等差數(shù)列前項和性質(zhì)及應用

關于等差數(shù)列前項和性質(zhì)及應用等差數(shù)列的前n項和公式:形式1:形式2:復習回顧第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天.將等差數(shù)列前n項和公式

看作是一個關于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當d≠0時,Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天若C≠0，則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。若C=0，則{an}為等差數(shù)列；結論1：設數(shù)列{an}的前n項和為Sn=An2+Bn+C，第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天結論2：等差數(shù)列前n項和不一定是關于n的二次函數(shù)：（1）當d≠0是，sn是項數(shù)n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項；（2）當d=0是，sn=na1,不是項數(shù)n的二次函數(shù)。

反之，關于n的二次函數(shù)也不一定是某等差數(shù)列的和。若C≠0，則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。若C=0，則{an}為等差數(shù)列；Sn=An2+Bn+C，第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求等差數(shù)列前n項的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數(shù)的對稱軸求得最值及取得最值時的n的值.方法2:利用an的符號①當a1>0,d<0時,數(shù)列前面有若干項為正,此時所有正項的和為Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當a1<0,d>0時,數(shù)列前面有若干項為負,此時所有負項的和為Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天1.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項的和為Sn,則有性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)3:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=n2d0-(m+p)新課講授第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5、等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))性質(zhì)4:為等差數(shù)列.新課講授第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)6、若等差數(shù)列{an}共有2n-1項，

若等差數(shù)列{an}共有2n項，則

如{an}為等差數(shù)列，項數(shù)為奇數(shù)，奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求數(shù)列的中間項和項數(shù)。S偶-S奇=nd,新課講授第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.兩等差數(shù)列前n項和與通項的關系性質(zhì)7:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項的和分別為Sn和Tn,則新課講授第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例1.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應用第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例3.一個等差數(shù)列的前10項的和為100,前100項的和為10,則它的前110項的和為

.－110例4.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別是Sn和Tn,且求和.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應用第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例5.(09寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.例6.設數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.10153等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應用第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

例7、一個等差數(shù)列的前12項的和為354,前12項中,偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為32:27,求公差d解：由題意，列方程組得：S奇=162，S偶=192S偶-S奇=6d=30∴d=5等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例8.設等差數(shù)列的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sn}中數(shù)值最大的項,并說明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天(2)∵∴Sn圖象的對稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),所以當n=6時Sn有最大值.∴Sn有最大值.第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天練習1已知等差數(shù)列25,21,17,…的前n項和為Sn,求使得Sn最大的序號n的值.練習2:求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和.第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天練習3：已知在等差數(shù)列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項和.（1）問該數(shù)列從第幾項開始為負？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整數(shù)n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天隨堂練習1、在等差數(shù)列{an}中,已知S15=90,那么a8等于

A、3B、4C、6D、122、等差數(shù)列{an}的前m項的和為30，前2m項的和為100，則它的前3m項的和為

A、130B、170C、210D，2603、設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2=-6,a8=6,Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則

A、S4<S5B、S4=S5C、S6<S5D、S6=S5CCB第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天4、設{an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是

A、1B，2C、4D、65、數(shù)列{an}中，an=26-2n,當前n項和Sn最大時，n=___________6、在等差數(shù)列{an}中,已知前4項和是1，前8項和是4，則a17+a18+a19+a20等于______7、已知在等差數(shù)列{an}中，a1<0,S25=S45,若Sn最小，則n為

A、25B、35C、36D、45B12或139B第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天8、在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于

A、9B、10C、11D、129、等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列前20項和等于

A、160B、180C、200D、22010、在小于100的正整數(shù)中，能被3除余2的這些數(shù)的和是_______BB1560第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天11、等差數(shù)列{an}中，首項a1>0,公差d<0,Sn為其前n項和，則點(n,Sn)可能在下列哪條曲線上。OYXAOYXBOYXOYXCDC第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天習題課

例1、已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S5=5,S10=20，求S15.解：∵S5，S10-S5，S15-S10成等差數(shù)列∴2(S10-S5)=S5+S15-S10,即30=5+S15-20S15=45第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

例2、設等差數(shù)列的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.求:1)公差d的取值范圍2)指出S1,S2,…Sn,…中哪一個值最大，并說明理由。解1)：由題意2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。監(jiān)測：P25B-5測評：P24-13，P26-17,P27-4,5,6,7第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天思考：還有沒有其它方法？第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天監(jiān)測：P25-B-4第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天課堂小結1.根據(jù)等差數(shù)列前n項和，求通項公式.2、結合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求的最值.第33頁,共36頁，2024年2月25日，星期天3、設等差數(shù)列{an}的前ｎ項和為Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0。(1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,…,S12中哪個值最大，作業(yè)：1:等差數(shù)列{an}的前ｎ項和Sn滿足S5=95,S8=200,求Sn。2:若數(shù)列{an}的前ｎ項和Sn滿足Sn=an2+bn,試判斷{an}是否是等差數(shù)列