指數(shù)函數(shù) 高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊

高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)3指數(shù)函數(shù)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.通過具體實(shí)例,了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).(直觀想象)3.能夠應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)激趣誘思當(dāng)有機(jī)體生存時(shí),會(huì)因呼吸、進(jìn)食等不斷地從外界攝入碳14,最終體內(nèi)碳14與碳12的比值會(huì)達(dá)到與環(huán)境一致(該比值基本不變),當(dāng)有機(jī)體死亡后,碳14的攝入停止,之后體中碳14因衰變會(huì)逐漸減少,通過測定碳14與碳12的比值就可以測定該生物的死亡年代.已知碳14的半衰期(消耗一半所花費(fèi)的時(shí)間)為5730年,你能用函數(shù)表示有機(jī)體內(nèi)的碳14與其死亡時(shí)間之間的關(guān)系嗎?知識(shí)點(diǎn)撥一、指數(shù)函數(shù)的概念當(dāng)給定正數(shù)a,且a≠1時(shí),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有唯一確定的正數(shù)y=ax與之對(duì)應(yīng),稱y=ax為指數(shù)函數(shù).(1)定義域?yàn)镽,函數(shù)值大于0;(2)圖象過定點(diǎn)(0,1).名師點(diǎn)析1.當(dāng)x=0時(shí),y=a0=1,即指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0,1);若a=1,指數(shù)函數(shù)y=ax即為y=1,圖象為經(jīng)過點(diǎn)(0,1)與x軸平行的直線.所以圖象過定點(diǎn)(0,1).2.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)才叫指數(shù)函數(shù),微思考指數(shù)函數(shù)中,為什么要規(guī)定a>0,且a≠1?提示如果a<0,那么ax對(duì)某些x值沒有意義,如(-4無意義;如果a=0,那么當(dāng)x>0時(shí),ax=0,當(dāng)x≤0時(shí),ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個(gè)常數(shù)函數(shù),沒有研究的必要.所以規(guī)定a>0,且a≠1,此時(shí)x可以是任意實(shí)數(shù).二、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域:R(2)值域:(0,+∞)(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1(4)當(dāng)x<0時(shí),0<y<1;當(dāng)x>0時(shí),y>1(4)當(dāng)x<0時(shí),y>1;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1.(5)在R上是增函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大;當(dāng)x值趨近于負(fù)無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于0(5)在R上是減函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于0;當(dāng)x值趨近于負(fù)無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大2.函數(shù)y=ax和y=bx函數(shù)值的大小關(guān)系

x<0x=0x>00<a<b<1ax>bx>1ax=bx=10<ax<bx<1a>b>10<ax<bx<1ax=bx=1ax>bx>1底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象的影響當(dāng)a>1時(shí),a的值越大,圖象越靠近y軸,增加的速度越快;當(dāng)0<a<1時(shí),a的值越小,圖象越靠近y軸,減少的速度越快3.一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax和y=()x(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且它們在R上的單調(diào)性相反.名師點(diǎn)析1.指數(shù)函數(shù)的圖象,既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,也不關(guān)于y軸對(duì)稱,所以指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).2.指數(shù)函數(shù)的圖象永遠(yuǎn)在x軸的上方.底數(shù)越大,圖象越高,簡稱“底大圖高”.微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)指數(shù)函數(shù)y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數(shù).(

)(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(

)(3)所有的指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1).(

)(4)函數(shù)y=a|x|與函數(shù)y=|ax|的圖象是相同的.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×微練習(xí)(1)若指數(shù)函數(shù)y=(a-2)x是R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(2)函數(shù)y=2-x的圖象是(

)解析(1)由函數(shù)y=(a-2)x是R上的增函數(shù),得a-2>1,即a>3.答案(1)(3,+∞)

(2)B探究一指數(shù)函數(shù)的概念例1(1)若指數(shù)函數(shù)f(x),滿足f(2)-f(1)=6,則f(3)=

.

(2)已知函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),求a的值.(1)解析設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),則a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.答案27反思感悟1.判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)的方法(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)這一結(jié)構(gòu)形式.(2)明特征:指數(shù)函數(shù)的解析式具備的三個(gè)特征,只要有一個(gè)特征不具備,則不是指數(shù)函數(shù).2.已知某個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù),求參數(shù)值的步驟(1)列:依據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式所具備的三個(gè)特征,列出方程(組)或不等式(組).(2)解:解所列的方程(組)或不等式(組),求出參數(shù)的值或范圍.變式訓(xùn)練1下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是

.(填序號(hào))

解析①y=5x符合指數(shù)函數(shù)的定義,是指數(shù)函數(shù);②y=4x-1中,指數(shù)是x-1而非x,不是指數(shù)函數(shù);③y=-3x中,系數(shù)是-1而非1,不是指數(shù)函數(shù);⑦y=(a+3)x中,底數(shù)a+3不一定滿足“大于0,且不等于1”的條件,不一定是指數(shù)函數(shù).答案①⑥

探究二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題例2已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

解析∵當(dāng)x+1=0,即x=-1時(shí),f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(diǎn)(-1,4).答案(-1,4)反思感悟指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題的解法因?yàn)楹瘮?shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(0,1),所以對(duì)于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(diǎn)(m,k+b).即令指數(shù)等于0,解出相應(yīng)的x,y,則點(diǎn)(x,y)為所求定點(diǎn).延伸探究本例中函數(shù)改為f(x)=5·a3x-2+4呢?2.畫指數(shù)型函數(shù)的圖象例3畫出下列函數(shù)的圖象,并說明它們是由函數(shù)f(x)=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.分析作出函數(shù)y=2x的圖象,利用平移變換與對(duì)稱變換求解.解(1)如圖①,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到的.(2)如圖①,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個(gè)單位長度得到的.(3)如圖①,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.(4)函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖②所示.反思感悟變換作圖法及注意點(diǎn)(1)平移變換及對(duì)稱變換:(2)翻折變換:①將函數(shù)y=f(x)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,替代原x軸下方部分,并保留y=f(x)的圖象在x軸上及其上方部分即可得到函數(shù)y=|f(x)|的圖象.②將函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸左側(cè),替代原y軸左側(cè)部分,并保留y=f(x)的圖象在y軸上及其右側(cè)的部分即可得到函數(shù)y=f(|x|)的圖象.(3)利用變換作圖法作圖要注意以下兩點(diǎn):①選擇哪個(gè)指數(shù)函數(shù)作為起始函數(shù);②要注意平移的方向及單位長度.變式訓(xùn)練2函數(shù)y=的圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出其值域和單調(diào)區(qū)間嗎?∴原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.由圖象可知值域是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞減區(qū)間是[0,+∞).3.指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別例4如圖是指數(shù)函數(shù):①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是(

)A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c解析(方法一)①②中函數(shù)的底數(shù)大于0且小于1,在y軸右邊,底數(shù)越小,圖象向下越靠近x軸,故有b<a,③④中函數(shù)的底數(shù)大于1,在y軸右邊,底數(shù)越大,圖象向上越靠近y軸,故有d<c.故選B.(方法二)作直線x=1,與函數(shù)①②③④的圖象分別交于A,B,C,D四點(diǎn),將x=1代入各個(gè)函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)值,所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大,則對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)越大.由圖可知b<a<1<d<c.故選B.答案B反思感悟指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系:在y軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在y軸左側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大.無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與直線x=1相交于點(diǎn)(1,a),因此,直線x=1與各圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即底數(shù),由此可得底數(shù)的大小.變式訓(xùn)練3若函數(shù)y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限,則必有(

)A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0解析由指數(shù)函數(shù)y=ax圖象的性質(zhì)知函數(shù)y=ax的圖象過第一、二象限,且恒過點(diǎn)(0,1),而函數(shù)y=ax-(b+1)的圖象是由y=ax的圖象向下平移(b+1)個(gè)單位長度得到的,如圖,故若函數(shù)y=ax-(b+1)的圖象過第一、三、四象限,則a>1,且b+1>1,從而a>1,且b>0.故選D.答案D探究三利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較冪值大小例5比較下列各題中兩個(gè)值的大小:解(1)(單調(diào)性法)由于2.53與2.55.7的底數(shù)都是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5x,而函數(shù)y=2.5x在R上是增函數(shù).又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.反思感悟比較冪的大小的常用方法

延伸探究比較下面兩個(gè)數(shù)的大小:(a-1)1.3與(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數(shù),∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數(shù),∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當(dāng)a>2時(shí),(a-1)1.3<(a-1)2.4;當(dāng)1<a<2時(shí),(a-1)1.3>(a-1)2.4.素養(yǎng)形成數(shù)形結(jié)合思想——指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用典例若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.要點(diǎn)筆記在運(yùn)用指數(shù)型函數(shù)的圖象求解相關(guān)問題時(shí),要注意已知函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,把握?qǐng)D象的特點(diǎn),抓住特殊點(diǎn),巧用函數(shù)圖象的平移和對(duì)稱變換規(guī)律,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.當(dāng)堂檢測1.給出下列函數(shù):①y=x3;②y=-2x;③y=2x;④y=2x+1;⑤y=3·2x,其中是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析指數(shù)函數(shù)是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù),故只有y=2x是指數(shù)函數(shù),所以正確選項(xiàng)為A.答案A2.若函數(shù)f(x)=(m-2)·mx是指數(shù)函數(shù),則f(-2)=(

)答案B3.(2021四川高三月考)設(shè)a=0.20.2,b=0.20.3,c=0.30.2,d=0.30.3,則a,b,c,d的大小關(guān)系是(

)A.c>a>d>b B.c>d>a>bC.c>a>b>d D.d>c>b>a解析由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知a=0.20.2>b=0.20.3,c=0.30.2>d=0.30.3.由冪函數(shù)的單調(diào)性知b=0.20.3<d=0.30.3,a=0.20.2<c=0.30.2,a=0.20.2=0.040.1>d=0.30.3=0.0270.1.綜上可得,c>a>d>b.故選A.答案A4.(2020陜西西安高一期中)已知函數(shù)f(x)=ax-m+n(a>0,且a≠1,m,n為常數(shù))的圖象恒過點(diǎn)(3,2),則m+n=(

)A.5 B.4 C.3 D.2答案B5.函數(shù)f(x)=2|x|的圖象是(

)解析f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),f(x)是偶函數(shù),可排除C,D,又當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x是增函數(shù),排除B.答案A高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊第2課時(shí)習(xí)題課指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)3指數(shù)函數(shù)探究一解指數(shù)方程或不等式分析(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于指數(shù)的不等式求解.(2)首先要根據(jù)被開方數(shù)非負(fù),列出指數(shù)不等式,然后分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)a>1時(shí),由ax-2≥a0知x-2≥0,得x≥2;當(dāng)0<a<1時(shí),由ax-2≥a0知x-2≤0,得x≤2.綜上可知,當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2,+∞);當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,2].反思感悟1.指數(shù)方程的求解方法(1)同底法:形如af(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)的方程,化為f(x)=g(x)求解.(2)換元法:形如a2x+b·ax+c=0(a>0,且a≠1)的方程,用換元法求解,求解時(shí)應(yīng)特別注意ax>0.2.指數(shù)不等式的求解方法(1)形如ax>ab的不等式,借助于函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.(2)形如ax>b的不等式,注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式,再借助于函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解.(3)形如ax>bx的不等式,利用函數(shù)圖象求解.(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式,可利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.A.{-1,0} B.{1}C.{0} D.{0,1}∵y=3x在R上為增函數(shù),∴-1<x+1<2,解得-2<x<1,又x∈N,則P={0}.又M={0,1},∴M∩P={0}.答案C(2)解原方程可化為

=2-2x,所以x2+1=-2x,即x2+2x+1=0,解得x=-1.探究二與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題例2求下列函數(shù)的定義域和值域:解(1)由題意知x-4≠0,∴x≠4,∴函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,4)∪(4,+∞).∴函數(shù)的值域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).反思感悟求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域和值域的一般方法(1)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí),首先觀察函數(shù)是y=ax型還是y=af(x)型,前者的定義域是R,后者的定義域與y=f(x)的定義域一致.y=f(ax)的定義域由t=ax的值域在y=f(t)的定義域內(nèi)決定,因此求y=型函數(shù)的定義域時(shí),往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組).(2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí),一方面要考慮函數(shù)的定義域和單調(diào)性,另一方面要注意指數(shù)函數(shù)的值域是(0,+∞).一般地,對(duì)于y=af(x)型函數(shù),要先換元,令t=f(x),求出t=f(x)的定義域D,再求出t=f(x)的值域A,然后畫出y=at(t∈A)的草圖或利用函數(shù)的單調(diào)性,求出原函數(shù)的值域.(3)利用均值不等式求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問題.變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域和值域:解(1)由題意知,定義域?yàn)镽.∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,探究三指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(2)設(shè)g(x)=x2+2(a-1)x+2,指數(shù)函數(shù)h(x)=在R上為減函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的原則可知函數(shù)g(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減.由于函數(shù)g(x)=x2+2(a-1)x+2的圖象開口向上,且對(duì)稱軸為直線x=1-a,要使函數(shù)g(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則4≤1-a,即a≤-3.故a的取值范圍為(-∞,-3].反思感悟指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法令u=f(x),x∈[m,n],如果復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)y=au與u=f(x)的單調(diào)性相同,那么復(fù)合后的函數(shù)y=af(x)在[m,n]上是增函數(shù);如果兩者的單調(diào)性不同(即一增一減),那么復(fù)合后的函數(shù)y=af(x)在區(qū)間[m,n]上是減函數(shù).延伸探究本例(1)中函數(shù)改為“y=”呢?解類似于例(1)的解法,得u(x)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.又y=3u在R上是增函數(shù),∴函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1].探究四指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性反思感悟指數(shù)型復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷方法及常用結(jié)論指數(shù)函數(shù)本身不具有奇偶性,但是與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)可以具有奇偶性,其判斷方法一般是利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì).答案1素養(yǎng)形成換元法在求函數(shù)最值(值域)中的應(yīng)用

(1)當(dāng)a=-2,x∈[1,2]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值與最小值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上恒