挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘(全國(guó)通用)專題02認(rèn)識(shí)三角形重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

專題02認(rèn)識(shí)三角形重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一用七巧板拼三角形題型二三角形的個(gè)數(shù)問題題型三確定第三邊的取值范圍題型四三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用題型五與三角形高有關(guān)的計(jì)算問題題型六根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度、面積題型七三角形中的折疊角度問題題型八三角形有關(guān)的綜合性問題【經(jīng)典例題一用七巧板拼三角形】【例1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)期末）七巧板是由可以錯(cuò)綜分合的幾何圖案演化而來(lái)，它是一種拼板玩具，體現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1，將一塊正方形薄板分為7塊，其中包括5塊大小不等的三角形，1塊正方形和1塊平行四邊形，圖2是由圖1拼成的風(fēng)車形狀，則下列等式錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·山西運(yùn)城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若已知七巧板拼圖中的平行四邊形的面積為則圖中，最大正方形面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用邊長(zhǎng)為的正方形紙板，制成一個(gè)七巧板（如圖①），將它拼成“小天鵝”圖案（如圖②)，其中陰影部分的面積為______________________．【變式3】（2023春·北京·七年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谀八那砂濉庇址QT字之迷，是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具．“四巧板”由一塊長(zhǎng)方形（拼圖中的大寫“一“字）分解的4塊不規(guī)則形狀組成．其中有大小不同的直角梯形各一塊，等腰直角三角形一塊，凹五邊形一塊．這幾個(gè)多邊形的內(nèi)角除了有直角外，還有45°、135°和270°的角．如圖是一副“四巧板”：請(qǐng)你用這四塊圖形拼成如圖所示的“箭頭”式樣（示意圖），只需在“箭頭”中畫出分割線，并寫出相應(yīng)的圖形編號(hào)．

四巧板【經(jīng)典例題二三角形的個(gè)數(shù)問題】【例2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）根據(jù)下圖所示的形⑴、⑵、⑶三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個(gè)圖中的三角形的個(gè)數(shù)是(

)A．6(n-1)； B．6n； C．6(n+1)； D．12n；【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）三角形紙片內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共103個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線．現(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，這樣的小三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．299 B．201 C．205 D．207【變式2】（2023秋·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，由16個(gè)大小相同的小等腰直角三角形拼成一個(gè)大的等腰直角三角形，則圖中共有______個(gè)各種大小的三角形．【變式3】（2023秋·山東青島·七年級(jí)山東省青島第五十九中學(xué)?？计谥校╊}情景：在三角形紙片內(nèi)部給定－些點(diǎn)，滿足這些點(diǎn)連同三角形三個(gè)頂點(diǎn)沒有三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，將紙片剪成－些小三角形紙片，一共能得到幾個(gè)小三角形？問題解決：甲同學(xué)繪制了如下三個(gè)圖，分別在三角形內(nèi)部取1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)，如下圖所示：繼續(xù)探究：在三角形內(nèi)部取三個(gè)點(diǎn)，畫出分割的圖形，并經(jīng)過(guò)觀察計(jì)數(shù)完成表格：內(nèi)部點(diǎn)的個(gè)數(shù)123n得到三角形個(gè)數(shù)35拓展聯(lián)系：當(dāng)紙片是四邊形時(shí)，探究此時(shí)內(nèi)部所取點(diǎn)的個(gè)數(shù)與得到三角形個(gè)數(shù)的關(guān)系，完成表格：內(nèi)部點(diǎn)的個(gè)數(shù)123n得到三角形個(gè)數(shù)概括提升：設(shè)紙片的邊數(shù)為m，內(nèi)部點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，得到三角形的個(gè)數(shù)是x，請(qǐng)直接寫出x與m、n的關(guān)系：______________．【經(jīng)典例題三確定第三邊的取值范圍】三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。【拓展：三邊關(guān)系的運(yùn)用】①判斷三條線段能否組成三角形；②當(dāng)已知三角形的兩邊長(zhǎng)時(shí)，可求第三邊的取值范圍。【例3】（2023秋·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，AB邊上的中線CD將的周長(zhǎng)分為15和6兩個(gè)部分，求的三邊長(zhǎng)分別為（）A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有兩根木棒，它們的長(zhǎng)分別是和，若要釘成一個(gè)三角形木架，則應(yīng)選取的第三根木棒長(zhǎng)可以為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)校考階段練習(xí)）為銳角，AB=16，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B到射線AM的距離為8，BC=x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是____．【變式3】（2023秋·安徽六安·八年級(jí)校考期中）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB=5，AC=3．（1）邊BC的取值范圍是；（2）△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為；（3）在△ABC中，若AB邊上的高為2，求AC邊上的高．【經(jīng)典例題四三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例4】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為2，3，4，6，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲之間距離最大為（

）A．10 B．8 C．7 D．5【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）老師布置了一份家庭作業(yè)：用三根小木棍首尾相連拼出一個(gè)三角形，三根小木棍的長(zhǎng)度分別為5、9、10.5，并且只能對(duì)10.5的小木棍進(jìn)行裁切（裁切后，參與拼圖的小木棍的長(zhǎng)度為整數(shù)），則同學(xué)們最多能拼出不同的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，加油站和商店在馬路的同一側(cè)，到的距離大于到的距離，米．一個(gè)行人在馬路上行走，當(dāng)?shù)降木嚯x與到的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于______米．【變式3】（2023秋·江西贛州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶數(shù)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．(2)如果BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．a(chǎn)、當(dāng)∠A=45°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．b、當(dāng)∠A=x°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．【經(jīng)典例題五與三角形高有關(guān)的計(jì)算問題】【解題技巧】圖形的面積可以用兩種面積公式求解，即可得到一個(gè)等量關(guān)系；【例5】（2023秋·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是高，是中線，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．4【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下面結(jié)論：的面積＝的面積；；；．其中結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D為中邊上一點(diǎn)，，E是上一點(diǎn)，且的面積等于的一半，則_________．【變式3】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在中，是的高．(1)如圖1，是的平分線，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，和的平分線交于點(diǎn)G，求的度數(shù)．【經(jīng)典例題六根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度、面積】【例6】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB＝BC，中線AD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成15和12兩部分，則AC的長(zhǎng)為（

）A．7 B．11 C．7或11 D．8或10【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，中，，是的中線．若，，，則點(diǎn)D到的距離為（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．3【變式2】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為1，分別延長(zhǎng)，，到，，，使，，，得到，再分別延長(zhǎng)，，到，，，使，，，再得到，則的面積為_____．【變式3】（2023秋·天津北辰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD，AE分別是△ADC和△ABC的高和中線，AB=6，AC=8，BC=10，∠CAB=，試求：(1)△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差．(2)AD的長(zhǎng)：(3)直接寫出△ABE的面積．【經(jīng)典例題七三角形中的折疊角度問題】【例7】（2023秋·天津靜海·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M，N分別在，上，，將沿折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)處．若，，則的度數(shù)為（

）A．148° B．116° C．32° D．30°【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，中，點(diǎn)和點(diǎn)分別為上的動(dòng)點(diǎn)，把紙片沿折疊，使得點(diǎn)落在的外部處，如圖2所示．若，則度數(shù)為(

)A． B． C． D．【變式2】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，是斜邊的中點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果恰好與垂直，則_______°．【變式3】（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)校考期末）（1）如圖，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，試探究、與的關(guān)系；（2）如圖2，若，，作的平分線，與的外角平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)落在內(nèi)部，作，的平分線交于點(diǎn)，此時(shí)，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過(guò)程．【經(jīng)典例題八三角形有關(guān)的綜合性問題】【例8】（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校考階段練習(xí)）設(shè)△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，若S5=則a的值為（

）A．1 B．2 C．6 D．3【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，則∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°【變式2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在上，若，，，則的度數(shù)為________．【變式3】（2023春·山東青島·七年級(jí)華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎?，，E為直線上一點(diǎn)，F(xiàn)為直線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，且．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，和的數(shù)量關(guān)系是__________________．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，相交于點(diǎn)H，和的平分線交于點(diǎn)P，若恰好平分，，，求的度數(shù)．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊，，的中點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，是的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，…，的平分線與的平分線交于點(diǎn)．設(shè)，則（）A．a(chǎn) B． C． D．4．（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，F(xiàn)C=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：65．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小亮同學(xué)用繪畫的方法，設(shè)計(jì)的一個(gè)正三角形的平面鑲嵌圖，其中主要利用的是正三角形和正六邊形．如果整個(gè)鑲嵌圖的面積為75，則圖中陰影部分的面積是（

）A．25 B．26 C．30 D．396．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，是外角的平分線，與相交于點(diǎn)，若，則是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·貴州遵義·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平分和，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023秋·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平分交于點(diǎn)E，，，M，N分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③平分；④為定值．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2023秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是的角平分線，是的高，若，則的度數(shù)為______．10．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一束光線經(jīng)過(guò)三塊平面鏡反射，光路如圖所示，當(dāng)是的一半時(shí)，_____°．11．（2023秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，，分別平分的外角，內(nèi)角，外角；則以下結(jié)論：①；②；③；其中正確的結(jié)論有______________．12．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片中，，將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)D處．設(shè)，則能使和同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值__．13．（2023秋·上海寶山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，的外角平分線交延長(zhǎng)線于，的外角平分線交延長(zhǎng)線于，且，則的度數(shù)是_____________．14．（2023秋·重慶·八年級(jí)重慶八中?？奸_學(xué)考試）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片中，，，將紙片沿著折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．設(shè)，則能使和同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的值為___________．15．（2023秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，，，．求的度數(shù)．16．（2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，是的平分線，為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)若，，則_____________，_____________；(2)若，，求的度數(shù)；(3)若，，，求．（用含，的式子表示）17．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，．(1)如圖1，、的平分線相交于點(diǎn)，則；(2)如圖2，的外角、的平分線相交于點(diǎn)，則；(3)探究如圖3，的內(nèi)角的平分線與其外角的平分線相交于點(diǎn)，設(shè)，則的度數(shù)是．（用n的代數(shù)式表示）18．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）（1）如圖1，在中，，是角平分線，是高，相交于點(diǎn)F，與的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其反向延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．探究與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在中，邊上存在一點(diǎn)D，使得，的平分線交于點(diǎn)F，交于E．的外角的平分線所在直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．請(qǐng)補(bǔ)全圖形并直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．19．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中校考期末）如圖1，一塊直尺和一塊含30°的直角三角板如圖放置，其中直尺和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：，，，分別交、于點(diǎn)E、F、的角平分線交于點(diǎn)D，H為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求．(2)在線段上任意移動(dòng)時(shí)，求，，之間的關(guān)系．(3)在（1）的條件下，將繞著點(diǎn)以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時(shí)，直接寫出此時(shí)的值．20．（2023春·北京海淀·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，點(diǎn)A為直線a上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為直線a、b之間的定點(diǎn)，點(diǎn)C為直線上的定點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到圖1所示位置時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，作等邊，平分，交直線a于點(diǎn)M，平分，交直線b于點(diǎn)N，將繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，且始終在的內(nèi)部時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)F為直線a上一點(diǎn)，使得，的平分線交直線a于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)A在直線a上運(yùn)動(dòng)時(shí)（A，B，C三點(diǎn)不共線），探究并直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．（本問中的角均為小于180°的角）專題02認(rèn)識(shí)三角形重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一用七巧板拼三角形題型二三角形的個(gè)數(shù)問題題型三確定第三邊的取值范圍題型四三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用題型五與三角形高有關(guān)的計(jì)算問題題型六根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度、面積題型七三角形中的折疊角度問題題型八三角形有關(guān)的綜合性問題【經(jīng)典例題一用七巧板拼三角形】【例1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)期末）七巧板是由可以錯(cuò)綜分合的幾何圖案演化而來(lái)，它是一種拼板玩具，體現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1，將一塊正方形薄板分為7塊，其中包括5塊大小不等的三角形，1塊正方形和1塊平行四邊形，圖2是由圖1拼成的風(fēng)車形狀，則下列等式錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)7塊薄板的邊長(zhǎng)間的關(guān)系，結(jié)合面積公式逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：由題圖可知，2與7都是等腰直角三角形，且7的斜邊等于2的直角邊，∴，∵5的邊長(zhǎng)等于2的直角邊的一半，∴，，A正確；∵3相鄰的兩邊分別與4的直角邊和斜邊相等，且3中的銳角為∴3與4同底等高，，∵4與6是兩個(gè)全等的三角形，∴，∴，B正確；∵1與7都是等腰直角三角形，且7的斜邊等于1的直角邊，∴，C錯(cuò)誤；∵6也是等腰直角三角形，且6的斜邊等于7的直角邊，∴，∵，∴，D正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，認(rèn)準(zhǔn)分成的各塊塑料板的形狀與大小是解題的關(guān)鍵，另外本題滲透利用了七巧板的思想，熟練掌握七巧板也很關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·山西運(yùn)城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若已知七巧板拼圖中的平行四邊形的面積為則圖中，最大正方形面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)七巧板的性質(zhì)，分別計(jì)算出每一塊圖形的面積，最后再求和即可．【詳解】由題意可知，6號(hào)的面積為：2，則1號(hào)的面積為：1，2號(hào)的面積為：2，3號(hào)的面積為：2，4號(hào)的面積為：4，5號(hào)的面積為：1，7號(hào)的面積為：4，所以最大正方形面積為：．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了七巧板拼圖，計(jì)算出每一塊圖形的面積是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用邊長(zhǎng)為的正方形紙板，制成一個(gè)七巧板（如圖①），將它拼成“小天鵝”圖案（如圖②)，其中陰影部分的面積為______________________．【答案】【分析】七巧板的七個(gè)部分之和為正方形紙板面積，據(jù)此先求出七巧板中兩個(gè)較大的等腰直角三角形的面積，再用正方形紙板面積減去這較大的兩個(gè)等腰直角三角形面積和一個(gè)小等腰直角三角形面積即可．【詳解】由正方形的對(duì)角線把正方形分成全等的四個(gè)等腰直角三角形，可得每個(gè)較大的等腰直角三角形的面積為：，小等腰直角三角形面積=1，所以“小天鵝”圖案的陰影部分面積為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，熟悉七巧板各部分的特點(diǎn)是解決問題題之關(guān)鍵．【變式3】（2023春·北京·七年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谀八那砂濉庇址QT字之迷，是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具．“四巧板”由一塊長(zhǎng)方形（拼圖中的大寫“一“字）分解的4塊不規(guī)則形狀組成．其中有大小不同的直角梯形各一塊，等腰直角三角形一塊，凹五邊形一塊．這幾個(gè)多邊形的內(nèi)角除了有直角外，還有45°、135°和270°的角．如圖是一副“四巧板”：請(qǐng)你用這四塊圖形拼成如圖所示的“箭頭”式樣（示意圖），只需在“箭頭”中畫出分割線，并寫出相應(yīng)的圖形編號(hào)．

四巧板【答案】見解析【分析】根據(jù)要求動(dòng)手操作，畫出圖形即可．【詳解】解：分割線如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查直角梯形，四巧板，圖形的拼剪等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)動(dòng)手操作，培養(yǎng)動(dòng)手能力．【經(jīng)典例題二三角形的個(gè)數(shù)問題】【例2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）根據(jù)下圖所示的形⑴、⑵、⑶三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個(gè)圖中的三角形的個(gè)數(shù)是(

)A．6(n-1)； B．6n； C．6(n+1)； D．12n；【答案】C【分析】從這三個(gè)圖中找規(guī)律，可以先分別找出每個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，再分析三個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系，從而得出第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】圖（1）中，三角形的個(gè)數(shù)是,圖（2）中，三角形的個(gè)數(shù)是,圖（3）中，三角形的個(gè)數(shù)是,第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，利用圖形之間的練習(xí)，得出數(shù)字間的運(yùn)算規(guī)律，從而解決問題，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）三角形紙片內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共103個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線．現(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，這樣的小三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．299 B．201 C．205 D．207【答案】B【分析】根據(jù)題意可以得到當(dāng)三角形紙片內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，有3個(gè)小三角形；當(dāng)有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，有5個(gè)小三角形；當(dāng)n=3時(shí)，有7個(gè)小三角形，若有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，一定是有2n+1個(gè)三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意當(dāng)三角形紙片內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，有3個(gè)小三角形；當(dāng)有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，有5個(gè)小三角形；當(dāng)n=3時(shí)，有7個(gè)小三角形，……若有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，一定是有2n+1個(gè)三角形．∴三角形的個(gè)數(shù)為：2n=1=2×100+1=201，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用平面內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定三角形個(gè)數(shù)，根據(jù)n取比較的數(shù)值時(shí)得到的數(shù)值，找出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題．【變式2】（2023秋·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，由16個(gè)大小相同的小等腰直角三角形拼成一個(gè)大的等腰直角三角形，則圖中共有______個(gè)各種大小的三角形．【答案】27【分析】把圖中等腰直角三角形分成四類進(jìn)行計(jì)數(shù)，從而可以不重復(fù)，不遺漏的得到答案．【詳解】解：最小的等腰直角三角形有16個(gè)，由4個(gè)小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有7個(gè)，由9個(gè)小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有3個(gè)，由16個(gè)小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有1個(gè)，∴一共有（個(gè)）．故答案為：27．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的計(jì)數(shù)問題，關(guān)鍵是計(jì)數(shù)要注意不重復(fù)，不遺漏．【變式3】（2023秋·山東青島·七年級(jí)山東省青島第五十九中學(xué)?？计谥校╊}情景：在三角形紙片內(nèi)部給定－些點(diǎn)，滿足這些點(diǎn)連同三角形三個(gè)頂點(diǎn)沒有三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，將紙片剪成－些小三角形紙片，一共能得到幾個(gè)小三角形？問題解決：甲同學(xué)繪制了如下三個(gè)圖，分別在三角形內(nèi)部取1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)，如下圖所示：繼續(xù)探究：在三角形內(nèi)部取三個(gè)點(diǎn)，畫出分割的圖形，并經(jīng)過(guò)觀察計(jì)數(shù)完成表格：內(nèi)部點(diǎn)的個(gè)數(shù)123n得到三角形個(gè)數(shù)35拓展聯(lián)系：當(dāng)紙片是四邊形時(shí)，探究此時(shí)內(nèi)部所取點(diǎn)的個(gè)數(shù)與得到三角形個(gè)數(shù)的關(guān)系，完成表格：內(nèi)部點(diǎn)的個(gè)數(shù)123n得到三角形個(gè)數(shù)概括提升：設(shè)紙片的邊數(shù)為m，內(nèi)部點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，得到三角形的個(gè)數(shù)是x，請(qǐng)直接寫出x與m、n的關(guān)系：______________．【答案】繼續(xù)探究：圖見解析，7，；拓展聯(lián)系：4，6，8，；概括提升：【分析】繼續(xù)探究：由題意得出這些三角形的個(gè)數(shù)是從3開始的連續(xù)奇數(shù)，據(jù)此可得結(jié)論；拓展聯(lián)系：分別畫出圖形，得到相關(guān)數(shù)據(jù)，總結(jié)規(guī)律即可；概括提升：根據(jù)n邊形的內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成（2m+n-2）個(gè)互不重疊的小三角形，據(jù)此可得．【詳解】解：繼續(xù)探究：如圖，在三角形紙片內(nèi)部給定1個(gè)點(diǎn),得到3個(gè)三角形;在三角形紙片內(nèi)部給定2個(gè)點(diǎn),得到5個(gè)三角形;在三角形紙片內(nèi)部給定3個(gè)點(diǎn),得到7個(gè)三角形;在三角形紙片內(nèi)部給定n個(gè)點(diǎn),得到(2n+1)個(gè)三角形;故填表得：內(nèi)部點(diǎn)的個(gè)數(shù)123n得到三角形個(gè)數(shù)3572n+1拓展聯(lián)系：如圖：在四邊形紙片內(nèi)部給定1個(gè)點(diǎn),得到4個(gè)三角形;在四邊形紙片內(nèi)部給定2個(gè)點(diǎn),得到6個(gè)三角形;在四邊形紙片內(nèi)部給定3個(gè)點(diǎn),得到8個(gè)三角形;在四邊形紙片內(nèi)部給定n個(gè)點(diǎn),得到(2n+2)個(gè)三角形;填表如下：內(nèi)部點(diǎn)的個(gè)數(shù)123n得到三角形個(gè)數(shù)468（2n+2）概括提升：(3)設(shè)紙片的邊數(shù)為m,內(nèi)部給定1個(gè)點(diǎn),得到m個(gè)三角形,內(nèi)部給定2個(gè)點(diǎn),得到(m+2)個(gè)三角形,內(nèi)部給定3個(gè)點(diǎn),得到(m+2×2)個(gè)三角形,內(nèi)部給定n個(gè)點(diǎn),得到(2n+m-2)個(gè)三角形,∴x=2n+n-2.【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律性；得到三角形的個(gè)數(shù)與三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三確定第三邊的取值范圍】三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊?！就卣梗喝呹P(guān)系的運(yùn)用】①判斷三條線段能否組成三角形；②當(dāng)已知三角形的兩邊長(zhǎng)時(shí)，可求第三邊的取值范圍。【例3】（2023秋·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，AB邊上的中線CD將的周長(zhǎng)分為15和6兩個(gè)部分，求的三邊長(zhǎng)分別為（）A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3【答案】A【分析】設(shè)，（），根據(jù)三角形中線的定義得到，根據(jù)AB邊上的中線CD將的周長(zhǎng)分為15和6兩個(gè)部分，分兩種情況列比例式，求出y和x的關(guān)系，最后求出AB、BC、AC三邊的比值，選出答案．【詳解】設(shè)，（），∵CD是AB邊上的中線，∴，∵與是中線CD將的周長(zhǎng)分為15和6的兩部分，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)幾何綜合應(yīng)用，三角形中線，三角形的三邊，解決問題的關(guān)鍵是分類討論，熟練掌握三角形中線的定義，列比例式解方程，三角形三邊的關(guān)系．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有兩根木棒，它們的長(zhǎng)分別是和，若要釘成一個(gè)三角形木架，則應(yīng)選取的第三根木棒長(zhǎng)可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．【詳解】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，∴三角形的第三邊x滿足：，即，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為銳角，AB=16，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B到射線AM的距離為8，BC=x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是____．【答案】x=8或x≥16【分析】當(dāng)x=8或x≥16時(shí)，三角形是唯一確定的．【詳解】解：∵點(diǎn)B到射線AM的距離為8，AB=16，∴當(dāng)BC⊥AM時(shí)，有BC=8，此時(shí)△ABC是直角三角形，當(dāng)BC≥AB時(shí)，∴△ABC是鈍角三角形，且只有∠ABC是鈍角，當(dāng)8＜BC＜16時(shí)，△ABC可能是鈍角三角形也可能是銳角三角形，綜上：△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則有∠ACB=90°或BC≥AB，則x的取值范圍是x=8或x≥16，故答案為：x=8或x≥16．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．【變式3】（2023秋·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB=5，AC=3．（1）邊BC的取值范圍是；（2）△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為；（3）在△ABC中，若AB邊上的高為2，求AC邊上的高．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)三角形中線將△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差轉(zhuǎn)換為和的差即可得出答案；（3）設(shè)AC邊上的高為，根據(jù)三角形面積公式列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3，∴，即，故答案為：；（2）∵△ABD的周長(zhǎng)為，△ACD的周長(zhǎng)為，∵AD是△ABC的邊BC上的中線，∴，∴-()=，故答案為：；（3）設(shè)AC邊上的高為，根據(jù)題意得：,即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形的中線，三角形的高等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例4】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為2，3，4，6，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲之間距離最大為（

）A．10 B．8 C．7 D．5【答案】C【分析】若兩個(gè)螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長(zhǎng)來(lái)判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長(zhǎng)邊即可．【詳解】解：已知4條木棍的四邊長(zhǎng)為2、3、4、6；①選2+3、4、6作為三角形，則三邊長(zhǎng)為5、4、6；5-4＜6＜5+4，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長(zhǎng)距離為6；②選3+4、6、2作為三角形，則三邊長(zhǎng)為2、7、6；6-2＜7＜6+2，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最大距離為7；③選4+6、2、3作為三角形，則三邊長(zhǎng)為10、2、3；2+3＜10，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；④選6+2、3、4作為三角形，則三邊長(zhǎng)為8、3、4；而3+4＜8，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為7．故選：C．【點(diǎn)睛】此題實(shí)際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）老師布置了一份家庭作業(yè)：用三根小木棍首尾相連拼出一個(gè)三角形，三根小木棍的長(zhǎng)度分別為5、9、10.5，并且只能對(duì)10.5的小木棍進(jìn)行裁切（裁切后，參與拼圖的小木棍的長(zhǎng)度為整數(shù)），則同學(xué)們最多能拼出不同的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組求解即可．【詳解】解：設(shè)從10.5的小木棍上裁剪的線段長(zhǎng)度為x，則，即，∴整數(shù)x的值為5、6、7、8、9、10，∴同學(xué)們最多能做出6個(gè)不同的三角形木架．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，加油站和商店在馬路的同一側(cè)，到的距離大于到的距離，米．一個(gè)行人在馬路上行走，當(dāng)?shù)降木嚯x與到的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于______米．【答案】700【分析】當(dāng)、、構(gòu)成三角形時(shí)，與的差小于第三邊，所以、、在同一直線上時(shí)，與的差最大，算出這個(gè)最大值即可．【詳解】當(dāng)、、三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)構(gòu)成三角形．∵兩邊與的差小于第三邊，、、在同一直線上，到的距離與到的距離之差最大，∵此時(shí)，∴當(dāng)?shù)降木嚯x與到的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于700米故答案為：700．【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角形的三邊關(guān)系求線段差的最大值問題．解題關(guān)鍵是弄清楚當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)距離之差最大．【變式3】（2023秋·江西贛州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶數(shù)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．(2)如果BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．a(chǎn)、當(dāng)∠A=45°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．b、當(dāng)∠A=x°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．【答案】(1)13cm(2)a、112.5°；b、90°＋x°【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩之差小于第三邊，得出BC的取值范圍為1＜BC＜7，再根據(jù)BC是能被3整除的偶數(shù)，得到BC=6cm，再求出周長(zhǎng)為13cm．（2）利用三角形的內(nèi)角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分線平分角的知識(shí)，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形內(nèi)角和等于180°，求出∠BPC．（1）∵AB=4cm，AC=3cm∴1＜BC＜7∴BC=6cm∴三角形的周長(zhǎng)為：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm（2）a、當(dāng)∠A=45°時(shí)，由三角形的內(nèi)角和可知：∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?45°=135°∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×135°=67.5°∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?67.5°=112.5°b、當(dāng)∠A=x°時(shí)，由三角形的內(nèi)角和可知：∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?x°∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°?x°)=90°?x°∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?(90°?x°)=90°＋x°【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)三角形的知識(shí)．第一小問的解題關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩之差小于第三邊進(jìn)行解答；第二小問的解題關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的內(nèi)角和等于180°，以及角平分線平分角的知識(shí)結(jié)合一起解答，在求角度時(shí)，有時(shí)不一定需要每個(gè)角都求出來(lái)，可以利用整體思想．【經(jīng)典例題五與三角形高有關(guān)的計(jì)算問題】【解題技巧】圖形的面積可以用兩種面積公式求解，即可得到一個(gè)等量關(guān)系；【例5】（2023秋·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是高，是中線，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】直接利用三角形面積公式求得，再根據(jù)中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，即，∴∵是中線，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積和中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積公式求得．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下面結(jié)論：的面積＝的面積；；；．其中結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定和的面積關(guān)系以及求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：是的中線的面積等于的面積

故正確；，是的高，是的角平分線又故正確；

故正確；故錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運(yùn)用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D為中邊上一點(diǎn)，，E是上一點(diǎn)，且的面積等于的一半，則_________．【答案】####1.5【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，由題意可求出．再根據(jù)三角形面積公式可求出．由題意又可知，從而得出．最后再根據(jù)三角形面積公式即得出，解出，從而可求出．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，∵，∴．∵，，∴．∵的面積等于的一半，即，∴．∵，∴，即解得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查與三角形高有關(guān)的計(jì)算問題．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在中，是的高．(1)如圖1，是的平分線，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，和的平分線交于點(diǎn)G，求的度數(shù)．【答案】(1)10°(2)45°【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得，由角平分線的定義可得，利用三角形的高線可求，進(jìn)而求解即可得出結(jié)論；（2）由三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解，根據(jù)三角形的高線可求解的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，∵，∴，∴；（2）∵和的角平分線交于點(diǎn)G，∴，，∵，，∴，即，∵是的高，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線，角平分線等知識(shí)的綜合運(yùn)用．【經(jīng)典例題六根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度、面積】【例6】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB＝BC，中線AD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成15和12兩部分，則AC的長(zhǎng)為（

）A．7 B．11 C．7或11 D．8或10【答案】C【分析】設(shè)AB＝BC＝2x，AC＝y(tǒng)，則BD＝CD＝x，根據(jù)周長(zhǎng)分成兩部分可得分兩種情況討論即可，注意三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．【詳解】解：設(shè)AB＝BC＝2x，AC＝y(tǒng)，∵AD為BC邊上的中線，∴則BD＝CD＝x，∵中線AD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成15和12兩部分，∴當(dāng)AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12時(shí)，則2x＋x＝15，且y＋x＝12，由2x＋x＝15解得：x＝5，∴y＋5＝12，解得：y＝7，∴三邊長(zhǎng)分別為10，10，7（符合題意），∴AC＝7；當(dāng)AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15時(shí)，則2x＋x＝12，且y＋x＝15，由2x＋x＝12解得：x＝4，∴y＋4＝15，解得：y＝11，∴三邊長(zhǎng)分別為8，8，11（符合題意），∴AC＝11，綜上所述：AC的長(zhǎng)為7或11，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線以及三角形三邊關(guān)系，注意要分兩種情況討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，中，，是的中線．若，，，則點(diǎn)D到的距離為（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．3【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)D作于E，由三角形中線的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于E，如圖所示：∵是邊上的中線，∴，∵，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為1，分別延長(zhǎng)，，到，，，使，，，得到，再分別延長(zhǎng)，，到，，，使，，，再得到，則的面積為_____．【答案】49【分析】連接，找出延長(zhǎng)各邊后得到的三角形是原三角形面積的7倍的規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：連接，∵的面積為1，，，，∴，∴；同理得．故答案為：49．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，解答此類問題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析所給圖形的特征得到規(guī)律，再把得到的規(guī)律應(yīng)用于解題．【變式3】（2023秋·天津北辰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD，AE分別是△ADC和△ABC的高和中線，AB=6，AC=8，BC=10，∠CAB=，試求：(1)△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差．(2)AD的長(zhǎng)：(3)直接寫出△ABE的面積．【答案】(1)2(2)4.8(3)12【分析】（1）由AE是中線可得BE=CE，進(jìn)而可求△ACE的周長(zhǎng)與△ABE的周長(zhǎng)差等于AC與AB，即可求解；（2）利用“面積法”即可求出線段AD的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵AE是中線，∴BE=CE，又△ACE的周長(zhǎng)=AE+AC+CE，△ABE的周長(zhǎng)=AE+AB+BE，∴△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差===又AB=6，AC=8，∴△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差=；（2）解：∵AB=6，AC=8，∠CAB=，∴，又BC=10，AD是高，∴，∴，∴；（3）解：∵AE是中線，∴BE=，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了中線的定義、三角形周長(zhǎng)的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用三角形面積的兩個(gè)表達(dá)式相等求出AD．【經(jīng)典例題七三角形中的折疊角度問題】【例7】（2023秋·天津靜?！ぐ四昙?jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M，N分別在，上，，將沿折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)處．若，，則的度數(shù)為（

）A．148° B．116° C．32° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，再由，可得，即有，問題得解．【詳解】根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，中，點(diǎn)和點(diǎn)分別為上的動(dòng)點(diǎn)，把紙片沿折疊，使得點(diǎn)落在的外部處，如圖2所示．若，則度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，繼而分別表示出，得到，即可求解．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，是斜邊的中點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果恰好與垂直，則_______°．【答案】30【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊前后的兩個(gè)三角形全等，則，從而求得答案．【詳解】解：如圖，在中，，∵是斜邊上的中線，∴，∴，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，設(shè)度，∵，∴，如果恰好與垂直，在中，，即，解得，，∴，∵，∴，即故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．【變式3】（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀?）如圖，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，試探究、與的關(guān)系；（2）如圖2，若，，作的平分線，與的外角平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)落在內(nèi)部，作，的平分線交于點(diǎn)，此時(shí)，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過(guò)程．【答案】（1），理由見解析；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得，再根據(jù)平角的定義得到，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，由此即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論求出，再由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)推出即可；（3）先推出，，再由三角形外角的性質(zhì)推出，利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1），理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，，∴，∵的平分線，與的外角平分線交于點(diǎn)，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：，理由如下；由折疊的性質(zhì)可知，∴，，∵，∴，∴，∵，的平分線交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八三角形有關(guān)的綜合性問題】【例8】（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，若S5=則a的值為（

）A．1 B．2 C．6 D．3【答案】D【分析】利用三角形的面積公式，求出前三個(gè)圖形的面積，再得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律列出方程便可求得．【詳解】解：在圖①中，連接，，，，，，，，，，設(shè)，則，解得；在圖②中，連接、、，則，，設(shè)，則，解得；在圖③中，連、、、、，則，，設(shè)，則，解得，．由可知，，，，解得．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的面積公式，關(guān)鍵通過(guò)列方程組求得各個(gè)圖形的面積，從中找出規(guī)律．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，則∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，只要證明得，即可求出答案．【詳解】解：如圖，線段AM與AN相交于點(diǎn)E，∵，∴，∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，∴，，，，∴，∴；①在△ACM中，有，∴②，由①②，得，∴，即；∵，又，∴，∴，即，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確地利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行角度之間的轉(zhuǎn)化．【變式2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在上，若，，，則的度數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，在中，，證，由，得，從而有，解得，最后由，求得的值．【詳解】解：∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵在中，，又∵，，∴．∵，，∴，∵，∴，∴，∴．∵，，，又∵，，，∴，，∵，∴，解得，，∵，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，與相交線相關(guān)的角度計(jì)算，綜合運(yùn)用題設(shè)條件是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·山東青島·七年級(jí)華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎?，E為直線上一點(diǎn)，F(xiàn)為直線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，且．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，和的數(shù)量關(guān)系是__________________．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，相交于點(diǎn)H，和的平分線交于點(diǎn)P，若恰好平分，，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)的度數(shù)為【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，等量代換即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，等量代換即可得出結(jié)論；（3）設(shè)，則，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，在△PEF中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出α，在中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；故答案為：；（3）解：設(shè)，則，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∵，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，在中，，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義（從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線），三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，求出，再求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出．【詳解】∵，∴，∴，∴∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是求出讀懂題意求出角的度數(shù)．2．（2023秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊，，的中點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形面積公式由點(diǎn)為的中點(diǎn)得到，同理得到，則，然后再由點(diǎn)為的中點(diǎn)得到．【詳解】點(diǎn)為的中點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線與面積的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握是三角形的中線把三角形的面積平均分成兩半．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，是的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，…，的平分線與的平分線交于點(diǎn)．設(shè)，則（）A．a(chǎn) B． C． D．【答案】D【分析】是的平分線，是的平分線，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得與與的關(guān)系；結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得與的關(guān)系，再結(jié)合已知條件可求解，然后推出后一個(gè)角都是前一個(gè)角的一半，據(jù)此規(guī)律可得到答案．【詳解】解∶是的平分線，是的平分線，，又，，，又，，同理可得，……故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、角平分線的定義，掌握三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，F(xiàn)C=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6【答案】A【分析】如圖：連接AF，根據(jù)△BEF的邊BE上的高和△ABF邊AB上的高相等可得，進(jìn)而得到，同理得出，進(jìn)而得到即可解答．【詳解】解：如圖：連接AF∵BE=3，AE=6，∴AB=9，∵△BEF的邊BE上的高和△ABF邊AB上的高相等，∴，即同理可得：，即∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用等高的三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊之比是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小亮同學(xué)用繪畫的方法，設(shè)計(jì)的一個(gè)正三角形的平面鑲嵌圖，其中主要利用的是正三角形和正六邊形．如果整個(gè)鑲嵌圖的面積為75，則圖中陰影部分的面積是（

）A．25 B．26 C．30 D．39【答案】B【分析】正中有多種圖形，將不規(guī)則圖形拆分后，可歸結(jié)為四種圖形，每種圖形都可劃分為面積最小的正三角形的組合，最后正全部由小正三角形組成，根據(jù)陰影部分小正三角形的個(gè)數(shù)所占全部小正三角形個(gè)數(shù)比例與面積相乘即可得出答案．【詳解】如圖所示，將不規(guī)則部分進(jìn)行拆分，共有四種圖形：正六邊形、較大正三角形、平行四邊形、小正三角形；其中一個(gè)正六邊形可以分成6個(gè)小正三角形，較大正三角形可以分成4個(gè)小正三角形，平行四邊形可以分成6個(gè)小正三角形，由圖可得：正六邊形有13個(gè)，可分成小正三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；較大正三角形有26個(gè)，可分成小正三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；平行四邊形有5個(gè)，可分成小正三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；小正三角形個(gè)數(shù)為13個(gè)；∴一共有小正三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)），∴圖中陰影部分面積為：，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查創(chuàng)新思維，將其進(jìn)行分類分解是解題難點(diǎn)．6．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，是外角的平分線，與相交于點(diǎn)，若，則是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】∠DCM=∠D+∠DBC，∠ACM=∠A+∠ABC，再結(jié)合角平分線，得到∠A=2∠D即可．【詳解】解：∵是的平分線，∴∠ABC=2∠DBC，同理，∠ACM=2∠DCM，∵∠ACM=∠A+∠ABC，∴2∠DCM=∠A+2∠DBC∵∠DCM=∠D+∠DBC，∴∠A=2∠D，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用外角的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得到∠A與∠D的關(guān)系．7．（2023秋·貴州遵義·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平分和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】AD、CM交于點(diǎn)E，AM、BC交于點(diǎn)F，AD、BC交于點(diǎn)H，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證的外角和的外角是同角，分別可表示為與，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，，將、代入計(jì)算即可求出．【詳解】解：AD、CM交于點(diǎn)E，AM、BC交于點(diǎn)F，AD、BC交于點(diǎn)H，如圖，∵的外角和的外角是同角，∵，，∵平分和，∴，，∴，，∵在中，，在中，∴，；∵，∴，，整理得，，化簡(jiǎn)得，將，代入，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線有關(guān)的計(jì)算，靈活運(yùn)用三角形外角性質(zhì)及角平分線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平分交于點(diǎn)E，，，M，N分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③平分；④為定值．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先根據(jù)AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯(cuò)誤；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的計(jì)算，9．（2023秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，是的角平分線，是的高，若，則的度數(shù)為______．【答案】##28度【分析】設(shè)，結(jié)合已知和高線的定義可得的度數(shù)，進(jìn)而得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出關(guān)于的方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)，是的高，，，是的角平分線，，，解得，即的度數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一束光線經(jīng)過(guò)三塊平面鏡反射，光路如圖所示，當(dāng)是的一半時(shí)，_____°．【答案】84【分析】根據(jù)光線反射定律，可知入射光線與反射光線與平面鏡的夾角相等，結(jié)合圖形及各角之間的關(guān)系求解即可．【詳解】解：如圖：根據(jù)光線反射定律，可知入射光線與反射光線與平面鏡的夾角相等，在四邊形中，，∴，∵，∴，在四邊形中，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查角度的計(jì)算，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．11．（2023秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，，分別平分的外角，內(nèi)角，外角；則以下結(jié)論：①；②；③；其中正確的結(jié)論有______________．【答案】①②③【分析】根據(jù)角平分線定義得出，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項(xiàng)．【詳解】解：①平分，，，，，故①正確；②，，

平分，，，，故②正確；③在中，，平分的外角，，，，，，，，，故③正確；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片中，，將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)D處．設(shè)，則能使和同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值__．【答案】20【分析】由，可得，根據(jù)將紙片沿著折疊，使得點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)D處，可得，當(dāng)為“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，或，可解得或，分別代入計(jì)算各角的度數(shù)，根據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的定義即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵將紙片沿著折疊，使得點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)D處，∴，當(dāng)為“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，或，∴或，∴或，①當(dāng)時(shí)，即，∴，∴，∴，此時(shí)，，∴不是“準(zhǔn)直角三角形”；②當(dāng)時(shí)，即，∴，∴，∴，此時(shí)，∴是“準(zhǔn)直角三角形”；綜上所述，能使和同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的折疊問題，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂“準(zhǔn)直角三角形”的定義及分類討論思想的應(yīng)用．13．（2023秋·上海寶山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，的外角平分線交延長(zhǎng)線于，的外角平分線交延長(zhǎng)線于，且，則的度數(shù)是_____________．【答案】##12度【分析】設(shè)，根據(jù)是的角平分線，則，是的角平分線，三角形內(nèi)角和，，根據(jù)，得，則；根據(jù)三角形外角和，則，三角形內(nèi)角和，，即可求出．【詳解】設(shè)，∴是的角平分線，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴；∵，是的角平分線，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，三角形的外角和，三角的內(nèi)角和，等邊對(duì)等角．14．（2023秋·重慶·八年級(jí)重慶八中?？奸_學(xué)考試）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片中，，，將紙片沿著折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．設(shè)，則能使和同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的值為___________．【答案】【分析】先由三角形內(nèi)角和定理求得，再由折疊性質(zhì)求得，最后由“準(zhǔn)直角三角形”定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵將紙片沿著折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，∴，當(dāng)為“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，或，∴或，∴或，①當(dāng)時(shí)，即，∴，∴，∴，此時(shí)，∴不是“準(zhǔn)直角三角形”；②當(dāng)時(shí)，即，∴，∴，∴，此時(shí)，∴是“準(zhǔn)直角三角形”；綜上所述，能使和同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．理解新定義，掌握折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，，，．求的度數(shù)．【答案】【分析】由，可設(shè)，，再由求得x的值，再根據(jù)，得到的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到的度數(shù)．【詳解】解：，設(shè)，，，解得，，，，，，是的外角，，．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差倍分，三角形的內(nèi)角和以及外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)角之間