16.1 二次根式 第1課時(shí) 二次根式的概念 課件 2022-2023學(xué)年人教版八年級下

16.1二根次式第十六章二次根式第1課時(shí)二次根式的概念思考

用帶根號的式子填空，看看寫出的結(jié)果有什么特點(diǎn)：(1)如圖①的海報(bào)為正方形，若面積為3m2，則邊長為_____m；若面積為

Sm2，則邊長為_____m．

圖①知識點(diǎn)1：二次根式的概念及有意義的條件正方形的面積3=邊長(x)×邊長(x)(x＞0)解析：

x2=3同理：正方形的面積

S

邊長

探究新知(2)如圖②的海報(bào)為長方形，若長是寬的2倍，面積為

130m2，則它的寬為_____m．圖②解析：長方形的面積130=長(2x)×寬(x)(x＞0)2x2=130x2=65(3)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t(單位：s)與開始落下的高度

h(單位：m)滿足關(guān)系

h=5t2，如果用含有

h的式子表示t，那么

t為

．開始落下的高度

h=5t2(t＞0)解析：

h=5t2問題1

這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，3，的算術(shù)平方根．上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．

講授新課二次根式的概念及有意義的條件一①根指數(shù)都為2;②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).問題2

這些式子有什么共同特征？歸納總結(jié)

一般地，我們把形如

的式子叫做二次根式.

“”稱為二次根號.兩個(gè)必備特征①外貌特征：含有“”②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a

≥0注意：a可以是數(shù)，也可以是式.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負(fù)數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析例2當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由x-2≥0，得x≥2.當(dāng)x≥2時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.解：由題意得x-1＞0，∴x＞1.【變式題1】當(dāng)

x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(1)答案：x≤5.總結(jié)(1)單個(gè)二次根式如有意義的條件：A≥0；答案：2≤x≤3.

多個(gè)二次根式相加如

有意義的條件：總結(jié)答案：x＞1.二次根式要求：x-1＞0二次根式作為分式的分母如

有意義的條件：

A＞0.分式要求：總結(jié)x-1≥0分式要求：x-1≠0二次根式要求：x+3≥0二次根式與分式的和如

有意義的條件：

A≥0且

B≠0.總結(jié)

x≥-3且

x≠1歸納知識要代數(shù)式有意義，必需滿足所含式子的每個(gè)式子有意義.1.分式+二次根式分母≠0并且

二次根式被開數(shù)≥0A≥0且

B

≠0A

>0當(dāng)x取怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解題秘方：緊扣“求使含有字母的式子有意義的字母取值范圍的方法”求解.練習(xí)解：(1)欲使+(x+5)0

有意義，則必有∴x≤－3且x≠－5.(2)欲使有意義，則必有∴x

＞.(3)欲使有意義，則必有∴2≤x≤5.(4)欲使有意義，則必有∴x≥－4且x≠2.典例講解變式練習(xí)2

當(dāng)

x

是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：(1)由題意得

∴

x＞1.

x-

2≥0，(2)由題意得

∴

2

≤x≤3.

x-2≥0①，

3-x≥0②，解不等式①得

x≥2

解不等式②得

x≤3(3)由題意得

∴

x=3.

x-

3≥0①，3

-x≥0②，解不等式①得

x≥3

解不等式②得

x≤3

歸納知識要代數(shù)式有意義，必需滿足所含式子的每個(gè)式子有意義.1.多個(gè)二次根式每個(gè)二次根式被開數(shù)

≥0x=a解不等式組

典例講解變式練習(xí)3

當(dāng)

x

是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：(1)由題意得

∵

無論x為任何實(shí)數(shù)x2≥0(2)由題意得

(3)由題意得

∴

x為任何實(shí)數(shù).

x2+2x+1=(x+1)

2∴

x為任何實(shí)數(shù).-x2-2x-3=-(x2+2x+3)，=-(x2+2x+1)-2，=-(x+1)2-2，∵

無論x為任何實(shí)數(shù)(x+1)

2≥0∵

無論x為任何實(shí)數(shù)-(x+1)2-2≤0∴

x

無解.歸納知識判斷代數(shù)式大小通常變形含有完全平方式來確定其正負(fù)1.(……)2+正數(shù)原式>02.-(……)2-正數(shù)原式<0典例講解例3

已知

y=，求3x+2y的算術(shù)平方根.解：由題意得∴x=3.

∴

y=8.∴

3x+2y=25.∵25

的算術(shù)平方根為5，∴3x+2y

的算術(shù)平方根為

5．歸納知識y=bx=a解：由題意得∴a=3，∴b=4.當(dāng)a為腰長時(shí)，三角形的周長為3+3+4=10；當(dāng)b為腰長時(shí)，三角形的周長為4+4+3=11．

若，則根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，可得a=0.歸納典例講解變式練習(xí)2

若

x，y

是實(shí)數(shù)，且

y＜

，求

的值.

解：根據(jù)題意得∴x

=

1.∵y＜

，∴y＜∴

.1.下列各式：.

一定是二次根式的個(gè)數(shù)有（）A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)B2.(1)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______;(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

練一練課堂小結(jié)定義帶有二次根號建立不等式求出其解集被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根分式有意義重要結(jié)論多個(gè)二次根式二次根式+分式分母≠0并且被開數(shù)≥0y=bx=a2.(……)2+正數(shù)0.53.-(……)2-正數(shù)原式<0原式<0二次根式問題1

當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？前者x為全體實(shí)數(shù)；后者x為正數(shù)和0.

當(dāng)a＞0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0；當(dāng)a=0時(shí)，表示0的算術(shù)平方根，因此=0.這就是說，當(dāng)a≥0時(shí)，≥0.問題2

二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？二次根式的雙重非負(fù)性二

二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對于任意一個(gè)二次根式，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個(gè)數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.

二次根式的被開方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)二次根式的雙重非負(fù)性歸納總結(jié)例3若，求a-b+c的值.解：

由題意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個(gè)非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.歸納典例精析已知|3x-y-1|和互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根為±3.練一練(2)實(shí)數(shù)a，b滿足+4a2+4ab+b2=0，則ba

的值為()A.2B.C.－2D.－B當(dāng)堂練習(xí)2.式子有意義的條件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.當(dāng)x=____時(shí)，二次根式取最小值，其最小值為______．1.下列式子中，不屬于二次根式的是（）CA-104.當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？5.(1)若二次根式有意義，求m的取值范圍．解：由題意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2．(2)無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，求m的取值范圍．解：由題意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.知識點(diǎn)一二次根式的性質(zhì)

思考

探索新知練習(xí)新知1.根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空:

42

0探索新知

探索新知例2

例2(2)用到了(ab)2=a2b2這個(gè)結(jié)論(2)可以用到冪的哪條基本性質(zhì)呢？探索新知練習(xí)新知

探索新知探究

20.1

0一般地，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，

探索新知例3

知識點(diǎn)二代數(shù)式探索新知?dú)w納總結(jié)

注意：（1）代數(shù)式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等關(guān)系符號，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者字母也是代數(shù)式.探索新知代數(shù)式的書寫規(guī)范：

探索新知列代數(shù)式的常用方法：（1）直接法：根據(jù)問題的語言敘述直接寫出代數(shù)式.（2）公式法：根據(jù)數(shù)學(xué)相關(guān)的公式（面積或體積等）列出代數(shù)式.（3）探究規(guī)律法：將蘊(yùn)含在一組數(shù)或一組圖形中的規(guī)律用代數(shù)式表示出來.探索新知練習(xí)新知1.列代數(shù)式：一個(gè)三角形的面積為S，底邊長為a，則底邊上的高為多少？

探索新知2.用代數(shù)式表示：