數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題講座七年級(jí)第6講-話說(shuō)同類項(xiàng)(含答案)

第六講話說(shuō)同類項(xiàng)俗話說(shuō)“物以類聚，人以群分”．在數(shù)學(xué)中，我們把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式看作一類——稱為同類項(xiàng)，一個(gè)多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)可以合聚在一起——稱為合并同類項(xiàng)．整式的加減實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)合并同類項(xiàng)．整式的加減這一章涉及到許多概念，準(zhǔn)確地掌握這些概念并注意它們的區(qū)別與聯(lián)系是解相關(guān)問(wèn)題的根底，歸納起來(lái)就是要注意以下幾點(diǎn)：理解“三式”〔單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式〕和“四數(shù)”〔底數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、常數(shù)〕的概念，熟悉“兩種排列”〔升冪、降冪〕，掌握三個(gè)法那么．解與整式加減相關(guān)問(wèn)題時(shí)，有括號(hào)先去括號(hào)，有同類項(xiàng)先合并同類項(xiàng)，這樣能使解題過(guò)程大為簡(jiǎn)化．“實(shí)際上，數(shù)學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，是一門(mén)通過(guò)開(kāi)展概念和技巧以使人們更為輕快地前進(jìn)，從而防止蠻力計(jì)算的藝術(shù)．”——M．阿蒂亞例題講解【例1】當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，式子的值恒為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)值是．(北京市“迎春杯”競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥去掉絕對(duì)值符號(hào)、合并同類項(xiàng)后，式子應(yīng)不再含“”的項(xiàng)，由此得出的取值范圍．鏈接：數(shù)學(xué)概念是內(nèi)容的根底．是數(shù)學(xué)推理和論證的根底．科學(xué)研究說(shuō)明，概念的形成過(guò)程中，人們的心理活動(dòng)經(jīng)歷著以下階段：(1)區(qū)分不同的事物；(2)抽象一類事物的共同屬性；(3)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言符號(hào)給概念下定義、定名稱．在概念學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意以下策略：(1)關(guān)鍵字詞理解的策略；(2)正、反例比照策略；(3)相似概念比擬策略；(4)概念系統(tǒng)化策略．【例2】那么化簡(jiǎn)得()．A．B．C．2D．(江蘇省競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥由條件可推得多個(gè)關(guān)系式，這是解本例的關(guān)鍵．【例3】x＝2，y=一4時(shí)，代數(shù)式，求當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值．思路點(diǎn)撥一般的想法是先求出，的值，這是不可能的(為什么?)解本例的關(guān)鍵是：將給定的、值分別代入對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，尋找式與待求式之間的聯(lián)系，整體代人求值．【例4】關(guān)于的二次多項(xiàng)式，當(dāng)x=2時(shí)多項(xiàng)式的值為，求當(dāng)時(shí)，該多項(xiàng)式的值．(“希望杯”邀請(qǐng)賽培訓(xùn)題)思路點(diǎn)撥設(shè)法求出a，b的值，解題的突破口是根據(jù)多項(xiàng)式降冪排列、多項(xiàng)式次數(shù)等概念挖掘隱含的關(guān)于a，b的等式．【例5】(1)：5∣(x+9y)(x，y為整數(shù))，求證：5∣(8x十7y)．(2)試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)思路點(diǎn)撥(1)嘗試把8x+7y寫(xiě)成x+9y的倍數(shù)與5的倍數(shù)的代數(shù)和的形式，(2)逆用整式的加減，將每一類自然數(shù)表示為兩個(gè)式子的和，并證明它們互質(zhì)，注意分類討論．鏈接：解代數(shù)式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的根本方法有：將字母的值代入或字母間的關(guān)系整體代入等．關(guān)鍵是對(duì)代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)變形，其中去括號(hào)、添括號(hào)能改變代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，是變形求簡(jiǎn)的一種常用工具．“回到定義中去”，這是美國(guó)著名數(shù)學(xué)家玻利亞稱為的一種解題方法，在解題遇到困難的時(shí)候，請(qǐng)記住“回到定義中去”這個(gè)重要的思考提示．欲證明一個(gè)多項(xiàng)式能被某數(shù)整除，常需對(duì)該多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，或?qū)ψ帜高M(jìn)行代換，充分利用巳知條件及整除的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)中有許多可以類比的對(duì)象，如數(shù)與式，整數(shù)與整式．教學(xué)中的許多結(jié)論就是通過(guò)類比得到的，同時(shí)類比也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一種有效方法．【例6】如果代數(shù)式的值為2，那么代數(shù)式的值等于______．思路點(diǎn)撥觀察代數(shù)式變換的形式，從整體上入手來(lái)解題．鏈接：在解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們既要能從局部入手，又要善于著眼于整體，即突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把一些彼此孤立實(shí)質(zhì)上緊密聯(lián)系的量作為一個(gè)整體來(lái)考慮．【例7】設(shè)和均不為零，和是同類項(xiàng)，那么=_________．〔華杯賽試題〕思路點(diǎn)撥由同類項(xiàng)的概念建立、的關(guān)系式，運(yùn)用這一關(guān)系式求原式的值．【例8】當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為18，這時(shí)，代數(shù)式〔〕．A．B．C．D．(希望杯邀請(qǐng)賽試題)根底訓(xùn)練1．是同類項(xiàng)，那么=．(江蘇省競(jìng)賽題)2．代數(shù)式．(1)當(dāng)=，=時(shí)，此代數(shù)式的值與字母的取值無(wú)關(guān)；(2)在(1)的條件下，多項(xiàng)式的值為．3．=1999，那么=．4．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為6，那么當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是．(安徽省中考題)5．火車站和機(jī)場(chǎng)都為旅客提供打包效勞，如果長(zhǎng)、寬、高分別為、、的箱子按如圖的方式打包，那么打包帶的長(zhǎng)至少為()．A．B．C．D．(太原市中考題)6．同時(shí)都含有字母，且系數(shù)為1的7次單項(xiàng)式共有()．A．4個(gè)B．12個(gè)C．15個(gè)D．25個(gè)(北京市競(jìng)賽題)7．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖：那么代數(shù)式化簡(jiǎn)后的結(jié)果是()．A．B．C．D．8．，那么的值為〔〕．A．80S．10C．210D．409．把一個(gè)正方體的六個(gè)面分別標(biāo)上字母A、B、C、D、E、F并展開(kāi)如下圖，：，，，，假設(shè)正方體相對(duì)的兩個(gè)面上的多項(xiàng)式的和都相等，求D、F．10．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和為，求的值．11．對(duì)于整式，給定的一個(gè)數(shù)值后，如果小穎按四那么運(yùn)算的規(guī)那么計(jì)算該整式的值，需算15次乘法和5次加法．小明說(shuō)：“有另外一種算法，只要適當(dāng)添加括號(hào)，可以做到加法次數(shù)不變，而乘法只算5次”．小明同學(xué)的說(shuō)法是的．(填“對(duì)”或“錯(cuò)”)〔希望杯邀請(qǐng)賽試題〕12．假設(shè)，那么＝．13．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值等于，那么當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值等于．(北京市“迎春杯”競(jìng)賽題)14．將1，2，3，……，100這100個(gè)自然數(shù)，任意分為50組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個(gè)數(shù)中任一數(shù)值記作，另一個(gè)記作，代入代數(shù)式中進(jìn)行計(jì)算，求出其結(jié)果，50組數(shù)代人后可求得50個(gè)值，那么這50個(gè)值的和的最大值是．15．計(jì)算，最后結(jié)果是()．A．0B．C．1999D．16．，那么等于()．A．B．C．D．17．代數(shù)式，當(dāng)＝l時(shí)，值為l，那么該代數(shù)式當(dāng)時(shí)的值是()．A．1B．C．0D．2〔希望杯邀請(qǐng)賽試題〕18．如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值的值恒為一常數(shù)，那么此值為()A．2B．3C．4D．5(安徽省競(jìng)賽題)19．(1)、為整數(shù)，且，如果，請(qǐng)你證明：．(2)一個(gè)三位數(shù)，它的百位數(shù)字加上個(gè)位數(shù)字再減去十位數(shù)字所得的數(shù)是11的倍數(shù)．證明：這個(gè)三位數(shù)也是11的倍數(shù)．20．在一次游戲中，魔術(shù)師請(qǐng)一個(gè)人隨意想一個(gè)三位數(shù)(依次是這個(gè)數(shù)的百位、十位、個(gè)位數(shù)字)，并請(qǐng)這個(gè)人算出5個(gè)數(shù)、、、與的和N，把N告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就可以說(shuō)出這個(gè)人所想的數(shù)．現(xiàn)在設(shè)N=3194，請(qǐng)你當(dāng)魔術(shù)師，求出數(shù)而來(lái)．21．、、均為整數(shù)，且，求證：．(北京市競(jìng)賽題)22．計(jì)算多項(xiàng)式的值時(shí)有以下3種算法，分別統(tǒng)計(jì)3種算法中的乘法次數(shù)．①直接計(jì)算：時(shí)共有＝6(次)乘法；②利用已有冪運(yùn)算結(jié)果：，計(jì)算時(shí)共有(次)乘法；③逐項(xiàng)迭代：，其中等式右端運(yùn)算中含有3次乘法．請(qǐng)問(wèn)：(1)分別使用以上3種算法，統(tǒng)計(jì)算式中乘法的次數(shù)，并比擬3種算法的優(yōu)劣．(2)對(duì)次多項(xiàng)式〔其中為系數(shù)，〕，分別使用以上3種算法統(tǒng)計(jì)其中乘法的次數(shù)，并比擬3種算法的優(yōu)劣．答案：1.12.(1)-3,1(2)8.3.40000004.-45.C6.C7.A8.A9.D=3x2-7y+4y2,F=9x2-11xy+2y210.12提示:由題意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125).11.對(duì)12.-13.2214.3775提示:不妨設(shè)a>b,原式=a,由此知每組數(shù)的兩個(gè)數(shù)代入代數(shù)式運(yùn)算后的結(jié)果為兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè),從整體考慮,只要將51,52,53,…,100這50個(gè)數(shù)依次代入每一組中,便可得50個(gè)值的和的最大值.15.D16.D17.B18.B提示:2+3+…+9+10=54,而8+9+10=27.19.(1)提示:n=10a+b=10a-50b+51b=10(a-5b)+51b;(2)略20.提示:將abc也加到和N上,由于a、b、c在每一位上都恰好出現(xiàn)兩次,所以abc+N=222(a+b+c)①?gòu)亩?000+3194>222(a+b+c)>3194,于是15≤a+b+c≤18.因?yàn)?22×15-3194=136,222×16-3184=358,222×17-3194=580,222×18-3194=802.其中只有3+5+8=16滿足要求,即能使①成立,故abc=358.21.提示:4(3x-7y+12z)=11(3x-2y+3z)-3(7y+2y-5z).22.(1)3種算法中乘法的次數(shù)分別為:①10+9+8+…+2+1=55(次);②2×9+1=19(次);③10次.(2)乘法次數(shù)分別為:①n+(n-1)+…+3+2+1=(次);②2(n-1)+1=2n-1(次);提高訓(xùn)練1．觀察以下等式：，，，，…，這些等式反映了自然數(shù)之間的某種規(guī)律．設(shè)表示自然數(shù)，用關(guān)于的等式表示這個(gè)規(guī)律為_(kāi)____________．〔萊陽(yáng)市中考題〕2．以下圖案均是用長(zhǎng)度相同的小木棒按一定規(guī)律拼搭而成：拼搭第1個(gè)圖案需4根小木棒，拼搭第2個(gè)圖案需10根小木棒，…．依此規(guī)律，拼搭第8個(gè)圖案需要小木棒_______根．〔武漢市中考題〕3．，，，那么___________．〔華杯賽試題〕4．根據(jù)如下圖的〔1〕，〔2〕，〔3〕三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第個(gè)圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是〔〕．A．B．C．D．(貴陽(yáng)市中考題)5．多項(xiàng)式和的差的值與字母的取值無(wú)關(guān)，求代數(shù)式的值．6．假設(shè)代數(shù)式同時(shí)滿足條件：〔1〕含字母，；〔2〕含有關(guān)于字母，的加、減、乘、除和乘方運(yùn)算；〔3〕當(dāng)時(shí)，該代數(shù)式的值為．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)這樣的代數(shù)式____________________．(首屆江蘇省數(shù)學(xué)文化節(jié)根底闖關(guān)題)12．如果，那么=______．(希望杯邀請(qǐng)賽試題)13．，其中、、、、為常數(shù)，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，那么的