專題由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式(含答案)

第頁專題由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式一,目標(biāo)要求通過詳細(xì)的例題，駕馭由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法：二,知識(shí)梳理求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，高考也往往通過考查遞推數(shù)列來考查學(xué)生對知識(shí)的探究實(shí)力，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特別的數(shù)列或原數(shù)列的項(xiàng)的某種組合是一種特別數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問題化為熟識(shí)的等差或等比數(shù)列。三,典例精析1,公式法：利用熟知的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法。常用的公式有及等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例1已知數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}中，，求數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}的通項(xiàng)公式評注在運(yùn)用時(shí)要留意條件，對n=1要驗(yàn)證。2,累加法：利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法叫累加法。它是求型如的遞推數(shù)列的方法（其中數(shù)列的前n項(xiàng)和可求）。例2已知數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}中，，求數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}的通項(xiàng)公式評注此類問題關(guān)鍵累加可消中間項(xiàng)，而可求和則易得EMBEDEquation.DSMT43,.累乘法：利用恒等式EMBEDEquation.DSMT4求通項(xiàng)公式的方法叫累乘法。它是求型如的遞推數(shù)列的方法例3已知數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}中，求數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}的通項(xiàng)公式評注此類問題關(guān)鍵是化，且式子右邊累乘時(shí)可求積，而左邊中間項(xiàng)可消。4,轉(zhuǎn)化法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差（等比）數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比有關(guān)的數(shù)列而求得通項(xiàng)公式的方法稱為轉(zhuǎn)化法。常用的轉(zhuǎn)化途徑有：⑴湊配,消項(xiàng)變換——如將一階線性遞推公式（q,d為常數(shù)，）通過湊配變成=，或消常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為例4,已知數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}中，，，求數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}的通項(xiàng)公式點(diǎn)評：此類問題關(guān)鍵是利用配湊或消項(xiàng)變換將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列（2）倒數(shù)變換——如將一階分式遞推公式（c,d為非零常數(shù)）取倒數(shù)得例5已知數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}中，，，求數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}的通項(xiàng)公式點(diǎn)評：此類問題關(guān)鍵是取倒數(shù)使其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列然后可用湊配,消項(xiàng)變換。⑶對數(shù)變換——如將一階分式遞推公式EMBEDEquation.DSMT4取對數(shù)可得例6已知數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}中，，，且，求數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}的通項(xiàng)公式點(diǎn)評：此類問題關(guān)鍵是取對數(shù)使其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的對數(shù)的一階線性遞推數(shù)列即可用湊配,消項(xiàng)變換⑷換元變換——如將一階分式遞推公式（q,d為非零常數(shù)，q≠1，d≠1）變換成，令，則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式例7在數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}中，，EMBEDEquation.DSMT4，求數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}的通項(xiàng)公式評注：此類問題關(guān)鍵是通過換元將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式5,待定系數(shù)法遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿意，再應(yīng)用前面轉(zhuǎn)化法（4）類型的方法求解。例8.已知數(shù)列中，,,，求。7,疊代法例9已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿意．求數(shù)列的通項(xiàng)公式。8,歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納法揣測出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法。例10數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}滿意EMBEDEquation.DSMT4,求數(shù)列{EMBEDEquation.DSMT4}的通項(xiàng)公式四,實(shí)戰(zhàn)演練1,[2012·遼寧卷]已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且aeq\o\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.2,在數(shù)列{}中，,，求通項(xiàng)公式.3,設(shè)數(shù)列{}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁4,已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時(shí)，，求通項(xiàng)公式。5,設(shè)正數(shù)列，，…，，…滿意=且，求的通項(xiàng)公式.五,實(shí)力提升（逆推法）已知數(shù)列的前項(xiàng)和及滿意：EMBEDEquation.3成等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和點(diǎn)評：本題的常規(guī)方法是先求通項(xiàng)公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數(shù)列的前項(xiàng)和的遞推公式，是一種最佳解法由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式答案例1解：當(dāng)由==當(dāng)時(shí)不滿意故例2解：由可知當(dāng)時(shí)也成立。故有=例3解：當(dāng)n=1時(shí)由EMBEDEquation.DSMT4可得由=可得當(dāng)n=1時(shí)也成立。故有=例4解法一：由可得，又，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，即解法二（消項(xiàng)變換）①EMBEDEquation.DSMT4②②-①得EMBEDEquation.DSMT4，故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列即，再用累加法得例5解:由可得即數(shù)列是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列。EMBEDEquation.DSMT4=1+2（n-1）,即例6解：由，且可得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列EMBEDEquation.DSMT4=即例7解：由可得EMBEDEquation.DSMT4即令EMBEDEquation.DSMT4數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列即EMBEDEquation.DSMT4=即例8解：由可轉(zhuǎn)化為即EMBEDEquation.3或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則EMBEDEquation.3是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即EMBEDEquation.3又，所以。例9解：由當(dāng)時(shí)，有閱歷證也滿意上式，所以方法二,構(gòu)造數(shù)列公比為-2首項(xiàng)為的等比數(shù)列（以下略）例10解：易求EMBEDEquation.DSMT4，，由此可猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊==1，猜想成立；②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即，那么由已知①由②-①可得EMBEDEquation.DSMT4==，即當(dāng)時(shí)命題也成立。由①，②可知命題對任何都成立。點(diǎn)評：此類問題關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)的證明n=k+1時(shí)命題成立。方法二,時(shí)時(shí)可構(gòu)造等比數(shù)列（以下略）四,實(shí)戰(zhàn)演練1,(公式法)2n[解析]本小題主要考查等比數(shù)列的概念及性質(zhì)．解題的突破口為敏捷應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)變形式，是解決問題關(guān)鍵．由已知條件eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數(shù)列，可知，2(an＋an＋2)＝5an＋1?2(an＋an·q2)＝5anq?2q2－5q＋2＝0?q＝eq\f(1,2)或2，又因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是遞增數(shù)列，所以q＝2.由aeq\o\al(2,5)＝a10得a5＝q5＝32，所以a1＝2，an＝a1qn－1＝2n.2,（累加法）解：原遞推式可化為：則，……，逐項(xiàng)相加得：.故.3,（累乘法）解：原遞推式可化為：=0∵＞0，則……，逐項(xiàng)相乘得：，即=.4,