高一數(shù)學(xué)新教材人教A版2019同步教學(xué)必備 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（解析版）

同角三角曲數(shù)的基本關(guān)系

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：sin2a+Cos2a=l

(2)商數(shù)關(guān)系：包吧=tanc

cosa

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系

式都成立；

(2)sin%是(Sina)2的簡(jiǎn)寫;

(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意"士”的選取.

知識(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形

1、平方關(guān)系式的變形：

sin2a=I-cos2a,cos2α=l-sin2α,I±2sina?cos<z=(sinor±cosa)2

2、商數(shù)關(guān)系式的變形

.Sine

s?ncr=cosɑtanor>COSa=-------.

tancz

【方法技巧與總結(jié)】

(1)求值題型：已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值.

①已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值及這個(gè)角所在象限，此類情況只有一組解；

②已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值但該角所在象限沒有給出，解題時(shí)首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定

這個(gè)角所在的象限，然后分不同情況求解；

③一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，這時(shí)一般有兩組解.

求值時(shí)要注意公式的選取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒'’的順序很容易求解，但要注意開方時(shí)符

號(hào)的選取.

(2)化簡(jiǎn)題型：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的一般要求是：①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，

從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.②對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然

后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造

sin2α+cos2a=l,以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

(3)證明題型：證明三角恒等式和條件等式的實(shí)質(zhì)是消除式子兩端的差異，就是有目標(biāo)的化簡(jiǎn).化

簡(jiǎn)、證明時(shí)要注意觀察題目特征，靈活、恰當(dāng)選取公式.證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一

邊，一般是由繁到簡(jiǎn).②比較法：即證左邊一右邊=0或—=1(右邊工0).

【題型歸納目錄】

題型一：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值

題型二：已知tancr的值，求關(guān)于Sin夕、CoSa的齊次式的值問題

題型三：si∏6z±costz與SintZ?cos<z關(guān)系的應(yīng)用

題型四：利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式

題型五：利用同角關(guān)系證明三角恒等式

【典型例題】

題型一：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值

例1.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知α是第二象限角，tanc=-2,貝IJCoSa等于（）

A.一亞B.--C.-亞D.--

5555

【答案】A

【解析】任意角的三角函數(shù)

??CSina.C.

?tana=-2=------,..2cos6r=-sιnα,

cosα

sin2a÷cos2a=1，α是第二象限角TcoSa=-1.

故選：A

例2.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知角。的終邊在直線y=-2x上，則CoSa=（）

A.邁B.直C.±—D.±—

5555

【答案】C

【解析】由題設(shè)知：tana=-2,即Sina=-2COSα,且siMa+cos？a=1，

所以cos2α=（,而α終邊在第二或四象限，

5

故選：C

例3.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知tana=3,0<a<π,則CoSa-Sina的值為（）

AMR√IOr√ion√io

551010

【答案】B

【解析】由tana=3,得Sina=3cosa?又α∈（0,7i）,所以Sina>0,CoSa>0.結(jié)合siYa+cos?。=1得

.3√ioTio而舊√ιo

SIna=-------，COSa=------，明以COSa-Slna=--------.

10105

故選：B.

變式1.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）己知0<a<;r,且CoSa=；,則tanq=（）

A.立B.-也

C.2√2D.-2√2

44

【答案】C

【解析】因?yàn)?<α<∕,且CoSa=；,所以Sina=JI-COS2α=3區(qū)，

3

SinaCK

tana=-------=2√2.

COSa

故選：C.

變式2.（2022?河南?新鄉(xiāng)市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）71-Sin22=（）

A.cos2B.-∞s2C.sin2D.-sin2

【答案】B

【解析】Jl—sin?2=JCoS22

因?yàn)?e（］,7r）,所以CoS2<（）,所以JCoS：2=-cos2?

故選：B

13TT

變式3.（2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）已知CoSa=J?y<α<2π,貝IJtana的值為（）

A一巫B._顯C.-y[2D.-2y∣2

34

【答案】D

【解析】由題意得Sina=-JI-J）?=-辿,則tanα=把q=-2后，

V33CoSa

故選：D

變式4.（2022?新疆?柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高一期末）若α為第三象限角，且Sina=則CoSa=（）

A,也√2「&2√2

Dr?------L?----LnJ.--------

3443

【答案】D

cosa--?/?-sin2a=-JI-U=?

【解析】由題意，

故選：D

變式5.（2022.貴州.凱里-中高一期中）若可知,且滿足高—，則sinO+cos。=（）

A.叵r√5r√5n√10

5555

【答案】A

【解析】由一?^Tane=I得(tang—2)(ta∏g+3)=0,.*.tan。=_3或tan9=2,

tan

因?yàn)閑∈(5zj,tanθ<0f所以tang=—3.

HJS'冶=^5=一3A、八犯?a3√W.nSine√IO

IiJ]cos，)義sin6>。(于SinΘ--------,??cosΘ=-------=--------，

SinW+Cc)S加=1?θ,an010

所以Sine+cos6=.

5

故選：A

【方法技巧與總結(jié)】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值的常用技巧：

(1)巧用“1”進(jìn)行變形,如1=sin*2a+cos2a=tanαcotα=tan45°等.

(2)平方關(guān)系式需開方時(shí)，應(yīng)慎重考慮符號(hào)的選取.

題型二：已知tana的值，求關(guān)于Sina、CoSa的齊次式的值問題

9?in/y4-CCq<y

例4.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知tana=-2,則=()

cosQf-Sincr

A.—4B.—C.—1D.—

23

【答案】C

.」2sina+cosa2tana+1-4+1

【解析】-------：—=-———=/大；二一11，

cosa-sinσ1-tana1-(-2)

故選：C.

例5.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))若tan。=-2,則sin?6+2sin0COSg-CoS的值是()

1C371

A.——B.--C.——D.一

5555

【答案】A

【解析】因?yàn)閠an，=-2,

所以si??。+2sinOcos6-cos2θ

_sin?6+2SineCoSe-COS2e

sin20÷cos2θ

tan?6+2tan6-1(-2)+2x(-2)-11

tan2∕9÷l(-2)2+15'

故選：A

例6.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知tan。=！，則—**+Sme=()

2cos3<9+sin6?cos26?

A.—B.2C.—D.6

26

【答案】A

【解析】因?yàn)閠anJ=；

山I”sιn30+s?n0

所以——；-----------

cos9+sinScos-θ

sin3θ+sin。卜in?θ÷cos2

cos3O+sinOcos?θ

_2sin*O+sinOcos?θ

COS30+sin0COS2

_2taι√e+tan6

1+tan6

故選：A

變式6.（2022.四川.德陽(yáng)五中高一階段練習(xí)）若函數(shù)〃力=1強(qiáng),（工+3）-1（。>（）,。工1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)「,

.,14八八…②、上,,SIne-COSe

且r點(diǎn)P在角。的終邊上，則rιl…八-----=()

4sin，+COSJ

A.--B.-?C.-?_5

D.

647^3

【答案】A

【解析】對(duì)于函數(shù)/（%）=1Oga（X+3）-l（α>OM/1）,

令》3=1,解得工=—2,所以/（一2）=IOg“1—1=—1,所以函數(shù)恒過定點(diǎn)戶（—2,—1）,

又點(diǎn)P在角。的終邊上，所以tan。=（

l-1

L…Sine-CoSetan^-1_2_1

所r以4sin。+COS屋

4tan6+l4x1+lX

2

故選：A

變式7.（2022?云南德宏?高一期末）若Slna+cos。=，,則t?。=（）

sιna-cosa2

3C-3C

A.—B.-3C.-D.3

22

【答案】B

SinaCOSa

■.sinσ+cosa1CC)Sctcosa1tan=+11?

【解析】由^---------=T=

SIna-COSa2s?norCOSG<2tana-l2

cosacosa

故選：B

變式8.（2022?遼寧?凌源市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知tan"g,則COS20+cosOsin，=（）

3+6c.e5

A.匕迫rD.

2256

【答案】C

【解析】因?yàn)閠anθ=g

!+?￡

,.cos29+SineCoSel+tan6_

AV-----------------------=____2_=6

sin2^+cos2θ1+tan2θl÷φ25

故選:C.

_______1_______

變式9.(2022?陜西漢中?高一期中)已知Iana=2,則=()

3sin2a-2cos2a

1B.-A_1

A.-C—D.

33J22

【答案】C

sin2α+cos26ztan2df+l_1

r格漢矯】Cb薪雷俎___[

3sin26Z-2cos2a3sin2?z-2cos26r3tan2tz-22

故選：C.

變式10?(2022?江西?贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí))已知tanx=2,則SinXCoSX+1=()

27

A.-B.-C.2D.3

55

【答案】B

LL■?,SinxcosxtanX27

【解析】Sinxcosx+l!=——?---------z—+11=——∑------+11=—+11=—.

sinX+cosXtanx+155

故選：B.

【方法技巧與總結(jié)】

①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及Sina、CoSa的齊次分式問題，常采用

分子分母同除以COS"α(ne∕V,),這樣可以將被求式化為關(guān)于tane的式子，從而完成被求式的求值；

②在求形如ɑsin2ɑ+bsin^z?cosɑ+ccos2ɑ的值，注意將分母的1化為sin%+cos?2=1代入，轉(zhuǎn)化為

關(guān)于Iana的表達(dá)式后再求值.

題型三：Sina±cosa與Sina?cosα關(guān)系的應(yīng)用

例7.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))己知一;τ<xv(),SinX+cosX=[,則SinX-COSX=.

7

【答案】

2124

【解析】(sinx÷cosx)~=l÷2sinxcosx=-,解得2sinxCoSX=—石.

因?yàn)橐蝗f(wàn)<x<0,2sinxcosx<0,所以一工<x<0.

2

所以(SinX-COSXy=1—2SinXCOSX=—,

_7

又SinX-COSX<0,所以SinX-COSX=-W.

7

故答案為：-二

例8.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知sind-cos，=；,貝IJSin'。-以46=

【答案】?

Io

1913

【解析】因?yàn)镾ine-CoSe=I,平方得(Sine-CoSey="所以Sine?cos6=g,

所以sin3θ-cos38=(sin6-cos^)?(sin2θ+sinθcosθ+cos2=+=

故答案為：??

Io

例9.(2022?上海南匯中學(xué)高一階段練習(xí))已知Sina+cosα=——(0<α<"),則CoSa-Sina的值為

3

【答案】一2【解析】Hsina+cosa=-,則sirα+cos2α+2sinαcosα二^,即2sinαcosα=-2<0,

3399

而0<α<4，Sina>0,于是有COSaV0,

所以cosa-sina=-?/(eosɑ-sinɑ)2=-Jl-2sinαcos。=-g.

4

故答案為：

變式IL(2022?遼寧?沈陽(yáng)市第一二。中學(xué)高一階段練習(xí))已知Sina+coSa=-g[]<α<萬(wàn)｝則

]

的值為

SinaCoSa

【答案】I

【解析】因?yàn)镾ina+cosα=-1

所以(Sina+eosɑ)???,所以si/a+cos?。+?SinaCe)Sa=W,

所以Sinacosa=------

因?yàn)?<α<π,所以Sina>0,COSaVo,

2

7

所以Sina-CoSa=α-cosa)2=Vl-2sinacosa=

255

Sina+cosa=

534

由,z得rlSina=—,COSQf=

7，^5

Sina-COSa=—

5

,,115535

所rr以-----------=-+-=—,

sinaCOSa3412

故答案為：γ∣

變式12.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知COSa-Sinc=-g,貝IJSinaCoSa的值為.

【答案】I

O

【解析】CoSa-Sina=-，兩邊平方得：cos2a-2sinacos6r+sin2a=—,即1-2SinaCOSa=’,解得：

244

.3

sinacosa=—.

8

故答案為：]

O

變式13.（2022.吉林?梅河口市第五中學(xué)高一期中）己知ae∣-?,?],sinα+COSa=?,則tana=

3

【答案】

4

【解析】由題意得（Sina+cosa）~=sin26τ÷cos26z+2sin6zcosa=l÷2sinacostz=—,

24

所以2sinacosa=-----,

25

所以（CoSa-SinaI=sin2a+cos2a-2sinacosa=1-2SinaCoSa=

（71π?一

因?yàn)閍∈lL所以CoSa>sina,

71

所以COSa-Sina=寸又Sina+cosa=—,

,43

解得CoSa=《,sina=-—,

LL…Sina3

所以tana=-------=——.

COSa4

3

故答案為：-二

4

、.1S?

變式14.（2022?浙江省桐廬中學(xué)高一階段練習(xí)）已知SinaCoSa=§,π<a<-,則CoSa-Sina=

【答案】-9

3

【解析】因?yàn)?<α<—，所以COSaVSinα,即COSa-SinaV(),

4

因?yàn)镾inaCOSa=J，

3

221

所以(CoSa-Sinay=1-2cosasina=1--=-,

所以COSa-Sina=一正.

3

故答案為：一包.

3

【方法技巧與總結(jié)】

三角函數(shù)求值中常見的變形公式

(1)Sina+cosα,sina∞sσ,Sina-CoSa三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一

求二“，它們的關(guān)系是：(Sina+cosa)?=1+2SinaCOSa；(Sina-CoSa>=1-2SinaCoSa.

(2)求Sina+cosq或Sina-CoSa的值，要根據(jù)α的范圍注意判斷它們的符號(hào).

題型四：利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式

例10,(2022?江蘇?高一)若0“<工，則Jl-2sin/cos4+Jl+Zsinqcos/的化簡(jiǎn)結(jié)果是________.

2V22V22

a

【答案】2C0Sy

【解析】原式=Jsin2(―)-2sin-cos—+cos2(-)+Jsin2(-)+2sin—?cos—+cos2

V2222V222

*.ecc∈(0,—),—∈(0>—),?*?cos-----sin—>0,cos—Fsin—>0,

2242222

CY

故答案為：2COSy.

例U.(2022?安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試)化簡(jiǎn)

2

12cosa-l

l-2sin2^z

(2)(l+tan2a)cos2a

(3)tan2a-sin2a-tan21sin2a

2cos2a-l_2cos2a-cos2a-sin2a

［解析］(］)l-2si∏20cos2α+sin26Z-2sin2a

cos2α<-sin2a

=1;

cos2σ-sin2a

22

2cos6z÷sina

+tan2a)cos2a=2?cos2a-1

cosa

,3)tan2sin2(7-tan2(7sin2a=tan2cr(l-sin2ɑ)-sin?a

sin2a2?2C

=------cos~a-Slrra=。.

COSF

例12.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知3sin?a-4sinacosα+l=0?

(1)求Iana的值;

___SinaCOSa,_

(2)求-；----7—的f值.

l÷cos^a

［解析］(I)解法一：?.?sin?α+cos?α=1,3sin2tz-4sin<zcosα+l=0,

.3sin2a-4sinacosa?

'?Si帝QCNa+∣1=°'

3tan2a-4tana

分子分母同時(shí)除以cos2a,得+1=0,

tan2α+l

即(2tanα-Iy=0,解得tana=g.

解法二：:3sin26z-4sinσcoscr+l=0,?*?4sin26z-4sincrcoscr+cos22=0,

即(2Sina-COSa)2=0,.*.2sinα-cosα=0

.?tana=—

2

sinacosa_SinaCoSa_tana_2

tana=—-------------

(2)???2,1+cosasin2fz+2COS2atan2a+29

l+si∏6Z+cosa+2sinacosa

變式15.（2022?全國(guó)?高--課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn):

1+sincr+cosa

1+sina+cosa+2sinacosa

【解析】

l+sinσ+cosa

sin2a+cos2α+sina+cosa+2sinacosa

l÷sina+cosa

(Sin2a+cos2a+2sinacosa)+Sina+cosa

1+sina+cosa

(sina+CoSa)2+sina+cosa

l+sinα+cosa

(sina+cosa)(sina+cosα+1)

l+si∏6z+cosa

=sincr+cosa.

變式16.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于X的方程2f-（√i+l）x+m=0的兩個(gè)根為sine,cos。,

夕∈(0,2ι),求:

SineCoSe

(1)?Il-tan。的值;

tan。

（2）方程的兩根及此時(shí)O的值.

sin2(9cos2θ=Sine+cos6=^^

--S-in-e--1--C-o-Se-=--------1--------

1-tan0Sine-COSe-Sir19+COSe2

【解析】(1)tan。

SineCoSe='

(2)由(1)得2,

所以(Sine+cos=sin26+cos?÷2sin^cosθ=?+m=,解彳導(dǎo)%2=4

所以方程2xjb+g+*=°的兩根為等W

又因?yàn)?∈(0,2Λ?),

,√3?八1

sinΘn=——SIne=一

22Tt

所以,此時(shí)或■廣，此時(shí)e=J.

八?3AG6

COS"=一cosθ=——

22

變式17.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn):

(I)√l-2sin400cos400;

⑵sin%+sin^β-sin2asin2β+cos2acos2/7.

【解析］⑴Jl-2sin40%os40。=J(CoS40。-sin40。)？=COS40。-Sin40。；

⑵原式=Sin2。+1-cos%-si/asirQ+cosGcos?/?

=sin2ez(l-sin2∕9)÷l-cos2/9(l-cos2a

=sin2αcos2β+l-cos2βsin2a

=1.

【方法技巧與總結(jié)】

化簡(jiǎn)要求

（1）項(xiàng)數(shù)盡量少；（2）次數(shù)盡量低；（3）分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；（4）盡量不含根式；（5）

能求值的盡可能求值.

題型五：利用同角關(guān)系證明三角恒等式

例13.（2022?全國(guó)?高一）（1）化簡(jiǎn)：tana-1（其中a為第二象限角）；

SinaCOSatana<

（2）求證:-------------------------=1.

1-cosa1+cosa

?-?sincr∕l-sin2aSinacos2aSina-cosa

【解析】（1）tana.z)=-1：

sιn^acosasin2acosasin2acosarsina

sin?

/c、141SIna?cosa---------2

(2)左邊—Ce)Sa_Slnα_1_彳1邊.

l-cos^asim

例14.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))求證：

ΛCOSdf1V,1、C

(1)1—:----+------1-tanα+-------=2；

Isιnαs?nɑ)\COSaj

?/1?LI)I1

(2)sin?(1+tanσJ+cosa1+-----=------+-------

Vtana)SinaCOSa

COSa1V.1AΛCoSa1V,Sina1

-------+-------1-tancc+CoSaJ=1一Sina+sinαJ〔一CoSa+cosα

八

【解析】（1）SinaSina

_Sina-CoSa+1CoSa-Sina+1I-(Sina-COSa)2

SinaCOSasina?cosa

1-1+2SinaCoSa。

=------------------------=2.

SinaeOSa

所以原式成立.

?/，?H1].(sinɑ]∩COSa)i2Λfcos2a

sin0(1+tanɑ)+cosα∣1H--------=sλinα∣1H-----------+cosα∣14----------=SirsIcntH-------------FCOSoeT---------

(2)VtanaJ<cosaJ<sinaJCOSasina

l-cos2aI-Sin2α11.11

=SInα+cosa+------------+------------=Slna+cosa÷----------cosa+---------Slna=-------+-------

CoSasinaCoSaSinaSinaCOSa

所以原式成立.

例15.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）求證：

八l-2sinxcosx1-tanΛ

（1）-----?-----:~~r=----------

cosx-sιnx1+tanx

（2）tan2f?-sin2a=tan2a?sin2a

【解析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明即可.

小一小(cosX-Sinx)2cosx-sinx1-tanxr、、

⑴左邊=-----------------------=----------------=右邊.

(cosX-sinX)(CoSx+sin?)cosx+sinx1+tanx

口”、l-2sinxcosx1-tanx

即證一j——；=---------.

cosx-sιnxr1+tanx

(2)左邊一sin%sin2￡_sin%-sin2acos2α一sii?a(l-cos%)

cos2acos2acos2a

=tan2CSin2α=右邊.

即證：tan2a-sin2er=tan2σ?sin2er?

變式18.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))求證：sin%+cos%=l-2sin%cos%

【解析】證明：左邊=(sin2α÷cos2α)2-2sin2acos2a=l-2sin2acos2α=?i?,

貝IJSin%+cos%=1-2sin2rzcos2a.

變式19.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))求證：

⑴Sina-CoSa+1l+sina

sina+cosa-1CoSa

(2)2(sin6θ+cos66)-?(sin4θ÷cos46>)+l=0

(sina-cos0+1)(sinα+cos0+1)(Sina+1)”-cos2a

【解析】(I)左邊_(sin。+CoSa-I)(Sina+cosα+l)(sin?+cosσ)2-1

_sin2a+2sina÷l-cos2a_2sin2a+2sinaSina+1_右邊

2sinacosa2sinacosaCoSa

2卜由2，+COS2，XSin4'+cos'e-sin?6cos?一3^sin2^+cos2-2sin2^cos2θ+1

(2)左邊=L-

=2(sin4÷cos40-sin20cos2^)-3∣^l-2sin2Ocos2。]+1

=2^sin2^+cos2夕)-3sir?0cos2θ-3p-2sin2^cos2夕]+1

=2[l-3sin26>COS20]-3[l-2sin26>cos26卜I=O=右邊.

tanasinatanα+Sina

變式20.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))求證:

tana-sinαtan。Sina

tan24/-sin2a

【解析】證明：Y右邊二

(tana-sina)tanasina

?2，

ta?rα-tanα~cos^a

(tan<z-sina)tanasina

tan2<1(1-cos2a)

(tana-sinα)tanasina

tan2asin2atanasinα.,,

-------:—=左邊,

(tana-sina)tanasinatana-sina

.tanasinatana+Sina

tana-sinatanasina

變式21?(2022?江蘇?高一課時(shí)練習(xí))(1)求證：taiAxsi/aKa/a-siMa；

(2)已知tan2(z=2lan2/?+l,求證：2sin%=sin2p+l.

【解析】解析：(1)tan2asin2a=tan2a(1-cos2α)=tan2a-tan2acos2a=tan2a-sin2a,則原等式得證.

(2)因?yàn)閠ai]2α=2tan2∕+l,所以則f+1=2+,即一\—=—?―,

COS2aVCOS-/?)COSFCOS-P

從而2cos2a=cos2/??

于是2?25吊2。=16訪26，也即2sin2a=sin2^+1,則原等式得證.

【方法技巧與總結(jié)】

證明三角恒等式時(shí)，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡(jiǎn)的原則，即從較繁

的一邊推向較簡(jiǎn)的一邊；還可以將左、右兩邊同時(shí)推向一個(gè)中間結(jié)果；有時(shí)候改證其等價(jià)命題更為方便.但

是，不管采取哪一種方式，證明時(shí)都要“盯住目標(biāo)，據(jù)果變形化簡(jiǎn)證明過程中常用的技巧有：弦切互化，

運(yùn)用分式的基本性質(zhì)變形，分解因式，回歸定義等.

【同步練習(xí)】

一、單選題

L(2022?安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試)已知Sina=半，貝IJSin,α-cos,o=()

3I-I3

A."-B.—C.-D.—

5555

【答案】A

【解析】因?yàn)镾ina=當(dāng)，且sin?α+cos?α=l,所以COS?a=[,

所以sin4a-cos4a-(sin2a-cos2α)(sin?a+cos2α)=sin2a-cos2￠/=-^---∣=-∣,

故選：A

JT

2.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知一<。<乃，2sin6=l-CoS6,則tan8=(

2

A.-?C.一立D不

B.--

4342

【答案】B

【解析】因?yàn)?sin6=l—cos。,所以CoSe=I-2sin6,

H?sin2^+cos2^=l,所以5仙2。+(1-25足。)2=1,

4

整理得5sin?6-4sine=0，解得Sine=O或Sine=不，

TT4

由一<。<"，得Sine>(),CoSee0,所以sin。=-,

25

所以CoSe=-Jl-Sin,θ=-3,所以tan，=-土

53

故選：B.

3.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))化簡(jiǎn)(tana+任ICOS2。的結(jié)果是()

ISina)

]

A.tanaB.SinaC.cosaD.

tana

【答案】D

COSa12/'sinacosa、2sin2cz+cos2a2COSQ1

【解析】tana+---------cosa=--------1^------?cosa?-c-o--s----a--=-------------------

sina)Ikcosasinσ)SinaCOSaSinatana

故選：D

7

4.(2022?河南駐馬店?高一期末)已知Sina+cosa=值(0<a<π),則tan。=()

A.上Bu12

C.-D.

51212T

【答案】A

7

【解析】因?yàn)镾ina+cosα=—(θ<α<π)sin2?+cos2a=l>

,,,,.125a”sina12

γ則ji口Jγ解λz得iSma=—,cosα=,所以tana=-------=.

1313cosa5

故選：A.

5.（2022?江西九江?高一期末）化簡(jiǎn)：J+sina網(wǎng)吧（a是第二、三象限角）（）

VI-SinaV1+sina

22

A.---------B.-------C.-2tanσD.2tana

COSaCOSa

【答案】C

［解析］旺遠(yuǎn)一∣l-sina_/(1+sincr)2/(l-sinσ)2_2sina

V1-sinaYl+sinaVcos2aVcos2a∣cosa∣

2sinπ

當(dāng)a是第二、第三象限角時(shí)，原式=-M4=-2tana.

CoSa

故選：C.

6.（2022?河南?南陽(yáng)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知。€（0,兀），sin?+CoSe=（,則下列結(jié)論正確的是（）

A.8e（θ,j∣?）B.COSe=T

37

C.tan。=—D.Sine-COSe=——

45

【答案】B

【解析】因?yàn)閟inC+cos。=（,所以（Sine+cos。）？=1+2SineCoS夕=*.

,24

口?得2sin9cos。=-石,

因?yàn)閑∈（0,ι）,所以sin'>O,CoS，<0,所以θ?"）,故A錯(cuò)誤，

又由(Sine-COSey=1-2SineCOSe=^l,可得所以Sine-CoSe=I,故D錯(cuò)誤,

Sine+cos。=一

聯(lián)立方程組;43

解得Sino=W,cos。=一,故B正確,