2024屆新高考數(shù)學(xué)小題微點(diǎn)特訓(xùn)15 三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式含答案

2024高考數(shù)學(xué)微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)（新）

微點(diǎn)特訓(xùn)15三角函數(shù)的概念與誘“

工欲善其事，必先利其器。

微導(dǎo)公式.三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式

特完成日期：月日

［考點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練］一保分必拿［考點(diǎn)二］同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

［考點(diǎn)一］任意角、弧度制與三角函數(shù)的概念7：巨拓cos0?tan?那么。是（）

1多選》以下表示第四象限角的集合..正確的是一A.第一、二象限角B.第二、三象限角

（）C.第三、四象限角D.第一、四象限角

A.{H|27O°VHV36O°}；8.已知角a頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與z軸正半軸重合?終邊

B.{x|270°+4?360°<x<?+l）?360°,/ez}；

與直線1=1有公共點(diǎn)，且sina=一卷，則tana

c.{工|270°+4-360yHva+D?360°/ez}；

D.{.rIk,360°—90°VzV4,360"/CZ}.

2.設(shè)￡■是第■—象限角，且IcosaI=—cosa，則a是第

（）象限角

A.一B-二

C.三D.四

3.已知角a的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（sin-y.cos竽），則9.已知sin6+cos。=｝（一n<6<0）.貝sin0—cos0的

角a的最小正值為（）值為（）

A*民半-715/T5

66B.

3

C/1）也

yi7717

63D.

4.若扇形圓心角的弧度數(shù)為2,且扇形弧所對(duì)的弦長(zhǎng)也

是2,則這個(gè)扇形的面積為（）

10.已知OS則2cos0+yi_2sin（7t—^）cos0

A—B—^―

sin1sin2）

A.sinG+cos0B.sin0—cos0

2

cos-1cos2C.cos。一sin0D.3cosJ—sin0

5.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著.卷

一《方田》中有如下兩個(gè)問(wèn)題：11.已知—5,那么tana的值為

抖3sin巧ar5警cosa

［三三1今有宛田，下周三十步.徑十六步.問(wèn)為田

幾何？［考點(diǎn)三］誘導(dǎo)公式及應(yīng)用

［三四］又有宛田，下周九十九步.徑五十一步.問(wèn)為田運(yùn)…巨一知扁工…的.留..“F有一點(diǎn)p（1,3）,則

幾何？

sin（K—a）—sin

翻譯為：［三三:］現(xiàn)有扇形田.弧長(zhǎng)30步.直徑長(zhǎng)16步.信

的值為）

問(wèn)這塊田面積是多少？竽—a）+2cos（一n+a）

［三四l又有一扇形田.弧氏99步，直徑氏51步.問(wèn)這cos

較田面積是多少？

則下列說(shuō)法正確的是（）A--fB--T

A.問(wèn)題［三三：］中扇形的面積為240平方步

B.問(wèn)題［三四］中扇形的面積為半平方步C--TD.-4

C問(wèn)題［三三］中扇形的面積為60平方步13.已知cos（a—兀）=—正，且a是第四象限角,則sin（—

D.問(wèn)題［三四］中扇形的面積為警平方步

2九十。）

6.我國(guó)魏晉時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家劉癡在《九章算術(shù)注》中

A—工B

提出了“割圓術(shù)-一割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割,13-13

以至不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”.也就是利用

C+—

圓的內(nèi)接多邊形逐步逼近圓的方法來(lái)近似計(jì)算圓的-13D?5

面積和周長(zhǎng).如圖①.若用圓的內(nèi)接正六邊形的面積

14.（多選題）卜列化簡(jiǎn)正確的是

S「來(lái)近似估計(jì)半徑為1的圓（）的面積,再用如圖②

A.tan（jr+l）=tan1

的圓的內(nèi)接正卜二邊形的面積S2來(lái)近似估計(jì)半徑為

1的圓O的面積，則S2—Si.（結(jié)果保留根sin（-a）

B.（）=COSa

號(hào)）tan3600-a

sin（K—a）

7；--=tana

cos（7T十a(chǎn)）

cos（7t—a）tan（一穴―a）

D.=1

sin（2兀-a）

15.已知sin（-f-a）cos（-T+ff）=B，且0VaV

?則sim=,cosa=

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微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)（新）

賺】券舞第［一高分必?fù)尪?、多?xiàng)選擇題

9.給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

（）a成立的條件是角a是銳角

考點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練L在平面直角坐標(biāo)系中，若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,A.sin7v+a=—sin

B.若cos（〃7t-a）=Z）,貝ljcosa=-^-

C.若aW”（&CZ）.則tan（告+a）=3-

乙\Z）tana

D.若sina+cosa=l,則sin%+cos%=1

10.下列結(jié)論中正確的是（）

2.已知Icos=cos0^Itan0\=—tan。，則■的終邊在A.若0＜。＜號(hào),則sinaVtana

.....4（

B.若a是第二象限角,則今為第一象限或第三象

uA.第二、四象限

……巨B.第一、三象限限角

C.第一、三象限或1軸上C.若角a的終邊過(guò)點(diǎn)P（3K必）*W0）,則sina=±

_____1D.第二、四象限或1軸上0

3

D.若扇形的周長(zhǎng)為6.半徑為2,則其圓心角的大小

83.已知cos。=-7-,貝11sin(37t+a)?COS(2TT-a)?tan(7t—

5為1弧度

a）等于)三、填空題

9B?士春11.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).按如下方法

剪裁（如圖1）,扇面形狀較為美觀.從半徑為20cm

10「9D送

°，25的圓面中剪下扇形OAI3.使扇形OAI3的面積與圓面

中剩余部分的面積比值為有匚（在尹仁0.618,稱

……四4.已知A=sm（"+a）+cos（林+a）&eZ）,則A的值

sinacosa

為黃金分割比例），再?gòu)纳刃蜲AB中剪下扇環(huán)形

13構(gòu)成的集合是（）

A.{1?—1,2,—2}B.{-1,1}ABDC制作扇面，使扇環(huán)形ABDC的面積與扇形

14C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}OAB的面積比值為肉匚.則一個(gè)按上述方法制作

"5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（痣,1）,將向量5?繞

2

置蟠康點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)￡后得到向量而.則點(diǎn)Q的的扇形裝飾品（如圖2）的面積為cm.

1坐標(biāo)是（）

A.（—發(fā),1）B.（—1

2C.（—月.1）D.（—1,V3）

q6.已知sin（a+0）=-L則cos（a—需）的值為

oo■乙/

.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方田”篇中,有

4A.f12

一篇關(guān)于環(huán)形田的面積計(jì)算問(wèn)題：今有環(huán)田，中周九

十二步，外周一百二十二步，徑五步，問(wèn)為田幾何？

5,,272n2品

CIJ-----答：二畝五十五步.其大致意思為：現(xiàn)有一個(gè)環(huán)形田

--3

（如圖），中周長(zhǎng)步,外周長(zhǎng)步，徑長(zhǎng)步，問(wèn)田

67.密位制是度量角的一種方法.把一周角等分6000份.921225

每一份叫做1密位的角.以密位作為他的度量單位，的面積是多少？答：2畝55步2,則根據(jù)該問(wèn)題中的

7這種度量角的單位制?"”做角的密位制.在角的密位相關(guān)數(shù)據(jù)可知該題所取的圓周率k的近似值是—

制中,采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小,單位名稱密位二_；若已知某環(huán)形田的中周長(zhǎng)/1步.外周長(zhǎng)/2許

徑長(zhǎng)。步,則該環(huán)形田的面積為_________.（單位：

8字可以省去不寫.密位的寫法是在百位數(shù)與十位數(shù)字

之間畫一條短線,如密位7寫成“0-07”,478密位寫步2）.

成，周角等于密位，記作周角

9“4—78”160001=60—

00.1直角=15—00.如果一個(gè)半徑為2的扇形，它的

面積為（則其圓心角用密位制表示為（）

10n.

6

A.12—50

C.21-00

8.數(shù)學(xué)中處處存在著美，

.1機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊

洛三角形就給人以對(duì)稱［真題體驗(yàn)練］一實(shí)戰(zhàn)搶分

的美感，萊洛三角形的1.（2021?新高考I卷，6）若tan夕=一2,則

畫法：先畫等邊△ABC,sin0（1+sin2。）/、

--------------------=（）

再分別以點(diǎn)A,3,C,為sin0+cos0

圓心、A3長(zhǎng)為半徑畫弧，如圖①，在萊洛△A3C中，

以BC為邊，在BC的上方作矩形BCDE?使邊QE經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A.若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2冗，則圖②中陰影部

分的面積為（）

A.6E——KB.3久—2.（2021?北京卷.6）若點(diǎn)P（cos仇sin8）與點(diǎn)Q

r-4/—?^cos（夕+~1"）,sin（6+*））關(guān)于y軸對(duì)稱，寫出一

C.373----KD.65/3—-7T

個(gè)符合題意的。.

?36

微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)(新)

12.(2,4][焉于函^^=/-6./+8/,/=3/一121+8?令

令M(X)=X-F2-2InmG［5，e］，則/(彳)=1一9，

>'=o.解得工=2土竽.故當(dāng),e(—8,2—竽)時(shí),>'>

故“⑺在［一>,2)遞減，在(2,e］遞增.故〃(N)>U(2)=

；當(dāng)工—竽竽)時(shí)?；當(dāng)工

4-2In2>0,故/(了)在［十,1］遞減,在(1,仃遞增，又oe(2,2+y<o6

(2—^^,+8)時(shí).,'>0；令ln(_r+2)=0,解得x=-1；

=e—］>0,故f(N)max=

/(e)=匚豐，故a4士孚.即實(shí)數(shù)&的最大值令x—6.y+8]=0,解得JT=0U=2或x=4.作y=lnQ+

e—1e—12),丁=13—6/+舐的大致圖像：

J

9.AB[由g(l)=0得1—2+a=0,則a=l;所以g(w)=

■1二號(hào)>0，故g(儲(chǔ))0,當(dāng)a<o時(shí).g(j-)=y(.r)=

-^7+1=1—jre1，則/(1)=-ez-=-e"(1+1),

e

由g'(/)>0得比<—1；由/(①)<0得一1ViV0；則

gG)gx=g(—i)=i+1,又g(o)=/(o)=i,x->

-8時(shí).以工)->]；即丁<0時(shí)，g(?r)6[1,1+--];當(dāng)X

觀察可知，若函數(shù)八工)僅有個(gè)零點(diǎn)，則故

>0時(shí).g(N)=(7-l)2>o；由g(g(j-)-/)-l=0解得22Vm44,

g(z)=/或g(*)=z+2；實(shí)數(shù)〃？的取值范圍為(2,4］.［

A選項(xiàng)，當(dāng)，<—2時(shí)，gQ)=z與g(i)=/+2都無(wú)解，故［真題體驗(yàn)練］——實(shí)戰(zhàn)搶分

沒(méi)有相應(yīng)實(shí)根；故A正確；1.B顯然a>小

B選項(xiàng)?當(dāng)一l+；VY0或/=一2時(shí)，方程g(g(1)一令/(x)=2ln(l+a)—(VTTJT—I)(/>())?則

八一1=。有1個(gè)相應(yīng)實(shí)根，即g(z)=f+2只要一個(gè)根，八幻=T^--------2.

］4N

則只需2+2=0或，+2>1+1--解得/=-2或/>一1+1/1+

e因?yàn)楫?dāng)0<CrV2時(shí)，/<2—所以l+2t+/Vl+21+

+」-；故B正確；C選項(xiàng)?當(dāng)1C/V1+1-,g(7)=/有三2#,即l+iV/mF,

ee

所以所以即〉

個(gè)根，g(z)=/+2有一個(gè)根，所以方程g(g(.r)-/)-l/(0.01)>/(0),ac.

=0有4個(gè)相異實(shí)根；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，f=l+’時(shí).方程同理?令g(%)=ln(l+2］)—(‘1+42——1)(:>0),則

e，<.2________2

g(i)=/有兩個(gè)解；g(龍)=］+2有一個(gè)解?共三個(gè)解；當(dāng)且］一］+2171+47,

0V/41時(shí)，方程g(7)=￡有兩個(gè)解；g(x)=f+2有一個(gè)

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，(1+2力)2>1+41,所以/(J-XO,

解.共三個(gè)解；當(dāng)一1?—1+十時(shí)，方程g(2')=f無(wú)

所以g(0.01)Vg(0)=0,即c>b.

解；方程g(z)=/+2有三個(gè)解，共三個(gè)解；故D錯(cuò).［綜上a>c>b,選B.

10.BC［在x>0時(shí)?/(7)=In彳,(工)=十，設(shè)切點(diǎn)的坐微點(diǎn)特訓(xùn)15三角函數(shù)的概念與誘

標(biāo)為：(4,3。)，/(1)=［,因此有f5)=1所以切導(dǎo)公式

丁考點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練——保分必拿

線方程為：3>—Inx；y——(x—x0).當(dāng)該切線過(guò)原點(diǎn)時(shí),01.CD［???一60°是第四象限角，JA錯(cuò)；當(dāng)工=270°+

-In心=:(0一入)=e，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為：(e,4360°,asZ)時(shí)?不是象限角，B也錯(cuò).CD正確門

2.B［??,爹是第一象限角，???3607V%V90°+360%,4W

1)，因?yàn)橹本€丁=人與丁=/(/)交于三個(gè)不同的點(diǎn)，所

以有力G(l,e),當(dāng)切線與直線y=3#+l相交時(shí)，解方Z,???7207VaV1800+7207.￡eZ,???a為第一象限角或

e

了=3父+1第二象限角或終邊在)，軸正半軸上的軸線角.???Icosa|

l；3e,因此有

程組：1na=—cosa、：.cosaVO,；?a是第二象限角.］

尸廠

3.A［由題意sina=cos與---J，又sin與<0,

一十)，于是有(—3,—34--J，所以6+

(金，7點(diǎn)(sin---,cos與)在第三象限，即a是第三象限角，二.a

，顯然選項(xiàng)符合.［

—+36(l,e+5)BC

a

11.(-1,5)[當(dāng)4€[1,21時(shí)，/(%)=I」一ail,由f(i)

V2,得一2V/3-0%<2,即為一/——<—a<—j*2+4.A［由題意得扇形的半徑為：工,又由扇形面積公式

sin1

-設(shè)j：2—孑，則)2M+與，當(dāng)/W

-1?g(/)=-g’(j7=-得該扇形的面積為:《XZXi】：一二.］

乙sin"1sin"1

［1,2］時(shí)，/(K)40,即g(力)在［1,2］上單調(diào)遞減，所以

g(1),G=一4一1=一5,即有一。>一5,即aV5;設(shè)刀(了)5.B［依題意.問(wèn)題［三三］中扇形的面積為y/r=yX30

=—合+~^?，則//(n)=—2］—4,當(dāng)工6［1,2］時(shí)，

Xy=120平方步.問(wèn)題［三四］中扇形的面積為［■”=

，(Z)VO.即以外在口,2］上單調(diào)遞減,可得，2(N)gx=

-1+2=1.即有一a<L即a>-l.綜上可得,〃的取值+X99X^=半平方步.［

范圍是一l<aV5.1

?127?

微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)（新）

14.AB［利用誘導(dǎo)公式，及tan。=黑*A選項(xiàng)：tan（n+

6.3—J§[如圖①，過(guò)O點(diǎn)作OE_\_AI3?

sin(—a)一sina

1）=tan1,故A正確；B選項(xiàng)：

tan(3600—a)-tana

=l^=8sa.故B正確；C選項(xiàng)sin(n一a)_sina

cos(n+a)—cosa

cosa

COS(K-a)tan(一n―a)

一tana,故C不正確；D選項(xiàng)：

sin(27t—a)

sina

cosa,------

cosai“n丁

—：----------=—1,故D不

由題意知△A3O是等邊三角形，-sinasina

正確.[

：.OA=()B=AB=1,AE=BE=-y,EO=y./.S1=6]R34r.i

15.-z-虧Lsin1-y--ajcos~T+a-cosa(—

xTxfxl=

sina)=sinacosa="，又因?yàn)镺VaV：,所以O(shè)VsinaV

Zb4

.12

sinacosa=777得

cosa.解得ZbSina=4.co??=4-]

bb

Isin2a+cos2a=1,

素養(yǎng)提升練一高分必?fù)?/p>

LA［因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P-

2021

=-2.則sin兀+2a)=sin(505X2久++2a)=

圖②~2~~

cos2a—sin2a1—tan2a1—43

由題意知NCOD=30°,CO=OD=1,則FD=^-.：.S,=cos2a=

21

Lcos'+sin'al-rtana1+45

2.D[V|cos01=cosd,|tan61=—tan9,：?cos夕》0,

12X^X1X9=3....“一S|=3一竽.[

tanO《O,???角。的終邊在第四象限或7軸上.???3的終

7.A[由cos0?tanJ〉0可知cos。,tan0同號(hào).即cos。?邊在第二、四象限或JC軸上.一

tan0=sin。>0，從而夕為第一、二象限角.故選A.J3.D[原式=sin(式十。)?cos(—a)?tan(K—a)=

3

8.C[終邊與直線工=1有公共點(diǎn).且sin0=—3<0,可(—sina)?cosa?(—tana)=sin，，由cosQ==,得

bb

sin2?m-cos2a=1f.]

知a在第四象限，故cosa—J1—sin'a=，?二tana=Zb

5

sina?cosa..,*,.

4.C/為偶數(shù)時(shí),A=7------1---------=2n；k為奇數(shù)時(shí)n，A=

sina?sinacosa

T1羋一生工=—2.則A的值構(gòu)成的集合為｛2.-2）.［

9.D[由sin9+cosJ='■可得l+2sindcos0=~1~sinacosa

5.D[由P(點(diǎn);1),得P(2cos*,2sin*)....將向量

sin20=—|-<C0?則—j~V8V0.

OP繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)手后得到向量OQ.：.Q)

sin0—cos0=-J(sin￡—cos6)2=1,(2cos(f+T)-2sin(f+T)),xcos(f+f_^

一《?.故選D.1.

-siny=-y,sm(y+y)=cos瓦：2

10.A[因?yàn)橥?彳■,：),所以2coW+/l—2sin(LJ)COS8??Q(-1,四)?一

=2cos0+-x/1—2sin^cos0=2cos0+J(sin0—cosQY=

2cos0+sin8—cosO=sin。+cos8.1cos（力—a）=cos［萬(wàn)一（。+通）］=sin（a+誦

1123「sina-2cosa___.tana-2__r

?163sina-r5cosa°***3tana+5~T-J

?_23i

??tana=一~rz.」7.B［設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為a,a所對(duì)的密位為"，則

lb

12.A[??,點(diǎn)P在角a的終邊上，則tana=3,7

X22=1~n.解得a=，冗.由題意可得C,解得

sin(K—a)—sin(-J--^-a)

?Z_sina-cosa_b1ZbOUO

7

/3冗\(yùn)ICZIx-sina~2cosa〃=、X6000=1750?因此,該扇形圓心角用密位制表示

cosI—aj+2cos(一兀十a(chǎn))

為丫-50門___

tana-12

-------------------------n8.C［因?yàn)槿R洛三角形的周長(zhǎng)為2兀.所以AB=AC=3C=

—tana-25

華?又因?yàn)锳A3c為等邊三角形,所以A=3=C=號(hào)，

13.A[由誘導(dǎo)公式可得cos(a—兀)=—cosa=一=，

根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得與=：XA從所以AB=2,則BC=

cosa=1，又a是第四象限角sin(—2式一a)=sina

AC=AB=2,所以BE=6■，所以矩形BCDE的面積為

=一3?故選:A]26■，翁所在扇形的面積為十X22X^=§.所以弓形

?128?