醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課件

初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理證(1)證(3)推論例題分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解小結(jié)注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.思考題

求曲線上與軸平行的切線方程.思考題解答令切點(diǎn)為所求切線方程為和練習(xí)題（一）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則證于是有例1解同理可得例2解特別地（二）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)證推廣例3解例4解例5解例6解例7解例8解小結(jié)反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過(guò)程,合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式小結(jié)2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu==可導(dǎo)，則（1）vuvu￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))例1解例2解思考題冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（）.思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導(dǎo)，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.練習(xí)題練習(xí)題答案（一）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法高階導(dǎo)數(shù)例（顯化）（不能顯化）隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?例1解解得例2解所求切線方程為顯然通過(guò)原點(diǎn).（二）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:例4解等式兩邊取對(duì)數(shù)得例5解等式兩邊取對(duì)數(shù)得一般地1.高階導(dǎo)數(shù)的定義問(wèn)題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.定義（三）高階導(dǎo)數(shù)記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),2.高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例1解直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例2解例3解例4解同理可得例5解練習(xí)題求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)一、主要內(nèi)容習(xí)題課1、導(dǎo)數(shù)的定義定義2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）3、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).4、高階導(dǎo)數(shù)記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))5、微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系定理7、微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.基本初等函數(shù)的微分公式

函數(shù)和、差、積、商的微分法則8、微分的基本法則

微分形式的不變性二、典型例題例1解例2解例3解分析:不能用公式求導(dǎo).例4解兩邊取對(duì)數(shù)例5解先去掉絕對(duì)值例6解例7解測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題答案

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:推論1推論2注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.定義例如,二、洛必達(dá)法則定理洛必達(dá)法則.例1解例2解例3解例4解例5解注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例6解例7解關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.步驟:例解例8解步驟:步驟:例9解例10解例11解例12解極限不存在洛必達(dá)法則失效。注意：洛必達(dá)法則的使用條件．小結(jié)洛必達(dá)法則練習(xí)題(一)單調(diào)性的判別法定理三、單調(diào)性的判別法證應(yīng)用拉氏定理,得例1解例2解單調(diào)區(qū)間為（二）單調(diào)區(qū)間求法導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:例3解單調(diào)區(qū)間為解：函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ唬┖瘮?shù)極值的定義四、函數(shù)的極值極其求法定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).（二）函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)。求極值的步驟:例1解列表討論極大值極小值圖形如下定理3(第二充分條件)證例2解圖形如下注意:例3解（三）小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)（一）最值的求法五、最大值、最小值問(wèn)題步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)（二）應(yīng)用舉例例1解計(jì)算比較得例2解:點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例3敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘,河的寬度0.5千米．問(wèn)我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例4解如圖,解得（三）小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別。最值是整體概念而極值是局部概念。實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟。（一）曲線凹凸的定義問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方六、曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義（二）曲線凹凸的判定定理1例1解注意到,

拐點(diǎn)的求法步驟：例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例4解（三）小結(jié)曲線的彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn)。凹凸性的判定；（一）漸近線定義:七、函數(shù)圖形的描繪例如有鉛直漸近線:1.鉛直漸近線例如有鉛直漸近線兩條:2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:3.斜漸近線斜漸近線求法:注意:例1解（二）圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢(shì);第五步（三）作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱性.列表不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)例4解無(wú)奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)極大值極小值（四）小結(jié)函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點(diǎn)凹的凸的單增單減思考題思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案

定積分

(DefiniteIntegrals)

在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績(jī)，那也就是正是在這里。恩格斯abxyo實(shí)例1

（求曲邊梯形的面積）一、定積分的概念abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放曲邊梯形如圖所示，近似分割曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為求和取極限例2

路程問(wèn)題（DistanceProblem)

把整段時(shí)間分割成若干小時(shí)間段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值．對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)，我們有公式路程=速度X時(shí)間解決變速運(yùn)動(dòng)的路程的基本思路（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（3）求和（4）取極限路程的精確值(2)近似（1）分割（3）求和（4）取極限(2)近似1、定積分的定義定義被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和注意：曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值2、定積分的幾何意義abxyooyabxxyoab例1利用定義計(jì)算定積分xyo1解(1)分割（2）取點(diǎn)（3）求和例2x1y面積值為圓的面積的小結(jié)１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：求和積零為整取極限精確值——定積分化整為零分割直（不變）代曲（變）近似觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:二、定積分的性質(zhì)證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1證性質(zhì)2補(bǔ)充：不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.例若（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3證性質(zhì)4性質(zhì)5性質(zhì)5的推論：證（1）證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)6證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式使積分中值公式的幾何解釋：變速直線運(yùn)動(dòng)中路程的兩種表示另一方面設(shè)s(t)是t時(shí)刻物體所走過(guò)的路程,則在這段時(shí)間內(nèi)物體所走過(guò)的路程為（一）問(wèn)題的提出三、牛頓—萊布尼茨公式?考察定積分記積分上限函數(shù)（二）積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是x

的函數(shù)積分上限函數(shù)的性質(zhì)證由積分中值定理得例例:求分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.解定理（原函數(shù)存在定理）定理（微積分基本公式）證（三）牛頓—萊布尼茨公式(Newton-Leibniz)令令牛頓—萊布尼茨公式微積分基本公式表明：例1求

原式例2設(shè)

,求.解解例4求

解解面積3.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小結(jié)牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．定理（一）換元公式四、定積分的換元法和分部積分法應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）例1計(jì)算解令例2計(jì)算解例3計(jì)算解令原式證奇函數(shù)例5計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積定積分的換元法小結(jié)定積分的分部積分公式推導(dǎo)（二）分部積分公式例1

計(jì)算解令則例2

計(jì)算解例3

藥物從患者的尿液中排出,一種典型的排泄速率函數(shù)是,其中k是常數(shù).求在時(shí)間間隔內(nèi),排出藥物的量D解D定積分的分部積分公式小結(jié)（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）

定積分的應(yīng)用回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題定積分的元素法

問(wèn)題的提出abxyo面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積元素元素法的一般步驟：這個(gè)方法通常叫做元素法。應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等。曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積一、平面圖形的面積解兩曲線的交點(diǎn)面積元素選為積分變量解兩曲線的交點(diǎn)A=2A′利用圖形的對(duì)稱性所求面積為例2xy-2-112-8-6-4-22468OA'y=x3y=4x思考：如果取積分區(qū)間為[-2，2]可以嗎？解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量解橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。圓柱圓錐圓臺(tái)二、旋轉(zhuǎn)體的體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為解直線方程為例2求橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積解：將橢圓方程化為由公式b-ba-aOxy得出所求的體積為例3求由拋物線y=1-x2和y=0所為成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.x

y-111O

y=1-x2解:取y為積分變量，變量

y的變化區(qū)間為[0，1],

利用公式：所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為：

例4：求由拋物線y2=x和直線x=1所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.x

y1-11O(1,1)

y2=x解：解方程組得兩個(gè)交點(diǎn)（1,1）和(1,-1).積分變量y的變化區(qū)間為[-1,1],所求旋轉(zhuǎn)體的體積是繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差,所以，所求旋轉(zhuǎn)體的體積V為:小結(jié)曲線x=

(y),直線y=c,y=d及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V為:曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V為:xydcOx=

(y)dy三、變力沿直線所作的功解即功元素為所求功為四、連續(xù)函數(shù)在已知區(qū)間上的平均值積分中值公式的幾何解釋：例：求函數(shù)在區(qū)間上的平均值解：例：胰島素平均濃度的測(cè)定

由實(shí)驗(yàn)測(cè)定病人的胰島素濃度，先讓病人禁食，以降低體內(nèi)血糖水平，然后通過(guò)注射給病人大量的糖。假定由實(shí)驗(yàn)測(cè)得病人的血液中的胰島素的濃度C(t)(單位/ml)為其中,時(shí)間t的單位是分鐘，求血液中的胰島素在一小時(shí)內(nèi)的平均濃度C(t)解：五、定積分在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用1、染料稀釋法確定心輸出量

心輸出量是指每分鐘心臟泵出的血量，在生理學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用染料稀釋法來(lái)測(cè)定。把一定量的染料注入靜脈，染料將隨血液循環(huán)通過(guò)心臟到達(dá)肺部，再返回心臟而進(jìn)入動(dòng)脈系統(tǒng)。

假定在時(shí)刻t=0時(shí)注入5mg的染料，自染料注入后便開(kāi)始在外周動(dòng)脈中連續(xù)30秒監(jiān)測(cè)血液中染料的濃度，它是時(shí)間的函數(shù)C(t):51813832146330C(t)t(s)C(mg/l)

注入染料的量M與在30秒之內(nèi)測(cè)到的平均濃度的比值是半分鐘里心臟泵出的血量，因此，每分鐘的心輸出量Q是這一比值的2倍，即試求這一實(shí)驗(yàn)中的心輸出量Q解因此2.脈管穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)血流量的測(cè)定

設(shè)有半徑為R，長(zhǎng)為L(zhǎng)的一段剛性血管，兩端的血壓分別為和，已知在血管的橫載面上離血管中心r處的血流速度符合Poiseuille公式其中為血液粘滯系數(shù)，求單位時(shí)間流過(guò)該橫載面的流量QrLrr+dr

問(wèn)題的提出（Introduction)前面遇到的定積分是確定的常數(shù)，且在上連續(xù)。那么如何計(jì)算下列兩種類型的積分？是普通的積分，

多元函數(shù)的極值(Absolutemaximumandminmumvalues)ABCD1.二元函數(shù)極值的定義一、二元函數(shù)極值(1)(2)(3)例1例２例３2.多元函數(shù)取得極值的條件證

仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：例1.求函數(shù)

的極值

求最值的一般方法：

1）將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值

2）求D的邊界上的最大值和最小值

3）相互比較函數(shù)值的大小，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.3.多元函數(shù)的最值例

某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)長(zhǎng)寬高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省？解：設(shè)水箱的長(zhǎng)為x,寬為y,則其高為此水箱的用料面積時(shí)，A取得最小值，根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開(kāi)區(qū)域D(x>0,y>0)內(nèi)取得。又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)就是說(shuō)，當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高均為時(shí)，水箱所用的材料最省。二、條件極值拉格朗日乘數(shù)(Lagrange)條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．無(wú)條件極值：對(duì)自變量除有定義域的限制外無(wú)任何其它條件限制的極值．無(wú)條件極值可根據(jù)前面的方法求定義域上的極值．條件極值可化為無(wú)條件極值來(lái)計(jì)算，比如前面的例子(Conditionalextremum)條件極值還可以應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)計(jì)算設(shè)目標(biāo)函數(shù)為

約束函數(shù)為

則有

解之，消去

求其可數(shù)極值點(diǎn)，再由充分條件研究。例4.求函數(shù)

在方程

約束下的最大

值與最小值。

解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)由（1）得或代入（3）當(dāng)時(shí)，代入（2）當(dāng)時(shí)，再代回（3），得，可得可數(shù)極值點(diǎn)（四個(gè)）分別是：

再由充分條件，列表討論之。多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值

小結(jié)

多元函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

問(wèn)題的提出我們知道，如果函數(shù)這一法則稱為一元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則。現(xiàn)在，我們要將這一法則推廣到多元復(fù)合函數(shù)。1.中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形鏈?zhǔn)椒▌t如圖示解推論2.中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形即其中兩者的區(qū)別zuxxyy3.設(shè)z=f(x,y)可微，且對(duì)t

可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)對(duì)t可導(dǎo)，且zxytt全導(dǎo)數(shù)上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).解

鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）

小結(jié)二、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(Implicitdifferentiation)

在一元函數(shù)微分學(xué)中我們已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并且通過(guò)舉例的方法指出了不經(jīng)過(guò)顯化直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法。一個(gè)方程的情形(Oneequation)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）解令則（2）解令則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

小結(jié)我們通常采用兩端對(duì)自變量求導(dǎo)解方程的方法。

多元函數(shù)微積分第一節(jié)多元函數(shù)橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系

三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.一、空間直角坐標(biāo)系Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)軸X上點(diǎn)P軸Y上點(diǎn)P軸Z上點(diǎn)P空間的點(diǎn)M向量的坐標(biāo)式空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為

曲面方程（EquationsforaSurface)：

定義：在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)有曲面S與三元方程

則稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程。1）曲面S上任一點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)均滿足F(x,y,z)=0;方程曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形。2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)均不滿足方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0,若滿足解：設(shè)M(x,y,z)為球面上的任意一點(diǎn)，則例2設(shè)有點(diǎn)設(shè)M(x,y,z)為中垂面面上的任意一點(diǎn)，例1建立球心在點(diǎn)半徑為R的球面方程。求線段AB的垂直平分面.柱面方程

xyz0例如,左圖為球面.橢球面：xyz(Ellipsoids)雙曲拋物面（馬鞍面）xzyo二、多元函數(shù)基本概念觀察幾個(gè)例子

例1理想氣體的體積V與溫度T成正比，而與壓強(qiáng)P成反比，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出（其中R是比例常數(shù)）

例2三角形的面積A依賴于三角形的兩條邊b和c,以及這兩邊的夾角C，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出這兩個(gè)例子的實(shí)質(zhì)是依賴于多個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系。定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．例1

求的定義域解所求定義域?yàn)槔?

求的定義域。解所求定義域?yàn)?/p>

二元函數(shù)的圖形說(shuō)明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.例如三、多元函數(shù)的極限與連續(xù)1.二元函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)可以除外）.如果當(dāng)無(wú)限趨近于時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，則稱當(dāng)時(shí)，以為極限，記作或注意：（2）定義中的方式是任意的；（3）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（1）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．（4）二重極限不同于二次極限例1

求極限解其中多元函數(shù)的極限可以應(yīng)用一元函數(shù)求極限的法則例2

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．例3:證明證明:而確定極限不存在的方法：

2.多元函數(shù)的連續(xù)性

定義

間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)的判定（只要滿足下列一條）：例4

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．例5解例6解多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)小結(jié)多元函數(shù)的定義思考判斷題

二重積分柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂（1）曲頂柱體的體積1.問(wèn)題的提出曲頂柱體一、重積分的概念與性質(zhì)曲頂柱體：以曲面∑：z=f(x,y)為頂，一般z=f(x,y)在D上連續(xù)。以平面有界區(qū)域D為底，側(cè)面是柱面，該柱面以D為準(zhǔn)線，母線平行于z軸。還有其他類型的柱面。播放

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示。

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示。

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示。

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示。步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，?D

z

=f(x,y)yxz(1)分割(2)近似(3)作和(4)取極限令將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量（2）求平面薄片的質(zhì)量返回

定義1

設(shè)f(x,y)是有界閉域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小區(qū)域存在，則稱其為f(x,y)在D上的二重積分，記為2.二重積分的概念其中

i表示第i個(gè)小區(qū)域，也表示它的面積。在每個(gè)任意取(

i

,

i)，作積、作和，若極限積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量面積元素曲頂柱體體積對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：平面薄片的質(zhì)量(1)二重積分的定義中，對(duì)閉區(qū)域的劃分和介點(diǎn)選取是任意的。(2)當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在。二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積。當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值。若位于xoy面上方柱體的體積為正值；位于xoy面下方柱體的體積為負(fù)值，二重積分的幾何意義是柱體的體積的代數(shù)和。

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為積分變量二重積分的具體形式dxdy性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）3.二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特別地則有（比較定理）性質(zhì)６性質(zhì)７（積分中值定理）（估值定理）二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積代數(shù)和）（和式的極限）小結(jié)（線性、區(qū)域可加性、估值不等式）思考題

將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處.

定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)。不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)。思考題解答

按定義:二重積分是一個(gè)特定乘積和式極限

然而，用定義來(lái)計(jì)算二重積分，一般情況下是非常麻煩的。

那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:

問(wèn)題的提出二重積分的計(jì)算法利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此,先介紹：

1.積分域D:如果積分區(qū)域?yàn)椋海?）X-型域［X－型］

X型區(qū)域的特點(diǎn)：a、平行于y軸且穿過(guò)區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)；b、（2）Y-型域：［Y－型］

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。b、（3）矩型域：Oabdc

2.X-型域下二重積分的計(jì)算:

由幾何意義，若?(x,y)≥0，則yZ

注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:1）上式說(shuō)明:二重積分可化為二次定積分計(jì)算;2）積分次序:X-型域先Y后X;3）積分限確定法:

域中一線插,內(nèi)限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：3.Y-型域下二重積分的計(jì)算：同理：［Y－型域下］

1）積分次序:Y-型域,先x后Y;

2）積分限確定法:

“域中一線插”,須用平行于X軸的射線穿插區(qū)域。注意:3）積分限確定法:

域中一線插,內(nèi)限定左右，域邊兩線夾，外限依靠它。4.矩形域下二重積分的計(jì)算：

D:例計(jì)算其中解：［X－型］［Y－型］

注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。5.利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的步驟（1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類型,確定積分次序；（4）計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果。例解：X-型例解：（如圖）將D作Y型-12?按先y后x的方法如何計(jì)算呢注:按先y后x的方法重新計(jì)算例2oxy11Dy=xxy解：積分區(qū)域如圖xyo231原式D1D2oy-111［X－型］

小結(jié)［Y－型］矩形域

D:計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：化二重積分為二次積分。

根據(jù)區(qū)域形狀和類型確定積分次序，從而穿線確定內(nèi)限，夾線確定外限。計(jì)算二次積分。

由內(nèi)向外逐層計(jì)算，內(nèi)層積分計(jì)算時(shí)，外層積分變量看做常量。謝謝!

概率的基本公式

一、概率的加法定理1.設(shè)A;B為任意兩個(gè)事件,則:P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)ABP(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例題1右圖A,B開(kāi)關(guān)的開(kāi)與關(guān)概率均為1/2,求燈亮的概率.解:P(燈亮)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=AB法2：推論1.

若A.B為互不相容的兩個(gè)事件,則P(A+B)=P(A)+P(B)一般地,若A1,A2,…,An兩兩互不相容,則推論2對(duì)任一事件A,有推論3

若事件AB,則P(A-B)=P(A)-P(B)例題2盒中有32只紅球,4只白球,從中任取2支,求:至少有1只白球的概率.解：P(恰好1只白球)=P(A)=P(恰好2只白球)=P(B)=P(至少1只白球)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.2032+0.0095=0.2127解法2:例題310名學(xué)生為同一年出生,問(wèn)至少二人同一天生日的概率.解:P(二人同一天)=1-P(沒(méi)有人同一天生日)=1-例題4一盒試樣共20支，放置一段時(shí)間后，其中有6支澄明度較差，有5只標(biāo)記不清，有4只澄明度和標(biāo)記都不合要求，現(xiàn)從中任取1支，求這只無(wú)上述問(wèn)題的概率。解：A=｛澄明度較差｝；B=｛標(biāo)記不清｝二、概率的乘法公式1.條件概率定義:事件A和B,若P(A)≠0,則下式稱為在事件A

發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率或BA例題110件物品中有2件次品,若不放回地抽取,問(wèn):第一次取到正品后第二次取得正品的概率.解:

設(shè)A={第一次取到正品}B={第二次取到正品}

則所求概率為:例題2一群人中,聾子的概率為0.005,盲人的概率為0.0085,而聾子中是盲人的概率為0.12,求某人又聾又盲的概率.解:

設(shè)A={聾子};B={盲人}

則:P(A)=0.005;P(B)=0.0085;P(B/A)=0.12

所求概率：

P(又聾又盲)=P(AB)條件概率的性質(zhì):1.P(B/A)≥02.P(U/A)=1,P(V/A)=03.P(B/A)=1-P(B/A)4.P(B1+B2/A)=P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1B2/A)特別地:

當(dāng)條件A=U

時(shí),條件概率就變成無(wú)條件概率了.

即:P(B/U)=P(B)2.獨(dú)立事件與乘法公式獨(dú)立事件定義:

若P(B)=P(B/A),則稱事件B與事件A獨(dú)立由于：定理2:事件A與B相互獨(dú)立例題1

甲打中的概率為0.7,乙打中的概率為0.9。設(shè)A=｛甲打中｝；B=｛乙打中｝，則:P(A)=0.7;P(B)=0.91.甲乙兩人都打中的概率為: P(AB)=P(A)P(B)=0.7*0.9=0.632.目標(biāo)被打中的概率為: P(A+B)=1-(1-0.7)(1-0.9)=0.973.P(甲脫靶/目標(biāo)擊中)=0.3*0.9/0.97=0.278例題2例題3(見(jiàn)142頁(yè)例6-18)甲.乙.丙三人能破譯某密碼的概率分別為 問(wèn)密碼能被破譯出來(lái)的概率.解:

例題4:彩電使用10000小時(shí)無(wú)故障的概率為95%,使用15000小時(shí)無(wú)故障的概率為60%;現(xiàn)有一臺(tái)彩電已使用了10000小時(shí)無(wú)故障,問(wèn)該彩電繼續(xù)使用到15000小時(shí)無(wú)故障的概率?解:設(shè)A={使用10000小時(shí)無(wú)故障};B={使用15000小時(shí)無(wú)故障}所求概率為:P(B/A)= =0.6/0.95=0.63三、全概率公式及Bayes公式完備事件組:

事件A1,

A2,,…,

An兩兩互不相容,且P(Ai)>0; .全概率公式

設(shè)事件A1,

A2,,…,

An為一完備事件組,則對(duì)任一事件B,都有:證明:A1A2AiAn……B例題1口袋中有3紅2白球，現(xiàn)無(wú)放回地取2球，問(wèn)第二次取到紅球的概率？解：設(shè)A：第一次取到紅球

B：第二次取到紅球例2：

甲、乙、丙三車間的次品率分別為1%，1.5%，2%，且全廠各車間產(chǎn)品所占比例為25%，35%，40%，求全廠的次品率？解：設(shè)Ai(I=1,2,3)：分別為抽得甲、乙、丙三車間的產(chǎn)品

B：表示抽到次品。則：P（B）Bayes公式（逆概率公式）另：例3：

患結(jié)核病的人胸透被診斷為結(jié)核病的概率為0.95，而未患病的人誤診的概率為0.002，又知某城鎮(zhèn)居民的結(jié)核病患病率為0.001，現(xiàn)有一人經(jīng)胸透被診斷為結(jié)核病，問(wèn)確實(shí)患有結(jié)核病的概率？解：設(shè)A：被診斷為結(jié)核??；B：確實(shí)患有結(jié)核病P（B/A）四、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和伯努利（Bernoulli)概型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下重復(fù)試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)。伯努利（Bernoulli)試驗(yàn)：每次試驗(yàn)結(jié)果只有A與A的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。例：扔硬幣；射擊等定理：n次Bernoulli試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)k次的概率為：并且其中P(A)=p，p+q=1例1：扔5次硬幣正面出現(xiàn)3次的概率為：例2：5個(gè)細(xì)菌隨機(jī)出現(xiàn)在3個(gè)試管溶液中，則第一個(gè)試管溶液中的細(xì)菌不多于一個(gè)的概率？解：設(shè)：P(A)=P(某個(gè)細(xì)菌落在第一個(gè)試管)概率論基礎(chǔ)研究對(duì)象:確定性現(xiàn)象:在一定條件下必然發(fā)生或者不可能發(fā)生的現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象:在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象確定性現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象的特殊情況，就如常量是特殊變量一樣RandomEventandIt’sProbability隨機(jī)試驗(yàn):在相同的條件重復(fù)進(jìn)行多次試驗(yàn),試驗(yàn)的結(jié)果為多種不同的結(jié)果且事先不能確定將會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件第一節(jié)隨機(jī)事件及其概率必然事件:必定發(fā)生的事件,記:U不可能事件:必定不發(fā)生的事件,記:V隨機(jī)事件:隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算基本事件:一次試驗(yàn)的每一可能結(jié)果基本事件空間:由所有基本事件組成的集合.記作:U 例:{1,2,3,4,5,6}：共6個(gè)基本事件構(gòu)成一基本事件空間U；A={2}：A事件是U的子集，是U的一個(gè)基本事件。復(fù)雜事件:由若干個(gè)基本事件組合成的集合.--------是U的子集例:{1,2,3,4,5,6,}共6個(gè)基本事件構(gòu)成一基本事件空間{2,4,6}=A事件是U的子集事件表示法：集合表示法U：表示必然事件及基本事件空間V：表示不可能事件，是1.包含關(guān)系（Implication)釋:1.事件A發(fā)生是指事件A中的某一個(gè)或幾個(gè)基本事件發(fā)生.2.屬于A的基本事件必屬于事件B.AB記:BA定義:若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生例：B=｛吃飽了｝A=｛吃包子吃飽了｝相等關(guān)系(Equivalence)

記:A=B

AB并且BA3.事件的和(sumofevents)記:A∪B或A+B事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生.例:射擊事件AB4.事件的差(differenceofevents)記:A-B=A∩B=AB事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生.AB例：下棋5.事件的積(productofevents)記:AB或A∩B事件A與B同時(shí)發(fā)生.例:A={甲打中目標(biāo)}B={乙打中目標(biāo)}C={甲乙同時(shí)打中目標(biāo)}=AB互斥關(guān)系(又叫:互不相容關(guān)系)

(mutuallyexclusive)事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生.AB=V或A∩B=VABU例:扔骰子7.互逆關(guān)系(也叫:對(duì)立關(guān)系)

complementaryevents事件A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生.A+B=U且AB=V記:A=B或B=AAB例:投硬幣概率積和逆集合交并補(bǔ)邏輯與、且或非例題1.檢查三人的脈象:A={第一人正常}B={第二人正常}C={第三人正常},試用A,B,C三個(gè)事件的關(guān)系表示下列事件:1)只有第一人正常；2)只有一人正常.3)三人都不正常.4)至少一人正常.5）只有第三人不正常。解:或或或符號(hào)概率論集合論U必然事件全集V不可能事件空集AU事件AU的子集AB事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生（包含關(guān)系）A是B的子集A=B事件A與B相等A與B相等A+B事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生（事件的和）A與B的并集AB事件A與B同時(shí)發(fā)生（事件的積）A與B的交集A—B事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生（事件的差）A與B的差集AB=V事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生(互不相容）A∩B=A事件A不發(fā)生（A的逆事件）A的補(bǔ)集回顧:排列與組合三、概率的定義1.概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同的條件下進(jìn)行n次試驗(yàn),隨機(jī)事件A發(fā)生了m次,則事件A發(fā)生的概率為事件A發(fā)生的頻率,即:P(A)=例:扔硬幣P(出現(xiàn)正面)==1/21).0≤P(A)≤12).P(U)=13).P(V)=0概率的性質(zhì)：2.概率的古典定義隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果為N個(gè)互不相容且等可能發(fā)生的基本事件所構(gòu)成的事件組,其中事件A所包含的基本事件數(shù)為M,則,事件A的概率為:P(A)==例1：求七位數(shù)字的電話號(hào)碼正好由七個(gè)不同的數(shù)字組成的概率（首位數(shù)不為零）。解：設(shè)A=｛由七個(gè)不同的數(shù)字組成的電話｝，則：例2：90件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)不放回地隨機(jī)抽取2次，求取得2次均為次品的概率。若有放回呢？解：設(shè)：A=（取得2次均為次品）①不放回②有放回

廣義積分

1、無(wú)窮限的廣義積分例1

計(jì)算廣義積分解證2、無(wú)界函數(shù)的廣義積分定義中C為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分.例計(jì)算廣義積分解例

計(jì)算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.證例計(jì)算廣義積分解瑕點(diǎn)小結(jié)問(wèn)題1:曲邊梯形的面積問(wèn)題2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理廣義積分定積分定積分的性質(zhì)定積分的計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式主要內(nèi)容1、問(wèn)題的提出實(shí)例1

（求曲邊梯形的面積A）實(shí)例2

（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）方法:分割、近似、求和、取極限.2、定積分的定義可積的兩個(gè)充分條件：定理1定理23、存在定理4、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)5推論：（1）（2）性質(zhì)4性質(zhì)7(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式5、牛頓—萊布尼茨公式定理1定理2（原函數(shù)存在定理）定理3（微積分基本公式）也可寫成牛頓—萊布尼茨公式6、定積分的計(jì)算法換元公式（1）換元法（2）分部積分法分部積分公式７、廣義積分(1)無(wú)窮限的廣義積分(2)無(wú)界函數(shù)的廣義積分

問(wèn)題的提出(Introduction)0T(時(shí)間）溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量2.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義例1證由定義2知3.單側(cè)連續(xù)定理例2解右連續(xù)但不左連續(xù),4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例3證5.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足什么條件？二、函數(shù)的間斷點(diǎn)1.跳躍間斷點(diǎn)例4解2.可去間斷點(diǎn)例5解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)3.第二類間斷點(diǎn)例6解例7解例8解小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見(jiàn)下圖)可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)的和、差、積商的四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,2.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理3注：極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解例2解同理可得3.初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.(1)(2)(3)定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.(4)(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例3例4解解四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)定義2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)3.關(guān)于連續(xù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)定義

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)：在(a,b)內(nèi)連續(xù)，在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù).（1）最大值、最小值定義2.最值定理,使任意x有對(duì)于在區(qū)間I上有定義的，則稱是函數(shù)在區(qū)間I上的最大值[最小值]如果閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大值、最小值.ab（2）最值定理推論：有界性定理閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。3.介值定理（1）零點(diǎn)如果c有f(c)=0,則稱c為f(x)的零點(diǎn)。（2）零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0那么在開(kāi)區(qū)間（a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c(a<c<b)使f(c)=0bcf(x)注：零點(diǎn)不一定唯一例1證明：在[0，1]內(nèi)至少有一個(gè)根。證：在[01]上連續(xù),a由零點(diǎn)定理知，存在c(0<c<1),使（3）介值定理若f(x)在[a,b]上連續(xù)且f(a)=A,f(b)=B,A<>B,那么對(duì)A與B間的任一數(shù)p,在開(kāi)區(qū)間（a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)=p(a<c<b)證明：構(gòu)造函數(shù)在[a,b}上連續(xù)，

由于p介于A,B之間，故A-p,B-p異號(hào)，從而由零點(diǎn)定理知道，存在c使該定理的幾何意義：連續(xù)曲線弧y=f(x)與水平直線y=p至少相交于一點(diǎn)。abBP

推論：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值。A內(nèi)容小節(jié)：1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義2.間斷點(diǎn)類型：第一類第二類可去型跳躍型無(wú)窮振蕩3.運(yùn)算法則4.初等函數(shù)的連續(xù)性5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)再見(jiàn)!謝謝大家

函數(shù)的微分一、問(wèn)題的提出實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.再例如,既容易計(jì)算又是較好的近似值問(wèn)題:這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?二、微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))由定義知:三、可微的條件定理證(1)必要性(2)充分性例1解四、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖)P五、微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則例2解例3解六、微分形式的不變性結(jié)論：微分形式的不變性例4解例3解例5解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.七、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問(wèn)題:函數(shù)的變化率問(wèn)題函數(shù)的增量問(wèn)題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:★★思考題思考題解答說(shuō)法不對(duì).

從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問(wèn)題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.練習(xí)題練習(xí)題答案

矩陣1.線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)一、矩陣的概念對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為2.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開(kāi)辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B.四城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:發(fā)站到站其中表示有航班.為了便于計(jì)算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一個(gè)數(shù)表:這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.矩陣的定義

由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡(jiǎn)稱矩陣.記作簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.主對(duì)角線副對(duì)角線例如是一個(gè)3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).（3）

稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?形如的方陣,不全為0

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作(5)方陣稱為單位矩陣.全為1二、矩陣的運(yùn)算定義設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為１.矩陣的加法和數(shù)乘說(shuō)明只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如2.矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律定義3.數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）說(shuō)明只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如１.定義并把此乘積記作矩陣的乘法設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如不存在.２.矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）;

若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且注意矩陣不滿足交換律，即：例

設(shè)則但也有例外，比如設(shè)則有定義把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)例已知解法1解法2對(duì)稱陣與伴隨矩陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對(duì)稱陣.對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.說(shuō)明方陣的行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)則矩陣稱為的可逆矩陣或逆陣.三、矩陣的逆在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為的倒數(shù)，

（或稱的逆）；

在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中

的1，那么，對(duì)于矩陣，如果存在一個(gè)矩陣,使得

定義

對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣

則說(shuō)矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.,使得例設(shè)說(shuō)明若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

證明若可逆，按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義例1求方陣的逆矩陣.解逆矩陣的求法同理可得故解例例3設(shè)解于是逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)四、小結(jié)(1)矩陣的概念(2)特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對(duì)角矩陣;零矩陣.矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式

（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.

（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意

（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣存在說(shuō)明一、特征值與特征向量的概念

矩陣的特征值與待征向量解例1

例２

解例３

設(shè)求A的特征值與特征向量．解得基礎(chǔ)解系為：例４

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得證明則即類推之，有二、特征值和特征向量的性質(zhì)把上列各式合寫成矩陣形式，得注意１.屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的．２.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．３.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值．例5

設(shè)A是階方陣，其特征多項(xiàng)式為解三、特征值與特征向量的求法求矩陣特征值與特征向量的步驟：四、小結(jié)例

可降階的二階微分方程解法對(duì)它兩邊積分，便得方程的通解為例2解分離變量，兩邊積分得兩邊積分得原方程通解為解法再分離變量并積分，便得原方程的通解為解代入原方程得

原方程通解為例解將方程寫成積分后得通解注意這一段技巧性較高,關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.例

偏導(dǎo)數(shù)與全微分(Partialderivative)

問(wèn)題的提出

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量的比值的極限，它刻畫了函數(shù)對(duì)于自變量的變化率。對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，雖然自變量的個(gè)數(shù)增多了，我們?nèi)匀豢梢钥紤]函數(shù)對(duì)某一個(gè)自變量的變化率，也即是在其中一個(gè)自變量發(fā)生變化，而其余自變量都保持不變的情形下，考慮函數(shù)對(duì)于該自變量的變化率。

比如：一定量理想氣體的體積V，壓強(qiáng)P與絕對(duì)溫度T之間存在著某種聯(lián)系，我們可以在等溫條件下，考察體積對(duì)于壓強(qiáng)的變化率。

多元函數(shù)對(duì)某一個(gè)自變量的變化率引出了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如三元函數(shù)在處解解證解例4求的偏導(dǎo)數(shù)將y和z都看作常量，對(duì)變量x求導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)自變量x,y,z在表達(dá)式中的對(duì)稱性，立即寫出證二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖幾何意義:混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).三、高階偏導(dǎo)數(shù)

(Partialderivativesofhigherorder)

解結(jié)論：混合偏導(dǎo)數(shù)并不都是都相等的.偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)小結(jié)四、全微分

(Totaldifferential)

問(wèn)題的提出在許多實(shí)際問(wèn)題中，我們需要研究函數(shù)形如例如：已知矩形的邊長(zhǎng)和由變?yōu)?，研究矩形面積S的全增量解：線性主部無(wú)窮小量

全增量的概念

全微分的定義

可微的條件證總成立,同理可得記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)

通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．？說(shuō)明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在，注意：只有偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，全微分才存在解所求全微分解

隨機(jī)變量的數(shù)字特征

*數(shù)字特征:表達(dá)隨機(jī)變量某種性質(zhì)的量.

如:B(n,p);N(μ,σ2)等一、數(shù)學(xué)期望

又稱:均值回顧平均值的計(jì)算方法:*1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望ξa1a2

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…pP1p2

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