注意：若有重合的情況，則需排除．以點(diǎn)C1為例，具體求點(diǎn)坐標(biāo)：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，則AH=1，又類似可求點(diǎn)C2、C3、C4．關(guān)于點(diǎn)C5考慮另一種方法．【方法2代數(shù)法】點(diǎn)-線-方程表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)C5坐標(biāo)為(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），表示線段：聯(lián)立方程：，，總結(jié)：【典例分析】【考點(diǎn)1等腰角形的存在性】【典例1】（2020?泰安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），在y軸上有一點(diǎn)E（0，﹣2），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝，（2）m＝時(shí)，△ADE的面積取得最大值為（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函數(shù)的解析式為：y＝，（2）y＝的對(duì)稱軸為x＝﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，當(dāng)PA2＝PE2時(shí)，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此時(shí)P（﹣1，1）；當(dāng)PA2＝AE2時(shí)，9+n2＝20，解得，n＝，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）；當(dāng)PE2＝AE2時(shí)，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）．綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【變式11】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），對(duì)稱軸為x＝1．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線及直線BC的表達(dá)式；（2）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為x＝1，點(diǎn)B與A（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴B（3，0），設(shè)y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，故拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線BC的解析式為y＝﹣x+3；（2）存在，設(shè)Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，∵以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，當(dāng)AC＝AQ時(shí)，10＝2m2﹣4m+10，解得：m＝0（舍去）或m＝2，∴Q（2，1）；當(dāng)AC＝CQ時(shí)，10＝2m2，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴Q（，3﹣）；當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，2m2﹣4m+10＝2m2，解得：m＝，∴Q（，）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，1）或（，3﹣）或（，）．【變式1-2】（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線y＝ax2+x+c沿射線BC平移，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M，N，當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形是以MN為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過(guò)程．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）設(shè)拋物線沿x軸負(fù)方向平移2m個(gè)單位，則沿y軸正方向平移m個(gè)單位，∴B點(diǎn)平移對(duì)應(yīng)點(diǎn)M（4﹣2m，m），C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N（﹣2m，2+m），∴AM＝，AN＝，MN＝2，①當(dāng)MN＝AM時(shí)，＝2，解得m＝2+或m＝2﹣，∴M（﹣2，2+）或（2，2﹣）；②當(dāng)MN＝AN時(shí)，＝2，解得m＝或m＝﹣（舍），∴M（4﹣2，）；綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2+）或（2，2﹣）或（4﹣2，）．【典例2】（2020?貴港）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與線段BC交于點(diǎn)M，連接PC．當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①n＝時(shí)，PM最大＝②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得，解得，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；（2）解法一：當(dāng)PM＝PC時(shí)，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合題意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．當(dāng)PM＝MC時(shí)，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合題意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合題意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．綜上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：當(dāng)PM＝PC時(shí)，∵BC：y＝x﹣3∴∠ABC＝45°∵PH⊥AB∴∠BMH＝∠CMP＝45°∴PM＝PC時(shí)，△CPM為等腰直角三角形，CP∥x軸設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3），則CP＝nMP＝﹣n2+3n∴n＝﹣n2+3n解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3）當(dāng)PM＝CM時(shí)，設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3），則＝﹣n2+3n＝﹣n2+3n∵n＞0∴n＝﹣n2+3n解得n＝3﹣∴P（3﹣，2﹣4）綜上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）【變式2-1】（2022?東營(yíng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，當(dāng)C、B、Q三點(diǎn)共線時(shí)，△ACQ的周長(zhǎng)最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）當(dāng)∠BPM＝90°時(shí)，PM＝PB，∴M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，∴M（﹣1，0）；當(dāng)∠PBM＝90°時(shí)，PB＝BM，如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在M點(diǎn)上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線GH，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥GH交于H，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，設(shè)P（1，t），則M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M(jìn)點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，﹣2）；如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在M點(diǎn)下方時(shí)，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．【變式2-1】（2021?大渡口區(qū)自主招生）如圖，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)M，連接PC．①線段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)M，恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）對(duì)于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，﹣3），將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)：點(diǎn)M（x，x﹣3），則點(diǎn)P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）