贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷2卷(理科)(全國(guó)卷專用)(解析版)

【沖鋒號(hào)喏場(chǎng)模擬】贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷02卷（理科）

（全國(guó)卷專用）

（解析版）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜|/<%+2},8={-1,0,1,2,3},則AB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{0,1}D,{1,2}

【答案】C

【分析】解不等式得到A={x|T<x<2},求出交集.

【詳解】x2<x+2,即父7-2<0，解得：一l<x<2,故4={x|-l<x<2},

所以AB={x|-l<x<2}^{-1,0,1,2,3}={0,1}.

故選：C

2.若復(fù)數(shù)z滿足白為純虛數(shù)，且忸=1,則z的虛部為（）

2+1

A.±—B.—C.土石D.V5

55

【答案】A

【分析】設(shè)2=。+〃（。力€2,代入白后利用復(fù)數(shù)的定義求得關(guān)系，然后由復(fù)數(shù)模的

定義計(jì)算求得Z,從而得結(jié)論.

za+歷（。+歷）（2—i）2tz+Z?+（2b-a）i

【詳解】設(shè)z=a+bi（a,beR）,till----=------=---------------=------------------

2+i2+i（2+i）（2-i）5

z12cl+0=0,.?

因?yàn)槎榧兲摂?shù)，所以L八所以b=-2a<0,z=a-2oi,因?yàn)閦=l,所以

2+i[2b-a^0,

J/+(_2a)2=1,

解得〃=±且，則匕=?3叵，即z的虛部為土壁.

555

故選：A.

3.下列命題正確的個(gè)數(shù)為()

①命題"HxeR,J+x+izo，，的否定是“vxeR,x2+x+l<0,5;

②。+%=0的充要條件是2=-1；

a

③若函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，則〃x)=0；

④必20是2H的必要條件.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定法則即可判斷①；取特例可判斷②、③、④項(xiàng).

2，，

【詳解】命題“HreR，f+x+120”的否定是“VreR,x+x+l<0)①正確：

當(dāng)。=6=0時(shí)，。+匕=0,但是2=-1不成立，②錯(cuò)誤；

a

函數(shù)f(x)=:是奇函數(shù)，但是/(1)工0,③錯(cuò)誤；

取。=1,b=-\,a2+b2-2,2ciZ?=-2,顯然有成立，但是"20不成立，④

錯(cuò)誤.

所以，只有①正確.

故選：A.

4.已知函數(shù)y=f(x)在定義域中滿足f(—x)=/(x),且在(-8,0)上單調(diào)遞減，貝！|y=/(x)可

能是()

]1-V

A./(%)=——B./(x)=-X2C./(x)=ev+e_xD.f(x)=In--

x1+x

【答案】C

【分析】求出各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域，再判斷該函數(shù)是否同時(shí)滿足兩個(gè)條件作答.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)f(x)=-^?的定義域是(-8,0)一(0,xo),“一^!:-/⑶鵬不是；

XX

對(duì)于B,函數(shù)的定義域是R,而Ax)在(F,0)上單調(diào)遞增，B不是；

v

對(duì)于C,函數(shù)f(x)=e*+eT的定義域是R,/(-x)=e-'+e=/?,V^,x2e(^?,0),x,<x,,

/(X()-/(x,)=ev,+ef-(e也+ef)=(eX|-e*2)(1一一1])，因王<々<0,則0<eX,<eA2<1.

e,1-e2

<ex'-e^<O,l--!—<0,即有/&)-/(9)>0,因此/(占)>/區(qū))，f(x)在(7,0)上單

e1-e2

調(diào)遞減，C正確；

對(duì)于D,函數(shù)〃犬)=也了的定義域是(-1,1),/(-x)=ln^=-/(x),D不是.

1+x\-x

故選：c

5.在直三棱柱ABC-A￡G中，/8。=90。,。,片分別是AB|，AG的中點(diǎn)，BC=CA=CC"

則B2與AM所成角的正弦值是()

A廊R1「屈n同

1021015

【答案】C

【分析】建立空間宜角坐標(biāo)系，利用向量法求得8。與A耳所成角的余弦值，從而求得所求.

【詳解】根據(jù)題意易知AC,BC,C￡兩兩相互垂直，

由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=AC=CCt=2,

則4(2,0,0),Fx(1,0,2),8(020),Q(1,1,2),

故8.=(1,-1,2),=(-1,0,2),

設(shè)BD「與AK所成角為a,00<a<90°,

AF-BD、3回

貝cosa=?——j-j_4=—j=——產(chǎn)=------,

：斗叫|舊X限10

所以sina=Ji=嬴幾=叵，即與AM所成角的正弦值是場(chǎng).

1010

故選：C.

6.從2位男生，4位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每個(gè)場(chǎng)館各1人，且至少有1

位男生入選，則不同安排方法有()種.

A.16B.20C.96D.120

【答案】C

【分析】分一男兩女與兩男一女兩類討論.

【詳解】若選一男兩女共有：C；C：A；=72；

若選兩男一女共有：C；C：A；=24；

因此共有96種，

故選：C

7.函數(shù)/(x)=20sin?x+e)其中的圖象的一部分如圖所示,

g(x)=2心m妙，要想得到g(x)的圖象，只需將Ax)的圖象()

A.向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度D,向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

4

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)/(x)的解析式，然后根據(jù)圖象變換關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】函數(shù)的周期T=4X(6—2)=4X4=16,即生=16,得。=1,

co8

則/(冗)=2而in(]x+9),

由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得三x2+e=g,得＞=

o24

得〃：

x)=2&sin(1x+)=2V2sin—(x+2),

8

為得到g(x)=20sin3x=20sin—x,

8

則只需要將fM的圖象向右平移2個(gè)單位，即可得到g(x)的圖象，

故選：B.

8.排球比賽實(shí)行“五局三勝制”，根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲、乙兩隊(duì)的比賽

中，每場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為:2，乙隊(duì)獲勝的概率為11,則在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球賽

中乙隊(duì)獲勝的概率為()

1416

A.BD.

81-18?

【答案】C

【分析】乙隊(duì)獲勝可分為乙隊(duì)以3:0或3:1或3:2的比分獲勝.然后分別求出各種情況的概率,

加起來(lái)即可；也可以構(gòu)建二項(xiàng)分布模型解決.

【詳解】解法?：乙隊(duì)獲勝可分為乙隊(duì)以3:0或3:1或3:2的比分獲勝.

乙隊(duì)以3:0獲勝，即乙隊(duì)三場(chǎng)全勝，概率為C；x士=—；

327

門、22?2

乙隊(duì)以3:1獲勝，即乙隊(duì)前三場(chǎng)兩勝一負(fù)，第四場(chǎng)獲勝，概率為C；x上x(chóng)-xl=—：

3⑶3327

乙隊(duì)以3:2獲勝，即乙隊(duì)前四場(chǎng)兩勝兩負(fù)，第五場(chǎng)獲勝，概率為C：x（口xf-1x-=—.

4ujUJ381

所以，在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率為導(dǎo)導(dǎo)『丁

解法二:采用五局三勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用X表示5局比賽中乙勝的局?jǐn)?shù)，則X-

乙最終獲勝的概率為P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）

=令眇如令眇削Ki號(hào)

故選：C.

9.八角星紋是一種有八個(gè)向外突出的銳角的幾何紋樣（如圖1）,它由八個(gè)均等的向外伸展

的銳角組成的對(duì)稱多邊形紋樣，具有組合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等特點(diǎn).有的八角星紋中間鏤空出

一個(gè)正方形，有的由八個(gè)菱形組成，內(nèi)部呈現(xiàn)米字形線條.八角星紋目前仍流行在中國(guó)南方

的挑花和織錦中.在圖2所示的八角星紋中，各個(gè)最小的三角形均為全等的等腰直角三角形,

中間的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，在圖2的基礎(chǔ)上連接線段，得到角a,夕，如圖3所

示，則a+〃=（）

【分析］根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征求出tana,tan/?,然后利用兩角和的正切公式求解即可.

【詳解】如圖所示，連接BC,

EF1

在中，EF=2,DE=4,tan^=—=-,

DE2

11

—I—

所以tan(a+〃)=警土嗎=二丁今=1,

'71-tanatan/?

~32

又e/e(0,45),所以a+4=45.

故選：B.

10.函數(shù)/(x)=(e-'-e')cos2x在區(qū)間-將大致圖像可能為()

【答案】B

【分析】利用定義判斷f(x)的奇偶性，再結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)分析判斷，即可得答案.

【詳解】：/(Jt)+/(-x)=(e^r-e')cos2x+^ex-e-x)cos(-2J：)=(e-x-e'+ev-e-A)cos2x=0,

，/(X)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

故A、C錯(cuò)誤；

當(dāng)xe(。，：)時(shí)，則e'>l,e-，=J<1,2xe，

e*r-eA<0,cos2x>0,故/(x)=(eT-e*)cos2x<0；

當(dāng)xe仔時(shí),則e*>叱=5<1,2》€(wěn)6,兀}

/.e-'-e”<0,cos2x<0,故/(x)=(eT-e*)cos2x>0；

故D錯(cuò)誤，B正確；

故選：B.

11.若雙曲線J-3=l(a>0/>0)的漸近線與圓C：J+y2-4x+2=0相交，則此雙曲線

的離心率的取值范圍是()

A.(1,V2)B.(1,2)C.(72,2)D.(a,+8)

【答案】A

【分析】雙曲線的漸近線與圓相交，則圓心到漸近線的距離小于半徑，解出的不等式代入離

心率算式即可.

【詳解】由圓/+丁一4x+2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2產(chǎn)+/=2,得到圓心(20),半徑「=應(yīng).

.?雙曲線i>。)的漸近線—/圓—=。相交,

3

則圓心到漸近線的距離小于半徑，即〈血，可得從

yja2+b2

即/<2,又<e>1,

1<e<&.

該雙曲線的離心率的取值范圍是(1,&》

故選：A.

12.若0<玉<々<1,則()

r,r,

A.e"-e>\nx2-Inx,B.e"-e<lax2-1g

A,X2xX2

C.x2e>xfiD.x2e'<x{e

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=e'-Inr,利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可判斷A和B,再構(gòu)造g(x)=^,

利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可判斷C和D.

【詳解】令/(力二爐-Inx,則r(x)=e=J,

令/?(%)=ev--,7zr(x)=e'+士>0恒成立，

xx

即r(x)=e*—在定義域(0,+力)單調(diào)遞增，

且「(J=ee_e<0〃l)=eT>。，

因此在區(qū)間(0,1)上必然存在唯一%使得了'(%。)=0,

所以當(dāng)xe(0,x°)時(shí)〃x)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)〃x)單調(diào)遞增,

故A,B均錯(cuò)誤；

人‘\e"”、er(x-l)

令g(x)=—，g(x)=，

XX'2'

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,

，g(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)，

e"e"2

A

0<X,<x2,—>—,即X2Q'>才巧”,

%x2

???選項(xiàng)C正確，D不正確.

故選:C.

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.雙曲線C：，4=S?！?的左、右焦點(diǎn)分別為—,已知焦距為8,離心率為2,

過(guò)右焦點(diǎn)鳥(niǎo)作垂直于x軸的直線/與雙曲線C的右支交于48兩點(diǎn)，則|AB\=

【答案】12

【分析】根據(jù)雙曲線的焦距和離心率求得雙曲線方程，根據(jù)題意可令x=4,即可求得答案.

【詳解】由題意雙曲線C.J

=1(。>0力>0),則半焦距c=4,

乂離心率為2,則一二2,故a=2,/.b=>/16-4=2>/J,

a

則雙曲線方程為C:工一￡=1,g(4,0)

412

過(guò)右焦點(diǎn)尸2作垂直于x軸的直線/與雙曲線C的右支交于A8兩點(diǎn),

則令x=4,故與-"=L「.y=±6,

故IAB1=6—(-6)=12,

故答案為：12.

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且4(1,，”),8(4,4-〃?)，若O,A,B三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)機(jī)=.

4

【答案】§##0.8

【分析】將三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為OA//OB,再利用向量平行的坐標(biāo)表示，即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?48三點(diǎn)共線，所以。4〃03，OA=(1,咐，。3=(4,4-咐，

4

所以4一"?=46，解得：m=—.

4

故答案為：y

15.在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為若”=2,c=3,sinA=2sinB8sC,則ABC

的面積為.

【答案】2&

【分析】利用正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理解得匕=3,再利用三角形面積公式求解即

可.

【詳解】由正弦定理邊角互化可得a=?cosC①，

乂由余弦定理可得C?="+從-2?bcosC②，

①②聯(lián)立解得b=3,

所以cosC=^=:，又因?yàn)镃EO"),所以sinC=逑，

2b33

所以SA8c=；4bsinC=2血，

故答案為：20

16.己知矩形488,P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，恒耳=若且尸到A8的距離為2.若將矩形A8C￡>

繞AD順時(shí)針旋嘴，則線段”掃過(guò)的區(qū)域面積為一

【分析】矩形ABC。繞A。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)楙，則的掃過(guò)了一個(gè)圓錐的側(cè)面的：，圓錐的側(cè)面

展開(kāi)即可計(jì)算.

【詳解】過(guò)戶作PE=yjAP^-AE2=75-22=1'

若旋轉(zhuǎn)一圈則”可旋轉(zhuǎn)成一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐，則

S=-x

2

故答案為：器

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第

17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根

據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某商場(chǎng)計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶8元，售價(jià)每瓶10元，

未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶4元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求

量與當(dāng)天最高氣溫(單位：。C)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶；如果最高

氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為400瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定

六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)117382275

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)400瓶的概率，并求出前三年六月份這種酸奶

每天平均的需求量；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為丫(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為

550瓶時(shí)，寫出y的所有可能值，并估計(jì)y大于零的概率.

【答案】(D三；456

45

4

(2)y值見(jiàn)解析，-

【分析】(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最

高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)400瓶的概率；利

用平均數(shù)公式可求前三年六月份每天平均需求量；

(2)分別求當(dāng)溫度大于等于250c時(shí)，溫度在［20,25)℃時(shí)，以及溫度低于20℃時(shí)的利潤(rùn)，

從而估計(jì)，大于零的概率.

【詳解】(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，

得到最高氣溫位于區(qū)間120,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)為1+17+38=56,

...六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率=；

9045

前三年六月份這種酸奶每天平均的需求量為

(22+7+5)x600+38x400+(1+17)x300_41000?45(,.....)

"-90-90~；

(2)當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí)，需求量為600,

Y=550x2=1100元，

當(dāng)溫度在［20,25)C時(shí)，需求量為400,

400x2-(550-400)x4=200元，

當(dāng)溫度低于20℃時(shí)，需求量為300,

丫=600-(550-300)x4=-400元，

當(dāng)溫度大于等于20時(shí)，y>0,

由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有：

90-(1+17)=72,

724

估計(jì)丫大于零的概率2=癡=1.

18.有下列3個(gè)條件：①%+/=-2；②邑=-28；③4,%,生成等比數(shù)列.從中任選1

個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并解答

問(wèn)題：設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為加已知S“M=S,,+%+2(weN*),.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)5”的最小值并指明相應(yīng)的〃的值.

【答案】⑴4=2〃-12；

(2)〃=5或者6時(shí)，Sn取到最小值-30.

【分析】(1)由已知可得47-4=2,則｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，若選①,則由為+為=-2

列方程可求出q，從而可求出通項(xiàng)公式；若選②，則由與=-28列方程可求出％,從而可求

出通項(xiàng)公式；若選③，則由生，%，生成等比數(shù)列可得（%）2=/生，由此可求出％,從而

可求出通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得=-1^1,再由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值.

【詳解】（1）因?yàn)?田=5,,+4+2,

所以*-4=2,即｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，

選擇條件①：因?yàn)椋?4=-2,所以2q+94=_2,則2q+9x2=-2,

解得q=-10,所以%=2〃-12；

7x6

選擇條件②：因?yàn)橐?-28,所以74+號(hào)d=-28,解得《=-10,

所以=2n-12；

選擇條件③：因?yàn)槌觯?，生成等比?shù)列，

所以（％）2=%6，即（4+3"）2=（4+"）（。1+4"）,解得q=-10,

所以=2〃-12：

（2）由（1）可知4=-10,d=2,

所以5“=—10"+^^~—x2=n2—1\n=121

因?yàn)椤╡N*,

所以當(dāng)〃=5或者6時(shí)，S“取到最小值，即（S“）min=-30

19.如圖，直三棱柱ABC-A8C的底面為正三角形，A8=A4I=2,點(diǎn)。，E分別在A8,

8片上，且AD=QB,BE=；EB「

（1）證明：平面平面EQC；

⑵求二面角A-EC-D的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵*

【分析】（1）解法一：先建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到南?反=0，

DEDA,=Q,即可證明。A，DE,DA.VDC,再利用線面垂直的判定定理及面面垂直的

判定定理即可得證；

解法二：先根據(jù)已知，利用相似三角形和勾股定理的逆定理得到OELD4,，DA.1CD,再

利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得證；

（2）先求出平面AEC的法向量，再利用（1）中的結(jié)論得出D4,為平面EDC的一個(gè)法向量，

最后利用向量的夾角公式即可得解.

【詳解】（I）解法一，取8c的中點(diǎn)。，連接OA,

因?yàn)锳BC是等邊三角形，所以。

因?yàn)槠矫鍭BC4平面BBCC,且平面ABCC平面BB￡C=BC,

所以。4_L平面BBCC，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,所在直線分別為x,z軸，平面B2￡C內(nèi)，過(guò)點(diǎn)。作。丫，》軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意得3（1,0,0），C（—1,0,0）,A（。。,石），A（0,2,G）,B,（1,2,0）,

因?yàn)?)=OB，BE=^EBt,所以￡>g,0,斗，

所以O(shè)E=g；3

,DC=--,0-

2

所以ggc=o,DE-DA,=0,所以。ALOE,DA11DC,

又CDnDE=D,CD,DEu平面COE,所以ZM,J"平面￡>CE,

又。Au平面AQC,所以平面AOC,平面￡℃.

解法二，由題意知四邊形AB用A為正方形，笑邛=2,

BDBE

所以△AIM,s^BED,則ZA4,D=ZBDE,

因?yàn)?，所以NBOE+40A=90。，所以N4力石=9?！?則

易得CD=6，DA=#>,CA=2叵,因?yàn)椋℅『+（逐）2=（20『，

所以CZ>2+=C$,則DA,1CD.

又CDDE=D,CD,DEu平面CQE,所以。AL平面C￡>E,

又。Au平面CDAt,所以平面AtDCJ.平面EDC.

因?yàn)锳O=D8，BE=；EB1,所以。

所以CE=12,g,o],C4,=(1,2,^),

設(shè)平面AEC的法向量為〃=（X,y,z）,

2x+,y=0(

n-CE=O

則,所以《2,取x=l,得〃=1,-4,

n-C\=0x+2y+Gz=0I

由（1）知以，平面。?！旯蔇4,為平面CDE的一個(gè)法向量.（注意利用（1）的結(jié)論）

易知二面角A-EC-。為銳二面角，所以二面角A-EC-。的余弦值為姮.

10

20.已知橢圓C：5■+￡■=皿＞…）的下頂點(diǎn)為點(diǎn)。，右焦點(diǎn)為6（1，0）.延長(zhǎng)陰交橢圓

C于點(diǎn)E,且滿足|平卜3|足E|.

（1）試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）4,B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，M,N是橢圓上與4,8均不重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)

直線AM,AN的斜率分別是匕，若直線MN過(guò)點(diǎn)則我是否為定值，若是求

出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴《+產(chǎn)=1

2

(2)是定值；k-k,=~

tO

【分析】(1)由|%|=3|每耳轉(zhuǎn)化為平面向量表達(dá)式，根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)

合平面向量共線的坐標(biāo)表示得到E的坐標(biāo)，從而代入橢圓求解即可：

(2)設(shè)出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方

程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合直線斜率公式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算證明即可.

【詳解】(1)橢圓C的下頂點(diǎn)為。(0,-加，右焦點(diǎn)1(1,0),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為G,y),

因?yàn)?。?3怩耳，所以嗨=36瓦又D巳=(l,b),F2E=(x-l,y),

4

X——

3(x-l)=l3

所以3y=b，解得

代入J+/1可得以+QL],即崇篙1，得〃=2,

a2b2

Xa2—b2=c2=1>則)*=1，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+丁=1：

2

(2)由題意設(shè)直線MN:x=my+￥，M(Xt,y1),N(x2,y2),4(-72,0),

x=my+

聯(lián)立消去X,W2(/M2+2)/+2y/2my-3=0,

則弘+必=扇一含'*%=一而3可‘

^k-k=y-=______型?________

12

Xy+V2x24-V2x]x2+>/2(^+X2)+2

23>/2z、9

萬(wàn)皿y+>2)+2

3_3

-2（一+2）

________1

向

23309--in2-3m2+-（/M2+26'

-m2（m2+2）~mm2+2+222V

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達(dá)定

理解決相應(yīng)關(guān)系，其中的計(jì)算量往往較大，需要反復(fù)練習(xí)，做到胸有成竹.

21.已知函數(shù)/(x)=e*-x,g(x)=alnx+a(a〉0,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴若直線丫=丘與曲線y=/(x),y=g(x)都相切，求a的值;

⑵若〃x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)a=e-l

⑵(O，e-1]

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出曲線y=〃x)，)，=g(x)的過(guò)原點(diǎn)的切線，列方

程即可求得a的值；

(2)先討論g(x)40的情況，再討論g(x)>0的情況，分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：設(shè)直線y=H與曲線y=F(x),y=g(x)分別切于點(diǎn)「a,/&)),

Q(W，g伍))，

易知/(N)=9-%,/r(x)=e'-1,

小)=9-1,

與曲線y=/(x)切于點(diǎn)P的直線方程為y=(e'Jl)(xrJ+e-―玉，

?.?直線丫=依過(guò)原點(diǎn)，

一X|(e,"_])+e、'_=0,

整理得(1—天)爐=0,

二玉=1，切線方程為y=(e-l)x.

易知8(々)=。垢々+。，/(x)=￡,

■■g'(x2)=—,

工2

/.與曲線y=g(x)切于點(diǎn)Q的直線方程為y=q(x-X2)+aln%+a,

X2

整理得y=2?x+alnx2,

<zlnx2=0

.'.6z=e-l.

(2)解：由f(x)2g(x),#ex-x>a(lnx+l),

令夕何=6工一x-l,

則"(x)=e，-l,

當(dāng)x<0時(shí),"(x)<0,e(x)遞減;

當(dāng)x>0時(shí),”(x)>0,e(x)遞增，

"(以=奴0)=0,

ex>x+\>xy

eA-x>0?

當(dāng)時(shí)，?(lnx+l)<0,

.,.eX-xNa(lnx+l)恒成立.

當(dāng)x時(shí)，a<————,

(e)lnx+1

人、eA-x(13

令人(尤)=-----,xe-,+oo,

v7lnx+1le)

(ex-l)(lnx+l)-1(ev-x)(eA-l)-lnx+eJ-

則”(x)=

(lnx+1)(Inx+l)

/f（x）＜0,單調(diào)遞減,

當(dāng)x?l,-8)時(shí),〃(x)>0,人(可單調(diào)遞增,

???a"(x『Ml)=e—1,

a>Of

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（0,e-l].

【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是對(duì)lnx+1的符號(hào)分類討論，難點(diǎn)是對(duì)“（X）符號(hào)判斷；另外對(duì)常

見(jiàn)的求參方法要注意積累，比如本題中用到了分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的方法求參.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按

所做的第一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

卜=3cos0

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為..(。為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，尤

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