線性代數(shù)方程組的解法

關(guān)于線性代數(shù)方程組的解法§5向量和矩陣的范數(shù)一、向量范數(shù)（/*VectorNorm*/）設(shè)是的一個映射，若對存在唯一實數(shù)與之對應(yīng)，且滿足

非負性：

齊次性：

三角不等性：且則稱為中向量的范數(shù)。非負實值函數(shù)

稱為賦范線性空間第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

常用的幾種向量范數(shù)：設(shè)

1-范數(shù)：

2-范數(shù)：

-范數(shù)：上述3種向量范數(shù)統(tǒng)稱為P-范數(shù)(或者Holder范數(shù))第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例1：設(shè)是n階實對稱正定矩陣，則是中的一種向量范數(shù)。證明：只需驗證范數(shù)的3個條件成立即可。

非負性：

齊次性：

三角不等性：存在非奇異下三角陣第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

向量范數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1證明：同理性質(zhì)2的所有向量范數(shù)是彼此等價的。第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天（等價性/*EquivalenceProperty*/）設(shè)和是上定義的兩種范數(shù)，如果存在正數(shù)滿足則稱和是上等價的向量范數(shù)。這個性質(zhì)說明，中的一切范數(shù)都是等價的。第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天等價性質(zhì)舉例：第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天二、矩陣范數(shù)（/*MatrixNorm*/）

非負性：

齊次性：

三角不等性：且則稱為中矩陣的范數(shù)。

賦范線性空間

設(shè)是的一個映射，若對存在唯一實數(shù)與之對應(yīng)，且滿足第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天其中稱之為矩陣的跡是的特征值設(shè)是上的范數(shù)，是上的范數(shù)如果對滿足則稱上述矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容。Def4第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天從屬性（/*Subordination*/）設(shè)矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容，且對每一個都存在一個非零向量滿足則稱是從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù)。以后若不特別聲明，所用范數(shù)均滿足相容性和從屬性第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天對于中的每一種向量范數(shù)，中至少存在一種從屬于它的矩陣范數(shù)：Def6稱為矩陣A的算子范數(shù)。第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天上述定義中分別取向量的1、2、范數(shù)從而得到常用的3種分別從屬于它們的矩陣范數(shù)：

列范數(shù)：記

行范數(shù)：

譜范數(shù)：其中是的最大特征值譜半徑第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例3：給定矩陣求矩陣的1、2、范數(shù)。若是實對稱矩陣，則矩陣的特征值為第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天三、方程組的性態(tài)和條件數(shù)

由實際問題得到的方程組的系數(shù)矩陣或者常數(shù)向量的元素，本身會存在一定的誤差；這些初始數(shù)據(jù)的誤差在計算過程中就會向前傳播，從而影響到方程組的解。初始數(shù)據(jù)誤差和方程組的近似解的誤差之間關(guān)系例12考察方程組：精確解為第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天設(shè)方程組存在擾動精確解為上例說明該方程組的解對初始元素的擾動非常敏感。設(shè)方程組為系數(shù)矩陣和常數(shù)向量的擾動分別記為：和實際求解的方程組為第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天反之，如果和微小時，也微小，則稱方程組為良態(tài)(/*Well-conditioned*/)方程組，稱系數(shù)矩陣為關(guān)于求解方程組良態(tài)矩陣。病態(tài)方程組對任何算法都將產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性

如果和很小，而很大，則稱方程組為病態(tài)(/*ill-conditioned*/)方程組，稱系數(shù)矩陣為關(guān)于求解方程組病態(tài)矩陣；7第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

若矩陣范數(shù)取2-范數(shù)，則得到譜條件數(shù)：

若矩陣范數(shù)取1-范數(shù)，則得到1-條件數(shù)：

若矩陣范數(shù)取

-范數(shù)，則得到-條件數(shù)：

設(shè)為可逆陣，為一種從屬矩陣范數(shù)，則稱為矩陣的條件數(shù)

8第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例5第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共26頁，2024