專題06 導數(shù)（解答題10種考法）（精講）（原卷版）

專題06導數(shù)（解答題10種考法）考法一含參單調(diào)性的分類討論【例1-1】（2023·海南?？凇まr(nóng)墾中學?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．【變式】1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.2．（2023秋·北京·高三北師大實驗中學?？茧A段練習）已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)當時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．3．（2023秋·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)當時，討論的單調(diào)性.考法二討論零點個數(shù)【例2】（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預測）已知為實數(shù)，函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的極值點；(2)當時，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．【變式】1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學?？既＃┰O函數(shù)，，其中，曲線在處的切線方程為(1)若的圖象恒在圖象的上方，求的取值范圍；(2)討論關(guān)于的方程根的個數(shù)．2.(2022·廣東廣州檢測)已知a≥1，函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論f(x)的零點個數(shù)．考法三已知零點個數(shù)求參數(shù)【例3】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有2個不同的極值點，求的取值范圍；(3)若恰有2個不同的零點，求的取值范圍.【變式】1．（2023·河南·模擬預測）已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設函數(shù)，若函數(shù)在上有三個零點，求的取值范圍.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．3．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程有三個根，求的取值范圍．考法四恒成立與能成立問題【例4-1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【例4-2】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．【變式】1．（2023·浙江·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023秋·四川遂寧·高三四川省蓬溪中學校?？茧A段練習）設，.(1)當時，求的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有恒成立，求的取值范圍.3．（2023秋·江西·高三臨川一中校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．考法五不等式的證明【例5-1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）【例5-2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，若不等式恒成立，求的取值范圍；(3)設，證明：．【變式】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．2．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┮阎瘮?shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，求證：當時，．考法六三角函數(shù)型【例6】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【變式】1．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）設函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設函數(shù)，求在的零點個數(shù)．2．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數(shù)，的導函數(shù)為．(1)若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，記函數(shù)的極大值和極小值分別為，，求證：．考法七切線問題【例7】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【變式】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．2．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知，函數(shù).(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)證明：當，且時，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.考法八極值點偏移【例8】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【變式】1．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）設函數(shù).(1)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個不同的根、，求證：，其中為自然對數(shù)的底數(shù).2．（2023·安徽合肥）已知函數(shù)有兩個極值點，.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：.3（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學?？寄M預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；考法九交點或零點之間的關(guān)系【例9】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．(1)求實數(shù)a；(2)設直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標分別為（），證明：．【變式】1．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明．2．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不同的實數(shù)根，證明：.考法十根據(jù)極值（點）求參數(shù)【例10】（2023·新疆·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，是的導函數(shù).(1)若，求證：當時，恒成立；(2)若存在極小值，求的取值范圍.