歷史相似性及其教學(xué)啟示

歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史相似性與其教1歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史相似性與其教學(xué)啟示2歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史發(fā)生原理?？藸枺‥.Haeckel,1843-1919）生物發(fā)生學(xué)定律——“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”在教育中的應(yīng)用：“個(gè)體認(rèn)知的發(fā)生遵循人類認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程。”就數(shù)學(xué)教育而言，個(gè)體數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展順序。歷史相似性與其教學(xué)啟示歷史發(fā)生原理3歷史相似性與其教學(xué)啟示HerbertSpenser(1894)

對(duì)孩子的教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類的教育，換言之，個(gè)體知識(shí)的發(fā)生必須遵循人類知識(shí)的發(fā)生過(guò)程。

歷史相似性與其教學(xué)啟示HerbertSpenser(184歷史相似性與其教學(xué)啟示BencharaBranford(1908)

我的目的是展示人類幾何知識(shí)演進(jìn)的實(shí)際方式與學(xué)生最樂(lè)意與最有效吸收該經(jīng)驗(yàn)的方式之間的相似性。需要特別指出的是，我并非在試圖證明人類與個(gè)體幾何知識(shí)發(fā)展的必然相似性……我所希望做的是要說(shuō)明，為教育之目的，幾何學(xué)的最有效的講授方式乃是遵循科學(xué)歷史演進(jìn)的順序。歷史相似性與其教學(xué)啟示BencharaBranford(5歷史相似性與其教學(xué)啟示F·克萊因（F.Klein,1849-1925）：生物發(fā)生學(xué)的一項(xiàng)基本定律指出，個(gè)體的成長(zhǎng)要經(jīng)歷種族成長(zhǎng)的所有階段，順序相同，只是所經(jīng)歷的時(shí)間縮短?！蚁虢淌跀?shù)學(xué)和其他任何事情一樣，至少在原則上要遵照這項(xiàng)定律?！茖W(xué)的教學(xué)方法只是誘導(dǎo)去作科學(xué)的思考，並不是一開(kāi)頭就教人去碰冷漠的、經(jīng)過(guò)科學(xué)洗練的系統(tǒng)。推廣這種自然的真正科學(xué)的教學(xué)的主要障礙是缺乏歷史知識(shí)。歷史相似性與其教學(xué)啟示F·克萊因（F.Klein,1846歷史相似性與其教學(xué)啟示F·克萊因（F.Klein,1849-1925）歷史相似性與其教學(xué)啟示F·克萊因（F.Klein,1847歷史相似性與其教學(xué)啟示龐加萊（H.Poincaré,1854-1912）：

動(dòng)物學(xué)家堅(jiān)持認(rèn)為，在一個(gè)短時(shí)期內(nèi)，動(dòng)物胚胎的發(fā)育重蹈所有地地質(zhì)年代其祖先們的發(fā)展歷史。人的思維發(fā)展似乎也是如此。教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過(guò)某些階段而不跳過(guò)任何階段。鑒于此，科學(xué)史應(yīng)該是我們的指南。歷史相似性與其教學(xué)啟示龐加萊（H.Poincaré,188歷史相似性與其教學(xué)啟示龐加萊（H.Poincaré,1854-1912）歷史相似性與其教學(xué)啟示龐加萊（H.Poincaré,189歷史相似性與其教學(xué)啟示波利亞

只有理解人類如何獲得某些事

實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)

人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣

的知識(shí)作出更好的判斷。G.Pólya（1887-1985）歷史相似性與其教學(xué)啟示波利亞G.Pólya（1887-110歷史相似性與其教學(xué)啟示弗賴登塔爾

年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的

學(xué)習(xí)過(guò)程，盡管方式改變

了。H.Freudenthal（1905-1990）歷史相似性與其教學(xué)啟示弗賴登塔爾H.Freudenthal11歷史相似性與其教學(xué)啟示弗賴登塔爾（ICME-4,1980）：數(shù)學(xué)史乃是一個(gè)不斷進(jìn)步的系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)過(guò)程。兒童無(wú)需重蹈人類的歷史，但他們也不可能從前人止步的地方開(kāi)始。從某種意義上說(shuō)，兒童應(yīng)該重蹈歷史，盡管不是實(shí)際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會(huì)發(fā)生的歷史。H.Freudenthal(1905-1990)歷史相似性與其教學(xué)啟示弗賴登塔爾（ICME-4,198012歷史相似性與其教學(xué)啟示M·克萊因：

我堅(jiān)信歷史順序是教學(xué)的指

南。我們無(wú)需完完全全追隨

歷史，但如果大數(shù)學(xué)家在作

出某些創(chuàng)造時(shí)遇到困難，我

們的學(xué)生也必會(huì)遇到。M.Kline(1908-1992)歷史相似性與其教學(xué)啟示M·克萊因：M.Kline(19013歷史相似性與其教學(xué)啟示M·克萊因：

數(shù)學(xué)家花了幾千年時(shí)間才理解無(wú)理數(shù)，而我們竟貿(mào)然給中學(xué)生講戴德金分割。數(shù)學(xué)家花了三百年才理解復(fù)數(shù)，而我們竟馬上就教給學(xué)生復(fù)數(shù)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)。數(shù)學(xué)家花了約一千年才理解負(fù)數(shù)，但現(xiàn)在我們卻只能說(shuō)負(fù)數(shù)是一個(gè)有序自然數(shù)對(duì)。從伽利略到狄利克雷，數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁歷史相似性與其教學(xué)啟示M·克萊因：14歷史相似性與其教學(xué)啟示

去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和有序?qū)Γǖ谝粋€(gè)數(shù)相同時(shí)第二個(gè)數(shù)也必須相同）來(lái)玩弄把戲。從古代埃與人和巴比倫人開(kāi)始直到韋達(dá)和笛卡兒，沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家意識(shí)到字母可用來(lái)代表一類數(shù)，但現(xiàn)在卻通過(guò)簡(jiǎn)單的集合思想馬上產(chǎn)生了集合這個(gè)概念。歷史相似性與其教學(xué)啟示去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義15歷史相似性與其教學(xué)啟示皮亞杰、加西亞

科學(xué)在歷史跨越過(guò)程中所做出的各種進(jìn)步，不是以隨意的形式呈現(xiàn)的，而是按一定順序排列的。與心理發(fā)生一樣，是以一系列連續(xù)的“階段”呈現(xiàn)。促成歷史時(shí)期跨越的轉(zhuǎn)化機(jī)制與那些促成心理階段跨越的轉(zhuǎn)化機(jī)制是相似的。歷史相似性與其教學(xué)啟示皮亞杰、加西亞16歷史相似性與其教學(xué)啟示Furinghetti:將數(shù)學(xué)史用于數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程歷史相似性與其教學(xué)啟示Furinghetti:將數(shù)學(xué)史用于17案例1三角形內(nèi)角和定理案例1三角形內(nèi)角和定理18案例2相似三角形的應(yīng)用時(shí)間作者或著作工作相似三角形性質(zhì)前2000年？巴比倫祭司分割直角三角形面積之比等于對(duì)于邊平方比前6世紀(jì)泰勒斯測(cè)量金字高度與輪船與海岸距離對(duì)應(yīng)邊成比例前6世紀(jì)歐帕里諾斯開(kāi)掘直線穿山隧道對(duì)應(yīng)角相等前2世紀(jì)周髀算經(jīng)測(cè)量太陽(yáng)直徑對(duì)應(yīng)邊成比例1世紀(jì)九章算術(shù)遠(yuǎn)距離測(cè)量對(duì)應(yīng)邊成比例案例2相似三角形的應(yīng)用時(shí)間作者或著作工作相19案例2相似三角形的應(yīng)用案例2相似三角形的應(yīng)用20案例2相似三角形的應(yīng)用案例2相似三角形的應(yīng)用21案例2相似三角形的應(yīng)用案例2相似三角形的應(yīng)用22案例2相似三角形的應(yīng)用案例2相似三角形的應(yīng)用23案例2相似三角形的應(yīng)用隧道全長(zhǎng)1036米，寬1.8米，高1.8米案例2相似三角形的應(yīng)用隧道全長(zhǎng)1036米，24案例2相似三角形的應(yīng)用薩莫斯島上的穿山隧道(前530年)案例2相似三角形的應(yīng)用薩莫斯島上的穿山隧道(前5325案例2相似三角形的應(yīng)用泰勒斯是如何測(cè)量金字塔高度的？Thales(about624BC-about547BC)案例2相似三角形的應(yīng)用泰勒斯是如何測(cè)量金字塔高度的26案例2相似三角形的應(yīng)用泰勒斯是如何測(cè)量輪船離海岸距離的？案例2相似三角形的應(yīng)用泰勒斯是如何測(cè)量輪船離海岸距27案例3一元二次方程的概念案例3一元二次方程的概念28案例3一元二次方程的概念例1矩形面積為12，寬為長(zhǎng)的3/4。問(wèn)該矩形的長(zhǎng)、寬各為多少？（埃與紙草書(shū)）例2已知矩形面積為60，長(zhǎng)比寬多7。問(wèn)該矩形的長(zhǎng)為多少？列出矩形的長(zhǎng)所滿足的方程。例3已知矩形面積為60，長(zhǎng)比寬多7。長(zhǎng)寬之和為17，問(wèn)該矩形的長(zhǎng)為多少？列出矩形的長(zhǎng)所滿足的方程。（巴比倫泥版）案例3一元二次方程的概念例1矩形面積為12，寬為29案例3一元二次方程的概念例4長(zhǎng)為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當(dāng)梯子的頂端沿墻向下滑動(dòng)6英尺時(shí)，底端離墻滑動(dòng)多遠(yuǎn)？例5在例3中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動(dòng)6英尺，那么底端將再一次滑動(dòng)多遠(yuǎn)？試列出底端再一次滑動(dòng)的距離所滿足的方程。案例3一元二次方程的概念例4長(zhǎng)為30英尺的梯子30案例3一元二次方程的概念例6

如圖，有一所正方形的學(xué)校，南門(mén)和北門(mén)各開(kāi)在南、北面圍墻的正中間。在北門(mén)的正北方20米處有一顆大榕樹(shù)。一個(gè)學(xué)生從南門(mén)出來(lái)，朝正南方走14米，然后轉(zhuǎn)向西走1775米，恰好見(jiàn)到學(xué)校北面的大榕樹(shù)。問(wèn)這所學(xué)校每一面圍墻的長(zhǎng)度是多少？試列出方程。案例3一元二次方程的概念例6如圖，有一所正方形31案例3一元二次方程的概念案例3一元二次方程的概念32案例4解一元二次方程的因式分解法哈里奧特（T.Harriot,1560-1621）：案例4解一元二次方程的因式分解法哈里奧特（T.Har33案例4解一元二次方程的因式分解法笛卡兒（R.Descartes,1596-1690）《幾何學(xué)》（1637）：

將一元一次方程

x-2=0和

x-3=0相乘，得一元二次方程

，它的兩個(gè)根為

2和

3。借鑒歷史，教師可以先給出下面的例子。例1

解下列方程：（1）(x-4)(x+4)=0；（2）(x-3)(x-4)=0；（3）(2x+3)(x-1)=0。案例4解一元二次方程的因式分解法笛卡兒（R.Desc34案例4解一元二次方程的因式分解法

在得到諸方程的根之后，教師進(jìn)一步問(wèn)：上面三個(gè)方程是否一元二次方程？讓學(xué)生將方程左邊展開(kāi)，得到一般形式的一元二次方程之后，讓學(xué)生思考：對(duì)于一般的一元二次方程，我們能否反過(guò)來(lái)把左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，從而得出兩個(gè)根呢？例2

解下列方程：（1）；（2）。案例4解一元二次方程的因式分解法在得到諸方程的根35案例5二元一次方程組的概念例1、列一元一次方程，解下列各文字題：（1）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的1/4倍之和等于7，長(zhǎng)、寬之和等于10。求長(zhǎng)和寬。（古巴比倫泥版）（2）已知兩塊地共1畝，第一塊地畝產(chǎn)4擔(dān)糧食，第二塊地畝產(chǎn)3擔(dān)糧食。第一塊地的產(chǎn)量比第二塊的產(chǎn)量多擔(dān)。問(wèn)：兩塊地的面積各為多少？（古巴比倫泥版）案例5二元一次方程組的概念例1、列一元一次方程，解下列36案例5二元一次方程組的概念（3）已知每立方寸玉重7兩；每立方寸石重6兩?，F(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為3寸的立方石塊，其中含有玉，總重11斤。問(wèn)：這塊立方石塊所含玉、石的重量各為多少？（中國(guó)《九章算術(shù)》）（4）已知兩數(shù)之和為100，差為40，求這兩個(gè)數(shù)。（丟番圖《算術(shù)》）案例5二元一次方程組的概念（3）已知每立方寸玉重7兩；37案例5二元一次方程組的概念（5）某人工作1月（30天），得7比贊（古羅馬貨幣）；怠工一月，付給工頭4比贊。月末，他從工頭處得到1比贊。問(wèn)：此人工作幾天？怠工幾天？（斐波納契《計(jì)算之書(shū)》）（6）為了鼓勵(lì)兒子學(xué)好算術(shù)，兒子每做對(duì)一道題，父親給他8分錢(qián)；做錯(cuò)一道題，罰5分錢(qián)。做完26道題后，誰(shuí)也不用給誰(shuí)錢(qián)。問(wèn)：兒子做對(duì)了幾道題？（克拉維斯《代數(shù)》）案例5二元一次方程組的概念（5）某人工作1月（30天）38案例5二元一次方程組的概念教師先讓學(xué)生解上述諸題，然后讓學(xué)生回答：所選擇的未知量是什么？另一個(gè)量是什么？如何表示？根據(jù)題意得到怎樣的一元一次方程？最后，教師作出總結(jié)，如下表所示。案例5二元一次方程組的概念教師先讓學(xué)生解上述諸題，然后39案例5二元一次方程組的概念題次未知量另一個(gè)量一元一次方程（1）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（x）（2）第一塊地的面積（x）（3）玉的體積（x）（4）較小的數(shù)（x）（5）工作天數(shù)（x）（6）做對(duì)題數(shù)（x）案例5二元一次方程組的概念題次未知量另一個(gè)量一元一次方40案例5二元一次方程組的概念接著，教師讓學(xué)生思考：上面六個(gè)問(wèn)題各涉與兩個(gè)量，我們?cè)谇蠼獾臅r(shí)候，只設(shè)其中一個(gè)為x，而另一個(gè)量則根據(jù)題設(shè)的其中一個(gè)數(shù)量關(guān)系，用x來(lái)表示，最后利用另一個(gè)數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)于x的一元一次方程。如果我們把另一個(gè)量也看作未知量，并設(shè)為y，情形又如何呢？在學(xué)生討論之后，讓他們回答：兩個(gè)未知量分別是什么？根據(jù)題意可得怎樣的等式？有幾個(gè)等式？案例5二元一次方程組的概念接著，教師讓學(xué)生思考：上面六41案例5二元一次方程組的概念題次未知量之一未知量之二方程一方程二（1）

長(zhǎng)方形長(zhǎng)（x）長(zhǎng)方形的寬（y）（2）第一塊地面積（x）第二塊地面積（y）（3）玉的體積（x）石的體積（y）（4）較小的數(shù)（x）較大的數(shù)（y）（5）工作天數(shù)（x）怠工天數(shù)（y）（6）做對(duì)題數(shù)（x）做錯(cuò)題數(shù)（y）案例5二元一次方程組的概念題次未知量之一未知量之二方程42案例5二元一次方程組的概念例2、閱讀下列問(wèn)題，設(shè)未知數(shù)，分別列出一元一次方程和二元一次方程組：（1）有一位行人傍晚經(jīng)過(guò)一個(gè)樹(shù)林，忽聽(tīng)得林間有人在說(shuō)話，細(xì)聽(tīng)方知是一群竊賊在討論分贓之事。只聽(tīng)得竊賊說(shuō)：“每人6匹，則多出5匹；每人7匹，則又少了8匹?！眴?wèn)：共有幾個(gè)竊賊，幾匹贓物？（高彥休《唐闕史》）（2）若干人共同出錢(qián)購(gòu)物，若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則又少了4元。問(wèn)：共有幾個(gè)人？物價(jià)是多少？（《九章算術(shù)》）案例5二元一次方程組的概念例2、閱讀下列問(wèn)題，設(shè)未知數(shù)43案例7

等比數(shù)列求和萊因得紙草書(shū)（約公元前1650年）案例7等比數(shù)列求和萊因得紙草書(shū)（約公元前1650年）44案例6

等比數(shù)列求和萊因得紙草上的等比數(shù)列問(wèn)題

案例6等比數(shù)列求和萊因得紙草上的等比數(shù)列問(wèn)題45案例6

等比數(shù)列求和

案例6等比數(shù)列求和46案例6

等比數(shù)列求和歐幾里得《幾何原本》（公元前3世紀(jì)）第9卷命題35

案例6等比數(shù)列求和歐幾里得《幾何原本》（公元前3世紀(jì)）47案例6

等比數(shù)列求和

案例6等比數(shù)列求和48案例7復(fù)數(shù)之引入

課本的引入

x2+1=0

（）

(在初中，老師告訴我們，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；現(xiàn)在，老師又說(shuō)了，到底怎么回事？難道方程非要有根不可嗎？郁悶啊！)案例7復(fù)數(shù)之引入課本的引入49案例7復(fù)數(shù)之引入

x3＋px＝q

邦貝利（4，）

、案例7復(fù)數(shù)之引入x3＋px＝q50案例7復(fù)數(shù)之引入萊布尼茨：x2+y2=2,xy=2

萊布尼茨驚嘆：“在一切分析中，我從來(lái)沒(méi)有見(jiàn)過(guò)比這更奇異、更矛盾的事實(shí)了。我覺(jué)得自己是第一個(gè)不通過(guò)開(kāi)方而將虛數(shù)形式的