2023屆重慶市部分學(xué)校高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末效果驗(yàn)收數(shù)學(xué)試題

重慶市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期末效果驗(yàn)收

數(shù)學(xué)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={幻/<25},B={-5,-3,-1,0,1,3,5},則A[8=()

A.3一5,-3,—l,0,l,3,5}B.{X|3<%<5)

C.1x|—5<x<5jD.|x|3<%<51

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=>!■一立i,則《對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限()

22|z|

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是()

C.y^e2'D.y=log](x+?J

4.已知(2+狗(1-6)'(aeR)的展開式中的有理項(xiàng)的系數(shù)和為48,則。=()

A.3B.2C.1D.4

5.定義在R+上的函數(shù)/(x),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{4},使{/(4)}變?yōu)榈炔顢?shù)列，

則稱/(x)為“變比差函數(shù)”.則選項(xiàng)中定義在IV上函數(shù)是“變比差函數(shù)”的是()

A./(%)=2x4-1B./(x)=lgxC./(x)=x2D.f(x)=x3

6.已知函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，且=-/(x),且當(dāng)xdo,：時(shí)，f(x)=2x-3,則

/(-2021)+/(2022)-/(-2023)的值為()

A.4B.-4C.OD.-6

22

7.已知雙曲線工=的左、右焦點(diǎn)分別是6,居，過點(diǎn)大的且垂直于X軸的直

ah

線與雙曲線交于A,8兩點(diǎn)，現(xiàn)將平面A"鳥沿耳鳥所在直線折起，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P處，使二面角

P-耳6的平面角的大小為3(),且三棱錐P-丹的體積為』/c,則雙曲線的離心率為

6

()

A.72B.Gc.2D.75

8.如圖，在長(zhǎng)方體ABCQ-A4GR中，AB=及BC=4iB\B=E,ACBD=O,

E為線段BC上動(dòng)點(diǎn)，則下列說法不正確的是()

A.三棱錐3-ADE體積為定值

B.若尸為OE上一動(dòng)點(diǎn)，三棱錐。-AGP表面積不為定值

C.若尸為四邊形ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且RP與CG所成角的大小為￡，則線段AP所掃過的面

6

積為工

6

D.OE與AG所成角的最大值為90°

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如果平面向量”=(1,-2),h=(Y,3),那么下列結(jié)論正確的是()

A.aLbB.a//(3a+b^

7

C.|a+W=AD.向量a+b在a上的投影向量為-不。

10.下列四個(gè)命題中為真命題的是。

A."a〈b”是"Cie：be2”的必要不充分條件

B.設(shè)是兩個(gè)集合，則“A8=A”是“AqB”的充要條件

C.“Vx>0,ex>0”的否定是“3x<O,ex<On

D.8名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)分別為：80,68,90,70,88,96,89,98,則該數(shù)學(xué)成績(jī)的15%分位數(shù)為

70

11.函數(shù)/(x)=26cos(2(wx-g-2sin26yx的圖象如圖所示，將其向左平移出個(gè)單位

長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為24

B.函數(shù)g(x)的圖象上存在點(diǎn)P,使得在P點(diǎn)處的切線與直線x-2y+l=0垂直

C.函數(shù)y=g(x)-sinx的圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱

D.函數(shù)g(2x+§在-上單調(diào)遞減

12.若圓G：(x-4+(y-?！?16與圓G：f+(y—4二儕佳〉。)的公共弦AB所在的直線

方程為2ov+2)y-7=0,則下列結(jié)論正確的有()

A.a=2,b=1

B.網(wǎng)=考

C.兩圓公切線的四個(gè)切點(diǎn)所圍成的四邊形面積為32挺

D.對(duì)任意ZwR,在直線y=Mx+l)上總存在一點(diǎn)P,則使過點(diǎn)尸所作的圓C2的兩條切線互

相垂直

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分，我國古人認(rèn)為，世界物

質(zhì)可分五類：木、火、土、金、水，五物又與五色相對(duì)應(yīng)，青、赤、黃、白、黑，反映到人的

身心上又分別與憂愁、驚恐、喜慶、哭泣、疾病相對(duì)應(yīng)，若從木、火、土、金、水五類物質(zhì)和

憂愁、驚恐、喜慶、哭泣、疾病五種身心中各任選2類元素，求取出2類物質(zhì)與2種身心相對(duì)

應(yīng)的概率為.

14.設(shè)點(diǎn)P為拋物線f=4y上到直線2x-y-6=0距離最短的點(diǎn)，且在點(diǎn)P處的切線與x軸和

>軸的交點(diǎn)分別是M和N,則過兩點(diǎn)的最小圓截拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)為.

r-

15.已知aeR+/eR+,且a+Z?=l,則①一1+——4>9-,②2"+2”<28，③0<lna」nb<l,

al+b2

④j4a+l+j4b+lW2?,正確的有（請(qǐng)把正確的序號(hào)全部填在橫線上）.

Inx0

16.若函數(shù)〃x）=丁一a，”>U恰有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為.

x2+2x-a,x<0

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.（10分）已知數(shù)列｛%｝各項(xiàng)都不為0,前”項(xiàng)和為S“，且，數(shù)列也｝滿足仇=-1",用=么+〃.

□

在①3a“—2=S“，②4=2，2sM=3S“+2,③4=1，且愴國是館4一和lg2的等差中項(xiàng)這

三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線處解答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）令％=苦，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為T”.

18.（12分）在乙鉆。中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2》+tanA=2tanAcos2上+c,/\ABC

2

的外接圓的直徑為1.

（1）求角A的大小；

（2）若且在平面ABC內(nèi)存在點(diǎn)E,滿足8E=±AC-士A8,求△8CE面積的最大值.

333

19.（12分）為幫助特殊兒童較好的進(jìn)行康復(fù)治療，需要購買某種康復(fù)治療儀2臺(tái)，具體購買

方式為：購進(jìn)儀器同時(shí)購買部分耗材，每個(gè)400元，在使用期間耗材不足時(shí)再購買，每個(gè)1000

元.已知2（）（）臺(tái)這種治療儀在使用期內(nèi)更換耗材情況如下表：

(1)記J表示2臺(tái)機(jī)器使用期內(nèi)共需更換的耗材數(shù)，求J的分布列(以頻率代替概率)；

(2)要使使用期內(nèi)耗材平均費(fèi)用最低，試說明購買機(jī)器的同時(shí)購買的耗材數(shù)為22和24,哪種

更合適？

20.(12分)如圖，在直三棱柱ABC-AMG中，已知分別為AA，AC的中點(diǎn)，。為線段

BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且4c=8C=2,44=20.

(1)若AA=4,求四棱錐8-AC。的體積；

(2)若直線AQ與平面48片4所成的角的大小為30。，求平面QMN與平面所成角的正

弦的最小值，并確定此時(shí)點(diǎn)。的位置.

21.(12分)已知橢圓C§+*l(a>b>0)的中心在原點(diǎn)，且焦距為4,離心率為0=豐.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓外一點(diǎn)，右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)P的橢圓的兩條切線方程的斜率分別為勺,心,

且加=4?自，且帆設(shè)亭，設(shè)|弘|的最小值為f，求f的最大值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)滿足/(x)=/<l)lnx+；x2+(/(e)—e)x+；e2.

(1)求/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(2)令g(x)=?r/'(x)+D-2+1,若g(x)?-2恒成立，求。的取值范圍.

xaa

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1【答案】C

2【答案】C

3【答案】A

4【答案】C

5【答案】B

6【答案】B

7【答案】A

8【答案】D

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9【答案】CD

10【答案】ABD

11【答案】ABD

12【答案】AD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.

【答案】-

10

14.

【答案】4

15.

【答案】①③

16.

【答案】^-1,-1

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.

【答案】(1)見解析；(2)1=8+3(〃—4)X(?).

【解析】(1)選①，由34-2=S"，可得又%-2=S,i(在2),

3

兩式相減得3a“—3a,i==%，整理得an,

a

因?yàn)閿?shù)列｛4｝各項(xiàng)都不為0,所以數(shù)列｛4｝是以|■為公比的等比數(shù)列.

令〃=1,則34—2=S]=q,解得q=1,

故4=5-

選②，由2s向=35“+2,可得2S〃=3Se+2（〃之2），

=a9

兩式相減得2?！?]=3%,整理得an+｝^n

因?yàn)閿?shù)列｛q｝各項(xiàng)都不為0,所以從第2項(xiàng)起，數(shù)列｛a,,｝是以|■為公比的等比數(shù)列,

o（o2z21

且七、〃-]、〃-（》）.

令〃=1,則2q+2/=3q+2,解得4=1,滿足上式.

吟唱]

選③，因?yàn)?g庖是lg<%和lg3的等差中項(xiàng)，

所以lga,i+lg3=21g廊，計(jì)算得見=|《1，

因?yàn)閿?shù)列｛4｝各項(xiàng)都不為O,所以數(shù)列｛《,｝是以1為首項(xiàng)之為公比的等比數(shù)列，

由2+1=>+〃，得2+1-bn=〃，

/、/\/\（〃一2）（〃+1）

則當(dāng)〃二2時(shí)，4=。+（4-耳）+他一州）+…+一如）=----y一-，

當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，所以瓦一L.

⑵由⑴得%=箸=（一）（|「，

所以q=0+4+,+C"=（T）x（"|+°x（"|++（"一2）x（'|），

》=(-l)x0+Ox[(|++5-2)x(|1

3L"丫“

—x1——

12\2J(3Y

兩式相減得一彳(=(―-------o------(〃—2)x—=-4+6——nx--

2j__12)\2)\2y

2

所以<=8+3(〃-4)

18.

【答案】(1)A=—；(2)—.

327

【解析】(1)因?yàn)?〃+tan4=2tanAcos2C+c,

2

(rA

所以(2。一c)cosA=2cos2---1sinA,B|J(2Z>—c)cosA=cosCsinA,

2J

因?yàn)锳A8C的外接圓的直徑為1,所以8=2RsinB=sin8,c=2RsinC=sinC,

所以2sinBcosA=sinAcosC-+-cosAsinC=sinB,

因?yàn)閟in3>0,所以COSA=—

2

因?yàn)锳w(O,;r),所以A=5.

(2)因?yàn)锽E=，AC-2A3,所以AB+BE=4(4C+AB),

333V>

設(shè)點(diǎn)。為ZJC中點(diǎn)，則AE=2A。，

3

[1>J3

所以SABCE=Z^^ABC=—bcsinA=~rbc.

5o12

由余弦定理Y=6+c2-乃ccosA,可得3=/+。2-兒2%,當(dāng)且僅當(dāng)h=c時(shí)，等號(hào)成立,

9

所以S&BCE=*bc<*,

出

所以ABCE面積的最大值為一.

19.

【答案】(1)分布列見解析；(2)22.

【解析】(1)每臺(tái)機(jī)器更換的耗材數(shù)為8,10,12,14,

。的可能的取值為16,18,20,22,24,26,28,

應(yīng)『J,P("18)=丈x里x2」,

%=16H

.200J16'720020020

(60丫504019

P(4=20)=

(200J20020010()

4060.49

H----x---x2=---

200200200

+幽X^

200200100

「口6)=輸粉24,

所以自的分布列為：

(2)購買耗材所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購買儀器時(shí)購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不

足時(shí)額外購買的費(fèi)用，

當(dāng)購買機(jī)器的同時(shí)購買的耗材數(shù)為22時(shí)，費(fèi)用的平均值為

400x22+1()(X)x2x—+1(X)()x4x—+1(X)()x6x—=9955；

1001()16

當(dāng)購買機(jī)器的同時(shí)購買的耗材數(shù)為24時(shí)，費(fèi)用的平均值為

400x24+1000x4x—+1000x6x—=10375,

1016

購買機(jī)器的同時(shí)購買的耗材數(shù)為22時(shí)更合適.

20.

【答案】(1)—;(2)見解析.

3

【解析】(1)證明：在直三棱柱ABC-46a中，有=

又因?yàn)锳C=3C=2,所以AC2+BC2=AB2,

所以ACJLBC,

因?yàn)槿庵鵄BC-451a是直三棱柱，所以

又CCJAC=C,所以BCJL平面AC￡4,

5X5CX4X2X2

所以匕￡1~A/l|CC]Ca71=-3ZAi|C|CC/l1=-3=—3?

（2）取44的中點(diǎn)E,連接AE，GE，

因?yàn)锳C=3C,所以GE，A4，

因?yàn)槿庵鵄BC-451a是直三棱柱，所以AA_LC|E,

又AAag=4,所以GE，平面ABB出.

所以NGAE為直線AG與平面ABB出所成的角，即ZQAE=30°,

在等腰直角三角形44G中，qE=；A\B[=五,

從而AG=2C1K=2形，所以AA,=JAC；-4C；=2,

以C為原點(diǎn)，以CA,CB,CC,為X,XZ軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

所以3（0,2,0），D（0,A,2）（0<A<2），M（2,0,l），N（l,0,0），

BM=(2-2,1),W=(-l,0,-l),QN=(l,-4-2),

2x-2y+z=0

設(shè)平面3Am的法向量為〃=(%,y,z),即＜

MNn=0-x-z=0

令z=2,得x=-2,y=-1,2,-1,2),

■

設(shè)平面。MN的法向量為機(jī)=(x0,y0,zo),=即卜「H「2z°=0

MN-/n=0[~xo一z。=0

令z()=2,得%=_2,%=_?,；.機(jī)=(-2,-4,2),

A,A

~~~248^

2+------+---------

4—6(2—6)7

人i11］曰?/\&Ii、4后

令（二---，貝ij/w一一,一一，且sin〈〃,m〉=----J—z------->-----，

A-6146」3Y81J+241+251

（當(dāng)r-L即2=2時(shí)，等號(hào)成立）

4

4國

二當(dāng)。點(diǎn)與四重合時(shí)，平面與平面BWV所成角的正弦的最小，最小值為一市.

21.

22________

【答案】（1）—+^-=1；（2）273-76.

62

【解析】（1）由題意可知，2c=4,e=￡=凈，所以。="，

a3

/.b1=a1—c1=6—4=2,

x2y2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為"+4=L

62

（2）由題意可知，兩條切線直線的斜率存在且不為零，

設(shè)過點(diǎn)P（Xfy,y0）的切線方程y-%=&（x-%），

,y-yQ=k（x-x0）

聯(lián)“，x2y2,

---1----1

I62

消去y可得（1+3女2卜2+6后（、0-.））》+3（為一-6=0,

由于直線與橢圓C相切，貝lJ/=36父（M,-K）2-4（1+3公）［3（%-5）2-6］=（）,

化簡(jiǎn)并整理得（片-6）^-2x0y0k+$一2=0.

因?yàn)閮蓷l切線方程的斜率分別為3及2，

2_2

所以kk=—V^，y：=mx^—6m+2,所以片+y（j=（1+加）%一6/篦+2，

12%—6

故|PF\=J*+y：-4%0+4=+-4%-6m+6,

易知當(dāng)/=--—時(shí)，有.=遍2—+——~-

m+\1lmin'「73（/n+l）

因?yàn)榫W(wǎng)所以/TZyLn=遍j2—('"+1)+3(204253-卡，

當(dāng)且僅當(dāng)*就可即―當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立’

22.

3

【答案】(1)2(e-l)\+2y-3r+4^-l=0;(2)-e<a<0.

f'(\\

【解析】⑴f'(x)=^-^+x+f(e)-e,令/1,得/(e)=e-l,

九

再由/(x)=r(l)lnx+g/_x+；e2,令x=e,得=

所以/(%)的解析式為/(x)=—(e—l)2lnx+g/7+92,

所以/⑴=?2-；，

所以切線方程為y—ge2+g=—(e—l)2(x-l),BP2(e-l)2x+2y-3e2+4e-l=0.

(2)結(jié)合(1),可得g(x)=?xf'(x)+—~—--@二+1=ax2-xlnx,

xa

因?yàn)間(x)<-2恒成立，所以ax2-x\nx+—<0恒成立，