八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 第01課 二次根式（原卷版+解析）

第01課二次根式目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1、理解二次根式的概念，了解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由.2、理解并掌握下列結(jié)論：，，，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次根式及代數(shù)式的概念1.二次根式：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式，“”稱(chēng)為．

要點(diǎn)詮釋?zhuān)赫_理解二次根式的概念，要把握以下五點(diǎn)：二次根式的概念是從形式上界定的，“”，“”的根指數(shù)為，即“”，我們一般，寫(xiě)作“”。如可以寫(xiě)作。二次根式中的被開(kāi)方數(shù)既可以是一個(gè)，也可以是一個(gè)含有字母的。式子EQ\r(,a)表示的，因此a≥0，EQ\r(,a)≥0。其中a≥0是EQ\r(,a)有意義的前提條件。在具體問(wèn)題中，如果已知二次根式EQ\r(,a)，就意味著給出了這一隱含條件。形如bEQ\r(,a)(a≥0)的式子也是二次根式，b與EQ\r(,a)是的關(guān)系。要注意當(dāng)b是分?jǐn)?shù)時(shí)，例如eq\f(8,3)EQ\r(,2)可寫(xiě)成eq\f(8EQ\r(,2),3)，但不能寫(xiě)成2eq\f(2,3)EQ\r(,2)。2.代數(shù)式：形如5，a，a+b，ab，，，這些式子，用基本的運(yùn)算符號(hào)(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方)把和表示數(shù)的連接起來(lái)的式子，我們稱(chēng)這樣的式子為代數(shù)式.列代數(shù)式的常用方法：：根據(jù)問(wèn)題的語(yǔ)言敘述直接寫(xiě)出代數(shù)式。：根據(jù)公式列出代數(shù)式。：將蘊(yùn)含在一組數(shù)或一組圖形中的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來(lái)。知識(shí)點(diǎn)02二次根式的性質(zhì)二次根式的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言應(yīng)用與拓展(a≥0)的性質(zhì)即一個(gè)的算術(shù)平方根是。(1)二次根式的非負(fù)性應(yīng)用較多，如：EQ\r(,a+1)+EQ\r(,b-3)=0，則a+1=，b-3=，即a=，b=；又如EQ\r(,x-a)+EQ\r(,a-x)，則x的取值范圍是，解得；(2)具有非負(fù)性的性質(zhì)：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③EQ\r(,a)≥0(a≥0)；(3)若a2+｜b｜+EQ\r(,c)=0，則a=，b=，c=，即若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于；(4)的最小值為；例如：當(dāng)a=時(shí)，有最小值是.(a≥0)的性質(zhì)=(a≥0)一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于。正用公式：()2=；()2=逆用公式：若a≥0，則a=(EQ\r(,a))2，如：2=(EQ\r(,2))2，eq\f(1,2)=(EQ\r(,eq\f(1,2)))2逆用公式可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，如a2-5=a2-(EQ\r(,5))2=(a+EQ\r(,5))(a-EQ\r(,5))的性質(zhì)或一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的。(1)正用公式：==；(2)逆用公式：=3=3(3)化簡(jiǎn)形如eq\r(,a2)的式子時(shí)，先轉(zhuǎn)化為形式，再根據(jù)a的符號(hào)去掉絕對(duì)值號(hào)。注意：與的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別表示的意義不同表示表示取值范圍不同aa讀法不同讀作“”或“”讀作“”或“”被開(kāi)方數(shù)不同被開(kāi)方數(shù)是被開(kāi)方數(shù)是運(yùn)算順序不同先后先后運(yùn)算結(jié)果，運(yùn)算依據(jù)不同(EQ\r(,a))2=a，依據(jù)平方與開(kāi)平方得到依據(jù)算術(shù)平方根的定義得到作用不同(EQ\r(,a))2=a(a≥0)，正向運(yùn)用可化簡(jiǎn)二次根式，逆向運(yùn)用可以將任意一個(gè)非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式eq\r(,a2)=｜a｜，正向運(yùn)用可以將根號(hào)內(nèi)的非負(fù)因式取算術(shù)平方根移到根號(hào)外，逆用運(yùn)用可以將根號(hào)外的非負(fù)因式平方后移到根號(hào)內(nèi)聯(lián)系=1\*GB3①含有兩種相同的運(yùn)算，都要進(jìn)行平方與開(kāi)方=2\*GB3②結(jié)果都是；=3\*GB3③a時(shí)，(EQ\r(,a))2=eq\r(,a2)能力拓展能力拓展考法01二次根式的判斷【典例1】在式子(x＞0)，，，，(x＞0)中，二次根式有()A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【即學(xué)即練】下列各式中，不是二次根式的是()A． B． C．2 D．考法02二次根式有意義的條件【典例2】若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是()A． B． C． D．【典例3】式子中x的取值范圍是()A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2【典例4】代數(shù)式中，自變量x的取值范圍是()A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3【典例5】如果，那么的值是______．考法03二次根式非負(fù)性的逆用【典例6】如果，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【即學(xué)即練】若，則x的取值范圍是()A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1【典例7】把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是()A． B． C． D．考法04利用二次根式的非負(fù)性化簡(jiǎn)求值【典例8】計(jì)算：______．【即學(xué)即練】化簡(jiǎn)______．【典例9】已知+(y﹣3)2＝0，則＝_____．【即學(xué)即練】若x＜2，化簡(jiǎn)＝_______________．【即學(xué)即練】化簡(jiǎn)＝_______________．考法05利用=｜a｜并結(jié)合數(shù)軸化簡(jiǎn)求值【典例10】如圖，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)_____________【即學(xué)即練】如果表示a、b的實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)|a﹣b|+的結(jié)果是_____．【即學(xué)即練】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡(jiǎn)：a_____．【即學(xué)即練】已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：.考法06利用=｜a｜與三角形三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例11】已知：a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)－＋.【即學(xué)即練】設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)：.考法07逆用=a(a≥0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式【典例12】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)．【即學(xué)即練】分解因式(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi))：．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．在式子中，二次根式有()A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．使有意義的x的取值范圍是()A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞33．計(jì)算的結(jié)果是A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．94．已知，則的值為()A． B． C． D．5．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b6．如果，那么()A． B． C． D．7．已知－2＜m＜3，化簡(jiǎn)＋|m＋2|的結(jié)果是()A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－58．在中，，c為斜邊，a.b為直角邊，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()A． B．C． D．2a9．化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A． B． C． D．1題組B能力提升練1．化簡(jiǎn)得()．A．2 B． C．－2 D．2．已知△ABC的三邊之長(zhǎng)分別為a、1、3，則化簡(jiǎn)|9-2a|-的結(jié)果是()A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-123．把(2-x)的根號(hào)外的(2-x)適當(dāng)變形后移入根號(hào)內(nèi)，得()A． B． C． D．4．已知1＜x＜5，化簡(jiǎn)+|x-5|=____．5．若＝4－m，則m的取值范圍是____________．6．把的根號(hào)外因式移到根號(hào)內(nèi)得____________．7．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：________．8．-1的最小值是______．9．當(dāng)x=-1時(shí)，代數(shù)式x2+2x+2的值是__________．10．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：________．11．觀察下列各式：，，，請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：，其結(jié)果為_(kāi)___．題組C培優(yōu)拔尖練1．若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，試化簡(jiǎn)：．2．閱讀理解題，下面我們觀察：反之，所以，所以完成下列各題：(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：；(2)化簡(jiǎn)：；(3)化簡(jiǎn)：．3．閱讀下列解題過(guò)程：例：若代數(shù)式，求a的取值．解：原式=，當(dāng)a<2時(shí)，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；當(dāng)2≤a＜4時(shí),原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；當(dāng)a≥4時(shí)，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；所以，a的取值范圍是2≤a≤4．上述解題過(guò)程主要運(yùn)用了分類(lèi)討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)3≤a≤7時(shí)，化簡(jiǎn)：＝_________；(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足＝5的a的取值范圍__________；(3)若＝6，求a的取值．4．小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均為正整數(shù))，則有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把a(bǔ)＋b的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝，b＝；(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：＋2＝(＋)2；(答案不唯一)(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．第01課二次根式目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1、理解二次根式的概念，了解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由.2、理解并掌握下列結(jié)論：，，，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次根式及代數(shù)式的概念1.二次根式：一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱(chēng)為二次根號(hào)．要點(diǎn)詮釋?zhuān)赫_理解二次根式的概念，要把握以下五點(diǎn)：二次根式的概念是從形式上界定的，必須含有二次根號(hào)“”，“”的根指數(shù)為2，即“”，我們一般省略根指數(shù)2，寫(xiě)作“”。如可以寫(xiě)作。二次根式中的被開(kāi)方數(shù)既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子。式子EQ\r(,a)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a≥0，EQ\r(,a)≥0。其中a≥0是EQ\r(,a)有意義的前提條件。在具體問(wèn)題中，如果已知二次根式EQ\r(,a)，就意味著給出了a≥0這一隱含條件。形如bEQ\r(,a)(a≥0)的式子也是二次根式，b與EQ\r(,a)是相乘的關(guān)系。要注意當(dāng)b是分?jǐn)?shù)時(shí)不能寫(xiě)成帶分?jǐn)?shù)，例如eq\f(8,3)EQ\r(,2)可寫(xiě)成eq\f(8EQ\r(,2),3)，但不能寫(xiě)成2eq\f(2,3)EQ\r(,2)。2.代數(shù)式：形如5，a，a+b，ab，，，這些式子，用基本的運(yùn)算符號(hào)(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子，我們稱(chēng)這樣的式子為代數(shù)式.列代數(shù)式的常用方法：直接法：根據(jù)問(wèn)題的語(yǔ)言敘述直接寫(xiě)出代數(shù)式。公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式。探究規(guī)律法：將蘊(yùn)含在一組數(shù)或一組圖形中的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來(lái)。知識(shí)點(diǎn)02二次根式的性質(zhì)二次根式的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言應(yīng)用與拓展(a≥0)的性質(zhì)即雙重非負(fù)性一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)。(1)二次根式的非負(fù)性應(yīng)用較多，如：EQ\r(,a+1)+EQ\r(,b-3)=0，則a+1=0，b-3=0，即a=-1，b=3；又如EQ\r(,x-a)+EQ\r(,a-x)，則x的取值范圍是，解得x=a；(2)具有非負(fù)性的性質(zhì)：=1\*GB3①a2≥0；=2\*GB3②｜a｜≥0；=3\*GB3③EQ\r(,a)≥0(a≥0)；(3)若a2+｜b｜+EQ\r(,c)=0，則a=0，b=0，c=0，即若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0；(4)的最小值為0；例如：當(dāng)a=1時(shí)，有最小值是2.(a≥0)的性質(zhì)=a(a≥0)一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身。正用公式：()2=5；()2=m2+1逆用公式：若a≥0，則a=(EQ\r(,a))2，如：2=(EQ\r(,2))2，eq\f(1,2)=(EQ\r(,eq\f(1,2)))2逆用公式可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，如a2-5=a2-(EQ\r(,5))2=(a+EQ\r(,5))(a-EQ\r(,5))的性質(zhì)或一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。(1)正用公式：=｜3-π｜=π-3；(2)逆用公式：=3=3(3)化簡(jiǎn)形如eq\r(,a2)的式子時(shí)，先轉(zhuǎn)化為｜a｜形式，再根據(jù)a的符號(hào)去掉絕對(duì)值號(hào)。注意：與的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別表示的意義不同表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示a2的算術(shù)平方根取值范圍不同a≥0a為任意實(shí)數(shù)讀法不同讀作“根號(hào)a的平方”或“a的算術(shù)平方根的平方”讀作“根號(hào)a2”或“a的平方的算術(shù)平方根”被開(kāi)方數(shù)不同被開(kāi)方數(shù)是a被開(kāi)方數(shù)是a2運(yùn)算順序不同先開(kāi)放后平方先平方后開(kāi)方運(yùn)算結(jié)果，運(yùn)算依據(jù)不同(EQ\r(,a))2=a，依據(jù)平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算得到依據(jù)算術(shù)平方根的定義得到作用不同(EQ\r(,a))2=a(a≥0)，正向運(yùn)用可化簡(jiǎn)二次根式，逆向運(yùn)用可以將任意一個(gè)非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式eq\r(,a2)=｜a｜，正向運(yùn)用可以將根號(hào)內(nèi)的非負(fù)因式取算術(shù)平方根移到根號(hào)外，逆用運(yùn)用可以將根號(hào)外的非負(fù)因式平方后移到根號(hào)內(nèi)聯(lián)系=1\*GB3①含有兩種相同的運(yùn)算，都要進(jìn)行平方與開(kāi)方=2\*GB3②結(jié)果都是非負(fù)數(shù)；=3\*GB3③a≥0時(shí)，(EQ\r(,a))2=eq\r(,a2)能力拓展能力拓展考法01二次根式的判斷【典例1】在式子(x＞0)，，，，(x＞0)中，二次根式有()A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的定義求解即可．二次根式：一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式，其中．【詳解】解：式子(x＞0)，，，，(x＞0)中，二次根式有：(x＞0)，，，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的定義．二次根式：一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式，其中．【即學(xué)即練】下列各式中，不是二次根式的是()A． B． C．2 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式的概念，形如(a≥0)的式子是二次根式，逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：A、是二次根式，不符合題意；B、中，故不是二次根式，符合題意；C、2是二次根式，不符合題意；D、是二次根式，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，注意二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．考法02二次根式有意義的條件【典例2】若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求解即可．【詳解】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，解得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【典例3】式子中x的取值范圍是()A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式及分式有意義的條件可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：且，解得：且；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式及分式有意義的條件，熟練掌握二次根式及分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【典例4】代數(shù)式中，自變量x的取值范圍是()A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不為0列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，解得：x＞﹣3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式和分式有意義的條件．【典例5】如果，那么的值是______．【答案】25【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x、y的值，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵，且，∴，∴，∴；故答案為25．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．考法03二次根式非負(fù)性的逆用【典例6】如果，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)1可知：，即故答案為B..考點(diǎn)：二次根式的性質(zhì).【即學(xué)即練】若，則x的取值范圍是()A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1【答案】A【解析】【分析】等式左邊為算術(shù)平方根，結(jié)果為非負(fù)數(shù)，即1-x≥0．【詳解】解：由于二次根式的結(jié)果為非負(fù)數(shù)可知，1-x≥0，解得x≤1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握是解題的關(guān)鍵．【典例7】把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是()A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】本題需注意的是的符號(hào)，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)不為負(fù)數(shù)可得出，因此需先將的負(fù)號(hào)提出，然后再將移入根號(hào)內(nèi)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：．故選B．【點(diǎn)評(píng)】正確理解二次根式乘法、積的算術(shù)平方根等概念是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．需注意二次根式的雙重非負(fù)性，．考法04利用二次根式的非負(fù)性化簡(jiǎn)求值【典例8】計(jì)算：______．【答案】##【解析】【分析】由題可得，，即可得出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由題可得，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】化簡(jiǎn)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可求解．【詳解】解：∵π>3，∴π?3>0；∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典例9】已知+(y﹣3)2＝0，則＝_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：x﹣2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝2，y＝3，則原式＝＝＝2．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，平方的非負(fù)性，二次根式的化簡(jiǎn)，求得的值是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】若x＜2，化簡(jiǎn)＝_______________．【答案】-1【解析】【分析】直接運(yùn)用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵∴，∴====故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式，其依據(jù)是二次根式的性質(zhì)．【即學(xué)即練】化簡(jiǎn)＝_______________．【答案】##【解析】【分析】先利用二次根式的性質(zhì)，再利用求絕對(duì)值的法則，即可求解．【詳解】解：∵4＜5，∴2＜，∴＝．故答案為：﹣2．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握，是解題的關(guān)鍵．考法05利用=｜a｜并結(jié)合數(shù)軸化簡(jiǎn)求值【典例10】如圖，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)_____________【答案】a【解析】【分析】利用數(shù)軸表示數(shù)的方法得到a＜b＜0＜c，|b|＞c，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到原式=|b|-|b+c|-|c-a|，然后去絕對(duì)值后合并即可．【詳解】解：由數(shù)軸得a＜b＜0＜c，|b|＞c，∴b+c＜0，c-a＞0，原式=|b|-|b+c|-|c-a|=-b+(b+c)-(c-a)=-b+b+c-c+a=a．故答案為：a．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】如果表示a、b的實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)|a﹣b|+的結(jié)果是_____．【答案】﹣2b【解析】【詳解】由題意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣(a+b)]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案為﹣2b．點(diǎn)睛：本題主要考查了二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．特別因?yàn)閍．b都是數(shù)軸上的實(shí)數(shù)，注意符號(hào)的變換．【即學(xué)即練】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡(jiǎn)：a_____．【答案】2．【解析】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及結(jié)合數(shù)軸得出a的取值范圍進(jìn)而化簡(jiǎn)即可．【詳解】由數(shù)軸可得：0＜a＜2，則a+=a+=a+(2﹣a)=2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：.【答案】【解析】【分析】直接利用數(shù)軸判斷得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可．【詳解】由數(shù)軸，得，，，.則原式.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，數(shù)軸，解題關(guān)鍵在于利用數(shù)軸進(jìn)行解答.考法06利用=｜a｜與三角形三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例11】已知：a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)－＋.【答案】3a+b﹣c．【解析】【詳解】試題分析:根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得:,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得:a+b-c＞0,b+c-a＞0,c-b-a<0,然后化簡(jiǎn)絕對(duì)值.試題解析:∵a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),∴a+b＞c,b+c＞a,b+a＞c,∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|,=a+b+c﹣(b+c﹣a)+(b+a﹣c),=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c,=3a+b﹣c.【即學(xué)即練】設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)：.【答案】2a＋4b【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定出的符號(hào)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．試題解析：根據(jù)a，b，c為△ABC的三邊，得到a+b+c>0，a?b?c<0，b?a?c<0，c?b?a<0，則原式點(diǎn)睛：三角形任意兩邊之和大于第三邊.考法07逆用=a(a≥0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式【典例12】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)把2寫(xiě)成，運(yùn)用平方差公式分解即可；(2)把5寫(xiě)成，3寫(xiě)成，運(yùn)用平方差公式分解即可．【詳解】(1)==；(2)==．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式分解因式，熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)把一個(gè)非負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成平方的形式是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】分解因式(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi))：．【答案】【解析】【分析】首先提取公因式，再根據(jù)平方差公式分解．【詳解】解：a3?3a=a(a2-3)=．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，熟練掌握提公因式和平方差公式分解因式的方法以及二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．在式子中，二次根式有()A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】【詳解】解：當(dāng)y=﹣2時(shí)，y+1=﹣2+1=﹣1，∴(y=－2)無(wú)意義；當(dāng)x＞0時(shí)，無(wú)意義；所以二次根式有(x＞0)，，共3個(gè)．故選B．2．使有意義的x的取值范圍是()A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3【答案】C【解析】【詳解】分析：先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．詳解：∵式子有意義，∴x-3≥0，解得x≥3．故選C．點(diǎn)睛：本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵．3．計(jì)算的結(jié)果是A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9【答案】B【解析】【分析】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】=|﹣3|=3.故選B.4．已知，則的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】試題解析：由，得，解得．2xy=2×2.5×(-3)=-15，故選A．5．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b【答案】C【解析】【詳解】試題分析：利用數(shù)軸得出a+b的符號(hào)，進(jìn)而利用絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)得出即可：∵由數(shù)軸可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|，∴.故選C．考點(diǎn)：1.絕對(duì)值；2.二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；3.實(shí)數(shù)與數(shù)軸．6．如果，那么()A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性，構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】∵是二次根式，∴≥0，∴≥0，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的非負(fù)性，熟練將二次根式的非負(fù)性轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的不等式是解題的關(guān)鍵.7．已知－2＜m＜3，化簡(jiǎn)＋|m＋2|的結(jié)果是()A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：∵-2＜m＜3，∴m-3＜0，m+2＞0，∴＋|m＋2|=3-m+m+2=5．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握算術(shù)平方根和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．在中，，c為斜邊，a.b為直角邊，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()A． B．C． D．2a【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到a+b＞c，a+c＞b，則根據(jù)二次根式的性質(zhì)得原式=|a-b+c|-2|c-a-b|=a-b+c+2(c-a-b)，然后去括號(hào)后合并即可．【詳解】∵∠C=90°，c為斜邊，a、b為直角邊，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式=|a-b+c|-2|c-a-b|=a-b+c+2(c-a-b)=a-b+c+2c-2a-2b=-a-3b+3c．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：=|a|．也考查了三角形三邊的關(guān)系．9．化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A． B． C． D．1【答案】A【解析】【分析】先確定出x的取值范圍，然后再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】∵二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，∴，則，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)確定出x的取值范圍是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．化簡(jiǎn)得()．A．2 B． C．－2 D．【答案】A【解析】【分析】原式可化為-，可得2x-3＞0，由于2x-1＞2x-3，所以2x-1＞0，再進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算即可.【詳解】原式=-=2x-1-2x+3=2.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．已知△ABC的三邊之長(zhǎng)分別為a、1、3，則化簡(jiǎn)|9-2a|-的結(jié)果是()A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12【答案】A【解析】【分析】二次根式的化簡(jiǎn)：①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).【詳解】解：由題意得2＜a＜4，∴9-2a＞0，3-2a＜0=9-2a-(2a-3)=9-2a-2a+3=12-4a，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式化簡(jiǎn)，熟練掌握化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．3．把(2-x)的根號(hào)外的(2-x)適當(dāng)變形后移入根號(hào)內(nèi)，得()A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意易得x>2，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：，解得：x>2，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．已知1＜x＜5，化簡(jiǎn)+|x-5|=____．【答案】4【解析】【詳解】【分析】由已知判斷x-1>0,x-5<0,再求絕對(duì)值.【詳解】因?yàn)?＜x＜5，+|x-5|=|x-1|+|x-5|=x-1+5-x=4故答案為4【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn).解題關(guān)鍵點(diǎn)：求絕對(duì)值.5．若＝4－m，則m的取值范圍是____________．【答案】m≤4【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案.【詳解】解:=4-m，得4-m≥0，解得m≤4，故答案為:m≤4.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)(中，)熟記二次根式得性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6．把的根號(hào)外因式移到根號(hào)內(nèi)得____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分式分母不為零，將根號(hào)外的因式轉(zhuǎn)化成正數(shù)形式，然后進(jìn)行計(jì)算，化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】解：，；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)和二次根式計(jì)算，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形任兩邊的和大于第三邊，可判定a-b+c及a-b-c的符號(hào)，從而可脫去絕對(duì)值，最后可求得結(jié)果．【詳解】∵a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)∴a+c>b，b+c>a∴a-b+c>0，a-b-c<0∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的不等關(guān)系：任兩邊的和大于第三邊，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形三邊不等關(guān)系確定a-b+c及a-b-c的符號(hào)．8．-1的最小值是______．【答案】0【解析】【分析】先將化簡(jiǎn)為就能確定其最小值為1，再和1作差，即可求解．【詳解】解：-1=-1∵最小值為：1，∴-1的最小值是0．故答案為0．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式求最小值，其中運(yùn)用完全平方公式，化簡(jiǎn)原式尋找求最小值的思路是解答本題的關(guān)鍵．9．當(dāng)x=-1時(shí)，代數(shù)式x2+2x+2的值是__________．【答案】6【解析】【詳解】解：當(dāng)時(shí)，故答案為：6．10．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式4a后，再把剩下的式子利用平方差公式繼續(xù)分解因式．【詳解】解：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．11．觀察下列各式：，，，請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：，其結(jié)果為_(kāi)___．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)、數(shù)字的變化規(guī)律，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，試化簡(jiǎn)：．【答案】－a【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，合并即可得到結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，∴a+b＜0，b+c＜0，a+c＜0，則原式=|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|=﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c=﹣a．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握絕對(duì)值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵．2．閱讀理解題，下面我們觀察：反之，所以，所以完成下列各題：(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：；(2)化簡(jiǎn)：；(3)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】【分析】(1)利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡(jiǎn)得出即可；(2)利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡(jiǎn)得出即可；(3)利用二次根式的