空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系復(fù)習(xí)與引入

前面我們認(rèn)識了空間中點(diǎn)、直線、平面的一些位置關(guān)系，如點(diǎn)在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，兩個(gè)平面相交，等等.你還能想起這些關(guān)系嗎？圖形語言文字語言符號語言①

②③④⑤圖形語言文字語言符號語言⑥⑦⑧

那么空間中的點(diǎn)、直線、平面到底有怎樣的位置關(guān)系嗎?我們接下來就來探討這個(gè)問題知識探究(一)

問題1：長方體是我們熟悉的空間幾何圖形，下面我們借助長方體進(jìn)一步研究空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.

我們知道，長方體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面.12條棱對應(yīng)12條棱所在的直線，6個(gè)面對應(yīng)6個(gè)面所在的平面，觀察下圖所示的長方體ABCD-A'B'C'D'，你能發(fā)現(xiàn)這些頂點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系嗎?BDCA'B'C'D'A

思考(1)：如何有序地思考這個(gè)問題？需要研究哪一些關(guān)系?

點(diǎn)與直線，

點(diǎn)與平面，直線與直線，直線與平面，平面與平面.

思考(2)：點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面的位置關(guān)系是怎樣的，請結(jié)合圖形解釋?點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在直線上；點(diǎn)在直線外.點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在平面內(nèi)；點(diǎn)在平面外.線線BDCA'B'C'D'A

問題2：點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面的位置關(guān)系我們已經(jīng)比較熟悉了，接下來我們來研究空間中直線和直線的位置關(guān)系.知識探究(二)

觀察右圖中的長方體，你能歸納出空間中直線和直線的位置關(guān)系有哪些種類嗎？

①平行直線.

如直線A′B′與D′C′，它們在同一個(gè)平面A′B′C′D′內(nèi)，它們沒有公共點(diǎn).

②相交直線.

如直線AB與BC，它們在同一個(gè)平面ABCD內(nèi)，它們只有一個(gè)公共點(diǎn)B.

③兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi).

如直線

AA'與CD，它們不僅不在圖中給出的平面內(nèi)，而且還不可能在任何一個(gè)我們未給出的平面內(nèi).

象這種位置關(guān)系的兩條直線，我們稱為異面直線.思考(1)：你能說說什么是異面直線嗎？BDCA'B'C'D'A異面直線1.異面直線定義:

不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。沒有在同一個(gè)平面的可能性，即同時(shí)過這兩條直線的平面不存在。思考(3)：分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面？不一定.它們可能異面，可能相交，也可能平行.

思考(2)：你能用筆或尺子擺出一些異面直線的位置，驗(yàn)證一下它們確實(shí)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)嗎？試試看.BDCA'B'C'D'A

思考(4)：下圖中與AA'

異面的直線，除CD外還有哪一些？

思考(5)：我們在作圖時(shí)，如何才能體現(xiàn)出異面直線不共面的特點(diǎn)？2.異面直線的畫法:αabαabαβba

為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常要借助一個(gè)或兩個(gè)輔助平面襯托.

思考(6)：拿出兩支筆，看作兩條直線，再看一看它們之間的位置關(guān)系有幾種？相交直線:平行直線:共面直線異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).1.根據(jù)兩條直線是否共面分:空間直線間的位置關(guān)系2.根據(jù)兩條直線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)分:平行直線異面直線沒有公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn):相交直線

思考(7)：我們根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，你能給空間直線的位置關(guān)系作一個(gè)分類嗎？你分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么，結(jié)果又是怎樣的？線面BDCA'B'C'D'A

問題3：觀察圖中的長方體，類比問題2，你能完成空間中直線與平面位置關(guān)系的研究嗎？知識探究(三)

思考(1)：回顧問題2的研究，你認(rèn)為本題的研究路徑是怎樣的？①直線在平面內(nèi).

如直線AB與平面ABCD內(nèi)，

有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，即

②直線與平面相交.

如直線AA′與平面ABCD相交于A，有1數(shù)公共點(diǎn)，即觀察長方體，舉例說明直線與平面的關(guān)系→舉出更多實(shí)例→用三種語言來表示→按一定的標(biāo)準(zhǔn)來分類思考(2)：具體的過程和結(jié)果是怎樣的？③直線與平面平行.

如直線C′D′與平面ABCD平行，

沒有公共點(diǎn)，即→實(shí)驗(yàn)確認(rèn)

拿出一本書和一支筆，看作一個(gè)平面和一條直線，看看它們之間的位置關(guān)系有幾到底有幾種？

由基本事實(shí)2可知，第二、三兩種情況的直線都不在平面內(nèi)，因此，直線與平面的位置關(guān)系可這樣分：空間直線與平面的位置關(guān)系1.根據(jù)直線是否在平面內(nèi)來分:直線在平面內(nèi):直線在平面外直線與平面相交:有1個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面平行:沒有公共點(diǎn)

Aαaαaαa有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

注意：

直線在平面內(nèi)時(shí)，直線應(yīng)全部畫在平行四邊形內(nèi)；

直線在平面外時(shí)，直線應(yīng)部分或全部畫在平行四邊形外直線與平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)：

Aαaαaαa2.根據(jù)直線與平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來分:直線在平面內(nèi)直線與平面有1個(gè)公共點(diǎn)：

直線與平面相交直線與平面沒有公共點(diǎn)：

直線與平面平行面面BDCA'B'C'D'A

問題4：觀察圖中的長方體，類比前面的方法，你能完成空間中平面與平面位置關(guān)系的研究嗎？知識探究(四)空間中平面與平面之間的位置關(guān)系

兩個(gè)平面平行:沒有公共點(diǎn)

兩個(gè)平面相交:有一條公共直線

再拿出兩本書，看作兩個(gè)平面，上下、左右移動和翻轉(zhuǎn)，看看它們之間的位置關(guān)系到底有幾種？平行，相交

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思考(1)：直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行有什么相同之處？都是沒有公共點(diǎn)

思考(2)：如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，連結(jié)A′B，CD′，請你再舉一些空間中直線，平面之間位置關(guān)系的例子，并用符號語言表示出來？BDCA'B'C'D'A例1.用符號表示下列圖形中直線、平面之間的位置關(guān)系．例析

思考：為了防止寫漏，可以按照怎樣的順序來寫？

例2.如圖，AB∩α=B，A?α，a?α，B∈a，直線AB與

α具有怎樣的位置關(guān)系？為什么

思考(1)：你能用窮舉法說明這兩直線不同在任一個(gè)平面嗎？由此，你能想到什么方法來說明這個(gè)問題？正難則反可以先考慮它的反面（即兩直線共面），會出現(xiàn)什么情況.

思考(2)：由例2得到了一種判定兩直線異面的方法，請說說這種方法？

與平面相交的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線異面.結(jié)論1.如果直線a，b沒有公共點(diǎn)，那么a與b（

）.(A)共面(B)平行(C)異面(D)可能平行，也可能異面練習(xí)2.設(shè)直線a，b分別是長方體相鄰兩個(gè)面的對角線所在的直線，

則a與b（

）.(A)共面(B)相交(C)異面(D)可能相交，也可能異面3.如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，

請指出下列元素間的位置關(guān)系：BDCA'B'C'D'A4.(1)經(jīng)過同一直線上3個(gè)點(diǎn)的平面（

）.(A)有且僅有1個(gè)(B)有且僅有3個(gè)

(C)有無數(shù)個(gè)

(D)不存在(2)若直線a不平行平面α，且a?α,則下列結(jié)論成立的是().(A)α內(nèi)的所有直線與a異面(B)α內(nèi)不存與a平行的直線

(C)α內(nèi)存與惟一的直線與a平行

(D)α內(nèi)的所有直線與a相交1.本節(jié)課我們研究了什