線性代數(shù)方程組的解法

關(guān)于線性代數(shù)方程組的解法§5向量和矩陣的范數(shù)一、向量范數(shù)（/*VectorNorm*/）設(shè)是的一個(gè)映射，若對(duì)存在唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，且滿足

非負(fù)性：

齊次性：

三角不等性：且則稱為中向量的范數(shù)。非負(fù)實(shí)值函數(shù)

稱為賦范線性空間第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

常用的幾種向量范數(shù)：設(shè)

1-范數(shù)：

2-范數(shù)：

-范數(shù)：上述3種向量范數(shù)統(tǒng)稱為P-范數(shù)(或者Holder范數(shù))第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例1：設(shè)是n階實(shí)對(duì)稱正定矩陣，則是中的一種向量范數(shù)。證明：只需驗(yàn)證范數(shù)的3個(gè)條件成立即可。

非負(fù)性：

齊次性：

三角不等性：存在非奇異下三角陣第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

向量范數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1證明：同理性質(zhì)2的所有向量范數(shù)是彼此等價(jià)的。第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天（等價(jià)性/*EquivalenceProperty*/）設(shè)和是上定義的兩種范數(shù)，如果存在正數(shù)滿足則稱和是上等價(jià)的向量范數(shù)。這個(gè)性質(zhì)說明，中的一切范數(shù)都是等價(jià)的。第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天等價(jià)性質(zhì)舉例：第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天二、矩陣范數(shù)（/*MatrixNorm*/）

非負(fù)性：

齊次性：

三角不等性：且則稱為中矩陣的范數(shù)。

賦范線性空間

設(shè)是的一個(gè)映射，若對(duì)存在唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，且滿足第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天其中稱之為矩陣的跡是的特征值設(shè)是上的范數(shù)，是上的范數(shù)如果對(duì)滿足則稱上述矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容。Def4第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天從屬性（/*Subordination*/）設(shè)矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容，且對(duì)每一個(gè)都存在一個(gè)非零向量滿足則稱是從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù)。以后若不特別聲明，所用范數(shù)均滿足相容性和從屬性第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于中的每一種向量范數(shù)，中至少存在一種從屬于它的矩陣范數(shù)：Def6稱為矩陣A的算子范數(shù)。第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天上述定義中分別取向量的1、2、范數(shù)從而得到常用的3種分別從屬于它們的矩陣范數(shù)：

列范數(shù)：記

行范數(shù)：

譜范數(shù)：其中是的最大特征值譜半徑第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例3：給定矩陣求矩陣的1、2、范數(shù)。若是實(shí)對(duì)稱矩陣，則矩陣的特征值為第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天三、方程組的性態(tài)和條件數(shù)

由實(shí)際問題得到的方程組的系數(shù)矩陣或者常數(shù)向量的元素，本身會(huì)存在一定的誤差；這些初始數(shù)據(jù)的誤差在計(jì)算過程中就會(huì)向前傳播，從而影響到方程組的解。初始數(shù)據(jù)誤差和方程組的近似解的誤差之間關(guān)系例12考察方程組：精確解為第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天設(shè)方程組存在擾動(dòng)精確解為上例說明該方程組的解對(duì)初始元素的擾動(dòng)非常敏感。設(shè)方程組為系數(shù)矩陣和常數(shù)向量的擾動(dòng)分別記為：和實(shí)際求解的方程組為第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天反之，如果和微小時(shí)，也微小，則稱方程組為良態(tài)(/*Well-conditioned*/)方程組，稱系數(shù)矩陣為關(guān)于求解方程組良態(tài)矩陣。病態(tài)方程組對(duì)任何算法都將產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性

如果和很小，而很大，則稱方程組為病態(tài)(/*ill-conditioned*/)方程組，稱系數(shù)矩陣為關(guān)于求解方程組病態(tài)矩陣；7第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

若矩陣范數(shù)取2-范數(shù)，則得到譜條件數(shù)：

若矩陣范數(shù)取1-范數(shù)，則得到1-條件數(shù)：

若矩陣范數(shù)取

-范數(shù)，則得到-條件數(shù)：

設(shè)為可逆陣，為一種從屬矩陣范數(shù)，則稱為矩陣的條件數(shù)

8第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例5第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共26頁，2024