直擊2024年高考-高三數(shù)學(xué)高考模擬卷（新高考1卷地區(qū)）-答案解析

高三數(shù)學(xué)高(新高考1卷地區(qū))

一、單選題（共8題，共40分）

1.（5分）已知集合4={-2,—1,1,2,4},B-{y\y-log2|x|-l,xeA],則4nB=（）

A.{-2,—1,1}B.{-1,1,2}C.{-1.1}D.{-2,—1）

2.（5分）復(fù)數(shù)z滿足z（l—i）=|l+gi|,貝Uz=（）.

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.（5分）已知向量后=Q.+1,1），n=（A+2,2），若（m+n）_L（m—幾），貝（M=（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

4.（5分）若函數(shù)〃無）=1。85/-"+2）在區(qū)間（0,1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[2,3）B.（2,3）C.[2,+°°）D.（2,+°°）

5.（5分）已知圓M:/+必=7n,圓N：/+y2一6x—6y+16=0,圓N上存在點(diǎn)P,過P作圓M的

兩條切線P4,PB,若1//,則巾的取值范圍為（）.

A.[2,4]B,[4,8]C,[2,16]D.[4,16]

6.(5分)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線C：y2=4x上的兩點(diǎn)4,8滿足標(biāo)=4同《《443),貝|弦AB

的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是()

A.2B.-C,-D.4

33

7.(5分)古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日

施2子安貝(古印度貨幣單位)，以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個(gè)問題中，以一個(gè)月31天

計(jì)算，記此人第n日布施了an子安貝(其中14律《31,neN*),數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為5n.若關(guān)

于n的不等式%-62<a"1-tan+］恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為().

A.(—8,7)B.(―8,15)C.(—8,16)D.(—8,32)

8.(5分)定義：設(shè)函數(shù)y=/。)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為尸(久)，若尸Q)在(a,6)上也存在導(dǎo)函數(shù)，

則稱函數(shù)y=f(x)在(a,b)上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為y=尸’(x).若在區(qū)間(a,b)上-'(x)>0，

則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)上為"凹函數(shù)".已知/'(%)=ex+i(1—m)x3-|x2(^Inx+Inm-0

在區(qū)間(0,+8)上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)租的取值范圍為().

A.(1,e—1)B,(0,e—1)C,(1,e)D,(0,e)

二、多選題（共4題，共20分）

9.（5分）下列命題中，正確的是（）

A.若事件4與事件B互斥，則事件4與事件B獨(dú)立

B.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n,0,若E（3X+1）=6,貝加=5

C.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（l?2）,若P（X<3）=0.6,則P（-l<X<1）=0.2

D.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y,其線性回歸方程為，=0.3尤-m，若樣本點(diǎn)的中心為（犯2.8）,

則實(shí)數(shù)加的值是-4

10.（5分）在棱長為1的正方體4BCD-4當(dāng)6。1中（如圖），點(diǎn)P在線段在義上運(yùn)動(dòng)，則下列命題

正確的是（）.

A.GP±CB]B.直線CD和平面BPCi平行

C.三棱錐D-BPQ的體積為定值D,直線CP和平面4BC14所成的角為定值

11.（5分）已知函數(shù)/'（x）=4sin（3x+0）（其中4>0,3>0,0<|釗<兀）的部分圖象如圖所示,

則下列結(jié)論正確的是（）.

A.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線％=5對稱

B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-？0）對稱

C.函數(shù)f（x）在區(qū)間[冶,為上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=1與y=/（x）等）圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為早

12.(5分)定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足f(0)<0,/(3-x)=/(l+x),g(2-久)+g(x)=2,

g(%+目=f(2%)+L則().

A.x=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸

B.2是g(x)的一個(gè)周期

C.函數(shù)f(%)圖象的一個(gè)對稱中心為(3,0)

D.若neN*”fin<2023,f(n)+f(n+1)+—卜/'(2023)=0,則n的最小值為2

三、填空題(共4題，共20分)

13.(5分)計(jì)劃將排球、籃球、乒乓球3個(gè)項(xiàng)目的比賽安排在4個(gè)不同的體育館舉辦，每個(gè)項(xiàng)目的

比賽只能安排在一個(gè)體育館進(jìn)行，則在同一個(gè)體育館比賽的項(xiàng)目不超過2個(gè)的安排方案共有

種.

14.(5分)若曲線y=Inx在點(diǎn)P(e,1)處的切線與曲線丫=相切，貝b=

15.(5分)如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都

是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)

先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w力BCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和

正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體ABCD棱長為

2巫,則模型中九個(gè)球的體積和為.

2222

16.(5分)已知P是橢圓6套+臺=1(%＞瓦＞0)和雙曲線C2囁一金=14＞。電＞。)的交點(diǎn),

尸2是C1，的公共焦點(diǎn)，02分別為C1，。2的離心率，若cos/F1PF2=3貝l」e「e2的最小值

為

四、解答題（共6題，12小題；共70分）

17.在△ABC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c.已知a=3,c=/，Ilf,?

（1）（5分）求sinC的值.

（2）（5分）在邊BC上取一點(diǎn)D,使得cos/ADC=-（，求tan/ZZ4c的值.

18.如圖，在四棱錐P—4BCD中，BD±PC,ZABC=60。，四邊形4BCD是菱形，PB=y/2AB=

yj2PA,E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)，且港=44.

（1）（5分）證明：P41平面力BCD.

（2）（7分）是否存在實(shí)數(shù)4,使得平面P4B與平面4CE所成銳二面角的余弦值是譽(yù)？若存在,

求出4的值；若不存在，請說明理由.

19.已知f(%)=^—x+alnx,

(1)(5分)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

(2)(7分)若函數(shù)y=〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)均與芯2,證明：空:誓)<&_2.

20.已知公差不為零的等差數(shù)列｛an｝,｛bn｝為等比數(shù)列，且滿足％=瓦，/=2。4，b2+b3=a5+2,

a2,a4f的成等比數(shù)列.

(1)(5分)求數(shù)列｛廝｝和｛蜃｝的通項(xiàng)公式.

(2)(7分)設(shè)數(shù)列｛最｝的前n項(xiàng)和為〃，若不等式4+翳》4-7；(neN*)恒成立，求實(shí)數(shù)4的

取值范圍.

21.甲、乙兩人組團(tuán)參加答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)定：每一輪甲、乙各答一道題，若兩人都答對，該團(tuán)隊(duì)得

1分；只有一人答對，該團(tuán)隊(duì)得。分；兩人都答錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)得-1分.假設(shè)甲、乙兩人答對任何一道

題的概率分別為:，|.

(1)(5分)記X表示該團(tuán)隊(duì)一輪答題的得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

(2)(7分)假設(shè)該團(tuán)隊(duì)連續(xù)答題n輪，各輪答題相互獨(dú)立.記心表示“沒有出現(xiàn)連續(xù)三輪每輪得

1分”的概率，Pn=aPn_r+bPn_2+cPn_3(n>4),求a,b,c；并證明：答題輪數(shù)越多(輪數(shù)不少

于3),出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.

22___

22.已知尻，尸2分別為橢圓C*+左=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，與橢圓C有相同焦點(diǎn)的雙曲線

2

--y2*4=1在第一象限與橢圓C相交于點(diǎn)P,且IPF2I=1.

4

(1)(4分)求橢圓C的方程.

(2)(8分)設(shè)直線y=kx+1與橢圓C相交于4B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且方=根質(zhì)(m>

0).若橢圓C上存在點(diǎn)E,使得四邊形OHED為平行四邊形，求血的取值范圍.

參考答案

一、單選題（共8題，共40分）

1【答案】C

【解析】解：集合A={—2,—LL2,4},

B=(y\y=log2|x|-l,xEA}={0,-1,1},

則4nB={-1,1},

故選：C.

2【答案】D

【解析】：|1+例=［12+（何2=2,

.’22(l+i).

??Z=H=^^=1+L

故選D.

3【答案】B

【解析】解：??,茄=(2+1,1),n=(A+2,2)-

—>—>—>—>

???m+n=(2A+3,3)，m—n=(—1,-1)-

???(771+幾)1(m—71),

???(m+九)?(m—幾)=0,

-(22+3)-3=0,解得；I=-3.

故選：B.

4【答案】A

2

【解析】解：,??函數(shù)f（%）=loga（x-ax+2）在區(qū)間（0,1］上為單調(diào)

遞減函數(shù)，

a>1時(shí),y=x2-ax+2在（0刀上為單調(diào)遞減函數(shù)，

且--ax+2>0在（0,1］上恒成立，

???需y=x2-ax+2在（0,1］上的最小值1一。+2=3-a>0,

且對稱軸方程為直線X=

2<a<3；

0CQV1時(shí)，y=%2一。%+2在（0山上為單調(diào)遞增函數(shù)，不成立.

綜上可得，a的取值范圍是［2,3）,

故選：A.

5【答案】D

【解析】圓N:%2+y2—6x—6y+16=0可化為(％—3)2+(y—3)2=2,

因?yàn)?\PR-X，

所以四邊形M4PB是正方形.

所以=72m,可得點(diǎn)P的軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓N上，

所以|岳1一魚|<3V2<V2+V2m,

解得44租《16.

所以小的取值范圍為[4,16].

故選D.

6【答案】B

【解析】解：拋物線產(chǎn)=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,

設(shè)4即月),B(x2,y2),

v\AF\=X\BF\,???％】+1=a(%2+1)，?,?%1=a%2+F—1,

vX2

1711=入伙2』1=AX29

當(dāng)4=1時(shí)，弦28的中點(diǎn)到。的準(zhǔn)線的距離為2.

當(dāng)a。1時(shí)，%1=九x2=p

\AB|=(%i+1)+(%2+l)=<+；+2.

0A

|<A<3,且4A1.；?(4+}+2)=Y-

3\4,max3

則弦4B的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離d=1,d的最大值是半

|>2,.?.弦4B的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是1

故選：B.

7【答案】B

【解析】由題意可知，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

故即=2n(l<n<31,nEN*),

所以%2。一2刃_2九+1_2

1-2—.

由%-62<碌+1-S九+i，得2/1—64V22n+2-t-2n+1,

整理得t<+2n+1-1對任意1<n<31,且nGN*怛成立,

又贏+2"】15,

當(dāng)且僅當(dāng)2九+i=8,即n=2時(shí)等號成立,

所以IV15,即實(shí)數(shù)￡的取值范圍是(-8,15).

故選B.

8【答案】D

【解析】因?yàn)?(%)=e"+：(1—m)x3—1%20n%+Inm—0,

所以汽>0,m>0,

則/''(x)=e"+-m)/一x(]nx+Inm-1),f1'(x)=ez+(1-m)x-Inx-lnm>

因?yàn)閒(x)在區(qū)間(O,+8)上為“凹函數(shù)”，

所以f''(x)>0>

即e%+(1—m)x—Inx—Inm>。在(0,+8)上恒成立，

則e》+x>mx+Inznx在(0,+8)上恒成立，

當(dāng)Inm%40,

即0<mx<1時(shí)，

因?yàn)椋?gt;0,ex>e°=1,

所以眇>TH%,x>Inmx,

故e%+%>mx+In顯然成立,

當(dāng)Inznx>0,

即m%>1時(shí),

令。(%)=e*+x(x>0),

則g(x)>g(lnTnx)在(0,+8)上恒成立，

又因?yàn)間(%)=ex+1>0?

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以%>Inmx,

即e”>mx,

則zn<?在(0,+8)上恒成立，

令九(%)=^-(x>0),

則？71<h(x)minf

如‘(切=中，

當(dāng)0V%V1時(shí),h'(%)<0:

當(dāng)%>1時(shí)，h'(x)>0;

所以MX)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則九(%)min=MD=e，

所以TH<e,

綜上：0<mVe,

即mG(0,e).

故選：D.

二、多選題(共4題，共20分)

9【答案】BD

【解析】A選項(xiàng)：由互斥事件與獨(dú)立事件的定義，

設(shè)事件4、B都是概率不為0的事件，若事件4與事件2是互斥事件，則PQ4B)=0,而若事件4與事

件B是相互獨(dú)立事件，貝!|PQ4B)=PQ4)P(B)*0,

故有誤.B選項(xiàng)：因?yàn)閄?B(7i，3，貝怩(X)=",

所以E(3X+1)=3E(X)+1=6,即n+l=6,解得n=5,

故無誤.C選項(xiàng)：由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NM,d),p(x<3)=06,

則P(—l<X<1)=P(1<X<3)=P(X<3)-P(X<1)=0.6-0.5=0.1,

故有誤.D選項(xiàng)：因?yàn)榛貧w直線方程，=o,3x_加必過樣本中心點(diǎn)0,2.8),

所以0.3m-租=2.8,解得租=-4,

故無誤.故選BD.

10【答案】ABC

【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)樵诶忾L為1的正方體4BC。-4當(dāng)心。1中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，

BrC1BCr,BrCLAB,

又ABCBCi=B,

所以_L平面ABCiA，而QPu平面ABCiA，

所以BiC1QP,

故A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫鍭BCiA與平面BPCi為同一個(gè)平面，易知CD〃平面4BC1A，

故B正確；C選項(xiàng)：三棱錐D-BPCi的體積等于三棱錐P-DBC］的體積，

而ADBCi面積為定值，

又因?yàn)镻6AD1，而〃平面BDQ,

所以點(diǎn)A到平面DBG的距離即為點(diǎn)P到該平面的距離，

所以三棱錐。-BPCi的體積為定值，

故C正確；D選項(xiàng)：由線面夾角的定義，令與當(dāng)。的交點(diǎn)為。，

可得/CP。即為直線CP與平面ABCiA所成的角，

當(dāng)P移動(dòng)時(shí)，OP的長是變化的，

所以/CP。是變化的，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

11【答案】BCD

【解析】A選項(xiàng)：由函數(shù)/(%)=Asin3%+0)(其中4>0,0)>0,0<\(p\<TT)的圖象可得：

.二T27r5717T

4=2,-=-----------------=一，

43124

T=71,

?27

??60—r—Q2,

T

.*./(%)=2sin(2x+0)過點(diǎn)(g,-2),

(p="+2/CTT,kEZ,0<\(p\<7T>

.加

??0=

o

.*./(%)=2sin(2x+/),

當(dāng)％=3時(shí)，f6)=T，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)％=-專時(shí),f(—自=0,故B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)?shù)贓

卜式］時(shí)，2%+襄卜;圖，

."(%)=2sin卜尤+5在［/局上單調(diào)遞增，故C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)—專等時(shí)，2x+Je

。4兀］,

所以y=1與函數(shù)y=/(%)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為第1，%2，%3，%4，+%2+%3+%4=

2+?x2=J故D正確；故選BCD.

12【答案】ABC

【解析】由J(3-x)=((l+x)可得f(2-x)=((2+x),

所以/(工)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

所以f(2x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，即g(x+》-1關(guān)于直線x=1對稱，

所以g(x+習(xí)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=|對稱，

所以有g(shù)(3-％)=g(%)，

所以有g(shù)(2-％)=g(x+1),

所以g(2—%)—1=g(x+1)—1.

又由g(2-%)+g(%)=2可得，g(l-%)+g(l+x)=2,

所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)。1)對稱，

所以g(l—%)—1=-g(l+x)+1.

對于B項(xiàng)，因?yàn)間(2—x)—1=g(x+1)—1,g(l—%)—1=—g(l+%)+1,

所以g(l—x)=-g(2—x)9

所以g(-x)=-g(l-x)=g(-％+2),

所以g(%)的周期為7=2,故B無誤.

對于A項(xiàng)，由已知f(2x)=91+3一1的周期為2,

所以/(X)的周期為4,

因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線x=2對稱，

所以無=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，故A無誤.

對于C項(xiàng)，g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，

所以f(2x)=g(尤+{J—1的圖象關(guān)于點(diǎn)0)對稱，

所以的圖象關(guān)于點(diǎn)Q0)對稱，

所以/(2—x)=—/(—x).

又/(嗎的圖象關(guān)于直線％=2對稱，

所以/(4+%)=/(-x),

所以J(4+%)=-/(2-%),

所以有f(3+x)=-/(3-x),

所以函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為(3,0),故C無誤.

對于D項(xiàng)，由C知，/(無)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱，

所以f(0)+"2)=0,f(l)=/(3)=0,

所以f(0)+f⑴+"2)+〃3)=0.

又〃久)的周期為4,

所以對kGZ,f(4k)+f(4k+1)+f(4k+2)+f(4k+3)=0.

因?yàn)?(2023)=/(4X505+3)=f(3),

則當(dāng)n=2時(shí)，有f(ri)+/(n+l)+-+/(2023)=f⑵+/(3)=f(2).

因?yàn)?(0)+f(2)=0,

所以f(2)=-/(0)>0,不滿足題意；

當(dāng)n=l時(shí)，f(n)+/(n+l)+…+f(2023)=f(l)+f(2)+f(3)=f(2),不滿足題意；

當(dāng)n=3時(shí)，/(n)+f(n+1)+-??+/(2023)=/(3)=0,滿足題意.

故律的最小值為3,故D有誤.

故選：ABC.

三、填空題(共4題，共20分)

13【答案】60

【解析】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①若3個(gè)項(xiàng)目分別安排在不同的場館，則安排方案共有A%=24種，

②若有兩個(gè)項(xiàng)目安排在同一個(gè)場館，另一個(gè)安排在其他場館，則安排方案共有釐A%=36種,

所以在同一個(gè)體育館比賽的項(xiàng)目不超過2個(gè)的安排方案共有24+36=60種.

故答案為：60.

14【答案】e-2

【解析】因?yàn)閥=Inx,

所以y'=p則y'I%=e=|-

所以曲線y=In%在點(diǎn)P(e,1)處的切線方程為y=

設(shè)y=:%與y=e。久相切于點(diǎn)(第0，。。&),

因?yàn)?e")‘="e",

aeax°=-

所以/，

eax°=-x

e0

貝1］碇"。=坐，即。=三，可得％°=e2,

XQXQ

從而a=e-2.

故答案為：e-2.

15【答案】等

【解析】如下圖所示正四面體A-BCD,設(shè)棱長為a,高為晨。為正四面體A-BCD內(nèi)切球的球心,

延長4。交底面BCD于E,E是等邊三角形△BC。的中心，過4作4尸1CD交C0于F,連接BF,

則。E為正四面體A-BCD內(nèi)切球的半徑，

因?yàn)?F=BF=^a,BE=-BF=—a,EF=-BF=—a,

23336

所以/i=AE=y］AF2—EF2=—a?

3

所以。E=y/BO2-BE2=0E)2一即,

角軍得r=OE=-a=-hf

124

所以正四面體4-BCD內(nèi)切球的體積卜=iyrr3=—,

348

由圖象可以知最大球內(nèi)切于高歐=孚x2逐=4的正四面體中，最大球半徑「大=》=1,故最大球

體積為％=］乂13=拳

中等球內(nèi)切于高入中=九大-2r大=2的正四面體中，中等球半徑r中=)中=也故中等球的體積為

嗔=)x3建；

最小求內(nèi)切于高h(yuǎn)小=人中-2r中=1的正四面體中，最小球半徑r小=/小=%故最小求的體積為

匕卜=-7TX(工)=—；

小3\4/48

所以九個(gè)球的體積和U=聯(lián)+4。+4吃卜=等

因此正確答案為：等.

16【答案】出

3

設(shè)|PF/=TH,IPF2I=九，不妨設(shè)P在第一象限,

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，

所以TH+n=2%,①

又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，

所以m-n=2a2,②

則①+②得m=%+的;

①一②得九=%一。2，

22

在^PF/2中由余弦定理得：|&尸2『=m+n—2mncosZF1PF2f

2aax

即4c2=(臼+@2)2+(a1—a2)—2(%+a2)(i—2)p

即3c2=a#+2a3

即3=1+與，

c2cz

即3嗎+成，3=＞力篝

當(dāng)且僅當(dāng)e1=爭e2=竽時(shí)取等號，

所以e「02》華,即e「e2的最小值為雷，

故答案為：出.

3

四、解答題（共6題，12小題；共70分）

17(1)【答案】

【解析】因?yàn)閍=3,c=V2,//13,

則由余弦定理可得匕=Va2+c2-2accosB=9+2-2x3xV2Xy=V5-

由正弦定理可冤號熹

所以、【【■"’>111I",

即sinC=^?

17(2)【答案】3

【解析】因?yàn)閏osN/DC=—%

所以N2DC為鈍角,sinZADC=11-cos2ZADC=|>

在△ADC中，易知C為銳角，由(1)可得cosC=—sin2c=

所以在△4DC中，sinZDAC=sin(//WC+C)=sinZADCcosC+cosZADCsinC=哈,

因?yàn)?D4c6(0弓)，

所以cos/￡MC=11-sin2ZDAC=—，

725

18(1)【答案】證明見解析.

【解析】因?yàn)樗倪呅?BCD是菱形，

所以BD1AC.

因?yàn)锽D1PC,AC,PCu平面P4C,且4CnPC=C,

所以BO1平面P4C.

因?yàn)镻力u平面P4C,

所以B。1PA.

因?yàn)镻B=yj2AB=V2PA,

所以P#=AB2+PA2,

所以AB1PA.

因?yàn)?B,BDc^-^ABCD,S.ABOBD=B,

所以PA_L平面ABC。.

18(2)【答案】存在,4=/.

【解析】取棱CD的中點(diǎn)尸，連接4尸，易證4B,AF,AP兩兩垂直，

故以4為原點(diǎn)，分別以混，族，下的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

E

設(shè)AB=2,貝必(0,0,0),C(l,V3,0),D(-l,V3,0),P(0,0,2),

故就=(1,75,0)，PD=(-l,V3,-2).AP=(0,0,2)-

因?yàn)楦?

所以玩=(-A,V3A,-2A))

則版=刀+玩=(-A,V3A,2-2A).

設(shè)平面ACE的法向量為蔡=(x,y,z)，

...n-AC=x+V3y=0

則：一?「'

TL,AE——Ax+V3Ay+(2—2A)z—0

令x=V3,得獲=(a-1，巖).

平面P4B的一個(gè)法向量為前=(0,1,0).

設(shè)平面P4B與平面4CE所成的銳二面角為9,

整理得3M+24—1=0,

解得4=］或；1=一1(舍去).

故存在實(shí)數(shù)4=使得平面P4B與平面4CE所成銳二面角的余弦值是警.

19(1)【答案】當(dāng)a42時(shí)，無單調(diào)遞增區(qū)間，

當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為

a-y/a2-4a+y/a2-4\

(-2-1-2-)'

【解析】f(x)=+alnx的定義域?yàn)?0,+8),f,(x)=一專一1+三=一三詈三

令g(%)=x2—ax+1,

當(dāng)△=。2—440,

即?！辏垡?,2］時(shí)，g(x)》0恒成立，則/'(%)<0恒成立,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2,%=1時(shí)，等號成立，

此時(shí)函數(shù)y=f(%)單調(diào)遞減，無遞增區(qū)間；

令△=a2—4>0,解得：a>2或a<—2,

當(dāng)aV-2時(shí)，恒成立，函數(shù)y=f(%)單調(diào)遞減，無遞增區(qū)間;

當(dāng)a>2時(shí)，令人(無)>0,解得：仁用〈生用i,

此時(shí)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(上乎，當(dāng)三｝

綜上：當(dāng)a42時(shí)，無單調(diào)遞增區(qū)間，

當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

19(2)【答案】見解析.

【解析】由(1)知：當(dāng)a42時(shí)，函數(shù)y=f(%)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn),

當(dāng)a>2時(shí),令尸(%)v0,解得：

結(jié)合第(1)問可知：

y=f(x)在(0,匕4),(9手,+8)單調(diào)遞減，

在(匕尸，筆三)單調(diào)遞增，

匕金"也三即為函數(shù)=f(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，

22

不妨設(shè)/="正＜1，乂2="正＞1，

12z2

則均久2=1，以下證明嶼心三＜―，

x

乙%!~%2Vxlx2

變形為：喈＞嘗，In紅〉片—殍,

xxx

2Vl2x27%27

令J|=te(o,i),

-1

即證21nt＞t-tG(0,1),

構(gòu)造〃(t)=21nt—t+；,t6(0,1),u(t)=--1—1="J)V0在t€(0,1)上怛成立,

所以u(t)=21nt-t+招e(0,1)上單調(diào)遞減，故u(t)＞u(l)=0,

則21nt＞t—J故(聲，

11

/(xJ/(X2)前—久1+a出/另+x2—alnx2

%1—%2X1~X2

XrX2\%1—x2/

r/Inxi—ln%-r,a

=-2+a----------<—2+..

xx

\x1—x2/Vi2

=a—2.

n

20(1)【答案】an=2n,bn=2

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,等比數(shù)列｛心｝的公比為q.

,**a1=b],=2a4，b?+83=。5+2,

3

???brq=2(%+3d)①，

瓦q+瓦q?=%+4d+2②，

??,。2，。4，他成等比數(shù)列，

CI4=02°08，

???(州+3d)2=(%+d)(@i+7d)③,

由①②③解得：d=%=2,q=瓦=2,

n

???an=2n,bn=2.

20(2)【答案】后,+8)

【解析】由(1)知母=條

所以用=三+整+/+…+日,

b2。3bn

即〃寧+等+箸+…+等①，

所以|"=詈+篝+*+???+瑞②,

由①—②得力=*+曾+箸+…+警—2xn

2n+1

1

/=2x扁2X71

2n+1

化簡得T“=4一券(nGN*),

由4+翳》4—廉，

口n、,n+9、n+2

即4+入》布，

所以4》辭一n+971—5

2n2n

令"%)=要(neN*),

'/、—In2,x+l+51n2

W(%)=----行----，

由f(%)=0，解得％=5+專€(6,7),

所以當(dāng)》6(0,5+專)時(shí)，f(x)>0-f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(5+高,+8)時(shí)，/(生)<o，f(x)單調(diào)遞減，

X---X6N*,f(6)=f(7)='

???/(X)</⑺=專，

所以若不等式4+需》4-Tn(n￡N*)恒成立，

則實(shí)數(shù)4的取值范圍為住,+8).

21(1)【答案】分布列見解析，￡。)=卷

【解析】通過題意分析可得X的所有可能取值為-1,0,1,

P(X=T)=(1—￡)x(1—|)=2；

P(X=0)=[x(l-|)+(l*)x|=*

所以X的分布列如下:

X-101

15

P(x)

1212