2024年中考數學專項復習模型41相似形-射影定理模型-原卷版+解析

相似形模型（四十一）——射影定理模型DC2＝DA?DBAC2＝AD?DC2＝DA?DBAC2＝AD?ABBC2＝BD?BAAC?BC＝AB?CD多個垂直先導角，相等互余少不了多個垂直先導角，相等互余少不了∠1＝∠2，∠3＝∠4△ACD∽△CBD∽△ABC以△ACD∽△CBD為例ADCD＝CDBD,DC2＝DA記：DC用了兩次，D能寫出兩條共線線段同理：AC2＝AD?ABBC2＝BD?BA等面積：AC?BC＝AB?CDeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)公共邊2＝共線邊乘積1．（2023·山東淄博·八年級期末）如圖，在中，，于點D，下列結論錯誤的有（

）個①圖中只有兩對相似三角形；②；③若，AD＝8，則CD＝4．A．1個 B．2個 C．3個 D．0個1．（2023·全國·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝_______．2．（2023·全國·九年級專題練習）【問題情境】如圖1，在中，，垂足為D，我們可以得到如下正確結論：①；②；③，這些結論是由古希酷著名數學家歐幾里得在《幾何原本》最先提出的，我們稱之為“射影定理”，又稱“歐幾里德定理”．(1)請證明“射影定理”中的結論③．(2)【結論運用】如圖2，正方形的邊長為6，點O是對角線、的交點，點E在上，過點C作，垂足為F，連接．①求證：．②若，求的長．1．（1）問題情境：如圖1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用與相似證明AC2＝AD?AB，這個結論我們稱之為射影定理，試證明這個定理．（2）結論運用：如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，試利用射影定理證明．2．如圖所示，△ABC被平行光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．(1)指出圖中AC的投影是什么？CD與BC的投影呢？(2)探究：當△ABC為直角三角形(∠ACB＝90°)時，易得AC2＝AD·AB，此時有如下結論：直角三角形一直角邊的平方等于它在斜邊射影與斜邊的乘積，這一結論我們稱為射影定理．通過上述結論的推理，請證明以下兩個結論．①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．相似形模型（四十一）——射影定理模型DC2＝DA?DBAC2＝AD?DC2＝DA?DBAC2＝AD?ABBC2＝BD?BAAC?BC＝AB?CD多個垂直先導角，相等互余少不了多個垂直先導角，相等互余少不了∠1＝∠2，∠3＝∠4△ACD∽△CBD∽△ABC以△ACD∽△CBD為例ADCD＝CDBD,DC2＝DA記：DC用了兩次，D能寫出兩條共線線段同理：AC2＝AD?ABBC2＝BD?BA等面積：AC?BC＝AB?CDeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)公共邊2＝共線邊乘積1．（2023·山東淄博·八年級期末）如圖，在中，，于點D，下列結論錯誤的有（

）個①圖中只有兩對相似三角形；②；③若，AD＝8，則CD＝4．A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】A【分析】①根據相似三角形判定判斷；②利用面積法證明即可；③利用相似三角形的性質求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴，∵，∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①錯誤，∵S△ACB=AC?BC=AB?CD，∴BC?AC=AB?CD，故②正確，∵△CBD∽△ABC，∴，∴，∴BD=2或-10（舍棄），在Rt△CDB中，CD=，故③正確，故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．1．（2023·全國·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝_______．【答案】【分析】證明△BCD∽△BAC，根據相似三角形的性質列式計算即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質，牢記相關知識點并能結合圖形靈活應用是解題關鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習）【問題情境】如圖1，在中，，垂足為D，我們可以得到如下正確結論：①；②；③，這些結論是由古?？嶂麛祵W家歐幾里得在《幾何原本》最先提出的，我們稱之為“射影定理”，又稱“歐幾里德定理”．(1)請證明“射影定理”中的結論③．(2)【結論運用】如圖2，正方形的邊長為6，點O是對角線、的交點，點E在上，過點C作，垂足為F，連接．①求證：．②若，求的長．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②．【分析】（1）由AA證明，再由相似三角形對應邊稱比例得到，繼而解題；（2）①由“射影定理”分別解得，，整理出，再結合即可證明；②由勾股定理解得，再根據得到，代入數值解題即可．（1）證明：（2）①四邊形ABCD是正方形②在中，在，．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，涉及勾股定理、正方形等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．1．（1）問題情境：如圖1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用與相似證明AC2＝AD?AB，這個結論我們稱之為射影定理，試證明這個定理．（2）結論運用：如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，試利用射影定理證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）由AA證明，再結合相似三角形對應邊成比例即可解題；（2）根據正方形的性質及射影定理解得BC2＝BO?BD，BC2＝BF?BE，再運用SAS證明△BOF∽△BED即可．【詳解】證明：（1）如圖1，（2）如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO?BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF?BE，∴BO?BD＝BF?BE，即，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED．【點睛】本題考查射影定理、相似三角形的判定與性質、正方形的性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．2．如圖所示，△ABC被平行光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．(1)指出圖中AC的投影是什么？CD與BC的投影呢？(2)探究：當△ABC為直角三角形(∠ACB＝90°)時，易得AC2＝AD·AB，此時有如下結論：直角三角形一直角邊的平方等于它在斜邊射影與斜邊的乘積，這一結論我們稱為射影定理．通過上述結論的推理，請證明以下兩個結論．①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是點D，BC的投影是BD；(2)證明見解析.【詳解】試題分析：（1）在平行投影中，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影，根據正投影的定義求解即可；（2）①，結合兩角對應相等的兩三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根據相似三角形對應邊成比例可證明結論；②同理可證△ACD∽△CBD，根據相似三角形對應邊成比例可證明結論成立．試題解析：解：（1）∵CD⊥AB，而平行光線垂直AB，∴AC的投影是AD，CD的投影是點D，BC的