湖南省永州市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題

湖南省永州市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A=[xeN*'=7?^],集合2=卜9-彳訓(xùn)，則AB=()

A.{x|l<x<2}B.{x|O<x<l}C.{0,1,2}D.{1,2}

2.復(fù)數(shù)z滿足i5.z=l+i，貝”在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量a=(-l,2),b=(3,-l),d=(x,l),且(a+26)_Lc,貝！jx=()

A.2B.1C.0D.-1

4.“函數(shù)/(x)=/在(O,+司上單調(diào)遞減”是“函數(shù)g(x)=/-(°+1)x是偶函數(shù)，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)直線2x-y-3=0上一點(diǎn)尸作圓。：/+2》+y=1的兩條切

線，切點(diǎn)分別為AB，貝Usin/APB的最大值為()

A?孚B

-半L.-------D

5-f

22

6.已知橢圓C:二+谷=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別是耳鳥(niǎo)，點(diǎn)尸是橢圓C上位于第

ab

一象限的一點(diǎn)，且尸此與>軸平行，直線尸片與C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,若2尸片=5片Q,

則C的離心率為()

AA/21RA/330幣「而

711711

7.若數(shù)列｛見(jiàn)｝的前〃項(xiàng)和為S〃,2s=d+l(〃￡N*,凡>0),則下列結(jié)論正確的是()

>

A.02022”2023>B.。2。23,2023

111

C.S<V2022D.一+一+一++—<19

2023H，2，3Sioo

8.已知函數(shù)〃x)=3cos(tyx+°)(ty>0),若/卜：卜3"仁］=0,在區(qū)間卜|■，-上

沒(méi)有零點(diǎn)，則。的取值共有()

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

二、多選題

9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)說(shuō)法中正確的是（）

A.兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為r，則"越小，x與y之間的相關(guān)性越弱

B.設(shè)隨機(jī)變量JN（2,l）,若pC>3）=p,則p（l<J<2）=g-p

C.在回歸分析中，咒為0.89的模型比尺2為0.98的模型擬合得更好

D.某人解答人個(gè)問(wèn)題,答對(duì)題數(shù)為X,X~8（10,0.8）,則E（X）=8

10.對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件.我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成

N=axl0"aWa<10,〃eZ）的形式,兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有l(wèi)gN=w+lga,現(xiàn)給出部分

常用對(duì)數(shù)值（如下表），下列結(jié)論正確的是（）

真數(shù)X2345678910

1股（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000

真數(shù)X111213141516171819

Igx（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279

A.51°在區(qū)間（1。6,1。7）內(nèi)

B.35°是15位數(shù)

C.若73。=qxl（r,貝U〃z=Y3

D.若根3°（“EN*）是一個(gè)35位正整數(shù)，則機(jī)二14

11.菱形ABCD的邊長(zhǎng)為〃，且/84。=60,將沿向上翻折得到△Q5D,

使二面角P-BD-C的余弦值為:，連接PC,球。與三棱錐P-3CD的6條棱都相切，

下列結(jié)論正確的是（）

A.尸。工平面BCD

B.球。的表面積為2伍？

C.球。被三棱錐尸-BCD表面截得的截面周長(zhǎng)為逑兀a

3

D.過(guò)點(diǎn)0與直線PB,CD所成角均為;的直線可作4條

12.已知函數(shù)〃x）與g（x）的定義域均為R,〃x+l）+g（x—2）=3,〃x—1）—g（—x）=l,

且g（-l）=2,g（x-l）為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.4為〃x）的一個(gè)周期B.g⑶=1

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

20232023

C.伏）=4045D.出=2023

k=\k=\

三、填空題

13.為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉(xiāng)村”活動(dòng)，晚會(huì)有《走，去永州》《揚(yáng)

鞭催馬運(yùn)糧忙》《數(shù)幸?！贰多l(xiāng)村振興唱起來(lái)》四個(gè)節(jié)目，若要對(duì)這四個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，

要求《數(shù)幸?！放c《鄉(xiāng)村振興唱起來(lái)》相鄰，則不同的排列種數(shù)為(用數(shù)字作

答).

14.在平行六面體ABCD-A4G。]中，/必=4,。。=),“)|=c,P為的中點(diǎn)，過(guò)PB

的平面a分別與棱A'CG交于點(diǎn)2尸，S.AE=CF,則82+所=(用a,b,c表

示).

15.若函數(shù)/(無(wú))=(e'"+?'x_]n尤,當(dāng)xe(O,+s)時(shí)，/(x)>0,則實(shí)數(shù)f的取值范

圍______.

16.已知點(diǎn)N(a,2百人。>0)在拋物線C：y2=2px(O<0<2a)上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，

圓N與直線x=號(hào)相交于A3兩點(diǎn)，與線段NF相交于點(diǎn)R,^.\AB\=245\RF\.若R是

線段N5上靠近產(chǎn)的四等分點(diǎn)，則拋物線C的方程為.

四、解答題

17.已知數(shù)列｛4｝是公比4>1的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為39,且％+6嗎成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)'=lo““IaN*),求也,｝的前〃項(xiàng)和T?.

1U&3U2n-l1Ufe3U2n+l

18.在ABC中，設(shè)A,8,C所對(duì)的邊分別為。也c,且滿足ccosA-acosC="+b.

⑴求角C；

(2)若c=5,一ABC的內(nèi)切圓半徑廠=走，求ABC的面積.

4

五、證明題

19.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且

AD=2AB^4,M.N分別為PD、3c的中點(diǎn)，斤在線段PC上，且PC=3PH.

⑴求證：MN//平面E4B；

(2)當(dāng)AM1.PC時(shí)，求平面與平面HMN的夾角的余弦值.

六、解答題

20.某企業(yè)為提高競(jìng)爭(zhēng)力，成功研發(fā)了三種新品A、B、C,其中A、B、C能通過(guò)行業(yè)

標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)的概率分別為4彳6;不9，且AB、C是否通過(guò)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)相互獨(dú)立.

⑴設(shè)新品A、B、C通過(guò)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)的品種數(shù)為X,求X的分布列；

(2)已知新品A中的一件產(chǎn)品經(jīng)檢測(cè)認(rèn)定為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為0.025,現(xiàn)從足量的新品A

中任意抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，若取到的不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則繼續(xù)抽取下一件，直至取到優(yōu)質(zhì)

產(chǎn)品為止，但抽取的總次數(shù)不超過(guò)如果抽取次數(shù)的期望值不超過(guò)5,求”的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9754土0.904,0.9755土0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817

七、證明題

21.已知點(diǎn)A為圓C:尤2+丁-2，1鼠-6=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為卜加',0),線

段的垂直平分線與直線AC交于點(diǎn)。.

⑴求點(diǎn)D的軌跡E的方程；

⑵設(shè)軌跡E與x軸分別交于A，4兩點(diǎn)(A在a的左側(cè))，過(guò)R(3,0)的直線/與軌跡E交

于M,N兩點(diǎn),直線AM與直線的交于P,證明：尸在定直線上.

22.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),g(x)=oxe，—21na+31n2+3.

⑴當(dāng)xe(-l,0)50,y)時(shí)，求證：/H>--X+1；

x2

(2)若％￡(T+oo)時(shí)，g(x)N/a),求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.D

【分析】求出集合A,8,即可求得答案.

【詳解］由4=卜€(wěn)嚇="一斗{1,2},B={^|X2-X>0}={X|X<0BJ<X>1},

故AB={1,2},

故選：D

2.D

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可求出z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得

答案.

【詳解】由i5.z=l+i得i"=l+i,；.z=3,

1

則Z=l+,=l-i,即z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限，

1

故選：D

3.C

【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得x的值.

【詳解】a+2^=(-1,2)+(6,-2)=(5,0),

由于(a+26)_L!?,

所以(o+26).e=5x=0,x=0.

故選：C

4.B

【分析】通過(guò)求解函數(shù)〃x)和g(x)符合條件的。的取值，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

在中，

當(dāng)函數(shù)在(。,+°°)上單調(diào)遞減時(shí)，a<0,

在g(x)=xJ(a+l)x中，函數(shù)是偶函數(shù)，

答案第1頁(yè)，共21頁(yè)

g(T)=(-x)4-(a+l)(-x)

；.<g(x)=x4-(a+l)x,解得：a=-\,

g(x)=g(-x)

“函數(shù)"X)=尤"在(。,+巧上單調(diào)遞減”是“函數(shù)g(x)=%4-(?+l)x是偶函數(shù)”的必要不充

分條件，

故選：B.

5.A

【分析】由題意圓C:/+2x+y2=l的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:(x+1)+V=2,如圖

.AC\rr~

sinZAPB=sin2?=2sinczcosa,Xsin<z=-7^F=Ji,2,所以

crl，|c尸I

cosa=Vl-sin2a=,又由圓心到直線的距離可求出|。尸|的最小值，進(jìn)而求解.

【詳解】如下圖所示：

由題意圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:(x+l)+y2=2,sinZAPB=sin2a=2sincrcosa,

又因?yàn)閟ina=W=J。，所以3戊=，1一m％=3-房，

所以sinZAPB=2sinicosa-

1-2-0-31廠

又圓心c(-l,o)到直線2x-y-3=0的距離為d=國(guó)㈠丫=小，

所以|cp|2d=百，所以不妨設(shè)，=曰*，［°<，《

答案第2頁(yè)，共21頁(yè)

貝hm/AM=2（由［1一嬴12.《1一的=2/4上一?+：=&）,

又因?yàn)?⑺在［of單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)/=（即|CP|=6,即當(dāng)且僅當(dāng)直線CP垂直已

知直線2x-y-3=0時(shí)，

12A/6

sinZAPB有最大值(sinZAPB)=f+—=

\/max"4

故選：A.

6.B

【分析】由P點(diǎn)坐標(biāo)求得。點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入橢圓。的方程，化簡(jiǎn)求得橢圓。的離心率.

【詳解】由W+［=l令x=c,得y2="i-=］=t,y=土：L,

ab\a）aa

由于尸工與y軸平行，且夕在第一象限，所以尸。，一

Ia

2

由于2P6=5耳3片0=］尸耳,月（一。,0）,

所以0Q=04+KQ=(_c,O)+|_2c,b-yC92b2}

二J十鏟〈二)

即。言］,將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓C的方程得［gc）［一北］

（3-----2-----1------77------1

ab

81c24b281c2+4(a2-c2)77c2+4a2

---1---=----------=------

25a225a225a225a2

2213

77c2+4a2=25a2,77c2=21a2,—r=—=

a27711

答案第3頁(yè)，共21頁(yè)

7.D

【分析】根據(jù)4,S”之間的關(guān)系可求出S'=而，進(jìn)而求得%=分-冊(cè)=1,由此結(jié)合熟的大

小比較可判斷A,B,C,利用放縮法，當(dāng)時(shí)，可推出《<2(赤一而I),累加即可判

斷D.

【詳解】令〃=1,則250=。：+1,即2a；=a：+l,

由4>0,的％=1；

當(dāng)〃>2時(shí)，2"⑸—S〃T)=⑸—S〃"+l,即S；—S：=l,

又S；=a；=l,故⑸｝為首項(xiàng)是1,公差為1的等差數(shù)列，

貝|JS：=1+〃-1=〃，故s〃=G，

所以當(dāng)時(shí)，冊(cè)=Sn—S葭7=yfH-J〃-1,4=1也適合該式,

故q=y/n-yln-l,

對(duì)于A,^22^3=(5/2622-5/2621)(72623-72622)

=~//'/:/<],A錯(cuò)誤；

V2022+V2021J2023+J2022

對(duì)于B,=V2^3-V2022<^/2023,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,S2023=72023>72022,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)”22時(shí)，丁二丁<廠一；~二=2(品7n-l),

?〃7n7n+7n-T

^―+—+—++—<1+2(A/2-1J+2(A/3->/2)++2(5/100-5/99)

￥S2S3￡0G''

=1+2(7+10)=19,D正確，

故選：D

8.B

【分析】根據(jù)==0可得。=岑+|,根據(jù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)可得

0<<?<6,即可求出。的取值有幾個(gè).

【詳解】由題意，在〃x)=3cos3x+0)(o>O)中，/f-^=3,Jf-|Ko,

答案第4頁(yè)，共21頁(yè)

3對(duì)-卜+。712

=3---(D-\-(P—2Z]兀

，所以一,k[,k?￡Z,

兀771

3cos/=0—a)+(p=kTi+—

、222

兩式相減得親=(&-2匕)嗚，

494〃2

所以6y=耳(左2—2匕)+§,即G=〃EZ,

(兀71\兀71

因?yàn)閄￡［一耳,一石>@>。，所以GX+9eI--co+cp^—af+cp

7171

令CDX+(p=t,

(兀71］

由題意知y=3cos/在/￡［一§啰+上無(wú)零點(diǎn),

兀7兀7),

故卜10+9,_/+可—+K71,—+K71,kWZ,

22J

7171兀、兀，

——o)+(p>——+rE——CO+(D>——+也

3232

所以,n即n《

——兀CO+(P<,?！?K7ll—兀co—(p、2---兀---k7u

、62[6"2

JT

兩式相加得一-兀，所以0<GW6,

6

立4〃2

X^=—+—,

33

210、“。.14

所以，當(dāng)〃=0時(shí)，g=§；當(dāng)〃=1時(shí)，刃=2；當(dāng)〃=2時(shí),co=-?當(dāng)〃=3時(shí)n，=—

當(dāng)”=4時(shí)，a)-6,

所以。的取值有5個(gè).

故選：B.

9.BD

【分析】A項(xiàng)，通過(guò)相關(guān)系數(shù)的定義即可得出結(jié)論；B項(xiàng),通過(guò)求出P(2<J<3)即可求出

P(-l<J<0)的值；C項(xiàng)，通過(guò)比較相關(guān)指數(shù)即可得出哪個(gè)模型擬合更好；D項(xiàng)，通過(guò)計(jì)算

即可求出E(x).

【詳解】由題意,

A項(xiàng),

兩個(gè)變量％y的相關(guān)系數(shù)為乙H越小，x與y之間的相關(guān)性越弱,

故A錯(cuò)誤,

答案第5頁(yè)，共21頁(yè)

對(duì)于B,

隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(2,l),由正態(tài)分布概念知若P?>3)=p,則

尸(_1<J<O)=P(2<J<3)=PC>2)_PC>3)=；_0,

故B正確，

對(duì)于C,

在回歸分析中，R2越接近于1,模型的擬合效果越好，

R2為0.98的模型比片為0.89的模型擬合的更好

故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,

某人在10次答題中，答對(duì)題數(shù)為-5(10,0.8),則數(shù)學(xué)期望E(X)=10x0.8=8,

故D正確.

故選：BD.

10.ACD

【分析】根據(jù)lgN=〃+lga,分別求出各個(gè)選項(xiàng)中N的常用對(duì)數(shù)的值，對(duì)照所給常用對(duì)數(shù)值

判斷

【詳解】解：因?yàn)檑?叫=10因5。6.99,IglO6=61gl0=6<6.99,lgl07=71gl0=7>6.99,所

以5Kle(HAU),故A正確；

因?yàn)?g3，。=501g3。23.85,3$。名1。2工85,所以35。是24位數(shù)，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閘g7'=-501g7a-42.25,所以7應(yīng)。10皿”，又7一5°="10",則/=-43,故C正確；

lgm30=301gm,因?yàn)椤▏?yán)(根eN*)是一個(gè)35位正整數(shù)，所以34W301g機(jī)<35，即，Vig相<￡,

即1.126741g加<1.1667,則m=14,故D正確.

故選：ACD

11.AC

【分析】利用余弦定理求得尸C=a，說(shuō)明三棱錐尸-BCD為正四面體，進(jìn)而補(bǔ)成正方體，

則說(shuō)明。點(diǎn)為正方體的中心，結(jié)合線面垂直的判定可判斷A；求得球O的半徑可判斷B；

求出球。被三棱錐一個(gè)側(cè)面所截得的截面的周長(zhǎng)，即可求得球。被三棱錐尸-BCD表面截

得的截面周長(zhǎng)，判斷C；根據(jù)平行公理以及直線所成角的概念可判斷D.

【詳解】如圖在菱形ABCD中，連接AC,則AC13。，設(shè)AC,8。交于E,

答案第6頁(yè)，共21頁(yè)

p

A

則PE±BD,CELBD,PEu平面PBD,CEu平面CBD,

即NPEC為二面角P-BD-C的平面角，即cosZPEC=1,

又/BAD=60，即△ABD為正三角形，即△PBD,△CBD為正三角形，

i&PE=CE=—a,ikPC2=PE2+CE2-2PE-CEcosAPEC

2

331

——4—2x—，x—=Q?,即PC=a,

243

故三棱錐P-BCD為棱長(zhǎng)為a的正四面體；

如圖，將該四面體補(bǔ)成正方體PHDG-N。?,四面體的各棱為正方體的面對(duì)角線,

則正方體棱長(zhǎng)為變a,

2

因?yàn)榍?。與三棱錐P-3co的6條棱都相切，則。點(diǎn)即為正方體的中心，

連接PM,則0為正方體體對(duì)角線PM的中點(diǎn)，

因?yàn)槭琋人平面MBNC,3Cu平面MBNC,故PNJ.3C,

又BCLMN而PNMN=N,PN,MNu平面PMN,

故平面PW,PMu平面PMV,故BC_LPM；

同理可證3D_LPM,BCc8。=民8C,5Du平面BCD,

故乃欣，平面BCD,即P01平面BCD,A正確；

因?yàn)榍?。與三棱錐P-BCD的6條棱都相切，

故球0即為正方體尸?。〨-NCMB的內(nèi)切球，球的直徑為正方體棱長(zhǎng)變a,

2

答案第7頁(yè)，共21頁(yè)

則球的半徑為亨a,故球。的表面積為47r義(￥42=；兀/，B錯(cuò)誤；

球。被平面截得的截面圓即為正三角形3CD的內(nèi)切圓，

由于3C=a,故正三角形BCD的內(nèi)切圓半徑為lx3°

326

故內(nèi)切圓周長(zhǎng)即球。被平面截得的截面圓周長(zhǎng)為2兀xXL=3兀a,

63

故球。被三棱錐P-3c。表面截得的截面周長(zhǎng)為4x立儂=述?！?，C正確；

33

連接因?yàn)镻H〃BM,PH=BM,即四邊形尸"MB為平行四邊形，

故PB〃HM,而HM_LCD,故尸3_LCD,

不妨取空間一點(diǎn)s,作尸6co的平行線PRIC'D,如圖，

則和p?,c'D所成角均為;的直線即為它們形成的角的角平分線乙，，

假設(shè)平面a過(guò)4且垂直于所確定的平面，當(dāng)乙繞點(diǎn)S且在a內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),

則此時(shí)直線/與P?,C。所成角相等，但會(huì)變大，大于g,

4

即在P?,CD所確定的平面外過(guò)點(diǎn)S不存在直線/與P?,C'。所成角為:，

4

故過(guò)點(diǎn)。與直線PB,CD所成角均為二的直線可作2條，D錯(cuò)誤，

4

故選：AC

12.ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】由于g(x-i)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以g(x)圖象關(guān)于x=-l對(duì)稱，

所以g(x-2)=g(-l+(x-l))=g(-l-(x-l))=g(—x),

所以/(x+l)+g(x_2)=/(x+l)+g(_x)=3①，

而/(xT)-g(—x)=l②,

答案第8頁(yè)，共21頁(yè)

兩式相加得〃x—l)+〃x+l)=4,則〃x)+〃x+2)=4③，

所以/(x+4)=/(x+2+2)=4-/(x+2)=4-(4—/(x))=/(x),

所以4是的一個(gè)周期，A選項(xiàng)正確.

由③令x=l得〃1)+〃3)=4,

由①令x=2得〃2)+g(-l)=〃2)+2=3J(2)=l,

由②令％=1得〃O)_g(T)=〃O)-2=1,/(0)=3,則〃4)=〃0)=3,

所以“1)+/⑵+/(3)+/(4)=8"⑴+/(2)+/(3)=5,

2023onon

所以X"幻=-^x8+/(l)+/(2)+/(3)=4040+5=4045,C選項(xiàng)正確.

由①令x=-l得"o)+g(l)=3+g(l)=3,g(l)=。，

由/(x+l)+g(x-2)=3,/(x-l)-g(-x)=l,

得f(x)+g(x-3)=3J(x)-g(-x-1)=1,

兩式相減得g(x—3)+g(r—l)=2,即g(x-3)+g(x-l)=2,

且g(x)關(guān)于(-2,1)對(duì)稱,g(-2)=1,

所以g(x)+g(x+2)=2④，

所以g(x+4)=g(x+2+2)=2-g(x+2)=2-(2-g(x))=g(x),

所以g(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以g(3)=g(-l)=2,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由④令x=2得g(2)+g(4)=2,所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=4,

由于g(2)=g(-2+4)=g(—2)=1,所以g(l)+g(2)+g(3)=3

20232020

所以Zg(6==rx4+3=2023,所以D選項(xiàng)正確.

k=l4

故選：ACD

【點(diǎn)睛】有關(guān)函數(shù)的奇偶性、周期性的題目，關(guān)鍵是要掌握抽象函數(shù)運(yùn)算，還要記憶一些常

用的結(jié)論.如/(x+A)=/(x)J(x+a)=-/(x)J(x+a)=京等等，這些都是與周期性有

關(guān)；如/(a+尤)=/(ar)J(a+x)=-〃a-x)等等，這些都是與對(duì)稱性有關(guān).

答案第9頁(yè)，共21頁(yè)

13.12

【分析】利用捆綁求得正確答案.

【詳解】由于《數(shù)幸?！放c《鄉(xiāng)村振興唱起來(lái)》相鄰，所以兩者“捆綁”,

則不同的排列種數(shù)為A；A；=12種.

故答案為：12

14.—2aH—c

2

【分析】由題意設(shè)。、R、E、尸分別為AACG,QAHC的中點(diǎn)，容易證明四邊形正叱是平

行四邊形，即平面P￡B尸為符合題意的平面a,進(jìn)而分解向量即可求解.

【詳解】如圖所示:

由題意不妨設(shè)。、R、E、b分別為AA，CG，QARC的中點(diǎn)，容易證明四邊形FEB戶是平行四

邊形，

即平面PEBF為符合題意的平面a,因此

BP+EF=(BD+DP^+[ED+DF)=[-DA-DC+DP\+[-DE+DF),

又因?yàn)镈P=gDR,-DE=-DA-AE<DF=DC+CF，S.AE=^-DD[,CF=,

244

所以

BP+EF=^-DA-DC+^DD^+^-DA-^DDi+DC+^DD^=-2DA+^DDl=-2a+1c.

故答案為：-2a+：c.

2

【分析】由/(x)>0進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合多次求導(dǎo)來(lái)求得/的取值范圍.

【詳解】依題意，當(dāng)彳?0,鈣)時(shí)，f3=(e*+2)__]nx>0恒成立，

v7x+2

答案第10頁(yè)，共21頁(yè)

即(e'*+2)fx>(x+2)lnx恒成立，

即(e"+2).lne'”>(x+2)lnx①恒成立，

設(shè)g(x)=(x+2)lnx,g，(x)=l+-+ln%,

,7,、_7

令z=g'(x)=l+—+lnx"(x)=—r—,

xx

所以從用在區(qū)間(0,2)上h\x)<0,h(x)單調(diào)遞減；

在區(qū)間(2,+8)上h\x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

所以/z(x)>/z(2)=2+ln2>0,也即g'(x)〉0,g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

InY

所以由①得屋>%,即比>lnxj>—，

%

、幾/xInx,/、1-lnx

^m[x)=——,m[x)=——--,

所以根(x)在區(qū)間(0,e)上加⑺>0,制力單調(diào)遞增；

在區(qū)間(e,+00)上加(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,

所以mix)<m(e)=—=-,

ee

所以f>:,即f的取值范圍是

故答案為：

16.y2=4x

【分析】設(shè)|NF|=4?>0),表示出|R用="鉆|=26囚尸|=2百，利用拋物線定義、點(diǎn)在

拋物線上以及圓的弦長(zhǎng)的幾何性質(zhì)列出關(guān)于a，P的方程，即可求得p,即得答案.

【詳解】由C:V=2px(0<p<2a)可知F(-1,0),

設(shè)|NF|=4t(t>0),貝U|RF|=t,\AB\=245\RF\=2族,

答案第11頁(yè)，共21頁(yè)

貝UI取1=3/,故(a-K)2+(兇)2=|NR/，即(a-4)2+(6)2=9』①;

又點(diǎn)N(a,2百)(a>0)在拋物線C：y1=2px(fi<p<2a)上，

故|N尸|=。+"=4②，且12=2pa,即pa=6③，

2

②聯(lián)立得12a2-20ap+3P2=0,得2。=3?；?a=p,

由于0<p<2a,故2a=30,結(jié)合po=6③，

解得。=2,故拋物線方程為V=4無(wú)，

故答案為：y2=4x

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要結(jié)合拋物線的定義以及圓的弦長(zhǎng)的幾何性質(zhì)，找

出參數(shù)a，P間的等量關(guān)系，從而列出方程組，即可求解.

17.⑴%=3"

(2)7；,=-^-

2/1+1

【分析】(1)根據(jù)題意列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，即可得答案；

(2)利用(1)的結(jié)論化簡(jiǎn)2=^---------------(〃eN*),利用裂項(xiàng)求和法即可求得答案.

log3a2n-1.log3a2〃+1?

[a,+a+a,=39

【詳解】(1)由題意可得J0二、，

[2(%+6)=%+%

即得2(%+6)+4—39,/.出=9,貝lj%+%=30,

[a,q=9°

即1；1+8=30,可得初T0q+3=0，由于31，故得4=3,

則q=3,故%=3x3"T=3"；

答案第12頁(yè)，共21頁(yè)

j/7111

=2/112/?+1=

(2)由(1)結(jié)論可得?=log3tZ2?t.iog36/2n+1log33-.log33(2H-1)(2H+1)

=-(-------),

22n-l2〃+l

故色｝的前"項(xiàng)和++-貴)

2兀

18.⑴5

16

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可得cos。的值，即可得

答案；

(2)利用余弦定理得+/=25—〃/?,配方得(Q+Z?)2=25+",再結(jié)合，ABC的內(nèi)切圓半

21

徑，利用等面積法推出〃+人=2"-5,即可求得帥=下，從而求得答案.

4

【詳解】(1)在ABC中，由。8$24-々85。=々+7得5111。854-51112485。=51114+51115,

即sinCcosA-sinAcosC=sinA+sin(A+C),

故—2sinAcosC=sinA,由于A￡(0,7i),，sinAwO,

12兀

故cos。二——，而?！?0,兀)，故。=—.

23

27r

(2)由C=w-可得02="+6+必，而c=5,

故=25-岫，貝?。?a+4=25+"，

由.ABC的內(nèi)切圓半徑廠=且，可得L(a+6+c)?廠=L"sinC,

422

即^^(〃+b+5)=,BPa+b=2ab—5,

42

21

故(2ab-5)2=25+ab角軍得ab=—,

f4

故.ABC的面積S=—absinC=—x—x.

224216

19.(1)證明見(jiàn)解析

答案第13頁(yè)，共21頁(yè)

【分析】（1）取AD中點(diǎn)Q,連接MQ，NQ,要證MV//平面P4B,只需平面MQV//平面R4B,

結(jié)合已知條件即可得證.

（2）當(dāng)AMLPC時(shí)并結(jié)合已知條件即可建立如圖所示坐標(biāo)系，根據(jù)AO=2AS=4以及中點(diǎn)

關(guān)系、PC=3PH即可寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出法向量即可求解.

【詳解】（1）如圖所示：

P

取AD中點(diǎn)Q,連接MQ,NQ,

M,N分別為PD、3c的中點(diǎn)，且底面ABCD為矩形，

所以M?！ㄊ珹,MQ=LpA,且NQ//A8,

~2

又因?yàn)镸Qi平面MQN,平面R記，NQu平面MQN,NQ<Z平面八記,

所以河?！ㄆ矫嫔?5,且QN//平面上鉆，

又因?yàn)镸QNQ=Q,MQI平面MQN,NQu平面MQN,

所以平面MQN〃平面上鉆，

因?yàn)镸Nu平面MQN,

所以由面面平行的性質(zhì)可知MN//平面

注意到側(cè)面PAD為正三角形以及/為PO的中點(diǎn)，所以由等邊三角形三線合一得AMYPD,

又因?yàn)?W_LPC,且尸Du面PDC,PCu面PZJC,PDcPC=P,

所以AMI面尸DC,又因?yàn)镃Du面尸。C,所以CDJ_AM,

又因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以CDLAD,

答案第14頁(yè)，共21頁(yè)

因?yàn)锳DAM=A,AWu面上M),ADc^PAD,

所以05_1面尸仞，因?yàn)镻Qu面PA。，

所以COLP。，又CD〃NQ,

所以NQLPQ,又由三線合一PQ,AO,又AOLNQ,

所以建立上圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

因?yàn)锳D=2AB=4,

所以A（0,-2,0）,N（2,0,0）,尸（0,0,26）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,

又因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，PC=3PH,

所以貝0,1,⑹,*［竽,

所以肱4=(0,-3,--)，MN=(2,-1,一6),MH=‘2_1叵

(333)

不妨設(shè)平面AAW與平面HMN的法向量分別為4=（占,%，4）,%=（x2,y2,z2）,

n.MA=0n-MH=0

所以有以及2

々?MN=0n2-MN=0

21M

一肛一";°以及.~X2~~y2+~T~Z2=0

即分別有:333

2再—%—J3Z]—0

2X2-y2-^z2=0

分別令X=T，%=1,并解得%=(-1,1,-73),^=(1,2,0),

不妨設(shè)平面AAW與平面HMN的夾角為0,

-lxl+lx2-百x0

所以cose=

J(-l)+F+(⑹2X712+22+02M

綜上所述：平面4WN與平面必W的夾角的余弦值為g.

20.（1）分布列見(jiàn)解析

(2)5

【分析】（1）由題意X的所有可能取值為：0,1,2,3,由獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件

加法公式即可分別求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而求解.

答案第15頁(yè)，共21頁(yè)

（2）不妨設(shè)抽取第左（14左（7L1）次時(shí)取到優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，此時(shí)對(duì)應(yīng)的概率為

P（左）=0.025*（0.975）1,而第"次抽到優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為P（〃）=（0.975）1,

所以抽取次數(shù)的期望值為

n-1

Xo.O25x左.(0.975廣+〃(O.975)i

E(叫=1k?P(k)+nP(n)=

_k=i__k=\

=0.025x[1+2x0.975++(n-l)x(0.975廣?卜〃(0.975廣，

對(duì)其求和并結(jié)合E（n）<5以及參考數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】（1）由題意X的所有可能取值為：0,1,2,3.

尸(X=0)=W=」-

'75710350

P(X=l)g；>116111919

X——+—X—X-------F—X—X—:------

1057105710350'

P(X=2)f141916911457

■X—+—X—><:-----F—X—x——------

1057105710350175

p(X=3)=|x|9216108

,AXZ-_--_--——

--175；

10350

「1一1〃一1

取次數(shù)的期望值為￡（〃）=(左)+〃P(〃)=^0.025x^.(0.975)+〃(O.975)"T

屋=1」Lk=l

=0.025x[1+2x0.975++(〃-l)x(0.975廣〔+“(0.975廣，

0.975.￡(?)=0.025x[1x0.975++(n-2)x(0.975廣2+(,7-i)x(0.975廣[+“(0.975)”,

兩式相減得

0.025-￡(?)=0.025x[1+0.975++(0.975)"-2-(n-l)x(0.975)"-1]+0.025XM(0.975)"-1,

答案第16頁(yè)，共21頁(yè)

所以=氏=40[l-（0.975）”]，

又由題意可得E（〃）45,

所以40[1-（0.975）[W5,即（0.975）”>0.875,

注意到當(dāng)〃=5時(shí)，有0.9755,0.881>0.875，

且當(dāng)"=6時(shí)，有0.9756=0.859<0.875;

綜上所述：〃的最大值為5.

r2v2

21.⑴上一上=1

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意推出IIOCITO8U=4,結(jié)合雙曲線定義即可求得答案；

（2）設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線4知和&N的

方程，推得一片=產(chǎn)J,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論.

x-2tyly2+y1

【詳解】（1）由C:x2+y2-2V15x-6=0得C:（x-麗）2+/=16,其半徑為4,

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線與直線AC交于點(diǎn)。，

故|OB|=|OA|,貝川。C|—|E)B||=||OC|—|a4||=|AC|=4,

而|3C|=8>4,故點(diǎn)。的軌跡E為以民C為焦點(diǎn)的雙曲線,

貝?。?a—4,a=2,2c—2-\/?0,C--s/To,b2—c1—a1=6,

22

故點(diǎn)￡>的軌跡E的方程為土-匕=1.

46

（2）證明：由題意知A（-2,0）,4（2,0）,

答案第17頁(yè)，共21頁(yè)

若直線/斜率為0,則其與雙曲線的交點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn)，不合題意;

故直線/的斜率不能為0,故設(shè)其方程為無(wú)=0+3,

x=ty+3

聯(lián)立,得（3產(chǎn)一2）/+18"+15=。，A=144f2+120>0.

146

-18?

-3/一2

故.

15

=

3/2-2

設(shè)M（為,％）,NH,%），則直線4"的方程為y=-T7（X+2）=7TT7（X+2）,