第07講 向量法求距離、探索性及折疊問題 高頻考點(diǎn)-精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練（藝考生基礎(chǔ)版）

第第頁第07講向量法求距離、探索性及折疊問題(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離題型二：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離題型三：立體幾何中的折疊問題題型四：立體幾何綜合問題第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：知識(shí)點(diǎn)二：點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離典型例題例題1．（2022·河南·宜陽縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以在方向上的投影?shù)量為．設(shè)點(diǎn)C到直線的距離為d，則．故選：B.例題2．（2022·河北·邢臺(tái)市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】直線的一個(gè)方向向量為，取直線一個(gè)單位方向向量為，又為直線外一點(diǎn)，且直線過點(diǎn)，，，點(diǎn)到直線的距離為.故選：B例題3．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））在直四棱柱中，底面為正方形，．點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若平面，則點(diǎn)到的距離的最小值為________．【答案】【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，.由于平面，所以，所以.由于，即，到的距離為，所以當(dāng)時(shí)，.即到的距離的最小值為.故答案為：題型歸類練1．（2022·湖北孝感·高二階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，則到直線的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，，則，，，所以，則，所以到直線的距離為.故選：B2.（2022·河南·高二階段練習(xí)）空間內(nèi)有三點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?所以，，.所以點(diǎn)P到直線EF的距離為.故選:D.3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形中，，，，，且平面ABCD，求點(diǎn)P到直線BC的距離．【答案】1【詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，垂直平面ABCD向上為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?，，，由勾股定理得：，所以，，設(shè)點(diǎn)P到直線BC的距離為，則，則，所以.題型二：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離典型例題例題1．（2022·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則平面外一點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)平面外，所以點(diǎn)到平面的距離，故選：B例題2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為___________.【答案】【詳解】由已知可得，因此，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.例題3．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求證：平面⊥平面．【答案】(1);(2)證明過程見解析.（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令得：，所以，則點(diǎn)D到平面AD1E的距離為；（2），所以，，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平?例題4．（2022·上海虹口·高二期末）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，平面，且，．(1)求點(diǎn)到平面的距離；【答案】(1)解：由已知條件知：底面四邊形是以2為邊長的菱形．因菱形的對(duì)角線互相垂直平分，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

由條件可得：相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，，則由，得，取，得．

易知，則點(diǎn)到平面的距離為．題型歸類練1．（2022·全國·高二單元測試）已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為________________【答案】【詳解】解：，0，，點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：.2．（2022·河南·高二階段練習(xí)）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)是劣弧上的一點(diǎn)，平面平面，且.(1)證明：.(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?因?yàn)槠矫?，且平面平面，所?因?yàn)?，所以，所以，?（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為.3．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）已知正四棱柱，其中．(1)若點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積．(2)求點(diǎn)到平面的距離【答案】(1)(2)（1）實(shí)際上需求三棱錐的體積．由正四棱柱，角形的面積為因?yàn)镻是棱上的動(dòng)點(diǎn)且與平面平行，則只需寫出與平面間的距離即可．由于平面，不妨記三棱錐的高為則三棱錐的體積（2）以D為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則可知設(shè)平面的法向量為則不妨設(shè)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d則故點(diǎn)到平面的距離為題型三：立體幾何中的折疊問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三角形PAD是邊長為2的正三角形，現(xiàn)將菱形沿折疊，所成二面角的大小為，此時(shí)恰有.(1)求的長；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；（1）解：取中點(diǎn)，連接，，∵是正三角形，∴，又∴，，平面∴平面，平面，∴，∴在菱形中，，則，∴（2）解：取為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面PCD的法向量為，∵∴，令，則，，∴，設(shè)平面PCB的法向量為∵∴，令，則，，所以所以，又二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為；例題2．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）如圖1，已知矩形，其中，，線段，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)，，現(xiàn)將沿著折疊，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，得到四棱錐，如圖2.(1)求證：；(2)當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)（1）取BE的中點(diǎn)O，連接PO，OF，因?yàn)?，，線段AD，BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，所以，，又因?yàn)?，所以，在等腰直角中，，，所以平面PFO，因?yàn)槠矫鍼FO，所以.（2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，點(diǎn)P在平面BCDE的射影即為點(diǎn)O，即平面BCDE.法一：以O(shè)B，OF，OP方向?yàn)閤軸，y軸和z軸分別建立空間直角坐標(biāo)系.如圖3.則，，，，設(shè)平面PEC的法向量為，則取，可得易得平面ECB的一個(gè)法向量所以因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的大小為.法二：在中，因?yàn)?，，，所?在中，，，，所以.由二面角的定義可知，二面角的平面角就是.所以二面角的大小為.題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直角梯形中，是邊的中點(diǎn)，將三角形沿折疊到位置，使得二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得，，所以，所以.故選：D2．（2022·江蘇宿遷·高二期末）在直角梯形中，，A為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形．將四邊形沿折疊，使得，得到如圖（2）所示的幾何體．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)當(dāng)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)(1)解：依題意可得、，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則(2)解：依題意可得，則，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，則，顯然二面角的銳二面角，所以二面角的余弦值為；題型四：立體幾何綜合問題典型例題例題1．（2022·天津市翔宇力仁學(xué)校高二階段練習(xí)）在正四棱柱中，為的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值，【答案】(1)詳見解析.(2)（1）證明：如圖所示：連接AC與BD交于點(diǎn)O，因?yàn)镋，O為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.例題2．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，，為上的點(diǎn)，過的平面分別交，于點(diǎn)，且平面.(1)證明：；(2)當(dāng)為的中點(diǎn)，，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接．如圖所示因?yàn)闉榱庑危?，且為、的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)榍移矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，所以．?）由（1）知且，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以與平面所成的角為所以，因?yàn)?，所以．分別以，，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

所以記平面的法向量為，則，令，則，所以，記平面的法向量為，則，令，則，所以，

記平面與平面所成的銳二面角為，則．所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為例題3．（2022·湖北·黃岡中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.(1)證明：平面；(2)若，設(shè)為棱的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時(shí)與所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)6（1）過點(diǎn)作交與點(diǎn)，平面平面，且兩平面的交線為平面

又平面

又且

平面（2）過點(diǎn)作交與點(diǎn),連接平面平面，且兩平面的交線為平面

又平面

到平面的距離相等且，平面

又，令則，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)與所成角為，則，則，即當(dāng)幾何體體積最大時(shí)，與所成角的正切值為6.例題4．（2022·河北·高三階段練習(xí)）如圖1，一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板中，，，，，將兩三角板的邊與重合，拼成一個(gè)空間圖形，且三角板可繞邊旋轉(zhuǎn).設(shè)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)如圖2，若，求證：平面平面；(2)如圖3，若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：設(shè)，因?yàn)镸、N分為、的中點(diǎn)，所以，，則，即.所以，又因?yàn)椋矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：作交延長線于點(diǎn)P，作，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，兩兩垂直，所以以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，所以，在中，，由余弦定理得，，則，在中，，，故，則，，，設(shè)平面的法向量是，則，，則，令，則，設(shè)平面的法向量是，因?yàn)?，，則，令，則，設(shè)平面與平面所成的夾角為（），則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.題型歸類練1．（2022·天津市翔宇力仁學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)證明:若，則直線平面：(2)求平面CPD與平面NPD所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（1）在上取一點(diǎn)，使得，連接，，，又平面，平面，平面；，，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.（2）由題意知：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，平面與平面所成設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，平面與平面所成角的余弦值為.2．（2022·湖北·黃岡中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，四邊形為菱形，，與相交于點(diǎn)，平面，平面，，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)當(dāng)直線與平面所成角為時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)(3)（1）證明：因?yàn)槊?，面，所?因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，面，面，故平面.（2）由（1），故平面又為菱形，故分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量，則得，令，，所以設(shè)平面的法向量，則得，令，，所以于是，又所以.所以，二面角的正弦值為.（3）設(shè)，，因?yàn)榕c平面所成角為，所以解得或（舍）.于是，.因此，異面直線與所成角的余弦值.3．（2022·河北·邢臺(tái)市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，.(1)平面平面；(2)點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（1）如圖，作，垂足為，因?yàn)?，故是的中點(diǎn)，且，在中，由正弦定理可得，又所以，即所以所以，則，故，又，且平面，故平面，而平面，所以平面平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作和平行的直線作為軸，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由得，故，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則由圖可知，二面角為銳二面角，所以二面角余弦值為.4．（2022·廣東·揭東二中高三階段練習(xí)）已知直角梯形，其中，，，且、分別是、的中點(diǎn)，將梯形沿翻折，并連接、形成如下圖的