必要條件與充分條件 高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊

高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊第1課時必要條件與充分條件第一章預(yù)備知識/12.1必要條件與充分條件課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)4.掌握充分條件、必要條件的判斷方法.(邏輯推理)激趣誘思小李設(shè)計如下三個電路圖,在第一個電路中,如果開關(guān)A閉合,燈泡B是否一定會亮?要想使燈泡B亮起,是否必須閉合開關(guān)A?第二個和第三個電路中呢?那么“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”發(fā)生的什么條件呢?知識點撥一、必要條件與性質(zhì)定理1.推出(?)若命題表示為“若p,則q”時,p是命題的條件,q是命題的結(jié)論.當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時,就說由p推出q,記作p?q.2.必要條件一般地,當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時,稱q是p的必要條件.也就是說,一旦q不成立,p一定也不成立,即q對于p的成立是必要的.要點筆記說條件是必要的,就是說該條件必須要有,是必不可少的.簡單地說,就是“有它不一定能成立,但沒它一定不成立”.微練習(xí)用“?”或“不能推出”填空.(1)a,b都是偶數(shù)

a+b是偶數(shù);

(2)a+b是偶數(shù)

a,b都是偶數(shù);

(3)A∩B=?

A=?;

(4)Rt△ABC中,∠A=30°

邊BC長等于斜邊長的一半.

答案(1)?

(2)不能推出

(3)不能推出

(4)?二、充分條件與判定定理一般地,當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時,稱p是q的充分條件.綜上,對于真命題“若p,則q”,即p?q時,稱q是p的必要條件,也稱p是q的充分條件.要點筆記1.說條件是充分的,也就是說這個條件足以保證結(jié)論成立.即要使結(jié)論成立,只要有它就可以了.2.可以把充分條件理解為“有之即可,無之也行”.微思考如何從集合角度理解必要條件、充分條件?提示一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A?B,如圖所示,那么p(x)?q(x),因此p(x)是q(x)的充分條件,q(x)是p(x)的必要條件.三、充要條件1.一般地,如果p?q,且q?p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱p是q的充要條件.記作p?q.2.p是q的充要條件也常常說成“p成立,當(dāng)且僅當(dāng)q成立”或“p與q等價”.3.當(dāng)p是q的充要條件時,q也是p的充要條件.名師點析設(shè)集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性質(zhì)p,則x∈A;若x具有性質(zhì)q,則x∈B.結(jié)論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p與q互為充要條件p是q的既不充分也不必要條件p,q的關(guān)系p?q,且q不能推出pq?p,且p不能推出qp?qp不能推出q,且q不能推出p集合A?BB?AA=BA不包含于B且B不包含于A命題真假“若p,則q”是真命題,且“若q,則p”是假命題“若p,則q”是假命題,且“若q,則p”是真命題“若p,則q”是真命題,且“若q,則p”是真命題“若p,則q”是假命題,且“若q,則p”是假命題微思考判斷p是q的什么條件時,有哪些可能情況?提示(1)如果p?q,且q不能推出p,則稱p是q的充分不必要條件;(2)如果p不能推出q,且q?p,則稱p是q的必要不充分條件;(3)如果p?q,且q?p,則稱p是q的充要條件;(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,則稱p是q的既不充分也不必要條件.微練習(xí)下列各題中,p是q的什么條件?(1)p:x=-3,q:x2=9;(2)p:兩個三角形面積相等,q:兩個三角形全等;(3)p:A∪B=A,q:B?A;(4)p:a>b,q:ac>bc.答案(1)充分不必要條件.(2)必要不充分條件.(3)充要條件.(4)既不充分也不必要條件.探究一充分條件、必要條件及充要條件的判斷例1(1)對于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件(3)設(shè)A,B是兩個集合,則“A∩B=A”是“A?B”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析(1)由x2+y2=0,得x=0,且y=0,由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”不能推出“x2+y2=0”.(2)若“四邊形ABCD為菱形”,顯然對角線垂直;但“AC⊥BD”推不出“四邊形ABCD為菱形”,例如對角線垂直的等腰梯形.所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件.(3)因為A∩B=A?A?B,所以“A∩B=A”是“A?B”的充要條件.答案(1)A

(2)A

(3)C延伸探究例1(2)中,把原條件中的“四邊形ABCD”改為“平行四邊形ABCD”,其余不變,結(jié)論有變化嗎?解若條件為平行四邊形,則“ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充要條件.變式訓(xùn)練1設(shè)A,B為兩個互不相同的集合.命題p:x∈A∩B;命題q:x∈A或x∈B,則p是q的(

)A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析若命題p:x∈A∩B成立,命題q:x∈A或x∈B一定成立;若命題q:x∈A或x∈B成立,但是x不一定是A∩B中的元素,所以p是q的充分不必要條件.答案B例2“a∈(-∞,-]”是“方程ax+3=0在[-1,2]上有實數(shù)根”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析“方程ax+3=0在[-1,2]上有實數(shù)根”等價于“直線y=ax+3在x∈[-1,2]上與x軸有交點”,則答案A變式訓(xùn)練2設(shè)x∈R,則“x>1”是“x3>1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析令A(yù)={x|x>1},B={x|x3>1}.由于A=B,所以“x>1”是“x3>1”的充要條件.答案C例3若p是r的充分不必要條件,r是q的必要條件,r是s的充要條件,q是s的必要條件,則s是p的什么條件?分析用推出符號表示p,q,r,s的關(guān)系→由圖求出結(jié)果解p,q,r,s之間的關(guān)系如圖所示,由圖可知p?s,但s不能推出p,故s是p的必要不充分條件.反思感悟充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法(1)定義法:①分清哪個是條件,哪個是結(jié)論.②判斷“若p,則q”及“若q,則p”的真假.③根據(jù)②得出結(jié)論.(2)集合法:寫出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合間的包含關(guān)系進行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法:將命題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題.(4)特殊值法:對于選擇題,可以取一些特殊值或特殊情況,用來說明由條件(結(jié)論)不能推出結(jié)論(條件),但是這種方法不適用于證明題.(5)傳遞法:若問題中出現(xiàn)若干個條件和結(jié)論,應(yīng)先根據(jù)條件畫出相應(yīng)的“推式圖”,再根據(jù)圖中推式的傳遞性進行判斷.探究二充分條件、必要條件、充要條件的探求例4(1)不等式1->0成立的充分不必要條件是(

)A.x>1 B.x>-1C.x<-1或0<x<1 D.-1<x<0或x>0(2)1<2x+2<8的一個必要不充分條件是(

)分析(1)先尋找命題成立的充要條件,然后將該充要條件縮小范圍,即得相應(yīng)的充分不必要條件;(2)先尋找命題成立的充要條件,然后將該充要條件擴大范圍,即得相應(yīng)的必要不充分條件.結(jié)合所給的選項可知它的一個必要不充分條件是-1<x<6.答案(1)A

(2)B反思感悟1.探究一個命題成立的充分不必要條件以及必要不充分條件時,往往可以先找到其成立的充要條件,然后通過對充要條件的范圍放大或縮小,得到相應(yīng)的充分不必要條件或必要不充分條件.2.如果p是q的充分不必要條件,那么p并不是唯一的,可以有多個;同樣,如果p是q的必要不充分條件,那么p也不是唯一的,可以有多個;但如果p是q的充要條件,那么p是唯一的.變式訓(xùn)練3下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1;⑤x>-1.其中,可以作為x2<1的充分不必要條件的有

;可以作為x2<1的必要不充分條件的有

.(填序號)

解析由x2<1,得-1<x<1,而{x|0<x<1}?{x|-1<x<1},{x|-1<x<0}?{x|-1<x<1},所以0<x<1和-1<x<0都可作為x2<1的一個充分不必要條件.因為{x|-1<x<1}?{x|x<1},{x|-1<x<1}?{x|x>-1},所以x<1和x>-1均可作為x2<1的一個必要不充分條件.答案②③

①⑤例5已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有兩個正實數(shù)根的充要條件.反思感悟?qū)で髊的充要條件有兩種方法(1)等價轉(zhuǎn)化法:將原命題進行等價轉(zhuǎn)化,直至獲得其成立的充要條件,其中求解的過程也是證明的過程,因為過程的每一步都是等價的,所以不需要將充分性和必要性分開來證.(2)非等價轉(zhuǎn)化法:先尋找必要條件,再證明充分性,即從必要性和充分性兩方面說明.變式訓(xùn)練4“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要條件是(

)C.m<1 D.m>1答案A素養(yǎng)形成自主招生中的充分條件與必要條件某大學(xué)某年自主招生簡章中規(guī)定,凡是高中階段在全國中學(xué)生學(xué)科奧林匹克競賽中獲得省賽區(qū)競賽一等獎(含)以上者(簡記為“滿足競賽條件”,下同),都可以報名參加該校的自主招生考試.根據(jù)以上信息,回答下列問題:(1)已知甲同學(xué)滿足競賽條件,那么甲能申請參加該大學(xué)該年的自主招生考試嗎?(2)已知乙同學(xué)已經(jīng)成功申請到了參加該大學(xué)該年自主招生考試的資格,那么乙同學(xué)一定滿足競賽條件嗎?(3)已知丙同學(xué)不滿足競賽條件,那么丙同學(xué)一定不能申請參加該大學(xué)該年的自主招生考試嗎?第一個問題,相信大家都能得到正確答案能.但第二個和第三個問題的答案都是:不一定.你知道為什么嗎?這是因為滿足競賽條件只是能申請參加該大學(xué)該年自主招生考試的充分條件,而不是必要條件,但是充分條件可以不止一個.事實上,全國青少年科技創(chuàng)新活動中的獲獎?wù)咭材苌暾垍⒓釉摯髮W(xué)該年的自主招生考試.生活中還有很多類似的情況,請自行找出更多的例子吧!當(dāng)堂檢測1.“a=-3”是“|a|=3”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案A2.(2020天津,2)設(shè)a∈R,則“a>1”是“a2>a”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案A3.設(shè)x∈R,則x>2的一個必要不充分條件是(

)A.x>1 B.x<1C.x>3 D.x<3答案A4.已知a,b是實數(shù),則“a>0,且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的

條件.

解析a>0,且b>0?a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0?a>0,且b>0,故為充要條件.答案充要5.寫出平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的兩個充要條件:充要條件①

;

充要條件②

.

(寫出你認(rèn)為正確的兩個充要條件)答案兩組對邊分別平行

一組對邊平行且相等高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊第2課時習(xí)題課充分條件與必要條件的綜合應(yīng)用第一章預(yù)備知識/12.1必要條件與充分條件探究一充要條件的證明例1已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.分析第一步,審題,分清條件與結(jié)論:在“p是q的充要條件”中p是條件,q是結(jié)論;在“p的充要條件是q”中,p是結(jié)論,q是條件.本題中條件是a3+b3+ab-a2-b2=0,結(jié)論是“ab≠0時,a+b=1”.第二步,根據(jù)要求確定解題步驟.分別證明“充分性”與“必要性”,先證必要性:“結(jié)論?條件”;再證充分性:“條件?結(jié)論”.證明(必要性)∵a+b=1,∴a+b-1=0.∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.(充分性)∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.∴a+b-1=0,即a+b=1.綜上可知,當(dāng)ab≠0時,a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.反思感悟充要條件的證明(1)充要條件的證明問題,關(guān)鍵是理清題意,認(rèn)清條件與結(jié)論分別是什么.(2)證明p是q的充要條件,既要證明“p?q”為真,又要證明“q?p”為真,前者證明的是充分性,后者證明的是必要性.(3)證明p的充要條件是q,既要證明“p?q”為真,又要證明“q?p”為真,前者證明的是必要性,后者證明的是充分性.變式訓(xùn)練求證:方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.證明(必要性)∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1,∴x=1滿足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一個根為x=1.故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.探究二根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍例2已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分條件,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-1,6) B.[-1,6]C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-1]∪[6,+∞)分析可將p和q中所涉及的變量x的取值范圍解出來,根據(jù)充分條件,轉(zhuǎn)化為其構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系,建立關(guān)于參數(shù)a的不等式組,從而求得實數(shù)a的取值范圍.解析設(shè)q,p表示的范圍分別為集合A,B,則A=(2,3),B=(a-4,a+4).所以-1≤a≤6.故選B.答案B反思感悟根據(jù)充分條件與必要條件求參數(shù)取值范圍的步驟如下:(1)記集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根據(jù)以下表格確定集合M與N的包含關(guān)系:條件類別集合M與N的關(guān)系p是q的充分不必要條件M?Np是q的必要不充分條件M?Np是q的充要條件M=Np是q的充分條件M?Np是q的必要條件M?N(3)根據(jù)集合M與N的包含關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組);(4)解不等式(組)求出參數(shù)的取值范圍.延伸探究例2中,是否存在實數(shù)a,使p是q成立的必要不充分條件?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.解存在.設(shè)q,p表示的范圍分別為集合A,B,則A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分條件,故存在這樣的實數(shù)a,a的取值范圍為[-1,6].素養(yǎng)形成數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用在解答有關(guān)充要條件的判斷,或者根據(jù)條件間的充分性、必要性求參數(shù)的取值范圍時,有時要借助于Venn圖或數(shù)軸求解,可以比較形象、直觀地解決問題,培養(yǎng)我們直觀想象的核心素養(yǎng).1.Venn圖的應(yīng)用(1)用列舉法表示集合,可以很清晰地判斷條件間的關(guān)系.(2)把條件用集合來表示,將抽象的條件具體化、形象化,方便判斷.典例1

已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},則x∈A是x∈B的(

)A.充分不必要條件

B.充要條件C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件分析作出Venn圖,判斷集合A和集合B之間的關(guān)系,進而做出判斷.解析作出Venn圖,如圖所示,可知x∈B?x∈A,但x∈A不能推出x∈B,所以x∈A是x∈B的必要不充分條件.答案C2.數(shù)軸的應(yīng)用(1)判斷涉及集合的條件間的充分性、必要性時,如果集合中的實數(shù)為連續(xù)性的,則可用數(shù)軸表示集合做出判斷.(2)在根據(jù)條件間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時,一般轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系,用數(shù)軸法解決,這種解法更加的直觀形象,不易出錯.典例2

已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},則x∈A是x∈B的(