專題06不等式與不等式組（講義）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題06不等式與不等式組1．結(jié)合具體問(wèn)題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)；2．能運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形；3．能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；4．會(huì)用數(shù)軸確定兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集；5．能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，建立模型觀念?？键c(diǎn)1：不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．注：(1)不等號(hào)“＜”或“＞”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號(hào)的開(kāi)口所對(duì)的數(shù)較大．(2)五種不等號(hào)的讀法及其意義：符號(hào)讀法意義“≠”讀作“不等于”它說(shuō)明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個(gè)大，哪個(gè)小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，1＞2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對(duì)于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系，我們說(shuō)不等式成立，否則，不等式不成立．考點(diǎn)2：不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．要點(diǎn)詮釋：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個(gè)范圍不等式的解集是一個(gè)集合，是一個(gè)范圍．其含義：①解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最簡(jiǎn)的不等式表示:一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來(lái)表示．如：不等式x2≤6的解集為x≤8．(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式的無(wú)限個(gè)解．如圖所示：注：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來(lái)，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意兩個(gè)“確定”：一是確定“邊界點(diǎn)”，二是確定方向．(1)確定“邊界點(diǎn)”：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實(shí)心圓點(diǎn)，若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＞a或x≥a向右畫(huà)；對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＜a或x≤a向左畫(huà)．注意：在表示a的點(diǎn)上畫(huà)空心圓圈，表示不包括這一點(diǎn)．考點(diǎn)3：不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．注：不等式的基本性質(zhì)的掌握注意以下幾點(diǎn)：(1)不等式的基本性質(zhì)是對(duì)不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、比較、體會(huì)．(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變．考點(diǎn)4：一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個(gè)一元一次不等式．注：(1)一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1.(2)一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“＜”、“≤”、“≥”或“＞”連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)“＝”連接，等號(hào)沒(méi)有方向．考點(diǎn)5：一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的過(guò)程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：與一元一次方程的解法類(lèi)似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.注：（1）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問(wèn)題靈活運(yùn)用．（2）解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變．3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來(lái)，能形象地說(shuō)明不等式有無(wú)限多個(gè)解，它對(duì)以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助．注：在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左．考點(diǎn)6：實(shí)際問(wèn)題與不等式組（1）、常見(jiàn)的一些等量關(guān)系1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間2.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量3.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)，4.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率5.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：.（2）、列不等式解決實(shí)際問(wèn)題列一元一次不等式解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類(lèi)似，通常也需要經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：(1)審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過(guò)”、“超過(guò)”等；(2)設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；(3)列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：寫(xiě)出答案，并檢驗(yàn)是否符合題意．注：(1)列不等式的關(guān)鍵在于確定不等關(guān)系；(2)求得不等關(guān)系的解集后，應(yīng)根據(jù)題意，把實(shí)際問(wèn)題的解求出來(lái)；(3)構(gòu)建不等關(guān)系解應(yīng)用題的流程如圖所示．（4）用不等式解決應(yīng)用問(wèn)題，有一點(diǎn)要特別注意：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，表示不等關(guān)系的文字如“至少”不能出現(xiàn)，即應(yīng)給出肯定的未知數(shù)的設(shè)法，然后在最后寫(xiě)答案時(shí)，應(yīng)把表示不等關(guān)系的文字補(bǔ)上．如：若“設(shè)還需要B型車(chē)x輛”，而在答中應(yīng)為“至少需要11輛B型車(chē)”．這一點(diǎn)應(yīng)十分注意．（3）、不等式組的概念定義：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組．如，等都是一元一次不等式組．注：(1)這里的“幾個(gè)”不等式是兩個(gè)、三個(gè)或三個(gè)以上．(2)這幾個(gè)一元一次不等式必須含有同一個(gè)未知數(shù)．（4）、解一元一次不等式組1.一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中幾個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集．注：(1)找?guī)讉€(gè)不等式的解集的公共部分的方法是先將幾個(gè)不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來(lái)，然后找出它們重疊的部分．(2)有的一元一次不等式組中的各不等式的解集可能沒(méi)有公共部分，也就是說(shuō)有的不等式組可能出現(xiàn)無(wú)解的情況．2.一元一次不等式組的解法解一元一次不等式組的方法步驟：（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集．（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分即這個(gè)不等式組的解集．（5）、一元一次不等式組的應(yīng)用列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟為：審題→設(shè)未知數(shù)→找不等關(guān)系→列不等式組→解不等式組→檢驗(yàn)→答．注：(1)利用一元一次不等式組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找不等關(guān)系．(2)列不等式組解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，求出不等式組的解集后，要結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際背景，從解集中聯(lián)系實(shí)際找出符合題意的答案，比如求人數(shù)或物品的數(shù)目、產(chǎn)品的件數(shù)等，只能取非負(fù)整數(shù)．【題型1：不等式的定義與性質(zhì)】【典例1】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)，，，下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A、由不一定有，例如，滿足，但是，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故此選項(xiàng)不符合同意；C、由不一定有，例如，滿足，但是，故此選項(xiàng)不符合題意；D、由可以得到，故此選項(xiàng)符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：①把不等式的兩邊都加(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；②不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；③不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．1．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┫铝忻}中是假命題的是（

）A．若，則 B．若，則

C．若，則是一個(gè)無(wú)理數(shù) D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)平方根的定義，不等式的性質(zhì)，無(wú)理數(shù)的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】A.若，則，是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.若，則

，是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意；C.若，則，是一個(gè)無(wú)理數(shù)，是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.若，且，則，故原命題是假命題，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了真假命題的判定，熟練掌握平方根的定義，不等式的性質(zhì)，無(wú)理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）表示數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，確定出大小關(guān)系，再根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：，A、，∴，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，選項(xiàng)正確，符合題意；D、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸．不等式的性質(zhì)．根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，判斷式子的符號(hào)，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）命題“如果，那么”是命題．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：若，那么，∴命題“如果，那么”是真命題，故答案為：真．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)和判斷命題真假，熟知不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？既＃┮阎P(guān)于x的不等式的解集為，則a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，由不等式的解集為，可得：，據(jù)此求出a的取值范圍即可．【詳解】解：∵不等式的解集為∴∴a的取值范圍為：故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的解集，不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【題型2：解一元一次不等式與一元一次不等式組】【典例21】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).【答案】，數(shù)軸見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟解答即可．【詳解】去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，系數(shù)化為1：．在數(shù)軸上可表示為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集的應(yīng)用，能求出不等式的解集是解此題的關(guān)鍵，難度適中．【典例22】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：；（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去分母，再移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，解出x的值，再對(duì)所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）分別解每一個(gè)不等式，再求不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）方程兩邊同時(shí)乘以，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式組的解集是．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．1．（2018·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】先把兩式相加求出的值，再代入中得到關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．【詳解】解：，①②得，，，，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解二元一次方程組的解以及解一元一次不等式，解答此題的關(guān)鍵是把m當(dāng)作已知條件表示出2x+y的值，再得到關(guān)于m的不等式．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·校考三模）平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)位于第二象限，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】根據(jù)點(diǎn)在第二象限得出不等式組，求出不等式組的解集即可．【詳解】解：點(diǎn)位于第二象限，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)和解一元一次不等式組，能根據(jù)點(diǎn)的位置得出不等式組是解此題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇鹽城·校考二模）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再求交集，最后在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】解：，解不等式，得，解不等式，得，因此，該不等式的解集為，在數(shù)軸上表示為：【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，用數(shù)軸表示不等式組的解集，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)軸上空心點(diǎn)與實(shí)心點(diǎn)的區(qū)別．4．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）解不等式組：【答案】【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，再寫(xiě)出公共部分即可得到不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式組的解集是．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組得步驟是解題的關(guān)鍵．【題型3：一元一次不等式與一元一次不等式組的應(yīng)用】【典例31】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）為推進(jìn)全民健身設(shè)施建設(shè)，某體育中心準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，具體信息如下：信息—工程隊(duì)每天施工面積（單位：）每天施工費(fèi)用（單位：元）甲3600乙x2200信息二甲工程隊(duì)施工所需天數(shù)與乙工程隊(duì)施工所需天數(shù)相等．(1)求x的值；(2)該工程計(jì)劃先由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工若干天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)施工，兩隊(duì)共施工22天，且完成的施工面積不少于．該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費(fèi)用?【答案】(1)x的值為600(2)該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費(fèi)用56800元【分析】（1）根據(jù)題意甲工程隊(duì)施工所需天數(shù)與乙工程隊(duì)施工所需天數(shù)相等列出分式方程解方程即可；（2）設(shè)甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工天，體育中心共支付施工費(fèi)用元，根據(jù)先由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工若干天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)施工，兩隊(duì)共施工22天，且完成的施工面積不少于列出不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意列方程，得．方程兩邊乘，得．解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．所以，原分式方程的解為．答：x的值為600．（2）解：設(shè)甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工天，體育中心共支付施工費(fèi)用元．則．，．1400>0，隨的增大而增大．當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為56800．答：該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費(fèi)用56800元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【典例32】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某校舉行“二十大知識(shí)學(xué)習(xí)競(jìng)賽”活動(dòng)，老師讓班長(zhǎng)小華到商店購(gòu)買(mǎi)筆記本作為獎(jiǎng)品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）．(1)若班長(zhǎng)小華在甲商店購(gòu)買(mǎi)，他發(fā)現(xiàn)用240元購(gòu)買(mǎi)硬面筆記本與用195元購(gòu)買(mǎi)軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價(jià)．(2)若班長(zhǎng)小華在乙商店購(gòu)買(mǎi)硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價(jià)不變）：一次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出．班長(zhǎng)小華打算購(gòu)買(mǎi)本硬面筆記本（為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購(gòu)買(mǎi)5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià)．【答案】(1)甲商店硬面筆記本的單價(jià)為16元(2)乙商店硬面筆記本的原價(jià)18元【分析】（1）根據(jù)“硬面筆記本數(shù)量=軟面筆記本數(shù)量”列出分式方程，求解檢驗(yàn)即可；（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價(jià)為a元，則軟面筆記本的單價(jià)為元，由再多購(gòu)買(mǎi)5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用相同可得，再根據(jù)且m，均為正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)硬面筆記本的單價(jià)為x元，則軟面筆記本的單價(jià)為元，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，且符合題意，故甲商店硬面筆記本的單價(jià)為16元；（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價(jià)為a元，則軟面筆記本的單價(jià)為元，由題意可得，解得，根據(jù)題意得，解得，為正整數(shù)，，，，，，分別代入，可得，，，，，由單價(jià)均為整數(shù)可得，故乙商店硬面筆記本的原價(jià)18元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出相應(yīng)方程．1．（2015·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）某種商品進(jìn)價(jià)為元，標(biāo)價(jià)元，由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷(xiāo)售，但要保證利潤(rùn)率不低于，則至多可以打（）折．A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)至多打折，用標(biāo)價(jià)折扣進(jìn)價(jià)得出利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)率不低于，列不等式求解．【詳解】解：設(shè)至多打折，由題意得，，解得：．答：至多打折．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出打折之后的利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)率不低于，列不等式求解．2．（2023·江蘇泰州·校考三模）某公司要招聘一名職員，根據(jù)實(shí)際需要，從學(xué)歷、能力和態(tài)度三個(gè)方面對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚喉?xiàng)目應(yīng)聘者甲乙丙學(xué)歷988能力768態(tài)度585公司將學(xué)歷、能力、態(tài)度按的比例確定每個(gè)人的最終得分，并以此為依據(jù)最終丙被錄取，則m的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)題可得，再由，可得，然后根據(jù)以此為依據(jù)最終丙被錄取，可得到關(guān)于m的不等式組，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴，∵，∴，解得：，∵以此為依據(jù)最終丙被錄取，∴，解得：，∴m的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了加權(quán)平均數(shù)，不等式組的應(yīng)用，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┠吵袖N(xiāo)售、兩款酒精消毒液，若購(gòu)買(mǎi)2瓶款和4瓶款酒精消毒液需要110元；購(gòu)買(mǎi)3瓶款和2瓶款酒精消毒液需要85元．(1)求、兩款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)；(2)某單位準(zhǔn)備用不超過(guò)1000元購(gòu)買(mǎi)這兩款酒精消毒液共60瓶，求至少需購(gòu)買(mǎi)多少瓶款酒精消毒液．【答案】(1)款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)為元，款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)為元；(2)40瓶【分析】（1）設(shè)款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)為元，款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設(shè)需購(gòu)買(mǎi)瓶款酒精消毒液，則購(gòu)買(mǎi)瓶款酒精消毒液，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)為元，款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)為元，根據(jù)題意得，解得：答：款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)為元，款酒精消毒液的銷(xiāo)售單價(jià)為元；（2）解：設(shè)需購(gòu)買(mǎi)瓶款酒精消毒液，則購(gòu)買(mǎi)瓶款酒精消毒液，根據(jù)題意得，解得：，為正整數(shù)，則最小正整數(shù)為答：至少需購(gòu)買(mǎi)瓶款酒精消毒液．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組與不等式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇鹽城·?？级＃〢、B兩地相距，甲車(chē)從A地駛往B地，乙車(chē)從B地以的速度勻速駛往A地，乙車(chē)比甲車(chē)晚出發(fā)．設(shè)甲車(chē)行駛的時(shí)間為x（），甲、乙兩車(chē)離A地的距離分別為，圖中線段表示與x的函數(shù)關(guān)系．(1)若兩車(chē)同時(shí)到達(dá)目的地．①a的值為．②在圖中畫(huà)出與x（）的函數(shù)圖像；(2)若甲、乙兩車(chē)在距A地至之間的某處相遇，求a的取值范圍．【答案】(1)①，②圖見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①乙車(chē)從B地以的速度勻速駛往A地，兩車(chē)同時(shí)到達(dá)目的地,求出乙車(chē)行駛時(shí)間為，則，即可得到乙車(chē)比甲車(chē)晚出發(fā)，即，②根據(jù)①中數(shù)據(jù)即可畫(huà)出圖象；（2）求得，，由得，當(dāng)時(shí)，，則，解不等式即可得答案．【詳解】（1）解：①∵乙車(chē)從B地以的速度勻速駛往A地，兩車(chē)同時(shí)到達(dá)目的地，∴乙車(chē)行駛時(shí)間為，∵，∴乙車(chē)比甲車(chē)晚出發(fā)，即，故答案為：②圖象如下：（2）解：根據(jù)題意得：甲的速度為，∴，，由得：，當(dāng)時(shí)，，∵甲、乙兩車(chē)在距A地至之間的某處相遇，∴，解得，∴a的范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．1．若，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由，可得，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，由，可得，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，由，可得，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，原變形正確，符合題意；故選：D．2．不等式在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了用數(shù)軸表示不等式的解集，根據(jù)，則用數(shù)軸表示不等式的解集，即可作答．【詳解】解：因?yàn)樗圆坏仁皆跀?shù)軸上表示為：故選：A3．不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的方法步驟解答即可．【詳解】解：，去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：，故選：A．4．如圖表示某個(gè)不等式組的解集，這個(gè)不等式組可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察數(shù)軸上表示的解集，判斷即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得：，則這個(gè)不等式可以是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．5．一本書(shū)共98頁(yè)，張力讀了一周（7天）還沒(méi)讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁(yè)．若設(shè)張力平均每天讀x頁(yè)，則由題意列出不等式組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由“張力讀了一周（7天）還沒(méi)讀完，而李永不到一周就已讀完”可建立不等式組．【詳解】解：設(shè)張力平均每天讀x頁(yè)，則李永平均每天讀頁(yè)由“張力讀了一周（7天）還沒(méi)讀完”可得：由“李永不到一周就已讀完”可得：故：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查列一元一次不等式組．正確理解題意是解題關(guān)鍵．6．根據(jù)數(shù)量關(guān)系“的2倍小于5”，可列不等式．【答案】/【分析】本題考查的是列一元一次不等式，根據(jù)題意正確列式即可．【詳解】解：“的2倍小于5”可列不等式，故答案為：．7．不等式的正整數(shù)解是．【答案】1【分析】此題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解，關(guān)鍵是首先移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，算出不等式的解集，再在解集范圍內(nèi)找出符合條件的正整數(shù)解．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，把的系數(shù)化為1得：，則正整數(shù)解為：1．故答案為：1．8．不等式組的解集是．【答案】【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．9．如果，那么填“>”、“<”或“=”【答案】【分析】根據(jù)不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；由依次運(yùn)算即可；【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，注意兩邊乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)要改變不等號(hào)的方向．10．陳老師購(gòu)了一批筆記本，用于獎(jiǎng)勵(lì)期中考試成績(jī)優(yōu)異和進(jìn)步快的同學(xué)，同學(xué)們想知道筆記本的本數(shù)，陳老師讓他們猜．陳茜說(shuō)：“至少13本．”江涵說(shuō)：“至多11本．”江月說(shuō)：“至多8本．”陳老師說(shuō)：“你們?nèi)齻€(gè)人都說(shuō)錯(cuò)了”．則這批筆記本有本．【答案】12【分析】設(shè)這批筆記本有x本，根據(jù)三個(gè)人的說(shuō)法都不正確，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x(chóng)為正整數(shù)，即可確定x的值．【詳解】解：設(shè)這批筆記本有x本，依題意得：，解得：11＜x＜13．又∵x為正整數(shù)，∴x＝12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．11．（1）計(jì)算：；（2）解不等式組．【答案】（1）；（2）無(wú)解【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是：（1）先算乘方，絕對(duì)值和開(kāi)方，再算加減法；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，再確定不等式組的解集．【詳解】解：（1）；（2），解不等式得：，解不等式得：，∴不等式組無(wú)解．12．解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】本題考查了解一元一次方程組，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式組的解集為，不等式組的解集在數(shù)軸上表示為

．13．解不等式組清按下列步驟完成解答．(1)解不等式①，得：____________；(2)解不等式②，得：____________．(3)在直線上建立數(shù)軸，并將不等式①和②的解集表示在數(shù)軸上：____________(4)利用數(shù)軸，可以直觀看出兩個(gè)不等式解集的公共部分，從而得到原不等式組的解集為：____________．【答案】(1)(2)(3)見(jiàn)解析(4)【分析】分別解這兩個(gè)不等式，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，找到解集的公共部分即可得到原不等式組的解集．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)，得：，合并同類(lèi)型，得：，系數(shù)化為1，得：，解不等式①，得：，故答案為：；（2）解：，去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：，解不等式②，得：，故答案為：；（3）解：將不等式①和②的解集表示在數(shù)軸上：（4）直觀看出兩個(gè)不等式解集的公共部分，從而得到原不等式組的解集為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)軸上找到解集的公共部分是解題的關(guān)鍵．14．某商店老板銷(xiāo)售一種商品，該商品進(jìn)價(jià)為200元，標(biāo)價(jià)為360元．活動(dòng)期間要降價(jià)銷(xiāo)售，他要以不低于進(jìn)價(jià)的利潤(rùn)才能出售，求商店老板最多可以降價(jià)多少元？【答案】120元【分析】設(shè)商店老板降價(jià)x元，根據(jù)題意列出不等式，求解不等式即可．【詳解】解：設(shè)商店老板降價(jià)x元，由題意得，，解得，答：商店老板最多可以降價(jià)120元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，理清題意，找準(zhǔn)不等關(guān)系，列出不等式是解題的關(guān)鍵．15．在我?！皵?shù)學(xué)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)”中，學(xué)生使用甲、乙兩種原料配制奶茶．兩種原料的蛋白質(zhì)含量及價(jià)格如下表：原料甲乙蛋白質(zhì)的含量/（單位/kg）600100原料價(jià)格/（元/kg）84(1)現(xiàn)配制這種奶茶10kg，要求至少含有4200單位的蛋白質(zhì)，求出所需甲種原料的質(zhì)量x（kg）的取值范圍．(2)如果僅要求購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種原料的費(fèi)用不超過(guò)72元，求所需甲種原料的質(zhì)量x（kg）的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)需要甲種原料，則需要乙種原料，然后根據(jù)要求至少含有4200單位的蛋白質(zhì)列出不等式求解即可；（2）根據(jù)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種原料的費(fèi)用不超過(guò)72元結(jié)合（1）所求，建立關(guān)于x的不等式組進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)需要甲種原料，則需要乙種原料，由題意得，∴，解得；（2）解：由題意得，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．1．八年級(jí)某小組同學(xué)去植樹(shù)，若每人平均植樹(shù)7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹(shù)9棵，則有1位同學(xué)有植樹(shù)但植樹(shù)棵數(shù)不到3棵．則同學(xué)人數(shù)為（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人【答案】A【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，設(shè)同學(xué)人數(shù)為x人，植樹(shù)的棵數(shù)為棵，有植樹(shù)但植樹(shù)棵數(shù)不到3棵意思是植樹(shù)棵數(shù)在1棵和3棵之間，包括1棵，不包括3棵，關(guān)系式為：植樹(shù)的總棵數(shù)，植樹(shù)的總棵數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入列出不等式組，解不等式組即可得解，得到植樹(shù)總棵數(shù)和預(yù)計(jì)植樹(shù)棵數(shù)之間的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)同學(xué)人數(shù)為x人，植樹(shù)的棵數(shù)為棵，∵有1位同學(xué)有植樹(shù)但植樹(shù)的棵數(shù)不到3棵，植樹(shù)的總棵數(shù)為棵，∴可列不等式組為解不等式組得：，∵人數(shù)要取非負(fù)整數(shù)，∴故選：A．2．已知點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第二象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查坐標(biāo)于軸對(duì)稱，以及象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)特征．根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)第二象限的點(diǎn)的符號(hào)特征，列出不等式組，求解即可．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∵在第二象限，∴，解得：；故選C．3．若不等式組無(wú)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得；由，得，原不等式組無(wú)解，，解得．故選D．【易錯(cuò)點(diǎn)分析】學(xué)生在解決有解無(wú)解題目時(shí)，弄不清是否取等號(hào)導(dǎo)致出錯(cuò)，最好的做法是將取等的值代入化簡(jiǎn)后的方程組，看是否成立．4．在方程組中，若未知數(shù)x、y滿足，則m的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】將方程組中的兩個(gè)方程相加可得：進(jìn)而得到，然后再結(jié)合即可解答；掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將方程組中的兩個(gè)方程相加可得：，則，∵，∴，解得：，故選：C．5．已知點(diǎn)，點(diǎn)，均在拋物線上，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的增減性，根據(jù)，求出對(duì)稱軸為，進(jìn)而求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，根據(jù)，得到拋物線的開(kāi)口向下，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為，∵，∴拋物線的開(kāi)口向下，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∴，∴或解得：；故選：B．6．現(xiàn)有150噸泥沙需要搬運(yùn)，搬運(yùn)的貨車(chē)每輛的承載量為4噸，則至少需要輛貨車(chē)才能把這些泥沙一次性搬運(yùn)完畢．【答案】38【分析】假設(shè)至少需要輛貨車(chē)才能把這些泥沙一次性搬運(yùn)完畢，可列不等式，由于是正整數(shù)，所以可求得答案．本題主要考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)至少需要輛貨車(chē)才能把這些泥沙一次性搬運(yùn)完畢．則由題意得．解得．由于應(yīng)為正整數(shù)．所以．故答案為38．7．關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸，列不等式，解不等式，掌握二次函數(shù)圖像特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在和的中點(diǎn)時(shí)，在和的地方都取得最大值；當(dāng)對(duì)稱軸在和的中點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，在時(shí)取得最大值；當(dāng)對(duì)稱軸在和的中點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，在時(shí)取得最大值，因此，即．【詳解】解：根據(jù)題意分析，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值，當(dāng)對(duì)稱軸在范圍內(nèi)時(shí)，，解得：，時(shí)，函數(shù)在和的地方都取得最大值．當(dāng)對(duì)稱軸不在范圍內(nèi)時(shí)，此時(shí)對(duì)稱軸一定在的左面，∴，解得：，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：．8．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組無(wú)解，且使關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．【答案】22【分析】本題考查了解一元一次不等式組與解分式方程；先求出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組無(wú)解確定a的取值范圍，然后再解分式方程，根據(jù)分式方程有非負(fù)數(shù)解，得到a的取值范圍，進(jìn)而得到滿足條件的整數(shù)a的值之和即可．根據(jù)題目的條件確定常數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：解不等式組可得，∵不等式組無(wú)解，∴，解得：，解分式方程：，可得，又∵分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴，且，解得且，∴且，∴滿足條件的整數(shù)a的值為1，5，7，9，∴滿足條件的整數(shù)a的值之和是22．故答案為：22．9．如圖，，現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線、上．從點(diǎn)開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中為第一根小棒，且，若只能擺放5根小棒，的取值范圍為．【答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形“等邊對(duì)等角”，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理推出，，，，，根據(jù)只能擺放5根小棒，列出不等式組求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理可得：，，∵只能擺放5根小棒，∴，解得：，故答案為：．10．對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，給出如下定義：若，則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A的縱變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的縱變點(diǎn)是．若點(diǎn)滿足，P的縱變點(diǎn)為，且，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了新定義下的運(yùn)算和解不等式組，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義“縱變點(diǎn)”，解不等式時(shí)注意不等號(hào)兩邊乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)不等號(hào)方向要改變．根據(jù)縱變點(diǎn)的定義分兩種情況討論分別得出不等式組求解即可．【詳解】，①當(dāng)時(shí)，，，解得：；②當(dāng)時(shí)，，，無(wú)解，綜上所述，的取值范圍是．故答案為：．11．解不等式（組）(1)(2)，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解簡(jiǎn)單不等式的能力，解答這類(lèi)題學(xué)生往往在解題時(shí)不注意移項(xiàng)要改變符號(hào)這一點(diǎn)而出錯(cuò)．解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，在不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號(hào)的方向不變；在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變；在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變．利用不等式的性質(zhì)和求不等式組解集的口訣解題即可．【詳解】（1）化簡(jiǎn)可得，即．在數(shù)軸上表示不等式的解集如圖所示：．（2）解不等式①可得：解不等式②可得：不等式解集為，在數(shù)軸上表示不等式組的解集如圖所示：

．12．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義關(guān)于@的一種運(yùn)算如下：，例如：，．(1)若，求x的取值范圍；(2)已知關(guān)于x的方程的解滿足，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元一次不等式，解一元一次方程．根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式，正確的解一元一次不等式、一元一次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式，求解即可；（2）先解關(guān)于x的方程得出，再將代入由列出的關(guān)于a的不等式中，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，解得，；（2）解：，去括號(hào)得，，移項(xiàng)合并得，，系數(shù)化為1得，，∵，關(guān)于x的方程的解滿足，∴，解得，．13．某玩具商店為了兒童節(jié)提前儲(chǔ)備貨物，用3000元購(gòu)進(jìn)一批兒童玩具，接著又用5400元購(gòu)進(jìn)第二批這種玩具，所購(gòu)數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進(jìn)價(jià)多了10元．(1)求第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)是多少元？(2)兒童節(jié)期間，為了促銷(xiāo)全店商品打7折銷(xiāo)售，該玩具全部售完并且總利潤(rùn)不低于25%，那么每套玩具打折前的標(biāo)價(jià)至少是多少元？【答案】(1)第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)是50元；(2)每套玩具打折前的標(biāo)價(jià)至少是100元．【分析】本題主要考查分式方程與一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）設(shè)第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)是x元，則第二批玩具每套的進(jìn)價(jià)是元，由題意易得，然后求解即可；（2）設(shè)每套玩具打折前的標(biāo)價(jià)是y元，由題意易得，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)是x元，則第二批玩具每套的進(jìn)價(jià)是元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，符合題意，答：第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)是50元；（2）解：設(shè)每套玩具打折前的標(biāo)價(jià)是y元，（套），（套）．，解得：，答：每套玩具打折前的標(biāo)價(jià)至少是100元．14．習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“人民群眾多讀書(shū)，我們的民族精神就會(huì)厚重起來(lái)、深邃起來(lái)．”某書(shū)店計(jì)劃在4月23日世界讀書(shū)日之前，同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，B兩類(lèi)圖書(shū)，已知購(gòu)進(jìn)3本A類(lèi)圖書(shū)和4本B類(lèi)圖書(shū)共需288元；購(gòu)進(jìn)6本A類(lèi)圖書(shū)和2本B類(lèi)圖書(shū)共需306元．(1)A，B兩類(lèi)圖書(shū)每本的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)該書(shū)店計(jì)劃用4500元全部購(gòu)進(jìn)兩類(lèi)圖書(shū)，設(shè)購(gòu)進(jìn)A類(lèi)x本，B類(lèi)y本．①直接寫(xiě)出y關(guān)于x的關(guān)系式；②進(jìn)貨時(shí)，A類(lèi)圖書(shū)的購(gòu)進(jìn)數(shù)量不少于60本，已知A類(lèi)圖書(shū)每本的售價(jià)為38元，B類(lèi)圖書(shū)每本的售價(jià)為50元，若書(shū)店全部售完可獲利W元，求W關(guān)于x的關(guān)系式，并說(shuō)明應(yīng)該如何進(jìn)貨才能使書(shū)店所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少元？【答案】(1)A類(lèi)圖書(shū)36元/本，B類(lèi)圖書(shū)45元/本．(2)①；②，當(dāng)購(gòu)進(jìn)A類(lèi)圖書(shū)60本，B類(lèi)圖書(shū)52本可獲得最大利潤(rùn)380元．【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，列出方程和不等式組，建立函數(shù)關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A類(lèi)圖書(shū)每本a元，B類(lèi)圖書(shū)每本b元，根據(jù)題意建立二元一次方程組求解．（2）①根據(jù)用4500元全部購(gòu)進(jìn)兩類(lèi)圖書(shū)可求出函數(shù)關(guān)系式．②先求w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值．【詳解】（1）設(shè)A類(lèi)圖書(shū)每本a元，B類(lèi)圖書(shū)每本b元，由題意得：，∴．答：A類(lèi)圖書(shū)36元/本，B類(lèi)圖書(shū)45元/本．（2）①∵用4500元全部購(gòu)進(jìn)兩類(lèi)圖書(shū)，∴，∴，②由題意得：．∵，，∴．∵，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y最大（元）．（本）．∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A類(lèi)圖書(shū)60本，B類(lèi)圖書(shū)52本可獲得最大利潤(rùn)380元．15．新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．(1)在方程①；②；③中，不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”是____________；（填序號(hào)）(2)關(guān)于x的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，求k的取值范圍；(3)若關(guān)于x的方程是關(guān)于x的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，且此時(shí)不等式組有3個(gè)整數(shù)解，試求m的取值范圍．【答案】(1)②③(2)(3)【分析】此題考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式組的的解法，讀懂題意，正確解一元一次方程和一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．（1）解方程和不等式組后，根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）解方程和不等式組后，再解關(guān)于k的不等式組即可；（3）解方程和不等式組后，再解關(guān)于m的不等式組，由不等式組有3個(gè)整數(shù)解得到新的不等式組，解新不等式組后，取兩個(gè)不等式組解集的公共部分即可．【詳解】（1）解：①去括號(hào)得，，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，；②去分母得，，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，；③移項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，；解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為，和在的范圍內(nèi)，所以方程②和③是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．故答案為：②③．（2）解得，解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式組的解集為，∴，解得；（3）去分母得，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，；解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式組的解集為∴，解得，∵不等式組有3個(gè)整數(shù)解，∴，解得，∴1．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若a＞b，則下列等式一定成立的是（）A．a(chǎn)＞b+2 B．a(chǎn)+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本選項(xiàng)不合題意；B、若a＞b，則a+1＞b+1，故本選項(xiàng)符合題意；C、若a＞b，則﹣a＜﹣b，故本選項(xiàng)不合題意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2020·江蘇常州·中考真題）如果，那么下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、由x＜y可得：，故選項(xiàng)成立；B、由x＜y可得：，故選項(xiàng)不成立；C、由x＜y可得：，故選項(xiàng)不成立；D、由x＜y可得：，故選項(xiàng)不成立；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，有理數(shù)大小的比較法則對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得：a＜0＜b，且＜，∴，∴A選項(xiàng)的結(jié)論不成立；，∴B選項(xiàng)的結(jié)論不成立；，∴C選項(xiàng)的結(jié)論不成立；，∴D選項(xiàng)的結(jié)論成立．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)大小的比較法則，利用點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定出a，b的取值范圍是解題的關(guān)鍵．4．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】解：移項(xiàng)得，2x≤3+1，合并同類(lèi)項(xiàng)得，2x≤4，系數(shù)化為1得，x≤2，在數(shù)軸上表示為：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集時(shí)≥，≤要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；＜，＞要用空心圓點(diǎn)表示”是解答此題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)即可得出答案．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式組只有3個(gè)整數(shù)解，即5，6，7，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式，并根據(jù)不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)得出關(guān)于的不等式組．6．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）不等式的最大整數(shù)解是．【答案】3【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法即可得．【詳解】解：不等式的解集是，則不等式的最大整數(shù)解是3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關(guān)鍵．7．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）不等式組的解集是．【答案】x＞1【分析】解不等式x+2＞0得x＞﹣2，結(jié)合x(chóng)＞1，利用口訣“同大取大”可得答案．【詳解】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，又x＞1，∴不等式組的解集為x＞1，故答案為：x＞1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)、分別表示實(shí)數(shù)、，則．（填“>”、“=”或“<”）【答案】【分析】由圖可得：，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：由圖可得：，由不等式的性質(zhì)得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)．9．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在第二象限，則整數(shù)m的值為．【答案】2【分析】根據(jù)第二象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0列出不等式組，然后求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，∴整數(shù)m的值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)及解一元一次不等式組，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）已知一次函數(shù)，若對(duì)于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意和一次函數(shù)的性質(zhì)可得到，然后求解即可．【詳解】解：一次函數(shù)，隨的增大而增大，對(duì)于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，明確題意，列出正確的不等式是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：【答案】【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程組（2）解不等式組【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用代入法解二元一次方程組即可；（2）求出每個(gè)不等式的解集，取每個(gè)不等式解集的公共部分即可．【詳解】解：（1）把①代入②得，，解得，把代入①得，，∴；（2）解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式組的解集是．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解法和一元一次不等式