復(fù)習(xí)專題三-函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性1共60頁知識梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性的定義

一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù),若f(x1)>f(x2)則稱f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù),若f(x1)>f(x2)則稱f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù),區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的整體性質(zhì),所以討論函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間都必須考慮函數(shù)的定義域;2共60頁另外,在函數(shù)的單調(diào)性定義中的x1,x2滿足:一是屬于一個單調(diào)區(qū)間;二是任意性;三是有大小,即x1<x2(或x1>x2).由于區(qū)間端點不具有單調(diào)性,因此寫單調(diào)區(qū)間時,可以寫成包含端點的閉區(qū)間,也可以寫成不包含端點的開區(qū)間.3共60頁2.函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式

(1)對于任意x1,x2∈[a,b],(<0)?f(x)在[a,b]是增(減)函數(shù).

(2)對于任意x1,x2∈[a,b],[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0

(<0)?f(x)在[a,b]是增(減)函數(shù).4共60頁3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

對于f[g(x)]的單調(diào)性的判斷,應(yīng)先判斷f(u),u=g(x)的單調(diào)性,若y=f(u)與u=g(x)的單調(diào)性一致,則f[g(x)]的單調(diào)遞增,否則,單調(diào)性遞減,簡稱“同增異減”.討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的解題步驟:①求出復(fù)合函數(shù)的定義域;②把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù),并判斷其單調(diào)性;③把中間變量的范圍轉(zhuǎn)化為自變量的變化范圍;根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定其單調(diào)性.5共60頁6共60頁7共60頁8共60頁例2：（1）函數(shù)y=-(x-3)|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是___________________（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：（1）圖象法。答案：9共60頁（2）函數(shù)的定義域為：（-∞,-1)∪(4,+∞)

令u=4+3x-x2,y=log2u,u=4+3x-x2在（-∞,-1)上單調(diào)遞增，在(4,+∞)上單調(diào)遞減，y=log2u在（0，,+∞)上是增函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞,-1)，單調(diào)遞減區(qū)間為：(4,+∞)10共60頁變式訓(xùn)練：若函數(shù)y=log2(x2-ax+3a)在

[2，+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題意知函數(shù)u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函數(shù)，且u(2)>0解得：a∈(-4,4]11共60頁例3：已知函數(shù)（1）求的f(x)的單調(diào)區(qū)間，并針對減區(qū)間給予證明;（2）求f(x)在[-3,0]上的最值解：(1)由圖象知（圖略）：f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(-∞,-1],[1,+∞)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)x∈(-1,1)時，f(x)=-x2-2x+3,(單調(diào)性證明略)(2)由(1)知f(x)在[-3,-1]上單調(diào)遞增，在(-1,0]上單調(diào)遞減。f(-3)=0,f(-1)=4,f(0)=3所以，f(x)在[-3,0]上的最大值為4，最小值為0.12共60頁例4.已知函數(shù)f(x)的定義域為（0，+∞），當(dāng)x>1時，f(x)>0,且對于任意的正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)(1)證明：函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)（2）如果f(2)=1且f(x)+f(8x-4)≥2,求x的取值范圍13共60頁14共60頁例5.已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，y=f(x-2)在[0,2]上是單調(diào)減函數(shù)，試比較f(-1),f(0),f(2)的大小解：令t=x-2,當(dāng)x∈[0,2]時，t∈[-2,0]t=x-2在[0,2]上是增函數(shù)，f(x-2)在[0,2]上是減函數(shù)，說明t∈[-2,0]時，f(t)單調(diào)遞減又因為y=f(x)是偶函數(shù)所以y=f(x)在[-2,0]上是減函數(shù)，在[0,2]上是增函。所以有：f(0)<f(1)<f(2),而f(1)=f(-1)故：f(0)<f(-1)<f(2)也可從圖象變換的角度得知函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性。15共60頁達標(biāo)訓(xùn)練16共60頁1.(2010·山東煙臺質(zhì)檢)如果函數(shù)f(x)=ax2+2x-3在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增的,則實數(shù)a的取值范圍是()答案:D17共60頁18共60頁答案:A19共60頁20共60頁3.若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),對實數(shù)a,b,若a+b>0,則有()

A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)

D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)

答案:A解析:∵a+b>0,∴a>-b,b>-a,又f(x)為R上的增函數(shù),

∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),故有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).21共60頁

4.若函數(shù)y=|x|(1-x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A可以是（）圖象法，答案：B22共60頁答案：(-∞,0)∪(1,+∞)5.已知f(x)為R上的減函數(shù),則滿足f()>f(1)的實數(shù)x的取值范圍是______________二.填空題答案：23共60頁答案:①④解析:利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知①④正確.24共60頁25共60頁26共60頁9.已知函數(shù)

(x≠a).

(1)若a=-2,試證f(x)在(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞增;

(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍.27共60頁28共60頁29共60頁10.已知函數(shù)f(x)=a·2x+b·3x,