高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的對(duì)稱性

第2.6章函數(shù)的應(yīng)用

2.6.5函數(shù)的對(duì)稱性

鱉課程要求了修?求心中有敷

1掌握函數(shù)的軸對(duì)稱；

高中要求

2掌握函數(shù)的中心對(duì)稱.

LU基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)基.，■立完整知識(shí)體系

1函數(shù)圖象自身的對(duì)稱關(guān)系

①軸對(duì)稱：若/0+a)=f(b-x),則y=/(x)有對(duì)稱軸x=手.

②中心對(duì)稱：若函數(shù)y=/(%)定義域?yàn)镽,且滿足條件/(￡1+%)+/'3-％)=(?(61,b,c為常數(shù))，則函數(shù)y=

/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(手，f)對(duì)稱.

2兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系

①軸對(duì)稱

若函數(shù)y=/(x)定義域?yàn)镽,則兩函數(shù)y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線龍=與^對(duì)稱.

特殊地，函數(shù)y=/(a+%)與函數(shù)y=/(a-久)的圖象關(guān)于直久=0對(duì)稱.

②中心對(duì)稱

若函數(shù)y=/(%)定義域?yàn)镽,則兩函數(shù)y=/(a+%)與y=c-f(b-%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一，/)對(duì)稱.

特殊地，函數(shù)y=/(x+a)與函數(shù)y=—f(b-%)圖象關(guān)于點(diǎn)(一,0)對(duì)稱.

3周期性與對(duì)稱性拓展

①若函數(shù)y=/(%)同時(shí)關(guān)于直線％=a,%=b對(duì)稱，則函數(shù)y=/(汽)的周期T=2|b-a|；特殊地，若偶函

數(shù)y=/(%)的圖像關(guān)于直線％=Q對(duì)稱，則函數(shù)y=/(%)的周期T=2|a|；

②若函數(shù)y=/(%)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)y=/(%)的周期T=2\b-a\；

③若函數(shù)y=/(%)同時(shí)關(guān)于直線第=。對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(%)的周期

T—4\b-a\；

特殊地，若奇函數(shù)y=/(%)的圖像關(guān)于直線比=a對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)的周期7=4|a|.

^^經(jīng)典例題從典例中見1?題能力

【題型1】函數(shù)圖象自身的對(duì)稱關(guān)系

【典題1】已知函數(shù)/而，貝N)

A.函數(shù)/'(久)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱B.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于x=4對(duì)稱

C.函數(shù)“久)的圖象關(guān)于(2,2)對(duì)稱D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(4,4)對(duì)稱

解析/(X+2)=翠等不是偶函數(shù)，.??/。+2)的圖象不關(guān)于％=0對(duì)稱，

???/(%)的圖象不關(guān)于第=2對(duì)稱，即Z錯(cuò)誤；

"X+4)=黑瑞不是偶函數(shù)，從而得出/。)的圖象不關(guān)于x=4對(duì)稱，即3錯(cuò)誤；

f(x+2)—2=爺警—2=券，.?./(>+2)—2是奇函數(shù)，圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，

/(幻的圖象關(guān)于(2,2)對(duì)稱，即C正確；

“x+4)—4=券/-4=-高才???/(尤+4)-4不是奇函數(shù)，

???/(久)的圖象不關(guān)于(4,4)對(duì)稱，即。錯(cuò)誤.

故選：C.

【典題2】定義在R上的函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-,,0)成中心對(duì)稱且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)=-/(%+：)

4Z

且f(-1)=1/(0)=-2,則/(I)+/(2)+...+/(2014)=()

A.1B.0C.-1D.2

解析/⑶=-/(>+1),.1?/(^+j)

則/(x+3)=-f(x+1)=f(x)

所以f(x)是周期為3的周期函數(shù).

則-2)=/(-1+3)=/(-1)==一/(—1)=-1

?函數(shù)/0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(―,,o)成中心對(duì)稱，，/1)=—八—■!)=—/(,)=1

?-?/(0)=一2/(I)+/(2)+/(3)=1+1-2=0

???f⑴+/(2)++f(2014)=/(I)=1

故選：A.

變式練習(xí)

1.已知函數(shù)/(x)=1%-3|-+1|,則下列描述中正確的是()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱B.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

C.函數(shù)"久)有最小值，無最大值D.函數(shù)/(%)的圖象是兩條射線

答案B

解析函數(shù)/'(x)=|刀一3|一|久+1|的圖象如下圖所示:

由圖可得：

函數(shù)/O)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故B正確,

故選：B.

2.已知函數(shù)人%)=芻，則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱

B.函數(shù)/'(久)在(-8,1)上是增函數(shù)

C.函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)4B,使得直線4B||x軸

D.函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

答案A

解析???/(%)=3=2+看可由f(x)=:的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，且/(x)的圖象關(guān)

于(0,0)對(duì)稱

???/(久)==2+《J的圖象關(guān)于(1,2)對(duì)稱，故/正確；。錯(cuò)誤

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，/(%)的圖象在(一8,1)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

由反比例函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)/(%)的圖象上不會(huì)有兩點(diǎn)4B,使得直線48||%軸，故。錯(cuò)誤.

故選：A.

3.(多選)函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱，那么()

A./(2—%)=/(x)B./(1—x)=/(1+%)

C.函數(shù)y=/(%+1)是偶函數(shù)D.函數(shù)y=/(%-1)是偶函數(shù)

答案ABC

解析由f(%)的圖象關(guān)于％=1對(duì)稱可知，f(2-%)=/(x),/(I-%)=f(l+%),

把函數(shù)/(切的圖象向左平移1個(gè)單位可得y=/(久+1)的圖象，關(guān)于％=0對(duì)稱，即為偶函數(shù)，

把函數(shù)/(X)的圖象向右平移1個(gè)單位可得y=/(第一1)的圖象，關(guān)于第=2對(duì)稱，

故選：ABC.

4.若函數(shù)/(%)=(1-x2)(x2+a%+b)的圖象關(guān)于直線％=一2對(duì)稱，則/(-2)值是

答案-9

解析,?,函數(shù)/(%)=(1-%2)(%2+a%+b)的圖象關(guān)于直線％=-2對(duì)稱，

???將函數(shù)y=/(%)的圖象向右平移2個(gè)單位，得函數(shù)y=f(x-2)的圖象關(guān)于直線％=0對(duì)稱，

???f(x-2)=[1-(x-2)2][(x-2)2+a(x-2)+b]是偶函數(shù).

設(shè)。(%)=f(x-2)=—x4+(8—a)%3+(12a—b—23)x2+(28—11a+4Z?)x+8a—4b,

x)=g(x),???{28_T；：；*=O,解得a=8,b=15.

??,/(%)=(1—/)(/+8%+15),—2)=-9.

5.函數(shù)f(>)=段(aK0)的對(duì)稱中心為(1,一1)，則a=.

答案—1

解析；,函數(shù)/(%)=竺V(aK0)的對(duì)稱中心為(1,—1),

ax+3a(x—l)+3+a,3+a

fix)

x—10=a+k

a=-1.

故答案為：-1.

【題型2】?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系

【典題1】若函數(shù)/(久)=log2(久+1)圖象與函數(shù)y=。(久)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則()

4g(x)=log2(1-x)B.g(x)=-log2(x+1)

C.g(x)=-log2(x-1)D.g(x)=-log2(1-x)

解析設(shè)Q(x,y)是函數(shù)g(x)的圖象上任意一點(diǎn)，其函數(shù)/'(x)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是P(-招-y).

因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)/(無)=Iog2(x+1)的圖象上，所以一y-log2(-X+1),

即y=g(x)=-log2(1-X),

故選：D.

變式練習(xí)

1.同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2久+1與y=的圖象()

A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于x軸對(duì)稱

C.關(guān)于y軸對(duì)稱D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱

答案C

解析y=21r=(,)XT可看做由y=弓尸的圖象右移1個(gè)單位，

而y=2計(jì)1的圖象可看做由y=2X的圖象向左平移1個(gè)單位，

且y=2*與y=(g)x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

故函數(shù)y=2"i與y=21T的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

故選：C.

2.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=log2%的圖象關(guān)于直線y=1對(duì)稱的是()

24

y=log21B.y=log2-C.y=log2(2x)D.y=log2(4x)

答案B

解析設(shè)P(x,y)為所求函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線y=l對(duì)稱的點(diǎn)是Q(x,2-y).

由題意知點(diǎn)Q(x,2—y)在函數(shù)y=log2久的圖象上，

貝I]2-y=log2x.

rr4

即y=2_log2%=log2-.

故選：B.

【題型3】函數(shù)性質(zhì)綜合題型

【典題1］(多選)定義在R上的奇函數(shù)/(%)，滿足f(l+x)=/(3-%)且f(x)在［0,2］上單調(diào)遞減,/(2)=-2,

貝1K)

A.函數(shù)/(%)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

B.函數(shù)”久)的周期為6

C./(2024)+f(2022)=2

D.設(shè)g(x)=eT，+2l(-6Vx<2),(0)和。(切的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為一4

解析/(I+x)=/(3-x),

I'；"'=9=2,則函數(shù)/1(%)關(guān)于尤=2對(duì)稱，故4正確，

f0)是奇函數(shù),

???/(I+x)=/(3-%)=-/(%-3),

即f(%+4)=—即f(%+8)=-/(%+4)=/(%),即函數(shù)的周期為8,故8錯(cuò)誤,

/(2024)+/(2022)=/(253x8)+/(253X8-2)=/(0)+/(-2)=0-/(2)=2,

故C正確，

???/(%)在［0,2］上單調(diào)遞減,/(2)=-2,

???/(%)在［一2,2］上單調(diào)遞減，/(-2)=2,則/(%)圖象關(guān)于汽=一2對(duì)稱，

g(%)=e-|x+2|(-6<x<2)的圖象也關(guān)于％=-2對(duì)稱，

作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，則兩個(gè)函數(shù)共有2個(gè)交點(diǎn)，則交點(diǎn)關(guān)于x=2對(duì)稱，則警=-2,即對(duì)+x2=-4,

即交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為-4,故D正確，

故選：ACD.

變式練習(xí)

1.已知定義在R上的奇函數(shù)/(久)滿足“久+2)+/(2-久)=0,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(2)=0

B./(-1)是函數(shù)〃>)的最小值

C.f(x+2)=f(%-2)

D.函數(shù)/(x)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)(2,0)

答案B

解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)滿足+2)+/(2-x)=0,

所以f(2)+f(2)=0,即f(2)=0,故4正確；

如圖函數(shù)滿足題意，而/(-I)不是函數(shù)/(乃的最小值，故B錯(cuò)誤；

由題可得/'(久+2)=-了(2—久)=/(%-2),故C正確；

由f(x+2)+f(2-x)=0,可知函數(shù)/1(x)的圖像關(guān)于(2,0)對(duì)稱，

即f(x)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)(2,0),故。正確.

故選：B.

2.定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/'(X)=/(2-x),且當(dāng)尤e[0,1]時(shí),/(x)=2X—1,則函數(shù)g(x)=/(無)一

(親)3的所有零點(diǎn)之和為-

答案18

解析???f(x)滿足/(無)=f(2-x),則/(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

又???f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則八幻=/(2—x)=-/(%-2),

即f(x+2)=—/(%),則f(x+4)=-/(x+2)=-[-/(%)]=/(%),

/(尤)是以4為周期的周期函數(shù)，

對(duì)/(%)=f(2-x)=-f(x-2),可得f(2-%)+/(%-2)=0,

則f(2-x)+f(x+2)=0,

???/(%)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,

DD

令。(%)=f(%)-(膏)=0,則/(X)=(詈),

可知：、=〃>）與丫=（膏）3均關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱，如圖所示:

%3，%4，2,第5，、6，X],XQ9

則%i+&=%2+%7=%3+%6=久4+%5=4,

3

故函數(shù)g（x）=f。）一（膏）的所有零點(diǎn)之和為4x4+2=18.

故答案為：18.

1.已知函數(shù)/（x）=|x-1|+|x+1|（久eR）,則/'（x）的圖象（）

A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不關(guān)于y軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱，但不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱D.既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于y軸對(duì)稱

答案B

解析,?1/（x）=|x-l|+|x+l|,

/（-無）=/（久）即函數(shù)"）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

故選：B.

2.已知函數(shù)人%）是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)任意xeR,都有-4+無）=/（-%），且當(dāng)xe［0,2］時(shí)/（x）=

2X-1,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.函數(shù)/（久）的最小正周期為4<f（3）

C./（2016）=0D.函數(shù)/■（￡）在區(qū)間［一6,-4］上單調(diào)遞減

答案B

解析=f(x)為偶函數(shù),f(x+4)=/(-X)=f(x),

故/(久)的最小正周期為4,故4正確；

/(2016)=/(0)=20-1=0,故C正確；

當(dāng)xe［0,2］時(shí),f(x)=2"-l為單調(diào)遞增,—2,0］時(shí)，人式)為單調(diào)減函數(shù)；

因?yàn)橹芷跒?,所以xe［-6,-4］時(shí)，f(x)為單調(diào)減函數(shù)，故。正確；

/(I)=21-1=1/(3)=/(3-4)=/(-1)=/(I)=1,故B錯(cuò)誤;

故選：B.

3.函數(shù)y=f(a+久)與函數(shù)y=/(a-比)的圖象關(guān)于()

A.直線％=a對(duì)稱B.點(diǎn)(a,0)對(duì)稱

C.原點(diǎn)對(duì)稱D.y軸對(duì)稱

答案D

解析函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y=f(a—%)的圖象關(guān)于直線久=0對(duì)稱，證明如下：

在函數(shù)y=/(a+x)里任取P(x,y),其關(guān)于x=0對(duì)稱點(diǎn)貝！|{；=九”，

y—f{a+%),

???n=f(a-m)滿足y=/(a-x),即(犯兀)在y=f(a—x)上，

故選：D.

4.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=匈刀的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱的是()

A.y=lg(l-x)B.y=lg(2-x)

C-y=logo.i(1-x］D.y=logo.1(2-x)

答案D

解析設(shè)所求函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P(x,y),

則P(x,y)關(guān)于(1,0)對(duì)稱的點(diǎn)(2-x,-y)在y=lgx±.,即一y=lg(2—x),

所以y=一lg(2-x)=log?！?2-x)

故選：D.

5.(多選)定義在R上的奇函數(shù)/'(X)滿足f(x+2)=—f。)，且當(dāng)xe(0,1］時(shí)，/(x)=l-x,則(

A./(X)滿足y(x+4)=f(x)

B.在(—1,1)上單調(diào)遞減

C./(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱

D.“久)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱

答案ACD

解析根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4函數(shù)/(x)滿足(0+2)=—f(x),m/(x+4)=-/(x+2)=/(X),是周期為4的周期函數(shù),

力正確；

對(duì)于B,當(dāng)無e[—L0),-xe(0,1],/(-%)=1+x,又由/'(x)為奇函數(shù)，則/'(x)=-/(-%)=-x-1,

而-0)=0,/(-1)=/(1)=0,故f(x)在(―1,1)上不具有單調(diào)性，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,/(x)是周期為4的周期函數(shù)，則有f(x+6)=/(>+2)=—/(x)=/(-x),變形可得f(3+x)=

f(3-x),f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，C正確；

對(duì)于D,奇函數(shù)f(久)是周期為4的周期函數(shù)，貝ljf(x+4)=f(x)=—f(—x),變形可得f(x+2)=-八2-

x),久久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，D正確;

故選：ACD.

6.已知函數(shù)/'(X)=竺學(xué)的