形心矩和慣性矩教材

oyz?-1截面的靜矩和形心位置 一、定義dA

yz截面對z,y軸的靜矩為：靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零。oyz?-1截面的靜矩和形心位置 一、定義dAyz截1yzo

dA

yz截面的形心C的坐標(biāo)

公式為：yc截面對形心軸的靜矩等于零。若截面對某一軸的靜矩等于零，則該軸必過形心。yzodAyz截面的形心C的坐標(biāo)yc截面對2二、組合截面截面各組成部分對于某一軸的靜矩之代數(shù)和，就等于該截面對于同一軸的靜矩。

由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面 二、組合截面截面各組成部分對于某一軸3其中：Ai——第i個簡單截面面積——第i個簡單截面的形心坐標(biāo)組合截面靜矩的計算公式為其中：Ai——第i個簡單截面面積——第i個4

計算組合截面形心坐標(biāo)的公式如下：計算組合截面形心坐標(biāo)的公式如下：51010120o80取x軸和y軸分別與截面的底邊和左邊緣重合解：將截面分為1，2兩個矩形。12yx例1-1試確定圖示截面心C的位置。1010120o80取x軸和y軸分別與截面解：將截61010120o8012yx矩形1矩形21010120o8012yx矩形1矩形27所以1010120o8012yx所以1010120o8012yx8

?-2極慣性矩慣性矩慣性積

yz0dAyz

截面對o點(diǎn)的極慣性矩為定義：?-2極慣性矩慣性矩慣性積9

截面對y,z軸的慣性矩分別為因?yàn)镮p=Ix+Iy所以

xy0dAxy

dA2ρIApò=截面對y,z軸的慣性矩分別為因?yàn)镮p=Ix10截面對x,y軸的慣性積為慣性矩的數(shù)值恒為正，慣性積則可能為正值，負(fù)值，也可能等于零。。截面的對稱軸，若x,y兩坐標(biāo)軸中有一個為則截面對x,y軸的慣性積一定等于零xydxdxydA截面對x,y軸的慣性積為慣性矩的數(shù)值恒為正，慣性積則11截面對x,y軸的慣性半俓為截面對x,y軸的慣性半俓為12例2_1求矩形截面對其對稱軸x,y軸的慣性矩。

dA=bdy解：bhxyCydy例2_1求矩形截面對其對稱軸x,y軸13

例2-2求圓形截面對其對稱軸的慣性矩。解：因?yàn)榻孛鎸ζ鋱A心O的極慣性矩為

yxd所以例2-2求圓形截面對其對14xyoC(a,b)ba一、平行移軸公式xc,yc——過截面的形心c且與x,y

軸平行的坐標(biāo)軸（形心軸）（a,b)_____

形心c在xoy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)?！?-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式組合截面的慣性矩和慣性積ycxcx,y——任意一對坐標(biāo)軸C——截面形心xyoC(a,b)ba一、平行移軸公式xc,yc—15

Ixc,Iyc,Ixcyc——截面對形心軸xc,yc的慣性矩和慣性積。

Ix,Iy,Ixy

_____截面對x,y軸的慣性矩和慣性積。

xyoC(a,b)baycxc則平行移軸公式為Ixc,Iyc,Ixcyc——截面對形16二、組合截面的慣性矩慣性積

Ixi,Iyi,

——第i個簡單截面對x,y軸的慣性矩、

慣性積。組合截面的慣性矩，慣性積二、組合截面的慣性矩慣性積Ixi17例3-1求梯形截面對其形心軸yc

的慣性矩。解：將截面分成兩個矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在對稱軸zc上。取過矩形2的形心且平行記作y軸。于底邊的軸作為參考軸，例3-1求梯形截面對其形心軸yc的慣性矩。解：將截18所以截面的形心坐標(biāo)為2014010020zcycy12所以截面的形心坐標(biāo)為2014010020zcycy12192014010020y12zcyc2014010020y12zcyc20一、轉(zhuǎn)軸公式

順時針轉(zhuǎn)取為–號§?-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式截面的主慣性軸和主慣性矩xoy為過截面上的任–點(diǎn)建立的坐標(biāo)系x1oy1

為xoy轉(zhuǎn)過

角后形成的新坐標(biāo)系oxyx1y1

逆時針轉(zhuǎn)取為+號，一、轉(zhuǎn)軸公式順時針轉(zhuǎn)取為–號§?-4慣21顯然上式稱為轉(zhuǎn)軸公式oxyx1y1

顯然上式稱為轉(zhuǎn)軸公式oxyx1y122二、

截面的主慣性軸和主慣性矩主慣性軸——總可以找到一個特定的角

0,使截面對新坐標(biāo)軸x0,y0

的慣性積等于0,則稱x0,y0為主慣軸。主慣性矩——截面對主慣性軸的慣性矩。二、截面的主慣性軸和主慣性矩主慣性軸——總23形心主慣性軸——當(dāng)一對主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時，則稱為形心主慣性軸。形心主慣性矩——截面對形心主慣性軸的慣性矩。形心主慣性軸——當(dāng)一對主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心形心主慣性24由此

求出后，主慣性軸的位置就確定出來了。

主慣性軸的位置：設(shè)

為主慣性軸與原坐標(biāo)軸

之間的夾角，

則有由此求出后，主慣性軸的位置就確定出來了。25

過截面上的任一點(diǎn)可以作無數(shù)對坐標(biāo)軸，其中必有

一對是主慣性軸。截面的主慣性矩是所有慣性矩中

的極值。即：Imax=Ix0,Imin=Iy0主慣性矩的計算公式截面的對稱軸一定是形心主慣性軸。過截面上的任一點(diǎn)可以作無數(shù)對坐標(biāo)軸，其中必有主慣26

確定形心的位置

選擇一對通過形心且便于計算慣性矩（積）的坐

標(biāo)軸x，y,計算Ix,Iy,Ixy求形心主慣性矩的步驟確定形心的位置選擇一對通過形心且便27

確定主慣性軸的位置

計算形心主慣性矩確定主慣性軸的位置計算形心主慣性矩28y20

c10101207080例4-1計算所示圖形的形心主慣性矩。解：該圖形形心c的位置已確定,如圖所示。

過形心c選一對座標(biāo)軸X,y軸，計算其慣性矩（積）。xy20c10101207080例4-1計算所示圖29y20

c10101207080xy20c1010120