磁場強(qiáng)度瞬時坡印廷矢量

關(guān)于磁場強(qiáng)度瞬時坡印廷矢量2024/4/42第七章時變電磁場作業(yè)：7-8，7-9，7-11，7-14，第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波3

對于復(fù)能流密度矢量，應(yīng)著重介紹其實部和虛部的物理意義，以及電場和磁場之間的相位差對于復(fù)能流密度矢量的影響

講解正弦電磁場的復(fù)矢量表示方法時，應(yīng)強(qiáng)調(diào)僅適用于頻率相同的場量之間的運算。此外，還應(yīng)指出該教材使用的時間因子是，而不是。同時指出使用不同的時間因子，將導(dǎo)致麥克斯韋方程的形式不同。第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波48.正弦電磁場

時變電磁場既是空間坐標(biāo)的函數(shù)，又是時間的函數(shù)。例如，電場強(qiáng)度的一般表達(dá)式表示為：第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波58.正弦電磁場

正弦電磁場的場強(qiáng)方向與時間無關(guān)，但其大小隨時間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)，式中，Em(r)

為正弦時間函數(shù)的振幅；

為角頻率；

e(r)

為正弦函數(shù)的初始相位。

任一周期性或非周期性的時間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，著重討論正弦電磁場是具有實際意義的。

正弦電磁場又稱為時諧電磁場。即第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波68.正弦電磁場

在實際問題中，碰到最多的是隨時間做正弦變化的電磁場。另外，在線性媒質(zhì)中一些非正弦時間函數(shù)可根據(jù)傅里葉方法分解許多正弦函數(shù)的線性疊加。所以研究正弦電磁場是研究時變電磁場的基礎(chǔ)。電場和磁場的每一個坐標(biāo)分量，都隨時間以相同的頻率做正弦變化（亦簡稱變化），則成為正弦電磁場（時諧場）第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波7

已知場的變化落后于源，但是場與源的時間變化規(guī)律相同，所以正弦電磁場的場和源的頻率相同。

對于頻率相同的正弦量之間的運算可以采用復(fù)矢量方法，即僅考慮正弦量的振幅和空間相位

，而略去時間相位

t

。瞬時矢量和復(fù)矢量的關(guān)系為正弦電磁場是由正弦的時變電荷與電流產(chǎn)生的。

電場強(qiáng)度可用一個與時間無關(guān)的復(fù)矢量表示為第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波8實際中使用有效值，以表示有效值，則式中最大值復(fù)矢量和有效值復(fù)矢量的之間的關(guān)系為復(fù)矢量僅為空間函數(shù)，與時間無關(guān)。

只有頻率相同的正弦量之間才能使用復(fù)矢量的方法進(jìn)行運算。第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波99.麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式

已知正弦電磁場的場與源的頻率相同，因此可用復(fù)矢量形式表示麥克斯韋方程?？紤]到正弦時間函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)為或因此，麥克斯韋第一方程可表示為第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波10

上式對于任何時刻均成立，虛部符號可以消去，即同理可得

上述方程稱為麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式，式中各量均為有效值。第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波11瞬時形式(r,t)復(fù)數(shù)形式(r)第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波12場量復(fù)數(shù)表達(dá)形式和瞬時（實數(shù)）形式相互轉(zhuǎn)換場量的復(fù)數(shù)形式：場量的瞬時形式：

場量的復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為實數(shù)形式的方法：第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波13

例已知某真空區(qū)域中的時變電磁場的電場瞬時值為試求磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量形式。第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波14解根據(jù)時變電場瞬時值，求得其有效值的復(fù)矢量形式為由于電場僅有y分量，且。那么又知第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波15

例已知電場強(qiáng)度復(fù)矢量解：其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時矢量第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波16例已知電場強(qiáng)度為其中Exm和kz為實常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時矢量。解：第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波1710.位函數(shù)的復(fù)矢量形式

對于正弦函數(shù)，時間滯后因子表現(xiàn)的相位滯后為 。（時間相位）令則第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波18洛倫茲條件的復(fù)矢量形式正弦電磁場與位函數(shù)的關(guān)系第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波19洛倫茲規(guī)范條件變?yōu)椋哼_(dá)朗貝爾方程變?yōu)椋?/p>

時諧場的位函數(shù)第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波2011.復(fù)能流密度矢量

時變電磁場的電場及磁場能量密度的瞬時形式為其最大值復(fù)矢量形式為

或者表示為式中，及分別為復(fù)矢量及的共軛值。

第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波21

正弦量的有效值為瞬時值的均方根值，所以正弦電磁場的能量密度的周期平均值為

即式中E(r)

及H(r)

均為有效值。或以最大值表示為或者表示為上式又可寫為第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波22損耗功率密度也可用復(fù)矢量表示。平均值為已知能流密度矢量S的瞬時值為

其周期平均值為

其最大值為

第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波23復(fù)能流密度矢量Sc

為式中,及均為有效值。又可用最大值表示為那么，復(fù)能流密度矢量Sc的實部及虛部分別為可見，復(fù)能流密度矢量的實部及虛部與電場及磁場的相位密切相關(guān)。平均值第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波24tttt電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度

當(dāng)時，則實部為最大正值，虛部為零。

當(dāng)時，則實部為最大負(fù)值，虛部仍然為零。

當(dāng) 時，則實部為零，虛部為最大正值或負(fù)值。

若相位差為任意值時，則虛部及實部均不為零。

第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波25能量定理也可用復(fù)矢量表示為即此式稱為復(fù)能量定理。

可見，流進(jìn)

S內(nèi)的復(fù)能流密度矢量通量的實部等于S內(nèi)消耗的功率。這就表明，Sc的實部的確代表單向流動的能量，而虛部表示能量交換。

第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波26為對場量取復(fù)數(shù)共軛運算。

時諧場的平均能流密度

對時諧場，平均坡印廷矢量可由場矢量的復(fù)數(shù)形式計算：式中：、為場量的復(fù)數(shù)表達(dá)式；

平均能流密度：第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波27時諧場平均坡印廷矢量的證明代入第一式，得證！第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波28正弦電磁場的惟一性定理

今后略去頂標(biāo)“·”，以E(r)，H(r)或者E，H

表示正弦電磁場復(fù)矢量的有效值，以E(r,t)，H(r,t)或E(t)，H(t)表示正弦電磁場的瞬時值。

初始條件不再需要，無源區(qū)中的正弦電磁場被其邊界上的電場切向分量或磁場切向分量惟一地確定。

VSE(r,0)及H(r,0)E(r,t),H(r,t)Et

(r,t)

或Ht

(r,t)

E(r),H(r)Et

(r)

或Ht

(r)第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波29

例已知某真空區(qū)域中的時變電磁場的電場瞬時值為試求其能流密度矢量的平均值。

解根據(jù)瞬時值，求得其有效值的復(fù)矢量形式為及復(fù)能流密度矢量為其實部就是平均值。即第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波30

例若真空中正弦電磁場的電場復(fù)矢量為試求電場強(qiáng)度的瞬時值E(r,t)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的復(fù)矢量B(r

)

及復(fù)能流密度矢量Sc。解第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波31例

已知截面為的矩形金屬波導(dǎo)中電磁場的復(fù)矢量為式中H0、ω、β、μ都是常數(shù)。試求：（1）瞬時坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。

解：（1）和的瞬時值為第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波32（2）平均坡印廷矢量所以瞬時坡印廷矢量第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天有效值有效值(Effectivevalue)在相同的電阻上分別通以直流電流和交流電流，經(jīng)過一個交流周期的時間，如果它們在電阻上所消耗的電能相等的話，則把該直流電流（電壓）的大小作為交流電流（電壓）的有效值，正弦電流（電壓）的有效值等于其最大值（幅值）的1/√2，約0.707倍。復(fù)能量密度可用表示為本書的定義：平均能流密度（或者能流密度矢量的平均值：第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波其它書籍定義（通用）：平均能流密度式中：、為場量的復(fù)數(shù)表達(dá)式（為幅值）；為對場量取復(fù)數(shù)共軛運算。第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波35例已知無源的自由空間中，時變電磁場的電場強(qiáng)度為求：(1)磁場強(qiáng)度；（2）瞬時坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量解：(1)(2)第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2024/4/4電磁場與電磁波36(3)另解：第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天載有恒定電流的圓柱導(dǎo)線

設(shè)圓柱導(dǎo)線的半徑為a，電導(dǎo)率為σ，恒定電流I在導(dǎo)線橫截面均勻分布。選區(qū)一段長度為L的導(dǎo)線。由于是恒定電磁場，坡印廷定理簡化為導(dǎo)線表面的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度為滿足坡印廷定理！

該例子雖然滿足坡印廷定理，但是，從–r方向流進(jìn)導(dǎo)線的功率完全被焦耳熱損失掉了，沒有沿z方向的功率流動！實際情況存在z方向的功率傳輸。因此，坡印廷定理對靜態(tài)電磁場是無意義的。第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例題：同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，導(dǎo)體通過電流為I，兩導(dǎo)體間外加直流電壓U，(1)求導(dǎo)體電導(dǎo)率為無窮大時介質(zhì)中的能流和傳輸功率(2)當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入導(dǎo)體的能流，并證明它等于導(dǎo)體的功率損耗。解：在內(nèi)外導(dǎo)體間a<r<b，取一半徑為r的圓形路徑c由麥克斯韋方程組積分形式得第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天由于外加直流電壓，導(dǎo)體表面上帶有電荷，內(nèi)外導(dǎo)體間只有徑向電場分量Er第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天習(xí)題：7-17復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理在正弦電磁場中，用復(fù)數(shù)表示兩端同乘以-1/2得第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天將上式在閉合曲面內(nèi)積分