2024屆沈陽市高三數(shù)學(xué)3月高考六模試題卷附答案解析

屆沈陽市高三數(shù)學(xué)3月高考六模試題卷試卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．2024.03一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，集合，則（

）A． B．C． D．2．在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上并且，則（

）A． B．C． D．3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．4．的展開式中的系數(shù)為12，則（）A． B． C． D．5．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，其和等于15的概率是（

）A． B． C． D．6．某班學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的時(shí)間的頻率分布直方圖如右圖，為響應(yīng)國家減負(fù)政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少5分鐘，則減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的說法中正確的是（

）A．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差減少25B．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的方差減少25C．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在60分鐘以上的概率為D．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)為257．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B為C上兩點(diǎn)，且均在第一象限，過A，B作l的垂線，垂足分別為D，E.若，，則的外接圓面積為（

）.A． B． C． D．二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．若，為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．10．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B為C上兩個(gè)相異的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為B．設(shè)點(diǎn)，則的最小值為4C．若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則的最小值為2D．若，AB的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則11．如圖，在中，，，，過中點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)．將沿直線翻折至，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點(diǎn)，是直線上異于的任意一點(diǎn)，則（

）

A．B．C．點(diǎn)的軌跡的長度為D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知復(fù)數(shù)滿足，則．13．若，，則.14．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)位置的數(shù)字記為．(1)若該質(zhì)點(diǎn)共移動(dòng)2次，位于原點(diǎn)的概率；(2)若該質(zhì)點(diǎn)共移動(dòng)6次，求該質(zhì)點(diǎn)到達(dá)數(shù)字的分布列和數(shù)學(xué)期望．16．如圖，四棱柱的底面是正方形，平面.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)若是線段上一點(diǎn)，平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，求的值.17．如圖，動(dòng)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，另一個(gè)焦點(diǎn)為，若該動(dòng)雙曲線的兩支分別經(jīng)過點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過點(diǎn)，交（1）中點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，是直線上異于的一點(diǎn)，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過線段的中點(diǎn)，若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說明理由.18．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，集合共有4個(gè)元素，求范圍；(3)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．給出下列兩個(gè)定義：I.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，且其在上是可?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.II.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：①；②，其中為兩個(gè)新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫出其對(duì)應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；(2)已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；(3)已知函數(shù).①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；②若，且定義，若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.1．C【分析】列舉法表示出集合，進(jìn)而根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C2．D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，故.故選：D.3．D【分析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計(jì)算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則，，，所以.故選：D4．C【分析】根據(jù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)、二倍角的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)可以看成：6個(gè)因式中選取5個(gè)因式提供，余下一個(gè)因式中提供或者6個(gè)因式中選取4個(gè)因式提供，余下兩個(gè)因式中均提供，故的系數(shù)為，∴，∴，故選：C5．A【分析】先計(jì)算從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)共9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，總共有種選法，再計(jì)算符合條件和等于15的三個(gè)數(shù)的種類，即可算出概率．【詳解】從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)共9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，總共有種選法，其和等于15的三個(gè)數(shù)的種類共有8種，即：（圖形中各橫，各列，對(duì)角線所在的三個(gè)數(shù)字之和均為．故其和等于15的概率是：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，運(yùn)用分類和分步分別選出符合條件的種類，找出古典概型的分子和分母是關(guān)鍵，屬于中等題．6．D【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖求出，利用方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義判斷AB；求出減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間在60分鐘以上的概率及中位數(shù)判斷CD.【詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得，減負(fù)后每天作業(yè)布置量減少5分鐘，則減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的平均數(shù)減少5分鐘，而完成作業(yè)的時(shí)間波動(dòng)大小不變，因此減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差、方差不變，AB錯(cuò)誤；減負(fù)前完成作業(yè)時(shí)間在60分鐘以上的頻率為，減負(fù)后完成作業(yè)時(shí)間在60分鐘以上的頻率小于，由此估計(jì)減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在60分鐘以上的概率小于，C錯(cuò)誤；減負(fù)前，第一組的頻率為，第二組的頻率為，則完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)在第二組的中間，即中位數(shù)為（分鐘），所以減負(fù)后完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為（分鐘），D正確.故選：D7．D【分析】首先得出是偶函數(shù)，把不等式化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，得到，求解不等式即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，即，當(dāng)時(shí)，又有意義，所以是定義域上的偶函數(shù)，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，則或，解得或，所以的取值范圍是．故選：D．8．A【分析】由拋物線的定義及平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而由正弦定理可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，

由拋物線的定義可知，，所以，，所以，故，易知為銳角，且由可知，所以.設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，又，所以，所以的外接圓面積為.故選：A.9．BD【分析】對(duì)A：借助二項(xiàng)式的展開式計(jì)算即可得；對(duì)B、C、D：結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，又，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故B正確；對(duì)C：，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，即，故D正確.故選：BD.10．ABD【分析】對(duì)于A，由拋物線的焦點(diǎn)可求出拋物線的準(zhǔn)線方程，對(duì)于B，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于，則，從而可求出其最小值，對(duì)于C，由拋物線的性質(zhì)可判斷，對(duì)于D，過分別作垂直準(zhǔn)線，垂足分別為，則由梯形中位線定理可得，然后在利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閽佄锞€C：的焦點(diǎn)為，所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為，所以A正確，對(duì)于B，由題意可得拋物線的方程為，則點(diǎn)在拋物線外，如圖，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為4，所以B正確，對(duì)于C，由拋物線的性質(zhì)可得當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且軸時(shí)，弦最短為拋物線的通徑，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，過分別作垂直準(zhǔn)線，垂足分別為，則由梯形中位線定理可得，設(shè)，則，在中由余弦定理得，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以D正確，故選：ABD11．BCD【分析】A、B選項(xiàng)結(jié)合線面角最小，二面角最大可判斷;對(duì)于C，先由旋轉(zhuǎn)，易判斷出，故其軌跡為圓弧，即可求解.對(duì)于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再結(jié)合三角恒等變換求出函數(shù)的最值即可【詳解】

依題意，將沿直線翻折至，連接,由翻折的性質(zhì)可知，關(guān)于所沿軸對(duì)稱的兩點(diǎn)連線被該軸垂直平分，故，又在平面內(nèi)的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面.平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內(nèi)的部分，易知其長度為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示

設(shè)，在中，，，在中，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：BCD．12．【分析】設(shè)，根據(jù)得到方程組，求出，分兩種情況計(jì)算出答案，從而求出.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，故，；當(dāng)時(shí)，，故，故答案為：-813．【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡后構(gòu)造函數(shù)，研究其奇偶性，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，依據(jù)奇偶性及單調(diào)性解方程即可.【詳解】由，得，，即，.設(shè)，定義域?yàn)?則所以是上的奇函數(shù)，又因?yàn)?，所以是上的單調(diào)增函數(shù).又因?yàn)?，，所以，所以，即，所?故答案為：.14．.【分析】由，得出構(gòu)成成等比數(shù)列，求得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意，實(shí)數(shù)，滿足，可得構(gòu)成成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，整理得，解得，可得，所以，故的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題的求解，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，合理轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及分析問題和解決問題的能力．15．(1);(2)分布列見解析，.【分析】(1)由題意知質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次的所有可能種數(shù)，再求出移動(dòng)2次后在原點(diǎn)的所有可能種數(shù)，根據(jù)古典概型求解即可；（2）設(shè)向左移動(dòng)的次數(shù)為隨機(jī)變量，易知，得出隨機(jī)變量,由二項(xiàng)分布求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由期望的性質(zhì)求解的期望.【詳解】（1）質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次，可能結(jié)果共有種，若質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)需要向左、右各移動(dòng)一次，共有種，故質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)的概率.（2）質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)向左或向右，設(shè)事件A為“向右”，則為“向左”，故,設(shè)Y表示6次移動(dòng)中向左移動(dòng)的次數(shù)，則，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的數(shù)字,所以,，，，，，，所以的分布列為：246.16．(1)(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，先證平面平面，然后由面面垂直性質(zhì)定理知即為所求，然后計(jì)算可得；（2）以為原點(diǎn)，分別以分別為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用平面夾角的向量公式列方程可解.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又，平面，所以平?又平面，所以平面平面.因?yàn)槠矫妫矫妫?，又，所?在中，，所以.又為的中點(diǎn)，所以且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.故點(diǎn)到平面的距離為.（2）以為原點(diǎn)，分別以分別為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，由（1）知，平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，取，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則有，解得，即.17．(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義和橢圓的定義即可求解；（2）設(shè)直線的方程為：，，根據(jù)題意得出，然后將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）由題意以及雙曲線定義可得：，

由橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，的橢圓（不含短軸端點(diǎn)），其方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，，則由，知，所以，令，得

因點(diǎn)在直線上，所以，變形得，代入式化簡得，若直線恒過線段的中點(diǎn)，則有，整理得

由，得，所以

代入整理得，，解得，所以存在，即直線，使得直線恒過線段的中點(diǎn).18．(1)，(2)(3)【分析】（1）設(shè)出數(shù)列公比，數(shù)列公差，結(jié)合題意計(jì)算即可得；（2）由，即可得，令，由的值，可得數(shù)列的單調(diào)性，計(jì)算出前五項(xiàng)，即可得的取值范圍；（3）分奇偶討論后，分別借助錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)相消法求和計(jì)算即可得.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，設(shè)公比，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，設(shè)公差，∵，即，∴，（舍去），，∴．；（2），其中，∴，集合，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．計(jì)算可得，，，，，因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，；（3），，設(shè)，，則，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，設(shè)，所以.19．(1)答案見解析(2)既不充分也不必要條件；證明見解析(3)【分析】（1）由和，結(jié)合題設(shè)中函數(shù)的定義，即可得到答案；（2）由成立，得到，設(shè)，得出為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，再設(shè)，得到為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，結(jié)合不是常值函數(shù)，求得不是的必要條件；再由成立，得到，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）①由題意得到，求得；②由題意求得且，令，求得，得到存在使得，進(jìn)而得到單調(diào)性，分類討論，即可求解.【詳解】（1）解：對(duì)于函數(shù)，則，這兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，所以函數(shù)為“同定義域函數(shù)”，此時(shí)，，由函數(shù)的定義，對(duì)于，無法同時(shí)成