勾股定理（題型歸納）

專題12勾股定理

題型分析

題型演練

題型一用勾股定理解直角三角形

1.如圖，將RtZVlBC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好

落在BC邊上.若AC=2√3,/8=60,則CO的長為（）

【答案】B

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=4）,又因?yàn)镹B=60，可得右ADB為等邊三角形，又因?yàn)?/p>

RfaABC中有NC=30,所以AB:BUAC=I:2:6,

故由已知AC=2√L算出8C,AB相減即可.

【詳解】Zfi=60,AB=AD,

；?4）8為等邊三角形，

AB=BD,

又一在RfABC中，/8=60，則NC=30,

???BC=2AB,AC=6AB,

，已知AC=2j^,所以A8=2,BC=A,

CD=BC-BD=4-2=2,

故選:B.

2.如圖，.ABC中，AB=AC=375>SC=6,分別以點(diǎn)8、C為圓心，大于;BC的長為

半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射線AE,在射線AE上任取一點(diǎn)。，連接。C.若Cr）=5,則

Az）的長為（）

【答案】A

【分析】連接的、CE（圖見詳解），由AB=AC可得AE為線段BC的垂直平分線，再利

用勾股定理求出AO、OD,即可求得AO的長.

【詳解】如圖，連接跖、CE,設(shè)AD交8C于點(diǎn)。

由作圖步驟可知：BE=CE

E點(diǎn)在線段8C的垂直平分線上

AB=AC=3>∕5

`-A點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上

AE垂直平分線段BC

.?.βO=CO=-BC=3,ZAoB=ZAoC=NCo￡>=90。

2

在HABO中，由勾股定理得

AO=√AB2-OB2=^（3√5）2-32=6

在RtZ?Cf>O中，CD=5,由勾股定理，得

DO=y∣CDr-OC1=√52-32=4

AD=Ao+00=6+4=10

故選：A

3.小明釘了一個(gè)長與寬分別為30厘米和20厘米的長方形木框，為了增加其穩(wěn)定性，他準(zhǔn)

備沿長方形的對(duì)角線釘上一根木條，這根木條的長應(yīng)為（）厘米.（結(jié)果用最簡二次根式

表示）

A.13√100B.Jl300C.10√13D.5√13

【答案】C

【分析】由于長方形木框的寬和高與所加固的木板正好構(gòu)成直角三角形，故可利用勾股定理

解答.

【詳解】解：設(shè)這條木板的長度為X厘米，

由勾股定理得：X2=302+202,

解得X=Io?3Cm.

故選：C.

4.如圖I是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的

直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若OC=逐，BC=X,

ZAOB=30°,則。4的值為（）

圖1圖2

L3~

A.1/3B.-C.>/r2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理和含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：1NO8C=90。，OC=√5,BC=I,

：.OB=y∣OC2-BC2=^（√5）2-l2=2

NA=90°,NAQ8=30°,

.?.AB=-OB=?

2f

.?OA=y∣OB2-AB2=√22-l2=√3,

故選：A.

5.如圖，在ΛBC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)D是邊BC上一息（點(diǎn)D不與息B,C重

合），將-ACD沿AQ翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,AE交BC于點(diǎn)F,若DE〃AB,則點(diǎn)B

到線段AO的距離為（）

A.—?∣5B.—?∕ΓθC.—?/sD.—VlO

5222

【答案】B

【分析】過A作AGJ.BC于G,過B作BH」AD于H,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的

性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到8。的長，再根據(jù)勾股定理即可得到AO的長，最后依據(jù)面

積法即可得出BH的長，進(jìn)而得到點(diǎn)B到線段A。的距離.

【詳解】解：如圖，過A作AG_LBC于G,過8作BHqAD于H,

?.?AB=AC=5,

工NABC=NCBG=；BC=4，AG=JAB2-BG?=3,

*.?DE//AB,

,ZBAF=ZE,ZABC=ZEDFf由折疊的性質(zhì)得：ZE=ZC,AE=AC=5,

，ZABC=/BAF=ZE=ZEDF,

：.AF=BF,EF=DF,

BD=AE=AC=5,

：?DG=BD-BG=5-4=↑,

RtVADG中，AD=y∣AG2+DG2=√K)>

?：-AD×BH=-BD×AG,

22

.BD×AG5×33√10

??nBrtH=---------=-1—■=--------.

AD√102

故選:B.

6.在.ABC中，NAeB=90。，AC=BC,G是48邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作射線CP,過點(diǎn)A作

A"_LCP于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作BN_LCP于點(diǎn)N.

(1)證明：AM=CN;

(2)取AB中點(diǎn)。，連接。M、ON,猜想線段BN、AM>QM的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)AM=BN+&OM，理由見解析

【分析】(1)證明Z?ACM絲ACBN即可證得結(jié)論；

(2)連接OC,先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)得到Nl=/2,

進(jìn)而證明dOCM'OBN(SAS)求得OM=ON,NMoN=90。，利用勾股定理和線段和與差

計(jì)算即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖，YAMLCP.BNJ.CP,

：.NCMA=NBNC=90。,

，ZCAM+ZACM=90°,

"：NACB=90。，

ZACM+ABCN=90°,

.,.ZCAM=ABCN,

,/AC=BC,

：..ACM^CBN(AAS),

：.AM=CN.

(2)解：結(jié)論：AM=BN+OOM.

證明：如圖，連接。C,

VZACB=90o,AC=BC,。是A3中點(diǎn)，

：.OC=OB,Z3=Z4=45o,CO±AB,

'：AACM沿ACBN,

.,.AM=CN,CM=BN,Z1+Z3=Z4+Z2,

.*.Z1=Z2,

：._OCM烏OBN(SAS),

：.OM=ON,N5=N6,

?/Z5+Z7=90o,

.?.N6+N7=90。，即ZMON=90°,

?"?MN=OM2+OM-=√2OΛ∕,

,/CN=CM+MN,

AM=BN+?JiθM-

1.如圖：已知在；ΛBC中，N8=45°,ZC=30°.

(1)尺規(guī)作圖：

①作一ABC的高AO；

②作NCAD的平分線AE,交BC于點(diǎn)E(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)若AC=8,求AB的長.

【答案】⑴見解析

(2)4√2

【分析】(1)①先以4為圓心，大于A到BC的距離為半徑畫弧，得與BC的兩個(gè)交點(diǎn)，

再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心,大于這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離的一半為半徑畫弧,得兩弧的交點(diǎn),

過A與兩弧的交點(diǎn)畫線段，交BC于D,則可得答案；

②先以A為圓心，任意長為半徑畫弧，得與NCm的兩邊相交的兩個(gè)交點(diǎn)，再分別以這兩

個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離的一半為半徑畫弧，得兩弧的交點(diǎn)，過4與兩

弧的交點(diǎn)畫線段AE,交JBC于E,則可得答案；

(2)利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求解AD,再證明A￡>=%>=4,再利用勾股定理可得

答案.

【詳解】(1)解：①如圖，則AO為所作；

②如圖，則AE為所作.

(2)在RtAACD中，

,/ZC=30°,

.,.AD」AC」x8=4,

22

在RtZXABD中，

,.?4=45。，

ZBAD=90°-ZB=45°,

ZB=ZBAD,

?*?BD=AD=4，

為等腰直角三角形，

?,?AB=yjAD1+BD23=√42+42=4√2?

8.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

(1)ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且4E=1,小亮以BE為邊作等

邊三角形BEF,如圖①，求CF的長；

(2).ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角

形BEF,如圖②，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；

(3).ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角

形BMN,如圖③，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長.

【答案】(I)CF=1；

(2)點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑長為3；

(3)點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑的長為IG.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AABEWACBF(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可求出AF的長；

(2)連接CF,易證AABEgZXCBF(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得C/〃AB,當(dāng)點(diǎn)E

在C處時(shí)，CF=AC,當(dāng)點(diǎn)E在A處時(shí)，點(diǎn)f與ClI合，進(jìn)一步即可求出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑

的長；

(3)取BC中點(diǎn)，，連接易證名AWBN(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

HN=DM,NHIBC,當(dāng)點(diǎn)M在C處時(shí)，HN=CD=爐,當(dāng)點(diǎn)M在。處時(shí)，點(diǎn)N與H

重合，從而可求出點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長.

【詳解】(1)解：,IABC.ABEF是等邊三角形,

：.BA=BC9BE=BF,ZABC=NEBF=60。.

：,ZABE=/CBF，

???AABE^?CBF(SAS),

JCF=AE,

YAE=I,

.?.CF=I;

(2)解：連接C尸，如圖所示：

V.ABC.A3EF是等邊三角形，

：,BA=BC,BE=BF,ZABC=/EBF=60。,ZΛ=60o,

JZABE=NCBF,

：.AAB^ACSF(SAS),

：.CF=AEtNBeF=ZA=60。，

?/ZABe=60。，

???NBCF=ZABC,

.'.CF∕∕ABf

YABC是邊長為3的等邊三角形，

Ae=3,

當(dāng)點(diǎn)E在C處時(shí)，CF=AC,

當(dāng)點(diǎn)E在A處時(shí)，點(diǎn)尸與C重合，

?,?,?F運(yùn)動(dòng)的路徑的長=AC=3；

(3)解：取BC中點(diǎn)“，連接如圖所示:

BH=LBC,

2

IJLBC是等邊三角形,

ΛBC=AB=AC,ZABC=60。，

??.BH==AB,

2

VCDlAB,

/.BD=-AB,

2

???BH=BD,

?；LBMN是等邊三角形,

：?：.BM=BN,ZMBN=W,

：?；.ADBM=AHBN,

???ADBM當(dāng)公HBN(S網(wǎng),

：?HN=DM,/BHN=4BDM=驕,

：.NH±BC,

,?二ABC是邊長為3的等邊三角形，

3

ΛBC=3,BD=-,

2

根據(jù)勾股定理，得CO=∣G,

當(dāng)點(diǎn)M在C處時(shí)，HN=CD=-yf3,

2

當(dāng)點(diǎn)M在。處時(shí)，點(diǎn)N與H量合，

點(diǎn)N所經(jīng)過的路價(jià)的長=CD=I6.

9.如圖，ABC和AEC尸都是等腰直角三角形，^ACB=ZECF=90,AC=BC,EC=FC

連接AE并延長與CB交與點(diǎn)O,連接BF.

CCC

Ft

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AE=BF

(2)如圖2,AECF繞著頂點(diǎn)、C旋轉(zhuǎn),當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，取新的中點(diǎn)G,連接CG,

求證：AE2+EF2=4CG2;

(3)如圖3,若AC=BC=3仆,ZBAD=\5°,連接。尸，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到使得NAeE=30時(shí)，求

QEF的面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶①

4

【分析】(1)根據(jù)題意得出NBB+/BCE=/BCE+/AC&BC=AC,CF=CE,再由

全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；

(2)延長CG至點(diǎn)，使CG=G”,連接AH,FH,BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

AE-+EF2=EF2+FB-=EB2?利用平行四邊形的判定和性質(zhì)得出AC=CBACLCB,

CB=FH,FHYCB,最后利用全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理即可證明；

(3)作R平行于A。交CE于點(diǎn)J,連接必，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出S.=S.皿，

ZCJF=ZCED,再由等腰三角形及等邊三角形的判定得出.ACE是等腰三角形，即

AE=CE,*ECO是等邊三角形，過./作EO的垂線交EO于點(diǎn)K,再利用含30度角的三角

形的性質(zhì)及勾股定理求解即可.

【詳解】⑴證明：：,ΛBC和AECF都是等腰直角三角形，ΛACB=ZECF=90,

：.ZBCF+ZBCE=ZBCE+ZACE,BC=AC,CF=CE,

：.NBCF=NACE,

：.?BCFMACE(SAS),

BF=AE;

(2)由(1)得*3Cfg*ACE,

.,.ZAEC=/CFB=180o-NCEF=135°,AE=FB,

ZDFB=135o-ZCFE=90°,

即AE-+EF2=EF-+FB1=EB2，

延長CG至點(diǎn)”使CG=G”,連接4"，F(xiàn)H,BE,

C

???四邊形ACFH是平行四邊形，即AC〃"/,AC=FH,

VAC=CB9ACl.CB,

：.CB=FH9FHLCB,

Y*BCFdACE,

：?NACE=NBCF,

?/ZECB=90。一NACENHFC=90°-NBCF,

JNECB=NHFC,

在*ECB與*CFH中,

CB=FH

,NECB=ZHFC,

CE=FC

：.?ECBdCFH,

ICH=EB,

：?AE2+EF2=EB1+CH2=4CG2，

即AE2+EF2=4CG2;

(3)作E/平行于4)交CE于點(diǎn)連接〃)，

C

:?S.DEF=S.EDJ,NCJF=NCED,

Vz×BΛD=15o,∠TC4B=45o,

"40=30。，

,/ACE=NCAD=30。，

:.?ACE是等腰三角形，即AE=CE,

Y/ECD=NCED=ZEDC=60°,

????ECD是等邊」.角形，

ZCAD=3Q0,AC=3√3,

.?.CD=CE=ED=CF=3,

?.NFC/=%。，/C/E=60。，CF=3,

??.CJ=√5,BP7E=3-√3.

過J作Ef）的垂線交ED『點(diǎn)K,

?：NJEK=#0,JE=3-√3,

：.JK=亞,

2

?c_o_36-3a1-9√3-9

??S.DEF-S.EDJ_2X3X5--

10.（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,?ACB和AOCE均為等邊三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)AD,E

在同一直線上時(shí)，連接BE.

①求NAEB的大小；

②求證：AE=BE+CE.

（2）拓展研究：如圖2,AACB和aOCE均為等腰直角三角形，NACB=NDCE=90。，點(diǎn)

【答案】（1）①60°,②見解析；（2）√10

【分析】（1）由條件易證AACO絲ABCE,從而得到：AD=BE,ZADC=ZBEC.由點(diǎn)

A,D,E在同一直線上可求出N4DC,從而可以求出NAEB的度數(shù)；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）由“SAS”可證△ACOgABCE,可得BE=ADZADC=ZBEC,由勾股定理可求解.

【詳解】（1）①解：?..4AC8和均為等邊三角形，

ΛCA=CB,CD=CE,ZACB=NDCE=60。,

：.ZACD=NBCE,

在，AC￡）和一BCE中，

AC=BC

"NACD=NBCE,

CD=CE

ACD^BCE(SAS).

：.NADC=NBEC,

VADCE為等邊三角形,

???/CDE=ZCED=6。。,

???點(diǎn)A,D,E在同一直線上，

???ZADC=120°,

???NBEC=I20。，

.?.ZAEB=ZBEC-NC￡￡>=60。：

②證明：?：AACD且ABCE,

???AD=BE,

???,CDE是等邊三角形，

：?CE=DE,

：.AE=AD+DE=BE+CE;

^AE=BE+CE↑

(2)解：???△/)已為等腰直角三角形，CD=CE=G,

JDE=√CD2+CE2=√2CE2=√2CE=2,NCDE=ZCED=45°，

VAC=BC9DC=EC,NACr>=90。-NOCBNBCE=90。-NDCB,

：?ZACD=ZBCEf

在,.ACD和48Cε中，

AC=BC

<ZACD=ZCEf

DC=EC

JiACD^BCE(SAS),

/.AD=BE=2,

：.AE=AD-i-DE=4,

/CEB=ZACD=180o-ZCDE=135°,

ZAEB=ZCEB-ZCED=90°,

?"?AB=y∣AE2+BE2=2√5，

?；ZACB=90。,CA=CB,

+CB2=AB2,

???2CB2=20,

.?.CB=M.

題型二勾股定理與網(wǎng)格問題

II

11.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，BDVAC

于點(diǎn)。，則BO的長為()

【答案】D

【分析】根據(jù)面積相等的方法，即可求出答案.

【詳解】解：由題意可得，A43C的面積是：3×4-l×3×l-→3×4=∣,

'?'BD是AABC的高，AC=?∣32+42=5，

I9

-×BD×5=-,

22

解得，BD=]Q,

故選：D.

12.如圖，矩形ABC。由6個(gè)邊長為1的小正方形組成，連接小正方形的頂點(diǎn)￡C及。、

F交于點(diǎn)0,則tanN">C的值為().

A.√5D.√2

【答案】B

【分析】以點(diǎn)F為原點(diǎn)，以FC所在直線為X軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系n(0,0),￡(-1,1),

￡)(2,2),C(2,0),求出FO?EC=2χ3-1x2=4,再根據(jù)0<NOOCV燈，求出tanZDOC的值.

【詳解】

解：以點(diǎn)F為原點(diǎn)，以尸C所在直線為X軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系,

則F(0,0),￡(-1,1),C(2,2),C(2,0)

FD=J4+4=2近,∣^C∣=√9+T=√iθ,

FO?EC=2x3-lx2=4,

FDEC4√5

’8SNDOC=網(wǎng)同=定而=T，

,.?0<ZDOC<乃，.?.SinZDOC=√1-cos2ZDOC=半，

SinZDOC

.*.tanZDOC==2.

cosZDOC

故選：B.

13.如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則NAo5的

D.正

2

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理解得A8,AO,80的長，再由SW=1AB?∕z=gAO?BO?sinNAO8

即可解答.

【詳解】解：由圖可知，AB=2,AO=√42+22=2√5,BC>=√22+22=2√2-

.S歷?！笰B/」AoBOsinNAOB

Atify22

.Jχ2x2」x2石χ2√∑?sinZAOB

22

...si.nN，A…OB一=-M----

10

故選：A.

14.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是I,則任意兩個(gè)格點(diǎn)間的距離不可

就是（）

A.√7B.√8D.√10

【答案】A

【分析】利用直角三角形的勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：在3x3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1,

22

；?任意兩個(gè)格點(diǎn)間的距離為在方=√ξ,√3+l=√iθ,囪，1,2,3,

√32+32=3√2'√22+32=√13'√l2+22=√5-

；?任意兩個(gè)格點(diǎn)間的距離不可能是近，

故選：A.

15.如圖所示的2x4的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角

形稱為格點(diǎn)三角形，則點(diǎn)A到BC的距離等于（）

【答案】C

【分析】過點(diǎn)A作4D1?8C于，由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，BC的長，再利

*^ΔΛβC=5BCXAD=SMKCF-S&ABM-SABEC—S3AFC即Uj求解.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作AQLBC于〃,

由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，BC2=12÷32=1O,

.?.BC=M

'?"*^ΔABC=SMECF—SAABM一^Δ,BEC-^?AFC

=2x3-LXIXI-Lχlx3--5-x2x2

222

=2

SΔABC=^BC?AD1

.-.-BC-AD=2,

2

；"。=卡，

故選：C

16.圖①、圖②分別是10*8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1,A、B兩點(diǎn)在小正

方形的格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各取一點(diǎn)（點(diǎn)C必須在小正方形的格點(diǎn)上），使以A、RC

為頂點(diǎn)的三角形分別滿足下列要求.

圖②

⑴在圖①中畫一個(gè)二A8C,使ZACB=90。，面積為5；

⑵在圖②中畫一個(gè)C,使B4=BC,/4BC為鈍角，并求.ABC的周長.

【答案】⑴見解析

（2）作圖見解析，10+4石

【分析】（1）根據(jù)題意可知/3=5,要使AABC面積為5,則只需要過點(diǎn)C作垂直AB的直

線且長度為2即可；

（2）要使JlBC為鈍角等腰三角形，則必須找到和A6相等的邊BC且C點(diǎn)必須在小正方形

的頂點(diǎn)上.

【詳解】（1）如圖①中，ΛBC即為所求；

(2)如圖②中，ΛβC即為所求.

QAB=BC=5,

AC=√42+82=4√5，

ABC的周長為10+4退.

17.如圖是由小正方形組成的8x8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺

在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，并保留必要的作圖痕跡.

圖1圖2圖3

(1)在圖1中，在直線BC的下方作格點(diǎn)。使AD=BC,連接AD,垂足為H.

(2)在圖2中找出所有可能的格點(diǎn)F,使ABb是以BC為直角邊的等腰直角三角形，并畫出

∕?BCF.

(3)在圖3中的線段BC上畫出點(diǎn)G,使NAGC=45.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶見解析

【分析】(1)利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的定義畫出圖形即可；

（3）構(gòu)造等腰宜角ATQ,AT交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)G即為所求.

【詳解】（1）解：如圖1中，線段AD,點(diǎn)”即為所求；

圖1

（2）解：如圖2中，點(diǎn)F,點(diǎn)F'即為所求;

圖2

（3）解：如圖3中，點(diǎn)G即為所求.

18.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，圖中

已給出了兩個(gè)格點(diǎn)4,B,

R

I

L

_

Γ

I

(1)在格點(diǎn)上取一點(diǎn)C,畫一個(gè)ABC,使NBAC=45。，且SABC=6.

(2)在格點(diǎn)上取一點(diǎn)￡),畫一個(gè)4ABZ),且AQ=5,BD=后,并利用網(wǎng)格畫出ND48的平

分線.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)取格點(diǎn)C,使得析?R4C=45°,C到AB的距離為3,AB的長為4,則SMC=6；

(2)根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求得4"5,確定點(diǎn)。的位置，然后根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)

作出ND48的平分線即可求解.

【詳解】(1)如圖所示；取格點(diǎn)C，使得/BAC=45。，C到AB的距離為3,A8的長為4,

則SABC=6

r-τ-π—I-1-----r--1-I—1

理由：?,AE=EC=3,ZA￡C=90°,

.?._AEC是等腰直角三角形，

NCAE=45。，

?.?AB=4,CE=3,

,?SABC=6,

點(diǎn)C即為所求；

(2)如圖所示；根據(jù)勾股定理求得4D=5,確定點(diǎn)。的位置，然后根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)作出ND48

的平分線

理由：取格點(diǎn)。，則A/=3,。尸=4

/.AE>=5,

BF=1,DF=4,

BD=歷,

'：NH=FG=2,MH=DF=4,NDFG=ZMHN=90°,

：..MNHm,.DGF,

：.ZNMH=ZGDF,

設(shè)AN交。尸于點(diǎn)K，則ADKN=ZAKF,

ANMH+ZDKN=ZGDF+ZAKF=90°,

：.DGLAN,

"：AD=AG=5,

??.AN是NΩ43的角平分線.

19.圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，只用無刻度的直尺，在圖①、圖②、圖③中各畫一個(gè)三角形，要求同時(shí)滿

足以下三個(gè)條件：

+T-

—

卜+

十一

IT-+一

(I)三角形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上：

(2)三角形是腰長為無理數(shù)的等腰三角形;

(3)三角形的面積為6.

【答案】見解析

【分析】結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)利用勾股定理構(gòu)造腰為無理數(shù)的等腰三角形，畫圖即可.

【詳解】如圖所示：

圖①圖②圖③

由圖可知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，根據(jù)勾股定理有：

圖①三角形的兩條腰長為：√2Γ73Γ≈√13.

圖②三角形的兩條腰長為：后導(dǎo)=屈，

圖③三角形的兩條腰長為：廬方^=歷，

根據(jù)網(wǎng)格圖形可知圖①三角形的底為4,高為3,故面積為4x3xg=6,

圖②三角形的底為6,高為2,故面積為6x2xg=6,

圖③三角形的底為2,高為6,故面積為2x6x∕=6,

故所畫三角形即為所求；

題型三勾股定理與折疊問題

"_____________________________I

20.如圖，在矩形ABC。中，AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)*處，則重

疊部分△人a7的面積為()

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【分析】己知A。為FC邊上的高，要求AAFC的面積，求得FC即可，求證AAFZ注,

得BT=Z)尸，設(shè)DF=X,則在Rf2?AFD中，根據(jù)勾股定理求x,于是得到CV=CD-。尸，

即可得到答案.

【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)可知：AABC四Z?AS'C,

.,.AB=AB'.BC=B'C,NB=NB'=90°,

；四邊形45Co為矩形，Aδ=8,BCH,

：.AD=BC=4,/0=4=90°,CD=AB,=AB^8,

：.AD=B'C,ZD=NB1,

在Z?AFD和ACFB'中，

ZD=ZB'

■AFD=ZCFB',

DA=B1C

1

：.iAFD^..CFB(AAS),

?DF=B,F,AF=CF,

設(shè)Z)R=X,則AR=CF=C￡>—Dk=8—x,

在RfzλAFf>中，AF2=DF1+AD->

Λ(8-X)2=X2+42,

解得：x=3,

CF=8-3=5,

S=—CF-AD=—×5×4=10.

ΛAFΓ22

故選：B.

21.如圖，長方形ABCO中，AB=3cm,AO=9cm,將此長方形折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)。重合

折痕為EF,則AABE的面積為()

A.3cm2D.12cm2

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的條件可得：BE=DE,在直角AABE中，利用勾股定理就可以求解.

【詳解】解：將此長方形折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合,

：.BE=ED.

AD=AE+DE=AE+BE=9cm,

BE=9-AE,根據(jù)勾股定理可知：AB2+AE2=BE2-

BP32+AE2=(9-AF)2

解得：AE=4,

∕?ABE的面積為一x4*6Cm2.

2

故選C.

22.如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊4C沿直

線4。折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則B。的長為()

A

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC=AE=6cm,CD=DE,ZACD=ZAED=ZDEB=90o,利用勾

股定理列式求出AB,從而求出BE,設(shè)CD=DE'=xcm,表示出BD,然后在RtAOEB中，利

用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：?.?A4CQ與AAEC關(guān)于AO成軸對(duì)稱，

：.AC=AE=6cm,CD=DE,NACD=NAED=NDEB=9()。,

在Rt?ABC中，AB2=AC2+BC2=62+S2=102,

ΛAB=IOcin,

/.BE=AB-AE=10-6=4(cm),

設(shè)CD=OE=XCm,PI∣JDB=BC-CD=(8-x)cm,

在Rt△。班中，由勾股定理，得f+42=(8-X)2,

解得x=3,

.*.CD=3cm.

BD=S-x=8-3=5(Cm),

故選:A.

23.如圖，三角形紙片A8C中，ZBAC=90o,AB=2,AC=3.沿過點(diǎn)A的直線將紙片折

疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)。處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，若折痕與4C的交

點(diǎn)為E,則AE的長是()

B

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得AO=AB=2,ZB=ZADB,CE=DE,∕C=∕CDE,可得NADE

=90°,繼而設(shè)4E=x,!JIlJCE=DE=3^χf根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：:沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)8落在邊BC上的點(diǎn)。處，

ΛAD=AB=2,NB=NADB,

???折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，

：.CE=DE.ZC=ZCDEf

VZBAC=90°,

ΛZB+ZC=90°,

NADB+NCDE=90。,

.β.NAoE=90。，

222

/.AD+DE=AEf

AE=x,則CE=OE=3-小

Β2,22

..2+(3-A)=xt

13

解得χ=9

0

13

即AE=-

6

故選A

24.如圖，三角形紙片ABC,點(diǎn)。是3C邊上一點(diǎn)，連接AD,把AABQ沿著AO翻折，得

≡∣J?AED,OE與AC交于點(diǎn)G,連接BE交AD于點(diǎn)F.若DG=GE,AF=6,BF=4,ΔADG

的面積為8,則點(diǎn)F到BC的距離為()

A

【答案】C

【分析】先求出AABO的面積，根據(jù)三角形的面積公式求出QR設(shè)點(diǎn)尸到8。的距離為兒

根據(jù)g?B∕>∕7=g?8F?f)F,求出84即可解決問題.

【詳解】解：YDG=GE,

ΛS?AOG=SAAEG=8,

ΛS?AoE=I6,

由翻折可知，AADB也zλACE,BELAD,

.?.SAABO=S△A。E=I6,NBFD=90。,

.?.∣?(AF+DF)?BF=16,

Λy?(6+DF)×4=16,

DF=2,

DB=√BF2+DF2=√42+22，

設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為6,則有T?BO?∕z=??BF?DF,

??2>/5h=4x2,

仁喧

5

，點(diǎn)尸到BC的距離為拽.

5

故選：C

Ml■■■■■■Ml■IMMiI■■Mi■J

題型四勾股定理的證明方法

_______________________________I

25.根據(jù)圖形(圖1,圖2)的面積關(guān)系，下列說法正確的是()

A.圖1能說明勾股定理，圖2能說明完全平方公式

B.圖1能說明平方差公式，圖2能說明勾股定理

C.圖1能說明完全平方公式，圖2能說明平方差公式

D.圖1能說明完全平方公式，圖2能說明勾股定理

【答案】B

【分析】結(jié)合圖形分別表示出圖1與圖2的面積等式，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：圖1的面積關(guān)系表示為：

(a+b)(a-b)=a2-b2,為平方差公式；

圖2的面積表示為：

(i7+?)2-??×4Λ?=C2,

化筒得：a2+b2=c2,為勾股定理;

故選：B.

26.如圖，將正方形ABCD剪去4個(gè)全等的直角三角形(圖中陰影部分)，得到邊長為

的四邊形EFGH.下列等式成立的是()

A.a+b=c

B.c2=(a+h)2-4ah

C.c2=[a+b)(a-b)

D.a2+b2=C2

【答案】D

【分析】用兩種方法表示剩下正方形的面積，列出等式，化簡即可得到答案.

2

【詳解】解：由圖可得剩下的正方形的面積為：(α+?)-4×la?,

根據(jù)正方形面積公式，剩卜的正方形面積也可以表示為：Cz,

?1

222

.?.(a+?)^-4×-ab=c,化簡得儲(chǔ)+b=c,

故選：D.

27.勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四

幅圖中不能證明勾股定理的是()

【答案】D

【分析】利用兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積與一個(gè)直角邊為C的等腰直角三角形面積和

等于上底為a,下第為b,高為(a+b)的梯形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷A,

利用以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長為c的小正方形面積和等于以a+b的和

為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷B,

利用以a與(a+b)為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長為b的小正方形面積和等于以C

為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷C,

利用四個(gè)小圖形面積和等于大正方形面積推導(dǎo)完全平方公式可判斷D.

【詳解】解:A、兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積與一個(gè)直角邊為C的等腰直角三角形面

積和等于上底為&下第為b,高為(a+b)的梯形面積，故gα6+gab+∕c2=g(α+32,整理得：

a1+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長為c的小正方形面積和等于以a+b的和

為邊正方形面積，故4xg而+c?2=(α+b)2,整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故

本選項(xiàng)不符合題意；

C、以a與(a+b)為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長為b的小正方形面積和等于以C

為邊正方形面積，4×^a(a+b)+b2=c2,整理得：a2+b2=c?即能證明勾股定理，故本

選項(xiàng)不符合題意；

D、四個(gè)小圖形面積和等于大正方形面積，2妨+/+6=(4+6)2,根據(jù)圖形證明完全平方

公式，不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

28.在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用以下圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理：這種

根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實(shí)際上它也可用于驗(yàn)

證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是()

(1

A.統(tǒng)計(jì)思想B.分類思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.函數(shù)思想

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，據(jù)此回答即可.

【詳解】解：根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，

如勾股定理的推導(dǎo)是根據(jù)圖形面積轉(zhuǎn)換得以證明的，

由圖形到數(shù)學(xué)規(guī)律的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的思想為：數(shù)形結(jié)合思想，

故選：C.

29.觀察“趙爽弦圖”(如圖)，若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為α,b,a>b,

根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式()

A.a{a-b)=a1-abB.[a+b)[a-b)=a1-b^

C.(α-?)2=a2-2ah+h2D.(a+b)2=a1+2ah+b2

【答案】C

【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積可得問題的答

案.

【詳解】標(biāo)記如下：

:方彩WN一°正方形AZ)Co2R∣ABN>

.,.(4-b)2=a2+b2-4×-ab

2

=a2-2ab+b2.

故選：C.

題型五勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

30.一架長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為6米，如果梯子的

頂端沿墻壁下滑1米,那么梯子的底端向后滑動(dòng)的距離（）

A.等于1米D.不能確定

【答案】C

【詳解】如圖，在AABC中，ZACB=90o,AB=IO米，AC=6米,

由勾股定理得BC=8米，

△A∣BC∣中，ZC=90o,AlBl=IO米，A∣C=5米，由勾股定理得B∣C=5√^米，

?BBι=BιC-BC=5-8≈0.66（米），

故選C.

31.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載這樣一個(gè)問題，原文是：“今有立木，系索其末,

委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡.問索長幾何?''譯文為；"現(xiàn)在有一根直立的木柱，

用一根繩索綁住木柱的頂端，另一端自由下垂，則繩索比木柱多三尺；將繩索的另一端靠地

拉直，此時(shí)距離木柱的底端八尺，問這條繩索的長度是多少?”根據(jù)題意，求得繩索的長度是

()

A.9^尺B.9尺C.12尺D.12,尺

66

【答案】D

【分析】設(shè)木柱長度為X尺，則繩索長度為（Λ+3）尺，根據(jù)題意利用勾股列方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)木柱長度為X尺，則繩索長度為（x+3）尺，

根據(jù)題意可得:X2+82=（X+3）2,

解得：戶學(xué).

O

.*.x+3=I2-^?,

6

故繩索長度為12二尺.

O

故選：D.

32.如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折

高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=十尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好

抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度.設(shè)竹子折斷處離地面X尺，根據(jù)

題意，可列方程為()

A.X2+62=102B.So-X)2+62≈√

C.X2+(Io-X)2=62D.x2+62=(IO-Jt)2

【答案】D

【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面X尺，則斜邊為(10-x)

尺，利用勾股定理解題即可.

【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面X尺，則斜邊為(IO-x)尺，

根據(jù)勾股定理得：√+62=(10-x)2.

故選D

33.小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點(diǎn)短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的內(nèi)

徑6cm,口杯內(nèi)部高度9cm,要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要()cm.

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理即可求得.

【詳解】解：如圖：連接AC

a，

/

c<_九

故要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要的長度是線段AC的長度

由題意可知：BC-6cm,48=9Cm

在Rt∕?ABC中，AC=JAB2+BC2=√92+62=3√13(cw)

,?∕l3≈3.6

:.3√13≈3×3.6=10.8

，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要IICm

故選：C

34.如圖，一艘海輪位于燈塔尸的北偏東30。方向，距離燈