2023-2024學(xué)年新疆吐魯番市高昌區(qū)第一中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學(xué)年新疆吐魯番市高昌區(qū)第一中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一

學(xué)期期末聯(lián)考試題

學(xué)期期末聯(lián)考試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息

條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),

字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草

稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.若點(diǎn)P（I+機(jī),1一〃）與點(diǎn)Q（-4,3）關(guān)于>軸對(duì)稱，則加+〃的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

12

2.分式方程一=——的解為（）

Xx-2

22

A.x=2B.X=—2C.X=-----D.X=—

33

3,下列四個(gè)命題中的真命題有（）

①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角之

和；③兩邊分別相等且一組內(nèi)角相等的兩個(gè)三角形全等；④直角三角形的兩銳角互余.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.通過(guò)“第十四章整式的乘法與因式分解”的學(xué)習(xí)，我們知道：可以利用圖形中面積的

等量關(guān)系得到某些數(shù)學(xué)公式，如圖，可以利用此圖得到的數(shù)學(xué)公式是（）

B.(a—b)^~—Cr—2ab+h

C.(ɑ—b)(a+b)=cτ一h~D.(α+b)~—cι~+2ab+h~

5.圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為2b（a>b）的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）

剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方

形，則中間空的部分的面積是

(1)(2)

A.abB.(a+b)^C.Ia-bΓD.a'-b：

6.如圖，AABC的面積為8cm2,AP垂直NB的平分線BP于P,則APBC的面積

C.4cm2D.5cm2

7.如圖，點(diǎn)B,E,C,尸在同一條直線上，AB=ZJE,要使△A5C絲Z?OEP,則需要再

添加的一組條件不可以是（）

A.NA=ND,NB=NDEFB.BC=EF,AC=DF

C.AB±AC,DE±DFD.BE=CF,NB=NDEF

8.如圖，在4x4方形網(wǎng)格中，與AABC有一條公共邊且全等（不與ΔABC重合）的

格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形）共有（）

B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

9.一列動(dòng)車從甲地開(kāi)往乙地，一列普通列車從乙地開(kāi)往甲地，兩車均勻速行駛并同時(shí)

出發(fā)，設(shè)普通列車行駛的時(shí)間為X（小時(shí)），兩車之間的距離為y（千米），如圖中的折

線表示與X之間的函數(shù)關(guān)系，下列說(shuō)法:①動(dòng)車的速度是270千米〃卜時(shí)；②點(diǎn)B的實(shí)

際意義是兩車出發(fā)后3小時(shí)相遇；③甲、乙兩地相距IOOo千米；④普通列車從乙地到

達(dá)甲地時(shí)間是9小時(shí)，其中不正確的有（）

y(zF*)

ioooK.............................Jy

O?it12或小時(shí)）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.已知α>b,則下列不等式中正確的是（）

A.—2a>—2bB.—<—C.2—a>2—bD.a+2>b+2

22

H.若（x+m）（χ2-3x+n）的展開(kāi)式中不含χ2和X項(xiàng)，則m,n的值分別為（）

A.m=3,n=lB.m=3,n=-9C.m=3,n=9D.m=-3,n=9

12.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8c機(jī)和4cm,則它的周長(zhǎng)為（）

A.12cmB.16cmC.20cmD.16cτκ或20c7”

二、填空題（每題4分，共24分）

13.分解因式χ2-3χ-4=.

14.在平面直角坐標(biāo)系中,41,0）再。2）,（：（-4,2）,若以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

4

15.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A是反比例函數(shù)y=—圖象上的一點(diǎn),

X

AB垂直y軸，垂足為點(diǎn)8,那么一Ao3的面積為.

16.如圖，小量角器的零度線在大量角器的零度線上，且小量角器的中心在大量角器的

外緣邊上.如果它們外緣邊上的公共點(diǎn)P在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為65。，那么在大量

角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為度（只需寫(xiě)出0。?90。的角度）.

17.如圖，BE平分NABC,CE平分外角NACD,若NA=52。，則NE的度數(shù)為

18.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識(shí)和人文價(jià)

值.如圖所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù)，樹(shù)

的主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為S,第二個(gè)正方形和

第二個(gè)直角三角形的面積之和為§2,…，第〃個(gè)正方形和第"個(gè)直角三角形的面積之

和為S11.

設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1.

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）S1=.

（2）通過(guò)探究，用含〃的代數(shù)式表示S,,,則S,,=.

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖，在RtAABC中，（M2,N2）,NBAC=30。，E為AB邊的中點(diǎn)，以

BE為邊作等邊ABDE,連接AD,CD.

（1）求證：?ADE5≤?CDB;

（2）若BC=石，在AC邊上找一點(diǎn)H,使得BH+EH最小，并求出這個(gè)最小值.

20.（8分）如圖1,AC^BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,AD,班■相交于

點(diǎn)M連接

（1）求證：BE=AD;

（2）求ZAMB的度數(shù)（用含a的式子表示）；

⑶如圖2,當(dāng)。=90時(shí)，點(diǎn)P、。分別為⑷λ跳1的中點(diǎn)，分別連接依CQ、PQ,

判斷-CPQ的形狀，并加以證明.

B

圖①

21.（8分）如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)D在BC邊上，AE〃BC,AE=BD,求證:

AD=CE.

0

22.(10分)如圖，在AABC中，BA=BC,CZ)和8E是AABC的兩條高，ZBCD=450,

BE與CO交于點(diǎn)4.

(1)求證：XBDH會(huì)4CDA；

(2)求證：BH=2AE.

23.(10分)如圖1,在邊長(zhǎng)為3的等邊ΔABC中，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)

動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，

過(guò)點(diǎn)。作DEHBC交射線AC于點(diǎn)E,連接DF交射線AC于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)D/J_A6時(shí)，求運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段AB(不考慮端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否始終有EG=GC?

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。HLAC,垂足為V,當(dāng)點(diǎn)。在線段AB(不考慮端點(diǎn))上

時(shí)，4G的長(zhǎng)始終等于AC的一半；如圖3,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到A3的延長(zhǎng)線上時(shí)，"G的

長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出HG的長(zhǎng).

Λ

H

24.(10分)在AABC中，A3=AC,N84C=9O°,點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，連接AP,

作NA∕5E>=NB交AC于點(diǎn)。.

備用圖

(1)如圖1,當(dāng)3。=CZ)時(shí)，求證：AC=PCi

(2)如圖2,作AELBC于點(diǎn)E,當(dāng)NBAP=NPZ)C時(shí)，求證：ZBAP=3ZEAPi

(3)在(2)的條件下，若AP=8,求AB?PE的值.

25.(12分)已知：如圖，在AbC中，BElAC,垂足為點(diǎn)￡,CDlAB,垂

足為點(diǎn)。，且BD=CE.

求證：/ABC=ZACB.

A

26.先化簡(jiǎn)，再求值：(工+工卜*二其中X=G3

x-3x+32x

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、D

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，據(jù)此求

出m、n的值，代入計(jì)算可得.

【詳解】解：?.?點(diǎn)P(l+，〃,1—〃)與點(diǎn)Q(-4,3)關(guān)于y軸對(duì)稱，

l+m=4,1—〃=3,

解得：m=3,,n=-2,

所以m+n=3-2=l,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查關(guān)于x、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，縱

坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

2、B

【詳解】去分母得：2x=%-2,

解得：X=-2,

經(jīng)檢驗(yàn)X=-2是分式方程的解，

則分式方程的解為X=-2.

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了分式方程的解，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，還有注意不要忘了檢驗(yàn).

3、A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可對(duì)①進(jìn)行判斷，根據(jù)外角性質(zhì)可對(duì)②進(jìn)行判斷，根據(jù)全等

三角形判定定理可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【詳解】?jī)蓷l平行線被第三條直線所截，同位角相等，故①錯(cuò)誤，是假命題，

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，故②錯(cuò)誤，是假命題，

兩邊分別相等且兩邊的夾角也相等的兩個(gè)三角形全等；故③錯(cuò)誤，是假命題，

直角三角形的兩銳角互余，故④正確，是真命題，

綜上所述：真命題有④，共1個(gè)，

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題

稱為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵.

4、B

【分析】根據(jù)圖形，左上角正方形的面積等于大正方形的面積減去兩個(gè)矩形的面積，然

后加上多減去的右下角的小正方形的面積.

【詳解】V左上角正方形的面積=(α-b)2,

左上角正方形的面積，還可以表示為/一2〃8+〃，

.?.利用此圖得到的數(shù)學(xué)公式是="_2帥+〃.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查的是根據(jù)面積推導(dǎo)乘法公式,靈活運(yùn)用整體面積等于部分面積之和是解題的關(guān)

鍵.

5、C

【解析】試題分析：由題意可得，正方形的邊長(zhǎng)為a+從故正方形的面積為(a+〉？.

又：原矩形的面積為2a?2b=4ab,Λ中間空的部分的面積

=(a+b『-4ab=(a-b)^.

故選C.

6、C

【分析】延長(zhǎng)A尸交SC于E,根據(jù)AP垂直/8的平分線AP于P,即可求出

又知AAPC和aCPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可

求得APBC的面積.

【詳解】延長(zhǎng)AP交8C于E?

TAP垂直/8的平分線BP于尸，：.ZABP=ZEBP,NAPB=NBPE=90。.

在44P8和4EP8中，

ZAPB=NEPB

'：BP=BP,Λ?APβ^?EPβ(ASA),JSSPB=SM,AP=PE,ΛΔ

NABP=NEBP

APC和ACPE等底同高，:-SAAPC=SAPCE,；?SAPBC=SΔTBE+S“CE=-SΔABC=4C,M.

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形面積和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出

_1

S"BC=ShPB肝SAPCE=—ShABC-

2

7,C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法逐項(xiàng)分析即可.

ZA=ND

【詳解】解：Α、；48=。后，.?.可用ASA判定兩個(gè)三角形全等，故不符合題意；

ZB=NDEF

BC=EF

B、?.?（AB=OE,.?.根據(jù)SSS能判定兩個(gè)三角形全等，故不符合題意；

AC=DF

C＞由ABLAC,DE_LDF可得NA=ND,這樣只有一對(duì)角和一對(duì)邊相等，無(wú)法判定兩

個(gè)三角形全等，故符合題意；

AB=DE

D、由BE=CF可得BC=EF,?JNB=NOE尸，,根據(jù)SAS可以證明三角形全等，故

BC=EF

不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS.SAS、ASA、AAS

和HL）是解題的關(guān)鍵.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形

全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

8、B

【分析】通過(guò)全等三角形的性質(zhì)作軸對(duì)稱圖形可以分析得到.

【詳解】以5C為公共邊可以畫(huà)出兩個(gè),以AB、AC為公共邊可以各畫(huà)出一個(gè),所以一

共四個(gè).

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)方格的特點(diǎn)和全等三角形的性質(zhì)結(jié)合畫(huà)軸對(duì)稱圖形

是解題的關(guān)鍵.

9、B

【分析】由χ=0時(shí)y=1000可判斷③；由運(yùn)動(dòng)過(guò)程和函數(shù)圖像關(guān)系可判斷②；求出普通

列車速度，設(shè)動(dòng)車的速度為X千米/小時(shí)，根據(jù)“動(dòng)車3小時(shí)行駛的路程+普通列車3小

時(shí)行駛的路程=IOoO”列方程求解可判斷①；根據(jù)x=12時(shí)的實(shí)際意義可判斷④.

【詳解】解：③由x=0時(shí)，y=1000知，甲地和乙地相距1000千米，正確；

②如圖，出發(fā)后3小時(shí)，兩車之間的距離為0,可知點(diǎn)B的實(shí)際意義是兩車出發(fā)后3小

時(shí)相遇，正確；

①普通列車的速度是幽=型千米/小時(shí)，

123

設(shè)動(dòng)車的速度為X千米〃卜時(shí)，

250

根據(jù)題意，得：3x+3x-----=1000)

3

解得：x=250,

動(dòng)車的速度為250千米/小時(shí)，錯(cuò)誤；

④由圖象知x=t時(shí)，動(dòng)車到達(dá)乙地，

.?.x=12時(shí)，普通列車到達(dá)甲地，

即普通列車到達(dá)終點(diǎn)共需12小時(shí)，錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意弄懂函數(shù)圖象中各拐點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際意義及行程

問(wèn)題中蘊(yùn)含的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10、D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可.

【詳解】A.-2a<-2b,故該項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.故該項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

C.2-a<2-b,故該項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.α+2>b+2正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查不等式的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并熟練解題是關(guān)鍵.

11,C

【解析】根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開(kāi)后，將含X?與X的進(jìn)行合并同類項(xiàng)，然

后令其系數(shù)為O即可.

【詳解】原式=x13χ2+nx+mχ2-3mx+mn

=x3-3x2+mx2+nx-3mx+mn

=x3+(m-3)X2+(n-3m)x+mn

V(x+m)(x2-3x+n)的展開(kāi)式中不含x?和X項(xiàng)

Λm-3=0.n-3m=0

.?.m=3,n=9

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是先將原式展開(kāi)，然后將含X2與X

的進(jìn)行合并同類項(xiàng)，然后令其系數(shù)為O即可.

12、C

【分析】根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，可知邊長(zhǎng)為8,8,4或4,4,8,再根據(jù)三角形

三邊關(guān)系可知4,4,8不能組成三角形，據(jù)此可得出答案.

［詳解】Y等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8cm和4cm,

??它的三邊長(zhǎng)可能為8cm,8cm,4cm或4cm,4cm,8cm,

V4+4=8,不能組成三角形，

.?.此等腰三角形的三邊長(zhǎng)只能是8cm,8cm,4cm

8+8+4=20cm

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)與三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形兩邊之和大于第三邊

是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、(X—4)(x+l)

【分析】把-4寫(xiě)成-4X1,又-4+1=3,所以利用十字相乘法分解因式即可.

【詳解】V-4=-4×l,又-4+1=-3

?"?x?—3x—4—(X-4)(X+1).

故答案為：(x—4)(x+l)

【點(diǎn)睛】

本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵.

14、(-3,0)或(5,0)或(-5,4)

【解析】根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的三種情況，根據(jù)圖形結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、

A、B、C的坐標(biāo)求出即可.

【詳解】解：

如圖有三種情況：①平行四邊形ADICB,

VA(1,0),B(0,2),C(-4,2),

ΛAD,=BC=4,ODI=3,

則D的坐標(biāo)是(-3,0)；

②平行四邊形AD2BC,

VA(1,0),B(0,2),C(-4,2),

ΛAD2=BC=4,OD2=l+4=5,

則D的坐標(biāo)是(5,0)；

③平行四邊形ACD3B,

VA(1,0),B(0,2),C(-4,2),

.?.D3的縱坐標(biāo)是2+2=4,橫坐標(biāo)是-(4+1)=-5,

則D的坐標(biāo)是(-5,4),

故答案為(-3,0)或(5,0)或(-5,4).

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握①數(shù)形結(jié)

合思想的運(yùn)用，②分類討論方法的運(yùn)用.

15、1

【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x,然后根據(jù)三角形的面積公式解答即可.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是［x,B

,：AB垂直y軸，.?.AB=W,。B=

.?._4。8的面積=(?卜卜

啡卜2.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)M的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)左

的幾何意義是關(guān)鍵.

16、1.

【解析】

B

設(shè)大量角器的左端點(diǎn)是A,小量角器的圓心是B,連接AP,BP,則

NAPB=90。，NABp=65。，因而NPAB=90。-65。=25。，在大量角器中弧PB所對(duì)的圓心

角是1。，因而P在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為Γ.

故答案為1.

17、26°

【分析】根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可得答案.

【詳解】TBE平分NABC,CE平分外角NACD,

11

.?.ZEBC=-ZABC,ZECD=-ZACD,

22

ΛZE=ZECD-ZEBC=-(ZACD-ZABC)

2

VZACD-ZABC=ZA,

1?

：.NE=-NA=-×52o=26o

22

故答案為260

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形外角性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；熟練

掌握外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

18、1+立f1+vK∑>l（〃為整數(shù)）

818八4J

【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出面積，再根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系運(yùn)用勾股定

理求出三角形的直角邊，求出Si,然后利用正方形與三角形面積擴(kuò)大與縮小的規(guī)律推

導(dǎo)出公式.

【詳解】解：（1）???第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1,

.?.正方形的面積為1,

.?.三角形的面積為L(zhǎng)χ!χXI=走，

2228

.?.S∣=1+立

8

（2）?.?第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為巫，它的面積就是3,也就是第一個(gè)正方形面積的g,

244

3

同理，第二個(gè)三角形的面積也是第一個(gè)三角形的面積的“

.?.S2=（1+且）?3,依此類推，S3=（1+走）?3?3，即S3=（1+且）,

848448⑷

Sn=（[1+G8）J?f?4vJ-'S為整數(shù)）.

故答案為：（1）1+^^；（2）+（〃為整數(shù)）

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)以及含30。角的直角三角形的性質(zhì).能夠發(fā)現(xiàn)

每一次得到的新的正方形和直角三角形的面積與原正方形和直角三角形的面積之間的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共78分)

19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)BH+EH的最小值為1.

【解析】(1)只要證明ADEB是等邊三角形，再根據(jù)SAS即可證明；

(2)如圖，作點(diǎn)E關(guān)于直線AC點(diǎn)E，，連接BE，交AC于點(diǎn)H.則點(diǎn)H即為

符合條件的點(diǎn).

【詳解】(1)在RtAABC中，ZBAC=IOo,E為AB邊的中點(diǎn)，

,BC=EA,NABC=60。，

V?DEB為等邊三角形，

DB=DE,NDEB=NDBE=60。，

ΛZDEA=120o,ZDBC=120o,

二ZDEA=ZDBC,

Λ?ADE^?CDB;

(2)如圖，作點(diǎn)E關(guān)于直線AC點(diǎn)E)連接BE，交AC于點(diǎn)H,則點(diǎn)H即為

符合條件的點(diǎn)，

由作圖可知：EH=HE',AE'=AE,ZE'AC=ZBAC=10o,

ΛZEAE'=60o,

二AEAE"為等邊三角形，

1

AEE=EA=-AB,

2

ΛZAE'B=90o,

在RtAABC中，ZBAC=IOo,BC=G

ΛAB=2√3,AE1=AE=G

ΛBE'=√AB2-AE'2?^(2√3)2-(?^)2=L

ΛBH+EH的最小值為1.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì),

軸對(duì)稱中的最短路徑問(wèn)題、勾股定理等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與判定定理、

利用軸對(duì)稱添加輔助線確定最短路徑問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

20、(1)見(jiàn)解析；(2)(3)-CPQ為等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析.

【解析】分析(D由CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=Ct,利用SAS即可判定

?ACD^?BCE;

(2)M?ACD^?BCE,得出NCAD=NCBE,再根據(jù)NAFC=NBFH,即可得至Ij

NAMB=NACB=α;

(3)先根據(jù)SAS判定AACP絲Z?BCQ,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出

CP=CQ,ZACP=ZBCQ,最后根據(jù)NACB=90。即可得到NPCQ=90。，進(jìn)而得到APCQ

為等腰直角三角形.

詳解：(1)如圖1,

圖①

ZACB=Z.DCE-a，

：.ZACD=NBCE,

在ACD和BCE中,

CA=CB

<ZACD=NBCE,

CD=CE

.?.ACD^BCE(SAS)

.,.BE=AD;

(2)如圖1,

ACD^BCE,

.?.ZCAD=ZCBE,

_ABC中，ZBAC+ZABC=XSO-a，

:.ZBAM+ZABM=ISO—a，

.'ABM中，ZAMB=I80—080—a)=e；

(3)一CpQ為等腰直角三角形.

證明：如圖2,由(1)可得，BE=AD,

AD,8E的中點(diǎn)分別為點(diǎn)尸、Q,

AP=BQ,

_ACD義一BCE,

.-.NCAP=NCBQ,

在ACP和「BeQ中，

CA=CB

<NCAP=ZCBQ,

AP=BQ

.ACP^BCQ(SAS),

.-.CP=CQ,且ZAeP=NBCQ,

又AACP+APCB=9Q，

.?.NBCQ+NPCB=90,

；.NPCQ=90,

J-CPQ為等腰直角三角形.

點(diǎn)睛：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)

角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

21、見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)已知AB=AC,AE∕7BC,AE=BD,即可證明AABDgACAE,AD=CE.

【詳解】：AE〃BC,AB=AC

ΛZEAC=ZACD,ZABC=ZACD

貝(∣NABC=NEAC

在AABD和ACAE中

ABAC

<ZABC=ΛEAC

AE=BD

Λ?ABD^?CAE

ΛAD=CE

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用SAS證明三角形全等.

22、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【分析】（1）依據(jù)BE??ABC的高,可得NBEA=NBEC=90。,進(jìn)而得到aBAEgaBCE

（ASA）；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=AG根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AE,

BH=2AE,即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）VZBDC=9Qo,NBCD=45。,

：.ZCBD=450,BD=CD,

'：ZBDH=ZCEH=90o,ZBHD=ZCHE,

.?.NDBH=NDCA,

在與中，

NBDH=ZCDA

<BD=CD,

ZDBH=ZDCA

Λ?BZ）∕∕s≤ΔCDA（ASA）；

（2）'：?BDH^ΔCDA,

：.BH=AC,

；由題意知，aABC是等腰三角形

：.AC=IAE,

：.BH=IAE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3

23、（1）運(yùn)動(dòng)了1秒；（2）始終有EG=GC,證明見(jiàn)解析；（3）不變，HG=-.

2

【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)了X秒，則AZ）=X,BD=3-x,BF^3+x,根據(jù)3R=23D

列方程求解即可；

(2)先證明DE=CF,然后根據(jù)“ASA”證明ΔDEGMAFCG,從而可證始終有

EG=GC;

(3)根據(jù)DE〃BC得出NADE=NB=60。，然后再在利用等邊三角形的性質(zhì)得出

.-.HE=-AE,再證明ADEGMAFCG,得到EG=LCE,根據(jù)HG="E-EG可

22

解.

【詳解】解：(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)了X秒，則Ao=X,BD=3-x,BF=3+x,

當(dāng)。尸，A6時(shí)，

VZB=60，

：.NDFB=30，

：.BF=2BD,即3+x=2(3-x),

解得X=1,

.?.運(yùn)動(dòng)了1秒.

(2)VDEHBC,

，ZADE=NB=60,

,AADE是等邊三角形，

：?AD=DE

?；AD=CF

：.DE=CF

又VDEHBC

ZDEG=ZGCF,NGDE=ZGFC.

在ΔDEG與ΔFCG中

NDEG=ZGCF

<DE=FC

ZGDE=ZGFC

：.M)EG=\FCG(ASA)

；.EG=GC；

(3)不變.

理由：VDE//BC,

；?ZADE=NB=60，

ΔAD石是等邊三角形,

?：DHLAE,

：.HE^-AE,

2

在ΔDEG與ΔFCG中

NDEG=Z.GCF

<DE=FC,

NGDE=NGFC

：.\DEG=\FCG{ASA）,

.?.EG=GC,

：.EG=-CE,

2

1113

.?.HG=HE-EG=-AE——CE=-AC=-.

2222

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，以及全等三

角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）

和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵.

24、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）1.

【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)證得ZBAP=ZDPC,從而證得ΔABPgΔPCD,

即可證明結(jié)論；

（2）利用三角形外角的性質(zhì)證得"PC=NPDC,繼而求得NRAC=22.5°,從而

證得結(jié)論；

（3）作出如圖輔助線，利用Δ