2024年武漢市高二數(shù)學(xué)3月份聯(lián)考試卷附答案解析

2024年武漢市高二數(shù)學(xué)3月份聯(lián)考試卷試卷滿分150分．考試時間120分鐘．2024.03一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每個小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）A． B． C．e D．3．若函數(shù)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．4．已知上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A． B．1 C．2 D．6．已知函數(shù)在上存在極值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正實數(shù)，，都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，全部選對的得6分，部分選對的得部分2分，有選錯的得0分.9．下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．的單調(diào)遞減區(qū)間是B．在點處的切線方程是C．若方程只有一個解，則D．設(shè)，若對，使得成立，則11．已知，.若存在，，使得成立，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當時， B．當時，C．不存在，使得成立 D．恒成立，則三?填空題：本題共3小題每小題5分，共15分12．若函數(shù)的極大值為11，則的極小值為．13．與曲線和都相切的直線方程為.14．已知函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．16．已知函數(shù)．(1)當，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個零點，求的取值范圍．17．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，求在區(qū)間上的最大值．18．已知函數(shù).(1)當時，求的圖像在點處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求的取值集合.19．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，方程有三個不相等的實數(shù)根，分別記為.①求的取值范圍；②證明.1．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】因為，所以，所以切點為，又，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率，故得函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，即為．故選：B2．A【分析】在上恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到，求出答案.【詳解】由題意得在上恒成立，，故，即，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，故a的最小值為.故選：A3．D【分析】由題意得有兩個不相等的零點，列出不等式組求解即可.【詳解】依題意知，有兩個不相等的零點，故，解得且.故選：D.4．D【分析】由函數(shù)圖象得出和的解，然后用分類討論思想求得結(jié)論．【詳解】由圖象知的解集為，的解集為，或，所以或，解集即為．故選：D．5．A【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，代入，求出的值，進而求解的值即可.【詳解】因為所以定義域為.所以當時，，，則故選：A6．B【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)存在極值得出在給定區(qū)間有變號零點,設(shè)再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出最值即可求解.【詳解】,函數(shù)在上存在極值，在該區(qū)間有變號零點.即,,單調(diào)遞減,設(shè)，單調(diào)遞增;單調(diào)遞減;,,.故選:B.7．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，則轉(zhuǎn)化得到在上單調(diào)遞增，將題目轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用分離參數(shù)法即可得到答案.【詳解】由題意,不妨設(shè),因為對任意兩個不等的正實數(shù),都有,所以,即,構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),則，所以當時,單調(diào)遞增，時,單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.8．D【分析】分別討論，，時的零點個數(shù)，求出恰有兩個零點時實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】，①當時，令，解得，若在內(nèi)有零點，則，解得，即當時，在內(nèi)有一個零點；②當時，令，解得，若在內(nèi)有零點，則，解得，即當時，在內(nèi)有一個零點；③當時，令，即，令，則，令，得，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，，當時，方程有一個實數(shù)根，即函數(shù)在內(nèi)有一個零點，當時，方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，綜上所述，當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有一個零點；當時，函數(shù)在和內(nèi)分別有一個零點，即有兩個零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有一個零點；當時，函數(shù)在和內(nèi)分別有一個零點，即有兩個零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有一個零點，在內(nèi)有兩個零點，即有三個零點.函數(shù)恰有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.9．BC【分析】結(jié)合選項中的函數(shù)，求得相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號，即可判定函數(shù)的單調(diào)，得到答案．【詳解】對于A中，函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以A不符合題意,對于B,函數(shù)（），可得，當時，，單調(diào)遞增；故B符合，對于C中，,則，故單調(diào)遞增；故C符合，對于D，函數(shù)，可得，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以D不符合題意；故選：BC．10．BD【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，分析其單調(diào)性得到其圖象，可判斷ABC，對應(yīng)選項D，設(shè)函數(shù)的值域為，的值域為G，由求解判斷.【詳解】函數(shù)，，，令，得或；令，得；可得函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其大致圖象如圖：

對于，由上述分析可得A錯誤；，由，，得，所以切線為，故B正確；對于C，由方程只有一解，由圖象可知，或，故C錯誤；對于D，設(shè)函數(shù)的值域為，函數(shù)的值域為，對于，，，對于，，，若，，使得成立，則，故D正確，故選：BD.11．AB【分析】A選項，轉(zhuǎn)化同構(gòu)形式，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可得，即；B選項，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最小值問題即可；C選項，特值驗證，找到滿足條件即可；D選項，不等式變形、分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)研究最值即可.【詳解】選項A，，則，且，由，得，當時，，則在上遞增，所以當時，有唯一解，故，，故A正確；選項B，由A正確，得，設(shè)，則，令，解得易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，故B正確；選項C，由，，得，又驗證知，故存在，使得，C錯誤；選項D，由，恒成立，即恒成立，令，則，由在上遞增，又，，存在，使，在上遞減，在上遞增（其中滿足，即）.，要使恒成立，，存在滿足題意，故D錯誤.故選：AB.【點睛】方法點睛：在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合題型中，在題干條件中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，通?？梢钥紤]借助冪函數(shù)作為橋梁，通過變形轉(zhuǎn)化為相同結(jié)構(gòu)的式子，再構(gòu)造函數(shù)研究問題，即指對同構(gòu)思想的應(yīng)用.12．－21【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極大值，并求，再求解函數(shù)的極小值.【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，解得或，列表：00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當時，函數(shù)有極大值，由題意得，解得，當時，函數(shù)有極小值.故答案為：13．【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線相切的切點，然后表示出直線的方程，再根據(jù)切線是同一條直線建立方程求解.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，設(shè)直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，所以，解得，所以該直線的方程為，故答案為：.14．【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的定義推出為上的奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)推出在上單調(diào)遞增，再利用奇偶性和單調(diào)性將不等式化為對任意的恒成立，再參變分離得對任意的恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值可得結(jié)果．【詳解】因為，所以為上的奇函數(shù)．又，所以在上單調(diào)遞增，不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，所以，所以當時，，在上為增函數(shù)；當時，，在上為減函數(shù)，所以，設(shè)，顯然為上的增函數(shù)，因為，，所以存在，使得，所以，此時，所以，即的最大值為．故答案為：．【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故．15．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）若，則，，故，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）恒成立，即，又，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．16．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；（2）由，把函數(shù)的零點個數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為，兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，令，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進而結(jié)合函數(shù)圖象得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）將代入可得，其定義域為R，則.和都在上增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增且，因此，當時，，函數(shù)為單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)為單調(diào)遞增；綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）（2）由得，，令，則，時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；由單調(diào)性可知，當時，；當時，；當時，取得極小值，即；當時，取得極大值，即.所以和的大致圖象如下：綜上所述，若有三個零點，則的取值范圍為．17．（1）答案見解析；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負得到函數(shù)單調(diào)性；（2）分別在、和三種情況下，得到在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定最大值點，代入可得最大值.【詳解】（1）由題意得：定義域為，，①當時，，在上單調(diào)遞增；②當時，令得：，列表如下：＋－遞增極大值遞減在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當時，由（1）知：①當，即時，在上單調(diào)遞減，則；②當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；③當，即時，在上單調(diào)遞增，則；綜上所述：.18．(1)y=2x(2){1}【分析】（1）先求出切點，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，即可求出結(jié)果；（2）通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求的最小值，通過對進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，進而求出結(jié)果.【詳解】（1）當時，，所以，又，所以，故的圖像在點處的切線方程為，即.（2）解法一：因為恒成立，恒成立，令函數(shù)，則

①當時，在區(qū)間恒成立，此時g(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，又，易知，所以，故不合題意，②當時，由可得

即令，則在區(qū)間上恒成立所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，兩邊同時取對數(shù)可得，則當時，，即，當時，，即，所以當時，，故要使恒成立，只需，令，則，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，所以只有唯一解，即.綜上，a的取值集合為.解法二：由題意可得恒成立，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，所以，所以恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，又因為，要使恒成立，則是的極小值點，又因為，所以，解得.當時，令，，所以時，，時，，所以，滿足題意.綜上，a的取值集合為.【點睛】方法點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式恒成立問題，解題方法是把不等式變形為，然后由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，解不等式即可得參數(shù)范圍．19．(1)答案見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，分與討論即可；（2）①結(jié)合函數(shù)的極值點即可求解；②構(gòu)造函數(shù)與討論即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.又，令，得.當，即時，在恒成立，.當，即時，方程有兩根，可求得：，因為所以，當和時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù).綜上：當時，在上單調(diào)遞增，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當時，.①方程有三個不相等的實數(shù)根，即方程在上有三個不相等的實數(shù)根.令，則，令，求得：或