高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）含答案

高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

1.已知集合A={X|X2<4},B={X￡Z|-3WX<1},貝ijAAB=()

A.{-2,-1,0}B.(-1,0)C.{-1,0}D.(-3,-2)

A.3xdR,sinxWlB.VxGR,sinx>1

C.3xCR,sinx=lD.VxGR,sinxWl

3.函數(shù)y=V-x2-x±2.的定義域?yàn)?)

Inx

A.(-2,1)B.[-2,1]C.(0,1)D.(0,1]

4.定積分J2dx=()

八2

A.0B.yC.1D.2

5.函數(shù)f(x)=10g2X-2的零點(diǎn)包含于區(qū)間()

X

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,+8)

6.已知@=0.3%b=1.203,c=logi,20.3,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

A.pAqB.pA(-'q)C.(^p)A(「q)D.(_*p)Aq

8.已知f(x)={4一x2,g(x)=|x-2|,則下列結(jié)論正確的是（）

A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù)B.h（x）=f（x）*g（X）是奇函數(shù)

C.h(x)=K.x.”f(x)是偶函數(shù)D.h⑺壽巖是奇函數(shù)

2-x

9.函數(shù)y=-L一的一段大致圖象是()

smx-x

y

10.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意XER都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)

的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且f(4)=4,則f()=()

A.0B.-4C.-8D.-16

11.若函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+b)有極值點(diǎn)xi,X2(xi〈X2),且f(xi)=xi,則

關(guān)于X的方程f2(x)+(2+a)f(x)+a+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為()

A.0B.3C.4D.5

12.定義區(qū)間［X］,X2］的長(zhǎng)度為X2-X|(X2>X|)單調(diào)遞增)，函數(shù)啜ZL

ax

(aeR,aWO)的定義域與值域都是［m,n］(n>m),則區(qū)間［m,n］取最大長(zhǎng)

度時(shí)實(shí)數(shù)a的值()

A.B.-3C.1D.3

3

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分

Ig8+lgl25-lg2-lg5_

-lgVio-igO.i_~—'

l-log2(2-x)(x<2)

15.設(shè)函數(shù)f(x)="畢星些的最大值為M,最小值為m,則M+m=—.

x"+4

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+b是曲線y=alnx的切線，則當(dāng)a>0

時(shí)，實(shí)數(shù)b的最小值是.

二、解答題(解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.)

17.(12分)設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,q：實(shí)數(shù)x滿足|x-3|VL

(1)若a=l,且pAq為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若其中a>0且「p是「q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=(a”x,a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-1,2).

(1)求a的值；

(2)若g(x)=4'x-2,且g(x)=f(x),求滿足條件的x的值.

19.(12分)已知三次函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,cGR)過點(diǎn)(3,0),

且函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線恰好是直線y=0.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=9x+m-1,若函數(shù)y=f(x)-8(*)在區(qū)間［-2,1］上有

兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)滿足fQogaX)=f—(x-x7)(其中a>0,aWl)

a-1

(1)求f(x)的表達(dá)式；

(II)對(duì)于函數(shù)f(x),當(dāng)xG(-1,1)時(shí)，f(1-m)+f(1-m2)<0,求

實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(III)當(dāng)xW(-8,2)時(shí)，f(x)-4的值為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.

21.(12分)設(shè)f(x)=&+,lnx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與

x+1

直線2x+y+l=0垂直.

(1)求a的值；

(2)若Vx￡［1,+8),f(x)Wm(x-1)恒成立，求m的范圍.

(3)求證：ln%2n+l<￡—\—.(n€N*).

i=14i2-l

［選修4-1：幾何證明選講］

22.(10分)如圖，AB是圓。的直徑，AC是弦，NBAC的平分線AD交圓O

于點(diǎn)D,DE1AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,OE交AD于點(diǎn)F.

(1)求證：DE是圓O的切線；

(2)若NCAB=60。，。0的半徑為2,EC=1,求DE的值.

E

D

［選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

23.在平面直角坐標(biāo)系中，直線1過點(diǎn)P(2,逐)且傾斜角為明以坐標(biāo)原點(diǎn)為

極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4cos

IT

(0--),直線1與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)；

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若|AB|=任，求直線1的傾斜角a的值.

［選修4-5：不等式選講］

24.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-7|+1.

(1)求不等式f(x)Wx的解集；

(2)若存在x使不等式f(x)-2|x-l|Wa成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

廣東省深圳市三校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

1.已知集合A={X|X2<4},B={XGZ|-3WXV1},則ACB=()

A.{-2,-1,0}B.(-1,0)C.{-1,0}D.(-3,-2)

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【分析】化簡(jiǎn)集合A,B,運(yùn)用二次不等式的解法和運(yùn)用列舉法，由交集的定義，

即可得到所求值.

【解答】解：集合A={x|x2<4}={x|-2VxV2},

B={x￡Z|-3Wx<l}={-3,-2,-1,0},

則ACB={-1,0}.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交集的運(yùn)算，注意運(yùn)用二次不等式的解法，考查運(yùn)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

A.3xGR,sinxWlB.VxGR,sinx>1C.3xGR,sinx=lD.VxGR,

sinxWl

Vx>0,sinxWl,

故選：D.

3.函數(shù)y=--x2飛枕的定義域?yàn)?)

Inx

A.(-2,1)B.[-2,1]C.(0,1)D.(0,1]

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式組，解出

即可.

【解答】解:由題意得:

<-X2-X+2>0

'x>0且lnx#0'

解得：0<x<l,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考察了求函數(shù)的定義域問題，考察二次根式的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.

4.定積分Jl[x2dx=()

2

A.0B.yC.1D.2

【考點(diǎn)】定積分.

【分析】根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可

【解答】解:定積分jl[X2dx=，x3|/(1+1)=4,

000

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定積分的計(jì)算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

5.函數(shù)f(x)=log2X-工的零點(diǎn)包含于區(qū)間()

X

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,+?=)

【考點(diǎn)】二分法求方程的近似解.

【分析】由題意知函數(shù)f(x)=10g2X-工在(0,+8)上連續(xù)，再由函數(shù)的零點(diǎn)

X

的判定定理求解.

【解答】解：函數(shù)f(x)=10g2X-工在(0,+8)上連續(xù)，

X

771

f(3)=log23-QVO；f(4)=log24-7=1>0；

故函數(shù)f(x)=log2X-工的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(3,4).

X

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知a=0.3°,3,b=1.20-3,c=logi,20.3,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較.

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【解答】解：03

?.?a=0.3°3G(0,1),b=1.2>l,c=logi.20.3<0,

.,.c<a<b,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

A.pAqB.pA(-,q)C.(-'p)A(-,q)D.(-'p)Aq

故選：D.

8.已知f(x)=標(biāo)了，g(x)=|x-2],則下列結(jié)論正確的是()

A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù)B.h(x)=f(x)*g(x)是奇函數(shù)

C.h(x)=g(x；：f(x)是偶函數(shù)口.h(x)?是奇函數(shù)

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷.

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可.

【解答】解：f(x)={4-入2，g(x)=|x-2|,

22

A.h(x)=f(x)+g(x)4-X+Ix-214-X+2-x,xW[-2,2].

h(-x)=47+2+X,不滿足函數(shù)的奇偶性的定義，是非奇非偶函數(shù).

22

B.h(x)=f(x)?g(x)4-xIx-21=^4-x(2-x),xG[-2,2].

2不滿足奇偶性的定義.

h(-x)4-x(2+x),

C.h(x)=嗎山=標(biāo)示，xe[-2,2)不滿足函數(shù)的奇偶性定義.

D.h(x)=/乎、?-=也n1,xe[-2,0)U(0,2],函數(shù)是奇函數(shù).

2-g(x)x

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)的定義域的求法，是基礎(chǔ)題.

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值即可判斷.

【解答】解：f(-X)=-一一=-f(X),

smx-x

Ay=f(x)為奇函數(shù)，

???圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.,.當(dāng)X=7T時(shí)，丫=-親＜0,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象的識(shí)別，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值得特

點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意xGR都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)

的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且f(4)=4,則f()=()

A.0B.-4C.-8D.-16

【考點(diǎn)】函數(shù)的值.

【分析】先利用函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，得到函數(shù)y=f(x)

是奇函數(shù)，然后求出f(3)=0,最后利用函數(shù)的周期性求f()的值.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，

所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，

即函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，

令x=-3得，f(-3+6)+f(-3)=2f(3)，

即f(3)-f(3)=2f(3),解得f(3)=0.

所以f(x+6)+f(x)=2f(3)=0,即f(x+6)=-f(x),

所以f(x+12)=f(x),即函數(shù)的周期是12.

所以f()=f(12X168-4)=f(-4)=-f(4)=-4.

故選:B.

11.若函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+b)有極值點(diǎn)xi,X2(xi<X2),且f(xi)=xi,則

關(guān)于X的方程f2(x)+(2+a)f(x)+a+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為()

A.0B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.

【分析】求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為方程x2+(2+a)x+a+b=0有兩個(gè)不相同

的實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相同的極值點(diǎn)，

即F(x)=ex[x2+(2+a)x+a+b]=0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根xi,X2，

也就是方程x2+(2+a)x+a+b=0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，

所以△=(2+a)2-4(a+b)>0；

由于方程f2(x)+(2+a)f(x)+a+b=0的判別式

故此方程的兩個(gè)解為f(x)=X1或f(x)=X2.

由于函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=xi的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程f(x)=xi的解的個(gè)數(shù)，

函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=X2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程f(x)=X2的解的個(gè)數(shù).

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及f(X。=X|,

可知y=f(x)的圖象和直線y=x>的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

y=f(x)的圖象和直線y=X2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

所以f(X)=X1或f(X)=X2共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即關(guān)于x的方程f2(x)+(2+a)f(x)+a+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題難度中等偏上，是導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)與解一元二次方程的綜合

題目，求解的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并將方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖

象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

12.定義區(qū)間［xi,X2］的長(zhǎng)度為X2-X|(X2>X|)單調(diào)遞增)，函數(shù)￡&)=扈孚旦

ax

(a^R,aWO)的定義域與值域都是［m,n］(n>m),則區(qū)間［m,n］取最大長(zhǎng)

度時(shí)實(shí)數(shù)a的值()

A.B.-3C.1D.3

3

【考點(diǎn)】函數(shù)的值域.

【分析】由題意求出f(x)的定義域并化簡(jiǎn)解析式，判斷出區(qū)間的范圍和f(x)

的單調(diào)性，由題意列出方程組，轉(zhuǎn)化為m,n是方程f(x)的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根，

利用韋達(dá)定理表示出mn和m+n,由判別式大于零求出a的范圍，表示出n-m

利用配方法化簡(jiǎn)后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和a的值.

【解答】解：由題意得，函數(shù)f(x)的定義域是{x|x70},

,；［m,n］是其定義域的子集，［m,n］U(-0)或(0,+°°).

Vf(x)=(1+；)一|一在［m,n］上是增函數(shù)，

aax

...由條件得則m,n是方程f(x)=x的同號(hào)相異的實(shí)數(shù)根,

lf(n)=n

即m,n是方程(ax)2-(a2+a)x+l=0同號(hào)相異的實(shí)數(shù)根.

.1,a.aa+1

??mn=m+n=——=------,

aa2a

則4=(a2+a)2-4a2>0,解得a>1或a<-3.

.?.n-m的最大值為竽,此時(shí)解得a=3,

即在區(qū)間［m,n］的最大長(zhǎng)度為孥時(shí)，a的值是3.

故選D..

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化，函數(shù)單調(diào)性、值域，一元二次函

數(shù)的性質(zhì)，以及韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.)

Ig8+lgl25-lg2-lg5_

-igVio-igO.1--

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【分析】由Ig8=31g2,Igl25=31g5對(duì)分子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由0.1=看，=］0■^對(duì)

分母進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用Ig2+lg5=l進(jìn)行求值.

Ig8+lgl25-lg2-lg5_31g2+31g5~Lg2~Lg5

【解答】解:

IgVlO'lgO-1ylgio*lgy^-

2(lg2+lg5)

==-4

T

故答案為：-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，即化簡(jiǎn)求值，還考查了根式的分

數(shù)指數(shù)事的轉(zhuǎn)化，利用“Ig2+lg5=l”進(jìn)行求值.

l-log2(2-x)(x<C2)

14.設(shè)函數(shù),則=3

f(x)2^+1(x>2)f(f⑶)

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值.

【分析】利用分段函數(shù)直接求解函數(shù)值即可.

l-log2(2-x)(x<C2)

【解答】解:函數(shù)

f(x)2W+1(x>2)

則f(f(3))=f(21-3+1-)=f(")=1Tog2(2-=1+2=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

15.設(shè)函數(shù)f(x)=^駕垣更的最大值為M,最小值為m,則M+m=2.

x"+4

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義.

4x*t*sinx4x+sinx

【分析】化f(x)為l+「一，由g(x)=「一，定義域?yàn)镽,判斷g(x)

x"+4x"+4

的奇偶性，由圖象性質(zhì)可得g(x)的最值之和為0,進(jìn)而得到所求和.

【解答】解：函數(shù)f(x)=包駕擔(dān)應(yīng)

_x2+4+4x+sinx,4x+sinx

-9一1+2x，

X2+4x+4

./、4x+sinx.、，3、，

由g(x)=---2，定義域?yàn)镽，

x"+4

-4x-sinx4x+sinx

可得g(-x)+g(x)9+2=0,

x'+4x94

可得g(x)為奇函數(shù)，

由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

可得g(x)的最大值a與最小值b的和為0,

則M+m=a+l+b+l=(a+b)+2=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化法，由奇函數(shù)的性質(zhì)：最值

之和為0,考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+b是曲線y=alnx的切線，則當(dāng)a>0

時(shí)，實(shí)數(shù)b的最小值是-1.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【分析】設(shè)出曲線上的一個(gè)切點(diǎn)為(x,y),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的坐標(biāo)，

可得b=alna-a,再求導(dǎo)，求最值即可.

【解答】解：設(shè)出曲線上的一個(gè)切點(diǎn)為(x,y),

由y=alnx,得丫'=包,

x

?.?直線y=x+b是曲線y=alnx的切線，

Ay--=L

x

；.x=a,

,切點(diǎn)為（a,alna）,

代入y=x+b,可得b=alna-a,

/.b-lna+l-1=0,可得a=l,

二函數(shù)b=alna-a在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+°°）上單調(diào)遞增，

，a=l時(shí)，b取得最小值-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求出切線斜率，

根據(jù)切線斜率和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生

的運(yùn)算能力.

二、解答題（解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.）

17.（12分）（?深圳一模）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,q：實(shí)數(shù)x滿足

|x-3|<1.

（1）若a=l,且p/\q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

（2）若其中a>0且「p是「q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】（1）若a=l,根據(jù)pAq為真，則p,q同時(shí)為真，即可求實(shí)數(shù)x的取

值范圍；

（2）根據(jù)「p是fq的充分不必要條件，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：（1）由X?-4ax+3a2Vo得（x-3a）（x-a）<0

當(dāng)a=l時(shí)，l<x<3,即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是lVx<3.

由|x-3|Vl,得-1VX-3V1,得2VxV4

即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2VxV4,

若p/\q為真，則p真且q真，

二實(shí)數(shù)x的取值范圍是2Vx<3.

(2)由x?-4ax+3a2Vo得(x-3a)(x-a)<0,

若是的充分不必要條件，

則「po「q,且「q分「p,

B={x|-1q},則A￡B,

又A={x：—'p}={x|xWa或x23a},

B={x|—^}=仕反24或xW2},

則0<aW2,且3a24

???實(shí)數(shù)a的取值范圍是2a42.

18.(12分)(?深圳一模)已知函數(shù)f(x)=(3)ax,a為常數(shù)，且函數(shù)的圖

象過點(diǎn)(-1,2).

(1)求a的值；

(2)若g(x)=4X-2,且g(x)=f(x),求滿足條件的x的值.

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；函數(shù)的零點(diǎn).

【分析】(1)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即得a的值；

(2)根據(jù)條件得到關(guān)于x的方程，解之即可.

【解答】解：⑴由已知得(*)82,解得a=l.

(2)由(1)知f(x)=(y)x,

又g(x)=f(x),則4-x-2=(之)x,即勺)x-弓)x_2=0,即[弓)*]2

-(y)x-2=0,

令(*)x=t,則t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0,

又t>0,故t=2,即申*=2,解得x=-l,

滿足條件的x的值為-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考察函數(shù)解析式求解、指數(shù)型方程，屬基礎(chǔ)題，(2)中解方程時(shí)

用換元思想來(lái)求解.

19.(12分)(?深圳一模)已知三次函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,c￡R)

過點(diǎn)(3,0),且函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線恰好是直線y=0.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=9x+m-1,若函數(shù)y=f(x)-g(x)在區(qū)間［-2,1］上有

兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【分析】(1)根據(jù)已知條件即可建立關(guān)于b,c,d的三個(gè)方程，解方程即可求

出b,c,d,從而求出f(x)的解析式.

(2)由已知條件可得到方程f(x)-g(x)=0在區(qū)間［-2,1］上有兩個(gè)不同的

解，帶入f(x),g(x)后得到：方程*3-3*2-9*-111+1=0在區(qū)間［-2,1］上

有兩個(gè)不同解.因?yàn)榍髆的取值范圍，所以把方程變成：m=x3-3x2-9x+l,求

函數(shù)x3-3x2-9x+l在區(qū)間［-2,1］上的取值范圍，要使方程有兩個(gè)不同的解,

從而求出m應(yīng)滿足的范圍.這樣便求出了m的取值范圍.

【解答】解：(1)F(x)=3x2+2bx+c,由已知條件得：

'f(3)=27+9b+3c+d=C

<fy(0)=c=0，解得b=-3,c=d=0；

f(0)=d=0

/.f(x)=x3-3x2

(2)由已知條件得：f(x)-g(x)=0在［-2,1］上有兩個(gè)不同的解；

即x3-3x2-9x-m+l=0在區(qū)間［-2,1］有兩個(gè)不同的解；

即m=x3-3x2-9x+l在［-2,1］上有兩個(gè)不同解.

令h(x)=x3-3x2-9x+l,h'(x)=3x2-6x-9?xG［-2,1］；

解3x2-6x-9>0得：-2WxV-1；解3x2-6x-9V0得：-IVxWl；

/.h(x)max=h(-1)=6,又f(-2)=-l,f(1)=-10,.,.h(x)min=-10;

m=h(x)在區(qū)間［-2,1］上有兩個(gè)不同的解，-lWmV6.

...實(shí)數(shù)m的取值范圍是［-1,6).

【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，對(duì)切線過切點(diǎn)的條件的運(yùn)

用，函數(shù)零點(diǎn)和方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值.

20.(12分)(?深圳一模)已知函數(shù)f(x)滿足f(logaX)=A(x-xT)(其

a-1

中a>0,aWl)

(I)求f(x)的表達(dá)式；

(II)對(duì)于函數(shù)f(x),當(dāng)x￡(-1,1)時(shí)，f(1-m)+f(1-m2)<0,求

實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(HI)當(dāng)xd(-8,2)時(shí)，f(x)-4的值為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【分析】(I)設(shè)10gaX=t求出x=*代入原函數(shù)化簡(jiǎn)求出f(x)的表達(dá)式；

(II)對(duì)a分類討論，分別由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷f(x)的單調(diào)性，由函數(shù)奇

偶性的定義判斷f(x)是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)等價(jià)轉(zhuǎn)化f(1-m)+f(1-

m2)<0,結(jié)合x的范圍和單調(diào)性列出不等式，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(III)根據(jù)f(x)的單調(diào)性和題意求出f(x)的值域，結(jié)合條件列出不等式，

化簡(jiǎn)后由一元二次不等式的解法求出a的取值范圍.

【解答】解：(I)設(shè)k)gaX=t,則x=a,

代入原函數(shù)得，

a-1

則f(x)=-^-QX-ar)…(2分)

a-1

(II)當(dāng)a>l時(shí)，a*是增函數(shù)，a「x是減函數(shù)且一->。，

a-1

所以f(x)是定義域R上的增函數(shù)，

同理，當(dāng)OVaVl時(shí)，f(x)也是R上的增函數(shù)，…(4分)

又f(-x)=-f—(a^-aX)=-f(x)，貝If(x)為奇函數(shù)...

a-1

由f(1-m)+f(1-m2)<0得：f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)...(6

分)

‘-1<lirrC1

所以，-1<1-產(chǎn)<1,解得...(8分)

l-m<in2-l

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,④)；

(III)因?yàn)閒(x)是增函數(shù)，

所以xe(-8,2)時(shí)，f(x)-4G(-8,f(2)-4),

又當(dāng)x￡(-8,2)時(shí)，f(x)-4的值為負(fù)數(shù)，

所以f(2)-4W0,…(9分)

則f⑵-4=~￡—(a2-a2)-4

a-1

=-：二_；1._4二且一+1—440...(10分)

a，a

解得2-V5<a<2+仃且aW1,

所以a的取值范圍是{a|2-V^<a<2+C且aWl}.…(12分)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查換元法求函數(shù)的解析式，函數(shù)奇偶性的定義，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

的判斷及應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、

變形能力.

21.(12分)(?深圳一模)設(shè)f(x)=3乎空，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))

x+1

處的切線與直線2x+y+l=0垂直.

(1)求a的值；

(2)若VxG[1,+8),f(x)Wm(x-1)恒成立，求m的范圍.

(3)求證：ln%2n+l<￡—1―?(n€N*).

i=14iZ-l

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)

用.

【分析】(1)求得函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))

處的切線與直線2x+y+l=0垂直，即可求a的值；

(2)先將原來(lái)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為lnx<m(x,)，設(shè)8&)=11^-11)&-^),即

xx

VxE(1,+8),g(x)W0.利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)在(0,+8)上單調(diào)性，

求出函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(3)由(2)知，當(dāng)x>l時(shí)，■時(shí)，lnx〈春(x工)成立.不妨令包魯-，k€N*，

ZZXZK-1

得出91n(2k+l)-ln(2k-l)]<-—,k€N*,再分別令k=l,2,n.得

"4k-1

到n個(gè)不等式，最后累加可得.

詈lnx)(x+l)-(x+a)lnx

【解答】解：（1）p（x）=

(x+1)2

(2分)

由題設(shè)f

.(l+a)2_1

**-4-F

/.l+a=l,Aa=O.

----(4分)

(2)Vxe(1,+8),f(X)Wm(x-1),即lnx《m(x‘)

x+1x

設(shè)g(x)=Inxin(x'),即Vx￡(1,+°°)，g(x)W0.

x

g，(X)」F(1+~4)=理2受三?--------------------------------

XXX

__________________(6分)

①若mWO,g*(x)>0,g(x)2g(1)=0,這與題設(shè)g(x)WO矛盾.--

-------------------------------------------(8分)

②若m>0方程-mx2+x-m=0的判別式△=1-4m?

當(dāng)△或()，即m>1時(shí)，g'(x)WO.

Ag(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

/.g(x)Wg(1)=0,即不等式成立.------------------

-------------------------------------------------------------------------(9分)

1+2

當(dāng)0<m<春時(shí)，方程-mx2+x-m=0,其根乂廣上立型/〉。，.Vl-4m

N12m/2m>;L>

當(dāng)*￡(1,X2),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，g(x)>g(1)=0,與題設(shè)矛

盾.

綜上所述，mA^?--------------------------

（10分）

(3)由(2)知，當(dāng)x>l時(shí)，《時(shí)，lnx<*(x—)成立.

不妨令廣智-，k€N*

ZK-1

在M12k+l.1,2k+l2k-l4k

所以l"2k-l<2(2k-l2k+l_4k2-l'

-y[ln(2k+l)-ln(2k-l)]<-~—,k€N*----------------

44k-1

----------------(11分)

■y(ln3-lnl)<-----—

44X12-1

-y(ln5-ln3)<-----—

<44X2-1-----------------------------------------------------

—(ln(2n+l)-ln(2n-l))<<------------

,44Xn'-l

-------(12分)

累力U可得；ln(2n+l)<ET—.(n€N*).即

4i=14i2-l

n?

ln^/2n+l<￡-3—?(nEN*).-------------------------------------------------------

i=14iz-l

----------------(14分)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值

問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

[選修4-1：幾何證明選講]

22.(10分)(?深圳一模)如圖，AB是圓O的直徑，AC是弦，NBAC的平

分線AD交圓O于點(diǎn)D,DE1AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,OE交AD于點(diǎn)F.

(1)求證：DE是圓O的切線；

(2)若NCAB=60。，。0的半徑為2,EC=1,求DE的值.

E

D

【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段.

【分析】（1）連接0D,由已知得NODA=NOAD=NDAC,從而OD〃AE,由

此能證明DE是圓0的切線.

（2）連結(jié)BC,由已知得AC=2,AE=EC+CA=3,由此利用圓的切割線定理能求

出DE的值.

【解答