2022年全國(guó)甲卷文科高考數(shù)學(xué)試卷及答案詳解

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)

填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將

答案寫在答題卡上、寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合Z={-2,-l,0,l,2},8={R04x<g),則()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10

位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在

講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

100%

95%.....................—…一

90%?……?...................

椅85%...............??

每80%..............................?-*講座前

田75%........................-…一?講座后

70%..............................*-

65%?……*...................

60%....*.........冰

01111

12345678910

居民編號(hào)

則()

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.若z=l+i.貝lJ|iz+3刃=（）

5.將函數(shù)〃x）=sin（西+?（。＞0）的圖像向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,若C關(guān)于

y軸對(duì)稱，則。的最小值是（）

1111

A.-64B.—C.—3D.-2

6.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

11c22

A.—B?—C.-D.—

5353

7.函數(shù)夕=（3、-3-、）cosx在區(qū)間一梟^的圖象大致為（）

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

X

A.—1B.—C.：D.1

22

9.在長(zhǎng)方體N8C￡>-44GA中，已知4。與平面Z88和平面所成的角均為30。，

則（）

A.AB=24DB.48與平面?CQ所成的角為30。

C.AC=CB}D.片。與平面85C。所成的角為45°

10.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2無(wú)，側(cè)面積分別為S卬和％,

sv

體積分別為％和〃.若薩=2,則”=（）

?乙〃乙

A.V5B.2V2C.710D.舅奧

4

11.已知橢圓C：1+[=l（a>b>0）的離心率為:，4,4分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C

ab3

的上頂點(diǎn).若M麗=-1,則C的方程為（）

AX2歹2X2^y2.X2V2y-2

A.一+—=1B.一+—=1C.一+—=D.y2=1

181698322

12.已知9"'=10,〃=10"'—11力=8'”一9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量。=(，%3),5=。,陽(yáng)+1).若［，別則〃?=.

14.設(shè)點(diǎn)”在直線2x+y-l=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。加上，則?！ǖ姆匠虨?/p>

15.記雙曲線C:、-/=l(a>0g>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線V=2x與C無(wú)公共

點(diǎn)”的e的一個(gè)值.

16.已知中，點(diǎn)。在邊8c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)生取得最小值

AB

時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題

為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由力和8兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的

運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表:

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

附：犬=——幽必變——，

+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（Knk）0.1000.0500.010

2.7063.8416.635

2v

18.記E,為數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和.已知「Z+"=2a.+l.

n

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)列；

⑵若。4，%，。9成等比數(shù)列，求S,的最小值.

19.小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面/8C。

是邊長(zhǎng)為8(單位：cm)的正方形，AE4B,AFBC/GCD,AHD4均為正三角形,且它們所在

的平面都與平面N3CD垂直.

(1)證明：EF//平面月BCD；

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).

20.已知函數(shù)〃x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=/(x)在點(diǎn)Gj(xJ)處的切線也是曲線

y=g(x)的切線.

⑴若3=T,求a；

(2)求a的取值范圍.

21.設(shè)拋物線。:/=2夕工5>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)。(2,0),過(guò)尸的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)

直線股。垂直于x軸時(shí)，\MF\=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4B,記直線的傾斜角分別為a,4.當(dāng)

a-4取得最大值時(shí)，求直線的方程.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按

所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程|

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

2+t

x------

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為6(f為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程

2+s

X=--------

為，6（s為參數(shù)）.

y=一&

(1)寫出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c,的極坐標(biāo)方程為

2cos0-sin6>=0,求G與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

［選修4-5：不等式選講］

23.已知。，b,c均為正數(shù)，S.a2+b2+4c2=3,證明：

⑴a+b+2cK3；

(2)若6=2c,則2+工23.

ac

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

1.A

【分析】

根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.

【詳解】

因?yàn)椤?{-2,-1,0,1,2},S=jx|O<x<|j,所以/08={0,1,2}.

故選:A.

2.B

【分析】

由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】

講座前中位數(shù)為四%!差為>70%,所以A錯(cuò)；

講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是80%,4個(gè)85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問(wèn)

卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%,所以B對(duì)；

講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散，所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確

率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯(cuò)；

講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%，所以D錯(cuò).

故選:B.

3.D

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，共規(guī)復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出.

【詳解】

因?yàn)閦=l+i,所以上+3彳=乂1+1）+3（17）=2-公，所以|iz+3可="74=2后.

故選：D.

4.B

【分析】

答案第1頁(yè)，共20頁(yè)

由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】

由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積k=《一x2x2=12.

故選：B.

5.C

【分析】

先由平移求出曲線C的解析式，再結(jié)合對(duì)稱性得—+肛〃eZ,即可求出。的最小

232

值.

【詳解】

由題意知：曲線。為'=$也+?=sin(<ox+等+(),又C關(guān)于夕軸對(duì)稱，則

C071冗K、、r

--------1——=——\-K7V,KGZ,

232

解得0=；+2k,keZ,又(y>0,故當(dāng)％=0時(shí)，。的最小值為，

故選：C.

6.C

【分析】

方法一：先列舉出所有情況，再?gòu)闹刑舫鰯?shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即

可.

【詳解】

［方法一］:【最優(yōu)解】無(wú)序

從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有

答案第2頁(yè)，共20頁(yè)

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,41(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15種

情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6種情況，故概率為

62

T?"5,

|方法二］:有序

從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,)

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12

種情況，故概率為三12■=2:.

305

故選：C.

【整體點(diǎn)評(píng)】

方法一：將抽出的卡片看成一個(gè)組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；

方法二：將抽出的卡片看成一個(gè)排列，再利用古典概型的概率公式解出；

7.A

【分析】

由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】

令/卜)=(3"-3-*"x》€(wěn),

貝!If(-x)=-3x)cos(-x)=-3~x)cosx=-f(x),

所以/")為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)時(shí)，3x-3-x>0,cosx>0,所以〃x)>0,排除C.

故選：A.

8.B

【分析】

答案第3頁(yè)，共20頁(yè)

根據(jù)題意可知/(1)=-2,/'。)=0即可解得再根據(jù)/'(x)即可解出.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/定義域?yàn)?0,+8),所以依題可知，/(1)=-2,r(l)=0,而/(x)=3-V，

XX

所以6=-2,a-b=0,即。=-2,6=-2,所以/，(力=_：+/,因此函數(shù)〃x)在(0,1)上遞

增，在(1,+8)上遞減，x=l時(shí)取最大值，滿足題意，即有/'(2)=7+；=-；.

故選：B.

9.D

【分析】

根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】

如圖所示：

不妨設(shè)===c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，為D與平面/8CD所成角

cb

為NB,DB,8Q與平面/所成角為即6=c,

b\DD^D

222

BXD=2c=yja+h+c,解得a=0c.

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=6AD，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過(guò)8作用于易知5E_L平面力4CQ,所以48與平面”5心。所成角為

ZBAE,因?yàn)閠anN5/1E=￡=①，所以N8/Ew30”,B錯(cuò)誤；

a2

222

對(duì)于C,AC-y/a+b=Vi,?CB}=>jb+c~=V2c,ACwCB、,C錯(cuò)誤；

答案第4頁(yè)，共20頁(yè)

對(duì)于D,8Q與平面所成角為NO8C，sinZZ)5,C=,而

BQ2c2

0<Z￡)SlC<90\所以/OgC=45".D正確.

故選：D.

10.C

【分析】

設(shè)母線長(zhǎng)為/，甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為4,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得

，；=24，再結(jié)合圓心角之和可將小々分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，

再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】

解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為4,

4=胃=j

S乙兀rjr2

所以12々，

又等+半=2乃，

則牛=],

21

所以=3/，

所以甲圓錐的高九=。/,

乙圓錐的高質(zhì)=j/2-3/2=半/,

2

v1町％-/X-/

所以白=^_=十才=加.

393

故選：C.

11.B

【分析】

答案第5頁(yè)，共20頁(yè)

根據(jù)離心率及瓦彳?就=-1,解得關(guān)于。2,從的等量關(guān)系式，即可得解.

【詳解】

解：因?yàn)殡x心率e=￡=J1-1=1,解得與■=、，"2=，/，

a\a23?99

4,4分別為C的左右頂點(diǎn),則4(-4,0),4(。,0),

B為上頂點(diǎn),所以8(0力).

所以鞏=(-a,-b),嫵=(d-6),因?yàn)橥哚芡?=-1

O

所以一/+/=_1,將〃=?/代入，解得“2=9,62=8,

9

故橢圓的方程為X=i.

故選：B.

12.A

【分析】

法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知加=logJ0>l,再利用基本不等式，換

底公式可得機(jī)>lgll,1。&9>機(jī)，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】

［方法一］:(指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì))

由9m=10可得胴=bg910=辭>1，而Ig91g］］<「g9；gll)=(等j<1=UglO)2,所

以瞿2>黑巳即所以。=10”-11>10電"-11=0.

1g9IglO

又該8吆10<(館8；出°)=(號(hào)9)<(四,所以皆〉翳，即k>&9>〃7,

所以6=8小一9<8"&9_9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9M=10,可得加=log910e(l,1.5).

根據(jù)“力的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=x"'-x-l(x>l),則r(x)="*i-l,

答案第6頁(yè)，共20頁(yè)

令/'(x)=0,解得/=加不，由/n=log910e(l,1.5)知/€(0,1).

f(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,所以/。0)>/(8)，即a>b,

又因?yàn)?(9)=9哨"-10=0,所以a>0>6.

故選：A.

【整體點(diǎn)評(píng)】

法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通

法；

法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=x"'-x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，

簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

13.--##-0.75

4

【分析】

直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】

_3

由題意知：a-b=m+3(/n+1)=0,解得"i=—.

4

3

故答案為：-

4

14.(x-l)2+(y+l)2=5

【分析】

設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在。/上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.

【詳解】

［方法一］：三點(diǎn)共圓

:點(diǎn)M在直線2x+y-l=0上，

設(shè)點(diǎn)M為(a,1-2a),又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。A/上,

二點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R,

：.7(a-3)2+(l-2a)2=^/2+(-2a)2=R，

a?-6〃+9+4。2—4。+1=5。2,解得

答案第7頁(yè)，共20頁(yè)

/.M（l,-1）,R=#）,

OM的方程為（x-Ip+（y+1）?=5.

故答案為：（X-1）2+（J+1）2=5

［方法二］:圓的幾何性質(zhì)

由題可知，M是以（3,0）和（0,1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x-4與直線2x+y-l=0

的交點(diǎn)R=5OM的方程為（x-+J+=5.

故答案為：（x-iy+（y+l）2=5

15.2（滿足1<e?石皆可）

【分析】

根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線y=+-x^0<-<2即可求得滿足要求的e值.

aa

【詳解】

解：。：《-4=1（。>0力>0）,所以C的漸近線方程為卜=±2乙

a廳a

kL2

結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需0<±42,即444,

aa

可滿足條件“直線y=2x與c無(wú)公共點(diǎn)”

所以e=￡=Jl+—r<J1+4=卡,

a\a

又因?yàn)閑>l,所以l<e4^,

故答案為：2（滿足l<e4石皆可）

16.6-1##一1+6

【分析】

AC2

設(shè)。。=28。=2/>0,利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.

赤

【詳解】

【方法一］:余弦定理

設(shè)。。=28。=2加>0,

答案第8頁(yè)，共20頁(yè)

則在△Z4Q中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=療+4+2加，

在"CD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosZADC=+4—,

AC2_4m2+4-4m_4（/+4+2m）-12（1+必12

所以48?加2+4+2〃？m2+4+2m（加+1）+二一

v）機(jī)+1

>4——j=L--------?=4-2占

當(dāng)且僅當(dāng)m+l=3即加=6一1時(shí)，等號(hào)成立,

m+\

所以當(dāng)叫取最小值時(shí)，機(jī)=百-1.

故答案為：.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，0C為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,G),B(-t,0)

.??￡=(2一產(chǎn)=l+4=412426

AB

'(，+l)+3…2+4(?+l)+J-

('t+\

當(dāng)且僅當(dāng)f+1=6,即8。=6-1時(shí)等號(hào)成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

答案第9頁(yè)，共20頁(yè)

e2=x2+4+2x

2c2+b2=l2+6x2,

b2=4+4x2-4x

c2=x24-4+2x,,、

2.2f2c+b=12+6x~，

b=4+4x~-4x

令A(yù)%T=，，貝IJ2c2+”,2=12+6x2,

AB

12+6x212+6/

z.t2+2==626-25

c2x2+2x4-4（x+iH*

X-riJ

『24-2y/i，

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=2,即》=百+1時(shí)等號(hào)成立.

I方法四判別式法

設(shè)8D=x,則C￡）=2x

在△ABD中，AB-=BD-+AD2-2BD-ADcosZADB=x2+4+2x,

在A/CD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4x,

ruI、I4。-4x~+4—4x?4x~+4—4x

所以一r=r------------，記，=-------------，

ABx+4+2xx+4+2x

則（4一）x2_（4+2f）x+（4_4f）=0

由方程有解得：△=（4+2f『一4（4—）（4一4/）>0

即/_8f+4W0,解得：4-2石4144+2/

所以Anin=4-20，此時(shí)X=-----=yfi—1

4-r

Ar

所以當(dāng)二￡取最小值時(shí)，x=y/3-If即8O=Q-1.

17.(1M，8兩家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為1百2，W7

13o

⑵有

【分析】

(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果;

答案第10頁(yè)，共20頁(yè)

(2)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算K2,再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.

【詳解】

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，N共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次,

設(shè)4家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為加,

則P陽(yáng)嚼喏

8共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次,

設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,

則尸(")2=1等0==7

2408

A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為1凈2

8家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為

O

(2)列聯(lián)表

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)

A24020260

B21030240

合計(jì)45050500

n(ad-be)2

K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

500x(240x30-210x20)2

?3.205>2.706,

260x240x450x50

根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公

司有關(guān).

18.(1)證明見(jiàn)解析;

(2)-78.

【分析】

答案第11頁(yè)，共20頁(yè)

,IS.,/I=1

(1)依題意可得2s“+"=2〃4+〃，根據(jù)凡=I作差即可得到。“一。1=1,

［S〃-2

從而得證；

(2)法一：由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出卬，即可得到｛%｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和，再根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】

29

(1)因?yàn)橐?+n=2a+1,即2s+〃2=+〃①，

nnzi

當(dāng)〃22日寸，2s+(“-1)②，

①-②得，2s〃+/-2S〃_］-(〃-1『=2%+〃一2(〃一1)%一(〃一1),

即2an+2/7-1=2nan-2(n-l)an_1+1,

即2(〃一1"〃一2(〃一I",”=2(〃一1),所以4〃一〃〃_I=1,且〃EN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)［方法一］:二次函數(shù)的性質(zhì)

由(1)可得。4=%+3,%=%+6,%=4+8,

又%，%，％成等比數(shù)列，所以的之二。八%,

即(q+6)=(q+3).(%+8),解得q=-12,

INg、i「…n(n-1)1251(25?625

所以%=〃-13，所以S”=-12〃+--------=—n2"------n=—\n----------------，

”2222(2)8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時(shí)，(S,，L=-78.

［方法二］:【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法

由(1)可得4=4+3,%=%+6,%=%+8,

又知,%,“9成等比數(shù)列，所以為2=%.%,

即(4+6>=(q+3)?(q+8),解得q=T2,

所以(=〃-13,即有％〈生<…<〃口<°M”=°.

答案第12頁(yè)，共20頁(yè)

則當(dāng)”=12或〃=13時(shí)，（5?）min=-78.

【整體點(diǎn)評(píng)】

(2)法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S,的最小值，適用于可以求出S,的表達(dá)式:

法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解.

19.(1)證明見(jiàn)解析；

(2)獷

【分析】

(1)分別取/8,8(7的中點(diǎn)%”,連接用?/,由平面知識(shí)可知￡'屈_1，8,川_1861,EM=FN,

依題從而可證EA/1平面N8C。，尸N,平面根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知

EM//FN,即可知四邊形近MVF為平行四邊形，子是EF3MN,最后根據(jù)線面平行的判定

定理即可證出；

(2)再分別取/。,OC中點(diǎn)K,/,,由(1)知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體KMNL-EFG”的

體積加上四棱錐8-MNFE體積的4倍，即可解出.

【詳解】

(1)如圖所示：

分別取的中點(diǎn)M,N,連接MV,因?yàn)闉槿鹊恼切?，所?/p>

EMA.AB,FNIBC,EM=FN,又平面￡48_L平面N8C。，平面E4Bc平面4BCD=4B,

EMu平面E4B,所以EM_L平面/BCD,同理可得FN_L平面/BCD,根據(jù)線面垂直的性

質(zhì)定理可知EA///FN,而EM=FN,所以四邊形EMN尸為平行四邊形，所以EF/1MN,

又EF0平面4BCD,MVu平面N8CD,所以環(huán)〃平面488.

答案第13頁(yè)，共20頁(yè)

（2）［方法一］:分割法一

如圖所示：

分別取4）,DC中點(diǎn)K,/,由（1）知，E尸〃且=同理有，HE//KM,HE=KM,

HGI/KL,HG=KL,GF/1LN,GFLN,由平面知識(shí)可知，BDLMN,MN1MK,

KM=MN=NL=LK,所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐

B—MVFE體積的4倍，

因?yàn)镸N=NL=LK=KM=4逝,屈W=8sin60°=，點(diǎn)B到平面MVFE的距離即為點(diǎn)8

到直線的距離d,d=2五,所以該幾何體的體積

憶=（4可x4石+4x；x4逐x46x2忘=128』+與6=寫6

|方法二］:分割法二

如圖所示：

連接AC,BD,交于0,連接0E,0FQG,0H.則該幾何體的體積等于四棱錐0-EFGH的體積加

上三棱錐A-0EH的4倍,再加上三棱錐E-0AB的四倍.容易求得，0E=0F=0G=0H=8,取

EH的中點(diǎn)P,連接AP,0P.則EH垂直平面AP0.由圖可知，三角形AP0,四棱錐0-EFGH與

三棱錐E-0AB的高均為EM的長(zhǎng).所以該幾何體的體積

答案第14頁(yè)，共20頁(yè)

修」4"(4⑸%小L.4"4百>4.LU@4<T=斗

3',32323

20.(1)3

⑵H+8)

【分析】

(1)先由/'(X)上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再

由函數(shù)值求出。即可；

(2)設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由〃x)和g(x)及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示

出。，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得。的取值范圍.

【詳解】

(1)由題意知，"T)=-l-(-l)=O,八勸=3/-1,八-1)=3-1=2,貝獨(dú)=/(x)在點(diǎn)(-1,0)

處的切線方程為y=2(x+i),

即y=2x+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(工2國(guó)(X2))，g\x)=2x,則/(工2)=2%2=2,解得々=1,

貝g(l)=1+。=2+2,解得〃=3；

(2)/'(x)=3xJl,則y=/(x)在點(diǎn)(xj(xj)處的切線方程為y-(x；—xj=(3x；-l)(x-x3

整理得y=(3x；-l)x-2x；,

設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(x?,g(Z)),g'(x)=2x,則/(上)=2與，則切線方程為

y-{x}+a^=2X2(X-X2),整理得y=2/x-考+Q,

則凰二整理——2X>3=H_2X；=%"2X”|X；+；,

931

令〃(x)=一2丁一萬(wàn)x2+工，貝1]//(工)=9工3-612-3%二3%(3%+1)(工一1),令//(x)>0,解得

一1<x<0或x>l,

3

令l(x)<0,解得x<-g或0<x<l,則x變化時(shí)，〃'(x),A(x)的變化情況如下表：

(0,1)

X:-七-301

答案第15頁(yè)，共20頁(yè)

“(X)-0+0-0+

5

/心)/-1/

274

則以X)的值域?yàn)椴?,”)，故。的取值范圍為卜1,物).

21.(l)/=4x；

(2)AB;x=y/2y+4.

【分析】

(1)由拋物線的定義可得|〃/|=p+日，即可得解：

(2)法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線〃N：x=W+l,由韋達(dá)定理及斜率公式可得%MV=23”再

由差角的正切公式及基本不等式可得3B=l，設(shè)直線AB:x=Cy+n,結(jié)合韋達(dá)定理可解.

【詳解】

(1)拋物線的準(zhǔn)線為x=-5,當(dāng)“短與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)用的橫坐標(biāo)為小

此時(shí)|知尸|寸+5=3,所以p=2,

所以拋物線C的方程為V=4x；

(2)［方法一］:【最優(yōu)解】直線方程橫截式

設(shè)傳,為，4，%)，5卷"/J，直線"N:x=/My+l,

二my+1.

.可得y——4陽(yáng)y—4=0,A>0,j/j^=-4,

=4x2

k-％f_4：為一乂_4

由斜率公式可得‘"'一戍_液一乂+%，'廠區(qū)_因一為+乂，

4444

直線:x=0二2.y+2,代入拋物線方程可得/-4(--2--V-8=0,

答案第16頁(yè)，共20頁(yè)

△>0,必力=-8,所以必=2%,同理可得乂=2%，

44

所以％西=

%+乂2（%+%）

tana

又因?yàn)橹本€MM的傾斜角分別為a,4，所以陽(yáng)8=tanP=~^=----

2

若要使a-￡最大，則,設(shè)褊,=2如=2%>0,則

tana-tanBk1）1

tan（?-￡）=--------------------------=--------<-：

1+tanatan/?1+2k2-+2k2l-1-2k

當(dāng)且僅當(dāng)：=2左即4=立時(shí)，等號(hào)成立,

k2

—,設(shè)直線=向+〃,

所以當(dāng)a-￡最大時(shí)，kIB

2

代入拋物線方程可得必-4應(yīng)y-4〃=0,

A>0,為居=-4〃=4yly2=-16,所以〃=4,

所以直線/8:x="y+4.

［方法二］:直線方程點(diǎn)斜式

由題可知，直線AW的斜率存在.

設(shè)加（外,兇）川（孫力）,/（*3，%），8（*4，卜4）,直線及可：卜=后（*-1）

丁廠得:

由左2/一（24~+4）工+左2=0,工1%2=1,同理，y^i~?

y=4x

直線用。:9="a-2）,代入拋物線方程可得：X,X3=4,同理，X2X4=4.

%1—Z

代入拋物線方程可得:乂8=-8,所以必=2yz,同理可得乂=2y,,

k=%一乃=2（%-必）=8-乂=4

AB

由斜率公式可得：x4-x3（11）2（X2-X}）2M…

（工2X\）

（下同方法一）若要使a-1最大，則〃e（0，T）,

si-tana_tan：_k_1_1_4

--

設(shè)右兇=23=24>0,則期乂。i+tanatan^iTIF-l+2^Fl4

12M2

當(dāng)且僅當(dāng);=2左即斤=也時(shí)，等號(hào)成立，

k2

答案第17頁(yè)，共20頁(yè)

所以當(dāng)a-￡最大時(shí)，設(shè)直線/8:、=0+〃，

代入拋物線方程可得V-4正了-4〃=0,△>(),%%=4h為=T6,所以〃=4,所以

直線AB:x=6y+4.

［方法三］：三點(diǎn)共線

設(shè)尸&0),若P、M、N三點(diǎn)共線，由兩