高等數(shù)學(xué)公式手冊

高等數(shù)學(xué)公式手冊

一些初等函數(shù):兩個重要極限:

ex-e~x「sinx、

雙曲正弦:lim------二1

22°X

/+6一%

雙曲余弦:Mx=lim(l+-)x=e=2.718281828459045...

2%—8X

雙曲正切:比％=8生="

chxex

arshx=ln(x+Vx2+1)

archx=±]n(x+ylx2-1)

,111+x

artnx=-ln-----

21-x

三角函數(shù)公式:

?誘導(dǎo)公式：

角卜、sincostgetg

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

?和差角公式：?和差化積公式:

aBa—B

sin(cr±，)=sinacos/?±cosasin0sina+sin°=2sin-------cos-------

22

cos@±，)=cosacosA干sinasin0

a+B.a-B

sina-sin尸=2cos-----sin......-

tg(a力警嗎22

\+tga-tgf3a+/?cc—B

cosa+cos尸=2cos-----cos......-

ctg(a土B)-tga-ctg斷122

ctg/3±ctgaa+/7.ex,—B

cosa-cos尸=2sin-------sin-------

22

?倍角公式:

sin2。=2sincrcoscr

cos2a=2cos2cif-1=l-2sin2a=cos2a-sin?。sin3a=3sin6Z-4sin3a

ctg2a-lcos3a=4cos%—3cosa

ctgla=

2ctga墳3a="gaTg%

8

2tga1-37g2a

tg2a-

1—tg2a

■半角公式:

sin—=±cos—=±

22

a,l-cosa1-coscrsinaa,1+cosa1+cosasina

次萬=±ctS~=±

1+cosasincr1+cosa1-coscrsincr1-coscr

b

?正弦定理：——=2R■余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

JI71

■反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=----arccosxarctgx=arcctgx

2

導(dǎo)數(shù)公式:

J松磔三建松s.+c

xdx=tgx+C

2

卜陽”岷閾+。1-x

J(躡酬=/§演貂KgR+C

p(cscx)r=-cscx-ctgx.

cscxax=Incscx-c^+C

J(優(yōu))'二優(yōu)話〃1

rdx1x「

w＞之中t”

xina.

dx1ix-a

—2；——2———cIn+C

x-a2ax+ashxdx=chx+C

dx1a+x

=——In------+Cchxdx=shx+C

~a-x22aa-x

dx22

=arcsin—+C==ln(x+Vx±a)+C

J/aa2

7171

7I

/.=Jsinnxdx-^cos"xdx=^-^-In_2

0on

__________________2_________

JJ%)+十2dx=-J%?+十2+--]n(x+J-+十2)+C*

,______,_____2,_____

22

jVx-adx=—a2-----InX+Jd__|_c

2

_____2

j_%2=2a.%〃

—xH-----arcsin—FC

2a

基本積分表:

三角函數(shù)的有理式積分:

,2〃1—“2X72du

sinx=----y,cosx=----ydx=------

1+M1+〃4=及了1+w2

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式:

(-)(〃)伊)

后=0

+…+怨……+”*『+1)…+.?…

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理:f(b)-/(?)=/(4)@-a)

柯西中值定理J3H/S)=/也

F(b)-F(a)F?

當F(x)=x時，柯西中值定理就是立格朗日中值定理,

曲率：

弧微分公式：ds=+y'2dx，其中y=/ga

Na

平均曲率K=.Aa:從M點到M'點，切線斜率的傾角變化量；As：MM弧長。

A5

Atzda

M點的曲率：K=lim

加As1ds

直線：K=0;

半徑為a的圓：K=-

a

定積分的近似計算：

矩形法：j/(x)。+以+…+加)

a

梯形法+J?)+J,+…+%-J

a

夕b一0

拋物線法：Jf(x)H與丁[(%+笫)+2(%+%+…+以一2)+4(%+%+…+y?_1)]

a

定積分應(yīng)用相關(guān)公式:

功：W=Fs

水壓力：F=p-A

引力：F=k四*,k為引力系數(shù)

r

_ib

函數(shù)的平均值：y=----ff(x)dx

b-aa

1b

均方根:,J尸⑺力

b-aa

空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點的距離：d=\M,M2\=七)2+(%—%)?+?2—4)2

向量在軸上的投影Pr.cos。,夕是彳謾M軸的夾角。

Prju(用+無)=Prjal+Prja2

a-b=|a|-1^1cos^=axbx+ayby+?么,是一個數(shù)量

ab+ab+ab

兩向量之間的夾角￡OS0=xxyyzz

+〃「2?收+小42

'zV%yz

ijk

%用=同卡卜抽夕例:線速度:v=wxr.

c=axb=axYay,

bxby

/ayaz

b=B義年同cosa,a為銳角時,

向量的混合積3應(yīng)］=0X^)1=么byz

y

代表平行六面體的體積

平面的方程：

1、點法式：A(x-xo')+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中力=｛人民。｝/。5,%*。)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=Q

3、截距世方程)+)+二=1

abc

平面外任意一點到該邛面的距離：d」Axo+3%+Cz°+q

^A2+B2+C2

x=mt

空間直線的方程=至=匕九==^=￡,其中8=｛加,〃,0;參數(shù)方程=

mnp

[z=z。+p/

二次曲面：

222

±

1、橢球面月■+'+T=l

a2b-c2

22

2、拋物面/-+匕=z,(p,q同號)

2P2q

3、雙曲面：

222

單葉雙曲面'+二-一=1

abc

222

雙葉雙曲面'-二+-=1(馬鞍面)

atrc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

人4崛八j法」8z,,du,8u,du,

仞(刀：dz——dxH--dydu——dxH------dyH-----dz

dxdydxdydz

全微分的近似計算：Azedz=九(九,y)Ax+fy(x,y)Ay

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

dz_dz+dzdv

z=/[i/(O,v(O]

dtdudtdvdt

dzdzdu+dzdv

Z=f[u(x,y),v(x,y)]

dxdudxdvdx

當〃=〃(％,y)v=v(x,y)時，

,duidu.7dv,dv,

du=—dxH----dydv=—dxH----dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：

dy_Fd-y_dF6Fdy

隱函數(shù)F(x,y)=0,x

1

dxFvydxdxFvydyyFvydx

dz_Fdz_F

隱函數(shù)xy

F(x,y,z)=0,9

dxFzdyFz

8FdF

F(x,y,u,v)=Oj/(￡G)11v

隱函數(shù)方程組du8v=

G(x,y,u,v)=0d(u,v)-d-G--dG-GUGV

dudv

1d(F,G)1(F,G)

J8(x,v)dxJ8(u,x)

1d(F,G)d(F,G)

J8(y,v)dyJ8(u,y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

x=(p(t)

)處的切線方程)沁=與&=與^

空間曲線y=材⑺在點M(x0,%,zo

。(0)。(幻

z=<?(/)/WQo)

,,,

在點M處的法平面方程：^(Z0)(x-x0)+^(?0)(y-y0)+ty(?0)(z-z0)=0

v力=0

若空間曲線方程F為(x二則切向量了={F1FFFFF/}

G(x,y,z)=0G,G二GzGxG、&y

曲面R(x,y,z)=0上一點般(公,%/()),則：

1、過此點的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、過此點的切平面方程工00，%*0)0-/)+4(/，>0,20)。一%)+工(%0，〉0/0)(2-20)=0

3、過此點的法線方程："―八°—=——=—二一

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向?qū)?shù)與梯度：

函數(shù)z=f(x,y)在一點Mx,>)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為Z=gcos9+gsin°

dldxoy

其中9為x軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)z=/(x,y)在一點p(x,y)的梯度：graW(x,y)+

oxdy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是更=grad/(x,y>。，其中G=cos9?：+sin9j,為/方向上的

dl

單位向量。

.,?更是gra"(x,y)在/上的投影。

dl

多元函數(shù)的極值及其求法：

現(xiàn)（%，%）=力（/，％）=0,令：九（/,%）=A，孫（/，%）=8,fyy（x0,y0）=C

A<O,（x,y）為極大值

AC-B2〉0時,<o0

A>0,（%,%）為極小值

則：4AC-爐<0時,無極直

AC-B2=0時,不確定

重積分及其應(yīng)用：

j|/(x,y^dxdy=jjf(rcos0,rsm0)rdrd3

DD'

dz

曲面z=于(x,y)的面積A=JJ++dxdy

Ddx

Jjxp{x,y)d(j

M"(%>)如

平面薄片的重心：元=必Dy=_=_________________

MJJ夕(x,y)dcr'MJJ夕(x,y)dcr

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸/、.=JJy2mx,y）dcr,對于y軸/>=JJ/夕（羽〉）而

DD

平面薄片（位于④平面）對z軸上質(zhì)點M（0Q社（〃>0）的引力：尸=｛工耳，工｝,其中:

p(x,y)xda

^.JJF=yJJp(x,y)ydcyF一叫

F=:

D(x2+y2+a2yD(x2+j2+a2)2D(x2+y2+a-Y

柱面坐標和球面坐標：

x=rcosO

柱面坐標廣y=rsin。,JJJ"羽y，z)dxdydz=jjjF{r,0,z)rdrd0dz.

z二zQQ

其中:尸(r,6,z)=/(rcos6,rsine,z)

x=rsin9cos6

球面坐標y=rsin^sin^,dv=rd(p-rsm(p-d0-dr=r2s\a(pdrd(pdO

z=rcos(p

7.717ir((pg

JJJ/(x,y,z)dxdydz=JJjb(r,°,e)/sin眼”西8=jd0^d(pjF(r,^,^)r2sin(pdr

QQ000

重心:元jBJx*%其中M=x=jjjpdv

1V1

。Q

222

轉(zhuǎn)動慣量：4=jjj(/+z)pJv,4={|}(尤2+Z?)胸,Iz=Jjj(x+y)/xZv

QQQ

曲線積分:

第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)：

設(shè)/?(3)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為尸=9⑺(屋區(qū)夕),則:

3=〃⑺

B__________________x-t

J/(x,y)ds=J⑺〃⑺]J"2⑺+w'23出(a</?)特殊情況

Lay=。⑺

第二類曲線積分(對坐示的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程為［“=9"),則：

>="⑺

B

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=j{P［0⑺,"⑺］用⑺+。即⑺,“。)”⑺}沒

La

兩類曲線積分之間的^^：JPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos夕)ds,其中a和夕分別為

LL

L上積分起止點處切向量向方向角。

格林公式：|--)dxdy=<fPdx+Qdy格林公式：[(■^-^-)dxdy=,Pdx+Qdy

服dy*Ydx

當。=—-。=%，即:一絲=2時，得至亞)的面積：A={{dxdy=-^xdy-ydx

dxdy2*

?平面上曲線積分與路彳疣關(guān)的條件：

1、G是一個單連通區(qū)域；

2、P(x,y),。(羽>)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且孚=孚。注意奇點，如：0,0),應(yīng)

oxdy

減去對此奇點的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積

在孚=當時，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)w(x,y)的全微分，其中：

oxdy

(尤,y)

w(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)“=%=0。

(%o，%)

曲面積分：

對面積的曲面積分Jj/(%,y,z)ds=f[x,y,z(x,y)]J1+(x,y)+zj(x,y)dxdy

sDxy

對坐標的曲面積分JjP(x,z)dydz+2(x,z)dzdx+7?(x,z)dxdy,其中：

z

JJR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上側(cè)時取正號；

SDxy

jjP(x,y,z)dydz=±JJ尸[九(y,z),y,z]dydz,取曲面的前側(cè)時取正號；

IDyz

JJ。(羽y,z)dzdx=±JJQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側(cè)時取正號。

兩類曲面積分之間的：JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=\^(Pcoscr+QcosjS+Rcosy)ds

高斯公式：

frr,dPdQdR)dv=目Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=H(Pcoscr+Qcos(3+Rcosy)ds

M(菽+不+至z

高斯公式的物理意義——通量與散度:

散度:d…9常去即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若d…。，則為消失…

通量:JJA-nds=jjAnds=jj(尸cosa+Qcos/?+Rcosy)ds,

zzz

因此，高斯公式又可寫成:J,div晨/v=gAnds

QE

斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

/Rz6PdR.jj,dQ8P,,r?.,

11(----------)dydz+(Z----------)dzdx+(----------)Xdxdy=，尸dx-\-Qdy+Rdz

gdydzdzdxdxdy*一.

dydi:dzdxdxdycosacos/?cos/

d

上式左端又可寫成gdd_ff5dd

ydxdydzdxdydz

PQR-PQR

空間曲線積分與路徑標的條件絲=絲，—,絲=包

dydzdzdxdxdy

ijk

ddd

旋度：rotA=

dxdydz

PQR

向量場流沿有向閉曲線T的環(huán)流量§Pdx+Qdy+Rdz=^A-tds

rr

常數(shù)項級數(shù):

等比數(shù)歹!R+q+/+…+，T

i-q

等差數(shù)歹lli+2+3n---\-n=("+1)"

2

調(diào)和級數(shù)1+工+工+…+!是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法：

1、正項級數(shù)的審斂法—根植審斂法(柯西組別法)：

"夕＜1時，級數(shù)收斂

設(shè)：夕=limW7，則“〉1時，級數(shù)發(fā)散

n—＞oo

夕=1時，不確定

2、比值審斂法：

「＜1時，級數(shù)收斂

TT

設(shè)：夕=11m巴辿，則夕〉1時，級數(shù)發(fā)散

〃一＞00TJ

"［夕=1時，不確定

3、定義法：

5〃=%+&2+-,+M〃；lims0存在，則收斂；否則制攵。

父錯級數(shù)-說2+“3-“4(或-"1+”2—“3-I＞。)的申斂法來布尼茲定理:

如果交錯級數(shù)滿叫^二)那么級數(shù)收斂且其和〈%,其余項項絕對瞰|〈小

jifgn

絕對收斂與條件收斂：

(1)%+"2T---卜/T9其中了為任意實數(shù);

(2)|MJ+根21+悶+…+叫+…

如果(2)收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對攵斂級數(shù)；

如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。

調(diào)和級數(shù)無;發(fā)散，而工小1攵斂;

級數(shù):收斂；

n

%粕r1/p＜l時發(fā)散

P'E〃。時收斂

潺級數(shù):

1

23/兇<1時，收斂于一—

\|x|>1時，發(fā)散

對于級數(shù)(3)4+…+a〃x'+…，如果它不是僅在原點I攵斂，也不是在全

/|x|<R時收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存生R,使j|x|〉R時發(fā)散其中R稱為收斂半徑。

\|x|=R時不定

/夕w0時，R=—

求收斂半徑的方法：設(shè)而聯(lián)=P，其中/，。向是⑶的系數(shù)，貝j夕=0時，R=+oo

n->00Z7\

n\/?=+00時，R-Q

函數(shù)展開成幕級數(shù)：

2

函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：/(%)=/(x0)(x-x0)+^-^^-(x-x0)+?.?+――匡立(%-％0)〃+…

2!〃！

余項：Rn=l―32(九一%0嚴JQ)可以展開成泰勒級數(shù)佛要條件是加1耳=0

(n+1)!

/=o時即為麥克勞林公式：/a)=/(o)+/'(o)x+△"/+…+…

2!w.

一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：

/I]m(m-l)2m(m-l)---(m-n+l)?

(1+^)=l+mx+--------%+???+----------------------x(-1<%<1)

2!n!

352n-l

Ji

sinx=x--+—-----b(-l)n-1---------------1-----(-00<x<+oo)

3!5!(2n-l)!

歐拉公式：

cosx=

eix=cosx+z?s?inx或

sinx=

三角級數(shù)：

0000

/⑺=4+24sin(〃碗+%)=0o+Zcos〃1+5sinnx)

n=l~2n=l

其中，a0=a\,an=Ansin(pn,bn=Ancos^?,mt=x.

正交性I,sinx,cosx,sin2x,cos2x--sin〃x,cos”x…任意兩個不同項的乘積知-肛乃］

上的積分=0。

傅立葉級數(shù):

Q00

/⑴=」+Zcosnx+bnsinnx),周期=2萬

2n=\

71

a[

n~~\/(x)cosnxJx5=0,1,2…)

其中-TV

[71

耳二一Jf(x)smnxdx(〃=1,2,3…)

冗-71

2才2

117l+...='(相加)

1+鏟+尹+…1+

T6

111n1

1-

-域+三一9H-----------(相減)

2412

正弦級數(shù)：an=0,bnn=1,2,3,--/(x)=2dsin〃A是奇函數(shù)

余弦級數(shù)：b=0,n=0,1,2---/(x)=T+WXcoszu是偶函數(shù)

n*

周期為2/的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):

+

/W=V￡(。“cos竿+bnsin-^^),周期=2/

2〃=1II

(〃=0,1,2…)

5=L2,3…)

微分方程的相關(guān)概念：

一階微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分離變量的微分方程一階微分方程可以修g(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

Jg(y)"y=J/(x)dx得：G(y)=R(x)+C稱為隱式通解。

齊次方程：一階微分宓呈可以寫成”=/(x,y)=9(x,y),即寫成？的函數(shù)，解法：

axx

設(shè)M=2,則包=“+尤包，1/+@1=0(〃),二@="—分離變量，積分后將々弋替小

xdxdxdxx(p(u)-ux

即得齊次方程通解。

一階線性微分方程：

1、一階線性微分方程或+P(x)y=Q(x)

ax

(當。(x)=0時,為齊次方程，y=Ce

［當。(x)wO時，為非齊次方程，y=(jQ(x)e'"""dx+C)e」""

2、貝努力方程半+P(x)y=Q(無)y",(〃70,1)

dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全頗方程，即：

,廠a比3沈

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:k=P(x,y),—=Q(x,y)

oxdy

M(x,y)=C應(yīng)該是該全微分方程的1解。

二階微分方程:

d2y+/(x)三0時為齊次

+Q(x)y=f(x\

2

dx/(X)H0時為非齊次

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：

(*)y"+py'+qy=0,其中.均為常數(shù);

求解步驟：

1、寫出特征方程。)產(chǎn)+pr+4=0,其中嚴，一的系數(shù)及常數(shù)項恰好越*)式中y〃,y，,y的系數(shù);

2、求出(A)式的兩個根小馬

3、根據(jù)6，2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解:

(*)式的通解

r},馬的形式

rxv

兩個不相等實根(p2—4"0)y=cxe'+c2e

兩個相等實根函-旬=0)K}X

y=(q+c2x)e

一對共軌復(fù)根(p2—4q<0)y=/(Gcos/k+c2sinJ3x)

Y\=a+i。,r2=a-ip

?=-A”也上

22

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y"+py'+qy=f(x),夕應(yīng)為常數(shù)

，(x)=e疝匕(無)型,彳為常數(shù)；

于(X)=e'［q(x)cos<?!x+《(x)sin0x］型

高等數(shù)學(xué)公式

導(dǎo)數(shù)公式:

(tgx)r=sec2x(arcsinx)"=/

Vl-x2

(ctgx)r=-esc2x

(、，]

(arcCOSY)=——/

(sec%)'=secx-tgxVl-x2

(cscx\=-cscx-ctgx

,、，1

(arctgx)=----r

(ax\=axina1+x

(log。尤)'=(arcctgx)——r

xina1+x

JrgxJx=-ln|cosx|+Cf——=fsec2xdx=tgx+C

JCOSXJ

dx=lnsinx+C

fd：-fcsc2xdx=-ctgx-\-C

Jsecx<ix=ln|secx+，gX+CJsinxJ

jcscxdx=ln|cscx-c/gR+CJsecx-tgxdx=secx+C

jcscx-ctgxdx=-cscx+C

rdx

J6+J=-arctg-+C

aa[axdx=-^—+C

fdxx-aJln〃

22--In+c

JIx-a2ax+a^shxdx=chx+C

rdx1ia+x「

b

H~~T=—+。chxdx=shx

Ja-x2aa-xJ+C

.x

=arcsin—+CJj:*2-ln(x+A/X2+a2)+C

a

7t71

22

Ixdx=Sco^xdx--~-/_

n=jsin"n2

00n

.______________2_______

jylx2+a2dx='+a2++ln(%+J%2+/)+C

__________：,_____

2—I2----Inx+J%2_/_|_c

-a2dx=3A/X

JVx2

22".X

j_%2dx=j幾—xH---arcsin—\-C

2a

基本積分表:

三角函數(shù)的有理式積分:

,2〃1—II?x72du

sinx=----y,COSX=----ru—tg,dx—T

1+M1+"21+M2

一些初等函數(shù):兩個重要極限:

「sinx

雙曲正弦:shx=--------lim----=-1

x

雙曲余弦:而，'+e,110(1+-)"=e=2.718281828459045...

2尤f00JQ

shx(>x—p-x

雙曲正切：〃7X=".

chxex+ex

arshx=ln(x+Vx2+1)

三角函數(shù)公式:

■誘導(dǎo)公式：

數(shù)

角八\sincostgctg

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

1800-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

2700-a-cosa-sinactgatga

2700+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

??nn-a+001—[3

sin(cr±0)=sincrcos/?±coscrsin0sina+sin0=2sin-----cos.......-

22

cos@±尸)=coscrcos^+sincrsin0

?-ogcc+(3.a-p

sincr-sinp=2cos-----sin......-

3為=詈叫22

\+tga-tg/3cca+/3ci—B

coscr+cosp=2cos-------cos-------

ctg(a土22

ctg/3±ctga

cosa-cos尸=2sinsin———

22

■和差角公式：■和差化積公式：

,倍角公式:

sin2。=2sinacosa

cos2a=2cos2cif-1=l-2sin2a=cos?a-sin?。sin3a=3sina—4sin3a

2?！?/p>

八ct2a-lcos3a=4cos33cosa

ctgla=-----------

letgatg3a=3t8a-t8'a

Itgal-3tg2a

tg2a-

1—tg^oc

■半角公式:

/1-C0S6T〃+cosa

sin一cos^=±

12V2

吆"J1-cosdf_1-cosor_sinaaJ1+cosa_1+cosa_sincr

1+cosdfsin。1+cosdf1-cosdfsinal-cosa

：，一

■正弦定理1=S=2R■余弦定理:c2=a1+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

71

?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=----arccosxarctgx=--arcctgx

高階導(dǎo)數(shù)公式----萊布尼茲（Leibniz）公式:

（UV嚴華）

左=0

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理:于⑸一于（a）=-a）

柯西中值定理小!廣⑹

Fg)

當F（x）=x時，柯西中值定理就曷立格朗日中值定理,

曲率:

弧微分公式：ds=+y'2dx，其中y'=fga

Na

平均曲率K.Aa:從M點到M'點，切線斜率的傾角變化量；As：MM弧長。

As1

Atzda|yI

M點的曲率：K=lim

加一°Nsds7a+y2)3'

直線：K=0-

半徑為a的圓：K=-

a

定積分的近似計算:

bi

矩形法二^(%+%+???+%_])

a

梯形法+%)+必