2023年重慶新中考指標(biāo)到校數(shù)學(xué)模擬試卷四(學(xué)生版 解析版)

2023年重慶新中考指標(biāo)到校數(shù)學(xué)模擬試卷四

選擇題：（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代

號(hào)為A、B,C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案

所對(duì)應(yīng)的方框涂黑。

1.關(guān)于單項(xiàng)式3塊的次數(shù)是（）

A.6B.5C.3D.2

2.在數(shù)軸上表示不等式x>-1的解集正確的是（）

A.-I0B.

C.D.

3.下列運(yùn)用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（）

A.若a=b,貝|。+1=匕-1B.若a=b,貝?。?a=3b

C.若a=b,則2a=36D.若a=仇則

4.如圖，在。。中，ZBOC=80°,則乙4的度數(shù)為（）

A.80°B.20°C.30°D.40°

5.已知M（a,3）和N（4,b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b的值為（）

A.1B.-1C.7D.-7

6.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A（1,0）,B（0,2）,以A為位似中心，把△4BC按相似

比1：2放大，放大后的圖形記作△A8'C,則B'的坐標(biāo)為（）

A.(-1,-2)B.(-1(2)C.(-1,-4)D.(-1,4)

7.估計(jì)q/5+j—）x他的值在（）

A.1到2之間B.2到3之間C.3到4之間D.4到5之間

8.數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)谧鳌鰽8C中4c邊上的高時(shí)，共畫出下列四種圖形，其中正確的是

（）

A.B.

C.D.

9.如圖，在nABCD中，/D4M=19°,OEJ_BC于E,OE1交AC于點(diǎn)尸，M為A尸的中點(diǎn),

連接若AF=2C￡>,則NC￡）M的大小為（）

A.112°B.108°C.104°D.98°

10.我邊防局接到情報(bào)，近海處有一可疑船只A正向公海方向行駛，邊防局迅速派出快艇B

追趕（圖1）.圖2中/1,與分別表示兩船相對(duì)于海岸的距離s（海里）與追趕時(shí)間，（分）

之間的關(guān)系，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.快艇的速度比可疑船只的速度快0.3海里/分

B.5分鐘時(shí)快艇和可疑船只的距離為3.5海里

C.若可疑船只一直勻速行駛，則它從海岸出發(fā)0.5小時(shí)后，快艇才出發(fā)追趕

D.當(dāng)快艇出發(fā)一分鐘后追上可疑船只，此時(shí)離海岸海里

3

11.若關(guān)于X的分式方程有非負(fù)數(shù)解，且使得關(guān)于），的不等式組

有解，則滿足條件的所有整數(shù)〃，的和是（）

A.-10B.-9C.-6D.-5

12.如圖，在矩形A8CQ中，ZABD=60°,,連接83,將△8?￡）繞點(diǎn)。順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)"（0°<”<90°）,得到連接BU,CC,延長(zhǎng)CC'交88'于點(diǎn)N,連

接A8,當(dāng)NBA屈=N8NC時(shí)，則△AB8'的面積為（）

A.B.C.D.

二.填空題：（本大題4個(gè)小題，每小題4分，共16分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題

卡中對(duì)應(yīng)的橫線上。

13.+（-1）0=.

14.2022年春節(jié)賀歲檔影片即將上映，小明、小紅二人準(zhǔn)備在《四?！贰镀孥E》《斷橋》《狙

擊手》四部影片中各自隨機(jī)選擇一部影片觀看（假設(shè)兩人選擇每部影片的機(jī)會(huì)均等），則

二人恰好選擇同一部影片觀看的概率為.

15.如圖，4B為。。的直徑，C、E為。0上的點(diǎn)，連接4C、BC、CE、BE,。為A3延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，連接C。，且NBCO=NE,AB=CD.若。0的半徑為，則點(diǎn)4到C。

的距離為.

L

A查D

16.新雙文具店所售文具款式新穎、價(jià)格實(shí)惠，深受學(xué)生喜愛.2020年，文具店購(gòu)進(jìn)甲、

乙、丙、丁四種文具，甲與乙的銷量之和等于丁的銷量，丙的銷量占丁銷量的，四種

文具的銷量之和不少于2850件，不多于3540件，甲、乙兩種文具的進(jìn)價(jià)相同，均為丙

與丁的進(jìn)價(jià)之和，四種文具的進(jìn)價(jià)均為正整數(shù)且丁文具的進(jìn)價(jià)是偶數(shù)，店家購(gòu)進(jìn)這四種

文具成本一共12012元，且四種文具全部售出；2021年，受疫情影響，文具店不再購(gòu)進(jìn)

丙文具，每件甲文具進(jìn)價(jià)是去年的倍，每件乙文具進(jìn)價(jià)較去年上漲了20%,每件丁文

具進(jìn)價(jià)是去年的2倍，銷量之比為4：3：10,其中甲、乙文具單件利潤(rùn)之比為3：4,最

后三種文具的總利潤(rùn)率為60%,則甲、乙、丁單價(jià)之和為元.(每種文具售價(jià)均

為正整數(shù))

三.解答題：(本大題2個(gè)小題，每小題8分，共16分)解答時(shí)每小題必須給出必要的演

算過程或推理步驟，畫出必要的圖形，請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。

17.計(jì)算：

(1)(x-2y)2-x(x+4y)；

(2)(1~)-T-.

18.如圖，直線。〃分線段AO分別與直線小(2交于點(diǎn)、C、點(diǎn)B,滿足A8=CD

(1)使用尺規(guī)完成基本作圖：作線段8c的垂直平分線交八于點(diǎn)E,交4于點(diǎn)、F，交線

段BC于點(diǎn)O,連接ED、DF,FA,AE.(保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論)

(2)求證：四邊形4EOF為菱形.(請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程)

證明：-：lx//l2

Z1=_______

:Ef?垂直平分BC

：.OB=OC,NEOC=NFOB=90°

絲△FOB

：.OE=_______

,:AB=CD

：.OB+AB=OC+DC

：.OA=OD

四邊形AEDF是

,JEFVAD

，四邊形4ED尸是菱形（）（填推理的依據(jù)）

四.解答題：（本大題7個(gè)小題，每小題10分，共70分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演

算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)

的位置上.

19.為慶祝我國(guó)決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)取得決定性勝利，全景呈現(xiàn)全面建成小康社會(huì)的恢宏歷史進(jìn)程，

央廣總臺(tái)特推出脫貧攻堅(jiān)政論專題片《擺脫貧困》.為了了解我校共2400名學(xué)生對(duì)我國(guó)

脫貧攻堅(jiān)事業(yè)的關(guān)注程度，學(xué)校隨機(jī)抽取了男、女各機(jī)名學(xué)生進(jìn)行問卷測(cè)試，并對(duì)得分

情況進(jìn)行整理和分析（得分用x表示，單位：分），共分成四個(gè)組：A：950W100,B-.

90Wx<95,C：85Wx<90,80Wx<85,其中女生得分處于C組的有15人，女生C

組得分情況分別為：81,85,85,86,87,87,87,88,88,88,88,89,89,88,88.

男生、女生被抽取學(xué)生得分情況統(tǒng)計(jì)表

班級(jí)男女

平均數(shù)9292

中位數(shù)90n

眾數(shù)8988

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）直接寫出相、”的值，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷測(cè)試成績(jī)比較好的是（填男生或女生），說明理由（一

條理由即可）；

（3）若規(guī)定測(cè)試成績(jī)90分及以上為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)參加問卷測(cè)試的2400名學(xué)生中成績(jī)?yōu)?/p>

優(yōu)秀的學(xué)生共有多少名.

20.重慶移動(dòng)為了提升網(wǎng)絡(luò)信號(hào)，在坡度為，.=1：2.4的山坡AO上加裝了信號(hào)塔（如圖

所示），信號(hào)塔底端。到坡底A的距離為3.9米.同時(shí)為了提醒市民，在距離斜坡底A

點(diǎn)4.4米的水平地面上立了一塊警示牌MN.當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成53°角時(shí)，測(cè)得信號(hào)

塔尸。落在警示牌上的影子EN長(zhǎng)為3米.

（1）求點(diǎn)Q所在位置的鉛直高度；

（2）請(qǐng)計(jì)算信號(hào)塔尸。的高度大約為多少米.（參考數(shù)據(jù)：sin53°^0.80,cos53°20.60,

tan53°-1.33,結(jié)果精確到0.1米）

21.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)圖象G：y—（左W0）與直線/:y=2x-4交于點(diǎn)

4（3,“）.

（1）求女的值，并在平面直角坐標(biāo)系X。），中描點(diǎn)，畫出反比例函數(shù)圖象G和直線/；

（2）已知點(diǎn)尸（0,〃）（〃>0）,過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，與圖象G交于點(diǎn)3,與直

線/交于點(diǎn)C,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A、B之間的部分與線

段AC、8C圍成的區(qū)域（不含邊界）為W.

①當(dāng)〃=5時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)恰好為3個(gè)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出n的取值范

22.某畫室的同學(xué)們，將自己創(chuàng)作的畫作制成了精美的書簽套盒，并在網(wǎng)上進(jìn)行售賣，備受

歡迎，某商店老板了解后決定購(gòu)進(jìn)一批該書簽在店內(nèi)銷售.經(jīng)過對(duì)接，畫室給出的進(jìn)價(jià)

是10元/盒.

（1）據(jù)調(diào)查，商店老板計(jì)劃首月銷售1680盒，每盒售價(jià)12元，經(jīng)過首月試銷售，老板

發(fā)現(xiàn)單盒書簽每增長(zhǎng)1元，月銷量就將減少20盒.若老板希望書簽月銷量不低于1620

盒，則每盒售價(jià)最高為多少元？

（2）實(shí)際銷售時(shí)，生產(chǎn)原料價(jià)格上調(diào)，故每盒書簽進(jìn)價(jià)提高了，售價(jià)比（1）中的最

高售價(jià)減少了5a元，月銷量比（1）中最低銷量1620盒增加了810a,于是月銷售利潤(rùn)達(dá)

到了3564元，求a的值.

23.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算，記為a?b,當(dāng)aWb時(shí)，a?b—a+b\當(dāng)a>b

時(shí)，a0b=a2-b2+4.（等號(hào)右邊皆為通常的加法、減法和乘法）例如：對(duì)于283,因?yàn)?/p>

2<3,所以203=2+3=5；對(duì)于5<8>2,因?yàn)?>2,所以5<8>2=52-22+4=25.

（1）求[（-1）04]0（-）的值；

（2）若x,y為非負(fù)整數(shù)，且x2-y2<30,四位數(shù)M的百位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y,千

位數(shù)字比百位數(shù)字小1,個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，且(3x-y)0(3y-x)能被7整

除，求滿足條件的所有

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y="x2+bx+c(a#0)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為

直線x=-/3，與x軸交于4、B兩點(diǎn),其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),與)，軸交于點(diǎn)

C,且08=0C,連接力C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,尸為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PELx軸交直線AC于點(diǎn)E,

過點(diǎn)A作A尸，4c交直線PE于點(diǎn)凡若"AEF=，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)。是拋物線y的頂點(diǎn)，將拋物線)，沿著射線AC平移得到y(tǒng)',。為拋物

線的頂點(diǎn)，過。作軸于點(diǎn)在平移過程中，是否存在以。、￡>,、何為頂點(diǎn)的

三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出。'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

25.如圖，△ABC是等腰直角三角形，/C4B=90°,點(diǎn)P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,

分別過8、C作直線AP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F,取BC的中點(diǎn)Q,連接QE、QF.

B/B/

(1)如圖1,若點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上且NP=30°,PC=2,求BC的長(zhǎng)；

(2)如將2,若P是8c的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，求證：CE+BF=QE-,

(3)如圖3,作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)C,連接。C,若AC=1,請(qǐng)直接寫出當(dāng)0C

取得最大值時(shí)PC的長(zhǎng).

2023年重慶新中考指標(biāo)到校數(shù)學(xué)模擬試卷四

選擇題：（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代

號(hào)為A、B,C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案

所對(duì)應(yīng)的方框涂黑。

1.關(guān)于單項(xiàng)式3戶的次數(shù)是（）

A.6B.5C.3D.2

【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式3落的次數(shù)是2.

故選：D.

2.在數(shù)軸上表示不等式x>-1的解集正確的是（）

—,

A.-I（）B.

C.D.

【解答】解：在數(shù)軸上表示不等式x>-l的解集如下：

故選：A.

3.下列運(yùn)用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（）

A.若.=乩貝|。+1=6-1B.若a=8,貝|30=3。

C.若a=b,則2a=3bD.若a=b,則

【解答】解：A.-：a=h,

：.a+l=b+\,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.".'a=b,

：.3a=3b,故本選項(xiàng)符合題意；

C.'：a=b,

：.2a=2b,故本選項(xiàng)不符合題意；

D.當(dāng)c=0時(shí)，由a=b不能推出=,故本選項(xiàng)不符合題意;

故選：B.

4.如圖，在。。中，NBOC=80°,則/A的度數(shù)為()

C.30°D.40°

【解答】解：與乙4是同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，/8OC=80°,

AZA=ZBOC=40°.

故選：D.

5.已知M(a,3)和N(4,b)關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b的值為()

A.1B.-1C.7D.-7

【解答】解：(a,3)和N(4,b)關(guān)于x軸對(duì)稱，

.\a=4,b=-3,

則a+b的值為：4-3=1.

故選：A.

6.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A(1,0),B(0,2),以A為位似中心，把按相似

比1:2放大，放大后的圖形記作△A^C,則用的坐標(biāo)為()

A.(-1,-2)B.(-I,2)C.(-1,-4)D.(-I,4)

【解答】解：??,以A為位似中心，把△A8C按相似比1：2放大，放大后的圖形記作△

AB'C\

：.AB=AB',

?.?點(diǎn)8是線段AB'的中點(diǎn)，

VA(1,0),B(0,2),

?,?夕的坐標(biāo)為(-1,4),

故選：D.

/o

7.估計(jì)。/5+上二）乂，2的值在（）

A.1到2之間B.2到3之間C.3到4之間D.4到5之間

【解答】解：

=X+X

=+1,

V9<10<16,

.\3<<4,

.\4<+1<5,

???估計(jì)的值在：4和5之間，

故選：D.

數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)谧鳌鰽BC中AC邊上的高時(shí)，共畫出下列四種圖形，其中正確的是

（）

A.

B.

C.

【解答】解：A、3E是△43C中AC邊上的高，符合題意；

B、8E不是AABC中AC邊上的高，不符合題意；

C、8E不是△A8C中4C邊上的高，不符合題意；

D、4E是△E4C中AC邊上的高，不是△A3C中4c邊上的高，不符合題意；

故選：A.

9.如圖，在"ABC。中，ZDAM=\90,DELBC于E,DE1交AC于點(diǎn)尸，M為A尸的中點(diǎn),

連接力M,若Ab=2CO,則NC0M的大小為（）

A.112°B.108°C.104°D.98°

【解答】解：???OE，3C,

??.ZDEC=90°

二四邊形A8C。是平行四邊形，

S.AD//BC,

：.ZADE=ZDEC=90Q,

為A尸的中點(diǎn),

：.AM=DM=AF,

AZDAM=ZADM=\90,

/DMC=N￡>AM+NAOM=38°,

\9AF=2DM,AF=2CD,

:?DM=DC,

???NDWC=NOCM=38°,

AZMDC=180°-ZDMC-ZDCA/=104°,

故選：C.

10.我邊防局接到情報(bào)，近海處有一可疑船只A正向公海方向行駛，邊防局迅速派出快艇8

追趕（圖1）.圖2中小乙分別表示兩船相對(duì)于海岸的距離S（海里）與追趕時(shí)間r（分）

之間的關(guān)系，下列說法錯(cuò)誤的是（）

圖

A.快艇的速度比可疑船只的速度快0.3海里/分

B.5分鐘時(shí)快艇和可疑船只的距離為3.5海里

C.若可疑船只一直勻速行駛，則它從海岸出發(fā)0.5小時(shí)后，快艇才出發(fā)追趕

D.當(dāng)快艇出發(fā)分鐘后追上可疑船只，此時(shí)離海岸海里

【解答】解：從圖2中不難看出，4表示快艇8是從海岸開始去追擊可疑船只A的；

根據(jù)一次函數(shù)圖象在本題中的意義，可得4的速度為：（7-5）+10=0.2（海里/分鐘），

8的速度為：54-10=0.5（海里/分鐘），

快艇的速度比可疑船只的速度快0.3海里/分，故選項(xiàng)A不合題意；

5分鐘時(shí)快艇和可疑船只的距離為：5+5*0.2-5*0.5=3.5（海里），故選項(xiàng)B不合題意;

5+0.2=25（分鐘）=（小時(shí)），

故若可疑船只一直勻速行駛，則它從海岸出發(fā)小時(shí)后，快艇才出發(fā)追趕，故選項(xiàng)C

符合題意；

當(dāng)快艇出發(fā)分鐘后追上可疑船只，此時(shí)離海岸：5+0.2X=（海里），故選項(xiàng)

D不合題意；

故選：C.

11.若關(guān)于X的分式方程有非負(fù)數(shù)解，且使得關(guān)于y的不等式組

_2L<_2L+1

，22有解，則滿足條件的所有整數(shù)機(jī)的和是()

—2y>4m

A.-10B.-9C.-6D.-5

【解答】解：，

2-2(x-1)—x-m,

解得：x=,

???分式方程有非負(fù)數(shù)解，

且xWl,

二20且W1,

二機(jī)》-4且，”六-1,

解不等式①得：y^m-2,

解不等式②得：yW-2,〃，

?..不等式組有解，

.\m-2W-2m,

.,.mW,

綜上所述：且膽#-1,

,滿足條件的所有整數(shù)桃的值為：-4,-3,-2,0,

,滿足條件的所有整數(shù)，”的和為：-9,

故選：B.

12.如圖，在矩形ABCD中，/48。=60°,,連接80,將△8CO繞點(diǎn)。順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)"(0°<"<90°),得到△8CD,連接88,CC,延長(zhǎng)CC交BB吁點(diǎn)N,連

接A8,當(dāng)N8AU=NBNC時(shí)，則△ABB'的面積為（）

A.B.C.D.

【解答】解：如圖，設(shè)B。與CN交點(diǎn)為M,AB與B'D交點(diǎn)、為0,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：DC=DC',DB=DB',ZCDC=NBDB'=”,

?.ZDCC=ZDC'C=(180°-n)=90°-,

同理：NDBB'=NDB'B=90°-,

：./\DCC's叢DBB',

?:ZNMB=NCMD,NMBN=ZMCD,

：.4BMNs[\CDM,

：.NBNM=NCDM,

:四邊形ABC。是矩形，

J.AB//CD,

：.ZCDM=ZABD=60°,

：.ZBNM=ZBAB'=60°,

VZAOB'=NBOD,ZB'AO=ZDBO,

：.^ABO's"DO,

在矩形A8CQ中，N48￡>=60。，AO=BC=4?G，

：.AB=AD=4,

：.BD=2AB=S,

設(shè)AO=x,B'0=y,

則80=4-x,DO=S-y9

???

??y=2x,

在Rt/Vl。。中，根據(jù)勾股定理，得

AO2+A￡>2=OQ2,

；.X2+48=(8-2X)2,

化簡(jiǎn)得，3x2-32r+16=0,

解得x=或》=(舍去)，

如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)”，

在。中，根據(jù)勾股定理，得

OB'2=夕印+0印

=(AB'-AH)2+(AOsin60°)2

=AB'2-248'口，+4/+4。2而260°

=AB'2-248'QOaos60+AO2Qos260°+AO2sin260°

=A8'2+AO2-2AB'QOQos60°,

解得A8'=x=2-6,

1

.?.△ABB'的面積=—AB'E3B兇in60°=AB'=2-6

2

故選：4.

二.填空題：（本大題4個(gè)小題，每小題4分，共16分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題

卡中對(duì)應(yīng)的橫線上。

13.+（-1）。=4.

【解答】解：原式=3+1

=4.

故答案為：4.

14.2022年春節(jié)賀歲檔影片即將上映，小明、小紅二人準(zhǔn)備在《四?！贰镀孥E》《斷橋》《狙

擊手》四部影片中各自隨機(jī)選擇一部影片觀看（假設(shè)兩人選擇每部影片的機(jī)會(huì)均等），則

二人恰好選擇同一部影片觀看的概率為_

【解答】解：畫樹狀圖得：

?.?共有16種等可能的結(jié)果，兩人選擇同一部電影的有4種情況，

，二人恰好選擇同一部影片觀看的概率為，

故答案為：.

15.如圖，A8為。。的直徑，C、E為0。上的點(diǎn)，連接AC、BC、CE、BE,。為A8延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，連接CQ,且NBCD=NE,AB=CD.若。。的半徑為，則點(diǎn)A到C￡>

的距離為，±2_.

c

【解答】解：過4點(diǎn)作4”，。于H,連接。。，如圖,

TAB為。。的直徑,

AZACB=90°,

*/OC=OA9

：.ZOAC=ZOCA,

*：ZCAB=ZE,NE=NBCD,

ZBCD=ZOCA9

???NOC4+NOC8=90°,

：?NBCD+/0CB=9C,

即NOC￡>=90°,

9：AB=CD=4,OC=2

：.OD==10,

\9OC//AH,

.?.△OOCS/XOA”,

??.=，即=

：.AH=2+2.

即點(diǎn)A到CO的距離為2+2.

故答案為：2+2.

16.新雙文具店所售文具款式新穎、價(jià)格實(shí)惠，深受學(xué)生喜愛.2020年，文具店購(gòu)進(jìn)甲、

乙、丙、丁四種文具，甲與乙的銷量之和等于丁的銷量，丙的銷量占丁銷量的，四種

文具的銷量之和不少于2850件，不多于3540件，甲、乙兩種文具的進(jìn)價(jià)相同，均為丙

與丁的進(jìn)價(jià)之和，四種文具的進(jìn)價(jià)均為正整數(shù)且丁文具的進(jìn)價(jià)是偶數(shù)，店家購(gòu)進(jìn)這四種

文具成本一共12012元，且四種文具全部售出；2021年，受疫情影響，文具店不再購(gòu)進(jìn)

丙文具，每件甲文具進(jìn)價(jià)是去年的倍，每件乙文具進(jìn)價(jià)較去年上漲了20%,每件丁文

具進(jìn)價(jià)是去年的2倍，銷量之比為4：3：10,其中甲、乙文具單件利潤(rùn)之比為3:4,最

后三種文具的總利潤(rùn)率為60%,則甲、乙、丁單價(jià)之和為28元.(每種文具售價(jià)均

為正整數(shù))

【解答】解：設(shè)2020年丙銷量為x件，則丁銷量為9x件，甲與乙的銷量之和為9x件，

則

2850Wx+9x+9xW3540,

解得150WxW186,

為整數(shù)，

；.150WxW186,

設(shè)2020年丙的進(jìn)價(jià)為。元，丁的進(jìn)價(jià)為b元，則甲與乙的進(jìn)價(jià)均為(?+/;)元，依題意

有：

9xCa+h)+"+9bx=12012,即l(kx+18bx=12012,

5ax+9bx=6006,

7150^x^186,

6006

二------W5a+93W,即32W5a+9bW40,

186

；.33W5a+9bW40,

???四種文具的進(jìn)價(jià)均為正整數(shù)且丁文具的進(jìn)價(jià)是偶數(shù)，

二心1,后2,

當(dāng)b=2時(shí)，33W5n+9X2W40,

解得3WaW4,

??,“為整數(shù)，

?.a=3或6f==4,

當(dāng)b=4時(shí)，33W5a+9X4W40,

解得-WaW,與四種文具的進(jìn)價(jià)均為正整數(shù)不符合，舍去，

當(dāng)b26時(shí)，5a+9X4>40,不符合題意；

（1）當(dāng)a=3,b=2時(shí)，代入5ax+9法=6006,可得

5X3x+9X2x=6006,

解得x=182；

（2）當(dāng)“=4,6=2時(shí)，代入5ax+9fev=6006,可得

5X4x+9X2x=6006,

解得X^158,與x為整數(shù)不符，故舍去；

.'.a=3,匕=2,x=182,即甲文具的進(jìn)價(jià)是a+b=2+3=5（元），丁文具的進(jìn)價(jià)是2元，

2021年，甲文具的進(jìn)價(jià)是5X=8（元），乙文具的進(jìn)價(jià)是5X（1+20%）=6（元），

丁文具的進(jìn)價(jià)是2X2=4（元），

設(shè)甲文具銷量是4y件，則乙文具銷量是3y件，丁文具銷量是10），件，總進(jìn)價(jià)是8X4），+6

X3y+4X10），=90y元，銷售額為90），X（1+60%）=144y元，

設(shè)甲單價(jià)為小元，乙單價(jià)為“元，丁單價(jià)為人元，依題意有：

化簡(jiǎn)得4機(jī)=14+3〃，

貝！ImX4y+nX3y+hXlQy=4〃Ly+3ny+10/jy=144y,

A4；M+3n+l0/?=144,

?.14+3"+3〃+10/z=144,即6”+10/i=130,3"+5/z=65,

???售賣乙文具存在單件利潤(rùn)，

.?.心7,心1,

44

當(dāng)”=7時(shí)，根據(jù)3〃+5/?=65解得力=—，與題意/?為整數(shù)矛盾，舍去;

5

當(dāng)"=8時(shí)，根據(jù)3〃+5〃=65解得〃=,與題意人為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)n=9時(shí)，根據(jù)3?+5/?=65解得/?=,與題意/?為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)”=10時(shí)，根據(jù)3”+5〃=65解得人=7,根據(jù)4m=14+3”解得

當(dāng)”=11時(shí)，根據(jù)3〃+5人=65解得力=,與題意人為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)”=12時(shí)，根據(jù)3”+5〃=65解得人=與題意人為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)”=13時(shí)，根據(jù)3”+5/?=65解得/i=與題意〃為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)〃=14時(shí)，根據(jù)3"+5人=65解得〃=與題意〃為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)”=15時(shí)，根據(jù)4〃?=14+3〃解得機(jī)=,與題意根為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)"=16時(shí)，根據(jù)3"+5/i=65解得〃=,與題意人為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)”=17時(shí)，根據(jù)3”+5〃=65解得力=,與題意人為整數(shù)矛盾，舍去;

當(dāng)〃=18時(shí)，根據(jù)3”+5人=65解得〃=,與題意/?為整數(shù)矛盾，舍去;

8

當(dāng)”=19時(shí)，根據(jù)3”+5/J=65解得/?=—,與題意〃為整數(shù)矛盾，舍去；

5

當(dāng)”=20時(shí)，根據(jù)4%=14+3〃解得機(jī)=,與題意機(jī)為整數(shù)矛盾，舍去；

當(dāng)”=21時(shí)，根據(jù)3〃+5〃=65解得〃=,與題意〃為整數(shù)矛盾，舍去；

當(dāng)"》22時(shí)，根據(jù)3"+5/?>65,不合題意，舍去.

故〃?=11,〃=10,h=7,甲、乙、丁單價(jià)之和為,“+”+〃=11+10+7=28(元).

故答案為：28.

三.解答題：(本大題2個(gè)小題，每小題8分，共16分)解答時(shí)每小題必須給出必要的演

算過程或推理步驟，畫出必要的圖形，請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。

17.計(jì)算：

(1)(x-2y~)2-x(x+4y)；

(2)(1-)4-

【解答】解：(1)(x-2y)2-xG+4y)

=x2-4xy+4y2-x2-4xy

=-8xy+4y2；

(2)

=□

=□

18.如圖，直線/i〃4，線段AO分別與直線/卜％交于點(diǎn)C、點(diǎn)&滿足A8=CD

(1)使用尺規(guī)完成基本作圖：作線段8c的垂直平分線交八于點(diǎn)E,交L于點(diǎn)尸，交線

段BC于點(diǎn)O,連接口)、。尸、FA,AE.(保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論)

（2）求證：四邊形尸為菱形,（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程）

證明：???/]〃/2

：.Z1=Z2

二七/垂直平分8c

：.OB=OC,ZEOC=ZFOB=90°

：./\EOC^/\FOB

：.OE=OF

9：AB=CD

：.OB+AB=OC+DC

：.OA=OD

???四邊形AEDF是平行四邊形

*：EF1.AD

???四邊形AEQ尸是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）（填推理的依據(jù)）

【解答】解：（1）如圖所示:

(2)證明：1/]〃4,

AZ1=Z2,

???E/垂直平分8C,

：.OB=OC,NEOC=NFOB=90°,

:.△EOgXFOB(4SA),

：?OE=OF,

'：AB=CD,

：.OB+AB=OC+DC,

：.OA^OD,

四邊形AEOF是平行四邊形，

"EFLAD,

四邊形AEQF是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）；

故答案為：Z2；△EOC；OF；平行四邊形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

四.解答題：（本大題7個(gè)小題，每小題10分，共70分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演

算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)

的位置上.

19.為慶祝我國(guó)決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)取得決定性勝利，全景呈現(xiàn)全面建成小康社會(huì)的恢宏歷史進(jìn)程，

央廣總臺(tái)特推出脫貧攻堅(jiān)政論專題片《擺脫貧困》.為了了解我校共2400名學(xué)生對(duì)我國(guó)

脫貧攻堅(jiān)事業(yè)的關(guān)注程度，學(xué)校隨機(jī)抽取了男、女各，〃名學(xué)生進(jìn)行問卷測(cè)試，并對(duì)得分

情況進(jìn)行整理和分析（得分用x表示，單位：分），共分成四個(gè)組：4：95WxW100,B：

90Wx<95,C：85WxV90,D：80Wx<85,其中女生得分處于C組的有15人，女生C

組得分情況分別為：81,85,85,86,87,87,87,88,88,88,88,89,89,88,88.

女生被抽取學(xué)生得分情況扇形統(tǒng)計(jì)圖男生被抽取學(xué)生得分情況條形統(tǒng)計(jì)圖

男生、女生被抽取學(xué)生得分情況統(tǒng)計(jì)表

班級(jí)男女

平均數(shù)9292

中位數(shù)90n

眾數(shù)8988

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）直接寫出，小〃的值，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷測(cè)試成績(jī)比較好的是男生（填男生或女生）,說明理由（一

條理由即可）；

（3）若規(guī)定測(cè)試成績(jī)90分及以上為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)參加問卷測(cè)試的2400名學(xué)生中成績(jī)?yōu)?/p>

優(yōu)秀的學(xué)生共有多少名.

【解答】解：（1）機(jī)=15+37.5%=40,

女生成績(jī)A、B組人數(shù)和為40X（20%+10%）=12（人），

將女生C組成績(jī)重新排列為81,85,85,86,87,87,87,88,88,88,88,88,88,

89,89,

88+!88

所以其中位數(shù)〃=―—=88,

2

C組男生的人數(shù)為40-13-7-5=15,

補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如右圖所示；

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)判斷測(cè)試成績(jī)比較好的是男生，理由：男生的中位數(shù)比女生大,

故答案為：男生；

(3)2400X

=2400X

=30X(12+13+7)

=30X32

=960（名），

答：估計(jì)參加問卷測(cè)試的2400名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有960名.

20.重慶移動(dòng)為了提升網(wǎng)絡(luò)信號(hào)，在坡度為，=1：2.4的山坡AO上加裝了信號(hào)塔尸。（如圖

所示），信號(hào)塔底端。到坡底A的距離為3.9米.同時(shí)為了提醒市民，在距離斜坡底A

點(diǎn)4.4米的水平地面上立了一塊警示牌MN.當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成53°角時(shí)，測(cè)得信號(hào)

塔尸。落在警示牌上的影子EN長(zhǎng)為3米.

（1）求點(diǎn)。所在位置的鉛直高度；

（2）請(qǐng)計(jì)算信號(hào)塔PQ的高度大約為多少米.（參考數(shù)據(jù)：sin53°七0.80,cos53°g0.60,

tan53°-1.33,結(jié)果精確到0.1米）

【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EF_LP。于點(diǎn)F,延長(zhǎng)產(chǎn)。交BA于點(diǎn)G,如圖所示:

則QG_L84,

：Q4=3.9米，QG-.AG=\：2.4,

.?.設(shè)QG=x米，貝（MG=2.4x米，

在RtzMGQ中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=3.92,

解得：x=1.5（負(fù)值已舍去），

答：點(diǎn)。所在位置的鉛直高度為1.5米；

（2）4G=2.4x=3.6（米），

：.EF=NG=AG+AN=3.6+4A=S（米），

在RtZ\PFE中，tan/PEF：,

即tan53°==g1.33,

解得：PF^10.64（米），

'：FQ=EN-QG=3~1.5=1.5（米），

二信號(hào)塔P0的高為：PQF0.64+1.5=12.1（米）,

答：信號(hào)塔PQ的高度大約為12.1米.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)圖象G：y=(AWO)與直線/：y=2x-4交于點(diǎn)

A(3,a).

(1)求k的值，并在平面直角坐標(biāo)系xOy中描點(diǎn)，畫出反比例函數(shù)圖象G和直線/；

(2)已知點(diǎn)P(0,n)(n>0),過點(diǎn)尸作平行于x軸的直線，與圖象G交于點(diǎn)B,與直

線/交于點(diǎn)C,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)4、B之間的部分與線

段AC、8c圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.

①當(dāng)”=5時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)恰好為3個(gè)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出n的取值范

圍.

【解答】解：(1)把(3,a)代入y=2x-4得“=6-4=2,

.?.點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,2),

在反比例函數(shù)y=圖象上,

:?k=3X2=6,

6

；.y=—.

X

如圖，

(2)①把y=5代入y=得5=

解得x=,

...點(diǎn)8坐標(biāo)為(，5),

把y—5代入y=2x-4得5=2x-4,

解得x=,

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(，5).

把x=2代入y=得y=3,

二圖象G經(jīng)過(3,2),

把x=4代入y=2x-4得y=4,

二直線/經(jīng)過點(diǎn)(4,4),

如圖，

區(qū)域卬內(nèi)整點(diǎn)為(2,4),(3,3),(3,4)三個(gè).

②由①可得4<〃W5滿足題意，

如圖，當(dāng)0<〃<1時(shí)，區(qū)域W內(nèi)整點(diǎn)為(3,1),(4,I),(5,1),

綜上所述，4<"W5或。<“<1.

22.某畫室的同學(xué)們，將自己創(chuàng)作的畫作制成了精美的書簽套盒，并在網(wǎng)上進(jìn)行售賣，備受

歡迎，某商店老板了解后決定購(gòu)進(jìn)一批該書簽在店內(nèi)銷售.經(jīng)過對(duì)接，畫室給出的進(jìn)價(jià)

是10元/盒.

(1)據(jù)調(diào)查，商店老板計(jì)劃首月銷售1680盒，每盒售價(jià)12元，經(jīng)過首月試銷售，老板

發(fā)現(xiàn)單盒書簽每增長(zhǎng)1元，月銷量就將減少20盒.若老板希望書簽月銷量不低于1620

盒，則每盒售價(jià)最高為多少元？

(2)實(shí)際銷售時(shí)，生產(chǎn)原料價(jià)格上調(diào)，故每盒書簽進(jìn)價(jià)提高了工，售價(jià)比(1)中的最

5

高售價(jià)減少了5a元，月銷量比(1)中最低銷量1620盒增加了810”，于是月銷售利潤(rùn)達(dá)

到了3564元，求a的值.

【解答】解：(1)設(shè)每盒的售價(jià)為x元，則月銷量為1680-20(x-12)=(1920-20x)

盒，

依題意得：1920-20x21620,

解得:xW15.

答：每盒售價(jià)最高為15元.

(2)依題意得：[15-5<7-10X(1+)]X(1620+810。)=3564,

整理得：2542+35a-8=0,

解得：ax=,a2=-(不合題意，舍去).

答：a的值為.

23.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算，記為a?b,當(dāng)aS時(shí)，a?b=a+b^當(dāng)a>b

時(shí)，a?b=a2-h^+4.(等號(hào)右邊皆為通常的加法、減法和乘法)例如：對(duì)于2(8)3,因?yàn)?/p>

2<3,所以2(8>3=2+3=5；對(duì)于518)2,因?yàn)?>2,所以5(g)2=52-22+4=25.

(1)求[(-1)?4]0(-)的值；

(2)若x,y為非負(fù)整數(shù)，且N-y2W30,四位數(shù)〃的百位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y,千

位數(shù)字比百位數(shù)字小1,個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，且(3x-y)0(3y-x)能被7整

除，求滿足條件的所有

【解答】解：(1)根據(jù)題意：

I(-1)?4]0(-)

=(-1+4)0(-)

1

=3g(------)

2

=32-(-)2+4

=12；

(2)由題意得：個(gè)位數(shù)字為2y,千位數(shù)字為(x-1),

??,千位數(shù)字不能為0,

Ax-120,解得x22,

???個(gè)位數(shù)字2yV10,

???yV5,

分兩種情況討論：①(3;v-y)W(3y-x),解得：xWy,

???①(3x-y)0(3y-x)

=3x-y+3y-x

=2(x+y),

當(dāng)x+y=7時(shí)，(不合題意，舍去)，符合題意；

二?M的值為：2348;

當(dāng)x+y=14時(shí)，x〈yV5不合題意；

②C3x-y)>(3y-x),解得：x>y,

/.(3x-y)0(3y-x)

=(3x-y)2-(3y-x)2

=8(x2-y2)+4

=7Cx2-y2)+(x2-y2)+4,

??.落-),2+4能夠被7整除，而N-y2W30,

Ax2-y2=3,即(x+y)(x-y)=3,或N-y2=24(其余情況不合題意),

，x=2,y=l,或x=5,y=l,

???M的值為：1212或4512；

綜上，M的值為：2348或1212或4512.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(qHO)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為

直線X=-與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),與)，軸交于點(diǎn)

C,S-OB=OC,連接AC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,尸為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸軸交直線AC于點(diǎn)E,

過點(diǎn)A作AFLAC交直線尸E于點(diǎn)尸，若SyEF=，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)。是拋物線y的頂點(diǎn)，將拋物線y沿著射線AC平移得到了，少為拋物

線y'的頂點(diǎn)，過。'作D'M_Lx軸于點(diǎn)M.在平移過程中，是否存在以。、/AM為頂點(diǎn)的

三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出。'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)I.對(duì)稱軸為直線x=-,與x軸交于A、B(2,0)兩點(diǎn)，

二4(-4,0),08=2,

'：OB=OC,

：.C(0,-2),

設(shè)拋物線為y=a(x+4)(x-2)，將C(0,-2)代入，

得：-2=a(0+4)(0-2),

解得：a—,

.,.y=(x+4)(x-2)=x2+x-2,

,該拋物線的解析式為丫==-#+x-2

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(2)如圖1,設(shè)PE交x軸于點(diǎn)”，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n,

,：A(-4,0),C(0,-2),

解得:

直線AC的解析式為y=-x-2,

設(shè)P(r,R+t-2)，則E(r,-t-2),H(z,0),

.\AH=t+4,EH=t+2,

VZAHE=90°,

：.AE==