2024年江蘇高郵市高二數(shù)學3月份檢測試卷附答案解析

2024年江蘇高郵市高二數(shù)學3月份檢測試卷試卷滿分150分．考試時間120分鐘．2024.03一、單選題（每題5分）1．已知空間直角坐標系中，1，、，點C滿足，則C的坐標為A． B． C． D．2．現(xiàn)有3位游客來黃山旅游，分別從4個景點中任選一處游覽，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．24 D．123．平面的一個法向量是，平面的一個法向量是，則平面與的位置關系是（

）A．平行 B．相交且不垂直 C．相交且垂直 D．不確定4．如圖，在三棱錐中，點N為棱AP的中點，點M在棱BC上，且滿足，設，則＝（）A． B．C． D．5．如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點是棱的中點，點在棱上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．16．給出以下命題，其中正確的是（）A．直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與平行B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．平面?的法向量分別為，，則D．已知直線過點，且方向向量為，則點到的距離為7．已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（

）A． B． C． D．8．形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字，千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可組成數(shù)字不重復的五位“波浪數(shù)”的個數(shù)為A．20 B．18 C．16 D．11二、多選題（每題6分）9．對于非零空間向量，，，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是（

）A．若，則，的夾角是鈍角B．若，，則C．若，則D．若，，，則，，可以作為空間中的一組基底10．已知正方體的棱長為a，，則（

）A． B． C． D．11．身高各不相同的六位同學站成一排照相，則說法正確的是（

）A．A、C、D三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B．A與同學不相鄰，共有種站法C．A、C、D三位同學必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D．A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法三．填空題（每題5分）12．由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成個沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)．13．，則.14．已知點，平面a經(jīng)過原點O，且垂直于向量，則點A到平面a的距離為.四、解答題15．（1）計算：；（2）若，求正整數(shù).16．已知.(1)求；(2)求與夾角的余弦值；(3)當時，求實數(shù)的值.17．用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字？（1）六位奇數(shù)；（2）個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；（3）不大于4310的四位偶數(shù).18．如圖，在正方體中，是正方形的中心，是的中點.(1)求證：是平面的法向量；(2)求與平面所成角的余弦值；(3)求二面角的正弦值．19．如圖，在平行四邊形中，，四邊形為正方形，且平面平面．(1)證明：；(2)求直線到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的正弦值．1．A【分析】設出點的坐標，代入，利用兩個向量相等的概念，求得點的坐標.【詳解】設，故，根據(jù)得，解得，故，所以選A.【點睛】本小題主要考查空間向量的坐標運算，考查兩個向量相等的坐標表示，屬于基礎題.2．B【分析】利用分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】解：每位游客有4種選擇，由分步乘法計數(shù)原理知不同選法的種數(shù)是.故選：B3．C【解析】利用兩個法向量的數(shù)量積等于，即可判斷兩個平面垂直，進而可得正確選項.【詳解】因為，所以平面平面，故選：C.4．B【分析】直接利用向量的線性運算和中線向量的應用求出結果．【詳解】在三棱錐中，點N為棱AP的中點，點M在棱BC上，且滿足，設，故，所以，點N為棱AP的中點，所以，故.故選：B．5．B【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空間向量的運算法則可得，變形可得，由二次函數(shù)的知識可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在中，，所以所以==則時，取得最小值，則的最小值為.故選：B6．D【分析】對于A，利用兩向量的共線定理即可判斷；對于B，判斷方向向量與法向量是否垂直即可；對于C，判斷兩平面的法向量是否垂直即可；對于D，首先寫出直線的標準方程，將點到直線的距離轉化到兩點間的距離進行求解即可.【詳解】對于A，，與不平行.對于B，，與不平行；對于C，，與不垂直；對于D，直線過點，且方向向量為直線的標準方程為過點作與已知直線垂直相交的平面，且設直線與平面的交點為，則到直線的距離可轉化為到的距離；方向向量為平面的方程為：即：設垂足，點在平面上，則解得：故選：D.7．D【分析】根據(jù)空間四點共面的充要條件代入即可解決【詳解】由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線可得，解之得故選：D8．C【分析】根據(jù)“波浪數(shù)”的定義，可得“波浪數(shù)”中，十位數(shù)字，千位數(shù)字必有5、另一數(shù)是3或4，分別計算出每種的個數(shù)，相加即可.【詳解】此“波浪數(shù)”中，十位數(shù)字，千位數(shù)字必有5、另一數(shù)是3或4；是4時“波浪數(shù)”有；另一數(shù)3時4、5必須相鄰即45132；45231；13254；23154四種．則由1，2，3，4，5可構成數(shù)字不重復的五位“波浪數(shù)”個數(shù)為16，故選C．【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，要對該問題準確分類，做到不充分，不遺漏，正確求解結果，屬于中檔題.9．BD【分析】根據(jù)空間向量夾角的定義、空間向量數(shù)量積的坐標表示公式，結合空間向量數(shù)量積的運算性質、空間向量基底的定義逐一判斷即可.【詳解】A：當，時，顯然，因為，所以，的夾角是平角，故本選項命題是假命題；B：因為，所以，因此本選項命題是真命題；C：當，，時，顯然，但是，因此本選項命題是假命題；D：假設，，是共面向量，所以有，顯然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作為空間中的一組基底，所以本選項命題是真命題，故選：BD10．BC【分析】由空間向量數(shù)量積運算律對選項逐一判斷【詳解】如圖：對于A，因為，所以，故A錯誤．對于B，，故B正確．對于C，，故C正確．對于D，，故D錯誤．故選：BC11．ABD【分析】根據(jù)全排列和定序即可判斷A；利用插空法即可判斷B；利用捆綁法即可判斷C；利用間接法即可判斷D.【詳解】對于A，6個人全排列有種方法，A、C、D全排列有種方法，則A、C、D從左到右按高到矮的排列有種方法，A正確；對于B，先排列除A與C外的4個人，有種方法，4個人排列共有5個空，利用插空法將A和C插入5個空，有種方法，則共有種方法，B正確；對于C，A、C、D必須排在一起且A在C、D中間的排法有2種，將這3人捆綁在一起，與其余3人全排列，有種方法，則共有種方法，C錯誤；對于D，6個人全排列有種方法，當A在排頭時，有種方法，當B在排尾時，有種方法，當A在排頭且B在排尾時，有種方法，則A不在排頭，B不在排尾的情況共有種，D正確.故選：ABD12．【分析】根據(jù)特殊位置法，先從1，3，5中任選一個數(shù)字作為個位數(shù)，再將其余4個數(shù)字排到十位，百位，千位，萬位上，最后結合分步乘法原理求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，先排個位數(shù)，從1，3，5中任選一個數(shù)字作為個位數(shù)，有種，再將剩余的四個數(shù)字排到十位，百位，千位，萬位上，有種，綜上，由分步乘法原理，共有個沒有重復的五位奇數(shù).故答案為：13．5【分析】由排列數(shù)公式變形求解．【詳解】因為，所以，，或，又，所以．故答案為：5．14．【分析】利用點到平面的距離為，即可求得結論.【詳解】由題意，，，，所以點到平面的距離為.故答案為：.15．（1）1；（2）8.【分析】（1）（2）按照排列數(shù)公式計算即可.【詳解】（1）；（2）∵，∴，又，化簡得，解得.16．(1)-10(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標運算律,即可求解.（2）根據(jù)空間向量的夾角公式,代入求解.（3）由,轉化為數(shù)量積為0即可.【詳解】（1）；（2）；（3）當時，，得，，或.17．（1）288；（2）504；（3）110.【分析】（1）先排個位，再排首位，其余的位任意排，根據(jù)分步計數(shù)原理；（2）2因為0是特殊元素，分兩類，個位數(shù)字是0，和不是0；（3）需要分類，不大于4310的四位偶數(shù)，即是小于等于4310的偶數(shù)，當千位小于4，當百位小于3，當十位小于1時，然后根據(jù)分類計數(shù)原理可得．【詳解】（1）先排個位數(shù)，有種，因為0不能在首位，再排首位有種，最后排其它有，根據(jù)分步計數(shù)原理得，六位奇數(shù)有；（2）因為0是特殊元素，分兩類，個位數(shù)字是0，和不是0，當個位數(shù)是0，有，當個位不數(shù)是0，有，根據(jù)分類計數(shù)原理得，個位數(shù)字不是5的六位數(shù)有；（3）當千位小于4時，有種，當千位是4，百位小于3時，有種，當千位是4，百位是3，十位小于1時，有1種，當千位是4，百位是3，十位是1，個位小于等于0時，有1種，所以不大于4310的四位偶數(shù)4有.【點睛】本題主要考查排列與組合及兩個基本原理，排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的應用，注意特殊元素和特殊位置，要優(yōu)先考慮，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）設正方體棱長為2，建立如圖所示空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】（1）解：設正方體棱長為2，如圖建立空間直角坐標系.，又，，所以，即，，又，面，面，所以是平面的法向量.（2）解：，，，又由（1）知平面的法向量，設與所成的角為，所以，因為，則，即與平面所成角的余弦值是.（3）解：在正方體中，面，是面的法向量，又，，由圖可知二面角為銳二面角，設為，所以，所以二面角平面角的正弦值為.19．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用余弦定理計算AC，再證明即可推理作答.（2）以點A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點C到平面BEF的距離即可求出線面距離.（3）利用（2）中坐標系，用向量數(shù)量積計算兩平面夾角余弦值，進而求解作答.【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，，即，有，則，即，由平面平面，平面平面