專題02平方根重難點題型專訓(xùn)（9大題型15道拓展培優(yōu)題）（原卷版）

專題02平方根重難點題型專訓(xùn)（9大題型+15道拓展培優(yōu)題）【題型目錄】題型一平方根與算術(shù)平方根概念理解題型二求一個數(shù)的算術(shù)平方根題型三利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題題型四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分題型五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題題型六求一個數(shù)的平方根題型七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)題型八利用平方根解方程題型九平方根的應(yīng)用【知識梳理】知識點一：平方根、算術(shù)平方根1.（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根．2.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負(fù)的平方根表示為“﹣a”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a．零的算術(shù)平方根仍舊是零．3.算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零?！窘?jīng)典例題一平方根與算術(shù)平方根概念理解】【例1】（2023秋·安徽蕪湖·八年級?？奸_學(xué)考試）下列說法正確的是（）A．是的平方根 B．是的平方根C．的平方根是 D．的平方根是【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北邢臺·七年級?？计谥校┤?023的兩個平方根是和，則的值是（

）A．0 B．2023 C． D．40462．（2022秋·浙江·七年級期中）若x是最大的負(fù)整數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是平方根等于本身的數(shù)，則的值是．3．（2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與理解閱讀學(xué)習(xí)過程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值．我們在華東師大版八年級上冊，學(xué)習(xí)了平方根的意義和兩個乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一節(jié)課的探究學(xué)習(xí)片斷：步驟一：再探公式，猜想規(guī)律，，．發(fā)現(xiàn)這兩個公式中包含了兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)平方差，在這五個數(shù)量中，是否存在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？步驟二：推導(dǎo)變形，得出公式由可得，．由也可得______，______．綜合這兩個公式還可得出：______，______．進一步綜合變形推導(dǎo)可得：或（依據(jù)是______）或，同理可得：求的公式為______．步驟三：遷移運用，提升能力若，，請運用“步驟二”中推導(dǎo)出的變形公式，求，，的值．【經(jīng)典例題二求一個數(shù)的算術(shù)平方根】【例2】（2023春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·廣東河源·八年級統(tǒng)考期中）已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．2．（2023下·山西呂梁·七年級?？计谥校┤襞c的和是單項式，則的算術(shù)平方根是．3．（2024上·湖南衡陽·七年級?？计谀┮阎钠椒礁鶠椋业钠椒礁鶠?，求的算術(shù)平方根．【經(jīng)典例題三利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】【例3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考階段練習(xí)）關(guān)于代數(shù)式的說法正確的是（

）A．時最大 B．時最小C．時最大 D．時最小【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）已知，滿足，則的值是（）A． B． C． D．2、（2023上·湖南株洲·八年級校聯(lián)考期末）若實數(shù)，滿足，則．3．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：，求：的平方根．【經(jīng)典例題四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】【例4】（2022春·山東日照·七年級?？计谀╆P(guān)于“”，下面說法不正確的是（）A．它是數(shù)軸上離原點個單位長度的點表示的數(shù)B．它是一個無理數(shù)C．若a<<a+1，則整數(shù)a為3D．它表示面積為10的正方形的邊長【變式訓(xùn)練】1．（2023上·遼寧遼陽·八年級階段練習(xí)）已知m是的整數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，則的值是（）A． B． C． D．2．（2023上·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期末）已知m是的整數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，則m2﹣n2=．3．（2022下·甘肅隴南·七年級校考階段練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問題：大家都知道是無理數(shù)，而且，即，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理，因為的整數(shù)部分是，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：①∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．②∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．請解答：如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；【經(jīng)典例題五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究題】【例5】（2021秋·廣東茂名·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022下·貴州遵義·七年級統(tǒng)考期末）如下表，被開方數(shù)a和它的算術(shù)平方根的小數(shù)點位置移動符合一定的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得m，n的值分別為（

）a0.06250.6256.2562.56256250625006250000.250.791mn2579.1250791A．， B．， C．， D．，2．（2023下·北京豐臺·七年級北京豐臺二中?？计谥校?shù)學(xué)解密：若第一個式子是，第二個式子是，第三個式子是，…，觀察以上規(guī)律并猜想第五個式子是．3．（2023下·廣西南寧·七年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谀╅喿x下面材料，解答問題：【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們開展“運用規(guī)律求一個正數(shù)的算術(shù)平方根”的實踐活動．【實踐探究】同學(xué)們利用計算器計算出下表中的算術(shù)平方根，整理數(shù)據(jù)如下：………0.250.7912.57.912579.1250…(1)根據(jù)上述探究，可以得到被開方數(shù)和它的算術(shù)平方根之間小數(shù)點的變化規(guī)律是：若被開方數(shù)的小數(shù)點向右或向左移動___________位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或向左移動___________位；(2)已知，請運用、上述規(guī)律直接寫出各式的值：___________，___________．(3)你能根據(jù)的值說出的值是多少嗎？請說明理由．【經(jīng)典例題六求一個數(shù)的平方根】【例6】（2023春·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的平方根是（

）A．2 B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·遼寧遼陽·七年級統(tǒng)考期末）若，，且，則（

）A．1或7 B．或 C．或7 D．1或2．（2023下·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）若，則的平方根是．3．（2023上·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)，滿足，求的平方根．【經(jīng)典例題七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)】【例7】（2023春·山西大同·七年級大同市第三中學(xué)校?？计谀┤绻粋€正數(shù)的平方根是a+3及2a﹣15，那么這個正數(shù)是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441【變式訓(xùn)練】1．（2021上·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）已知與是一個正數(shù)的平方根，則這個正數(shù)的值是（

）A．1或9 B．3 C．1 D．812．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一個正數(shù)a的兩個平方根分別是和，那么a等于．3．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┙獯鹣铝袉栴}：(1)已知a，b互為倒數(shù)，c是最小的正整數(shù)，d是絕對值最小的數(shù)，，求的值；(2)已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4，求的平方根．【經(jīng)典例題八利用平方根解方程】【例8】（2023春·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期中）若，，則的值是（

）A．0 B．4 C．0或4 D．2或4【變式訓(xùn)練】1．（2023下·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）若，則的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或32．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“※”：※，按照這個規(guī)則，的結(jié)果剛好為0，則x的值為．3．（2023下·福建福州·七年級校考期中）已知正實數(shù)x的兩個平方根是m和．(1)當(dāng)時，求m；(2)若，求x的值．【經(jīng)典例題九平方根的應(yīng)用】【例9】（2023秋·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期末）如圖是用4個相同的長方形與1個正方形鑲嵌而成的正方形圖案．已知該圖案的總面積為m，小正方形的面積為n．若用x、y表示長方形的兩邊長（），請觀察圖案，指出下列關(guān)系式：①、②、③、④若，則．這四個結(jié)論中正確的有（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）交通事故統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每年的汽車追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是剎車距離把握不當(dāng)，研究發(fā)現(xiàn)，在柏油路面上，剎車距離s與車速v的關(guān)系式是s＝（其中），當(dāng)剎車距離增加一倍時，車速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍2．（2023春·浙江·七年級期末）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長方形紙片無縫拼接而成，現(xiàn)將其擺放在桌面上，如圖所示，重合部分為甲、乙、丙，其中乙為正方形，記甲、丙的面積分別為，，若，且桌面被所有紙片覆蓋區(qū)域的面積為，則乙的面積為．3．（2023春·廣西南寧·七年級南寧二中?？计谀┚C合與實踐【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，把兩個面積都為的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼成一個大正方形，則該大正方形的邊長為cm．【知識遷移】若一個圓與一個正方形的面積都是，設(shè)這個圓的周長為，這個正方形的周長為，則（填“＝”或“”或“”）．【拓展延伸】李明想用一塊面積為的正方形紙片（如圖2所示），沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為．李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由．【重難點訓(xùn)練】1．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知，則的平方根是（

）A． B． C． D．2．（2023上·四川達州·八年級?？计谥校┫铝懈魇剑孩伲?，③，④，⑤，⑥，其中表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的是（

）A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤3．（2023下·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在一個正方形的內(nèi)部放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，則圖中三角形的面積為（

）A．11 B．10 C．6 D．54．（2023下·湖北黃石·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，，…，，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023下·河北邢臺·七年級?？计谀┤鐖D1，一個邊長為5的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形（無縫隙、不重疊），現(xiàn)將這四個直角三角形分別沿著正方形的四條邊向外翻折，翻折后得到圖2所示的大正方形．對于結(jié)論I和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結(jié)論I：若陰影小正方形的邊長為2，則大正方形的邊長為；結(jié)論Ⅱ：若大正方形的邊長為正整數(shù)，則陰影小正方形的邊長是A．I和Ⅱ都對 B．I和Ⅱ都不對 C．I不對Ⅱ?qū)?D．I對Ⅱ不對6．（2024上·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）若x，y為實數(shù)，且，則=.7．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．8．（2023上·浙江麗水·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，一個邊長為6的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形（無縫隙、不重疊），現(xiàn)將這四個直角三角形分別沿著正方形四條邊向外翻折，翻折后得到圖2所示的大正方形．（1）若陰影小正方形的邊長為1，則圖2中大正方形的面積為．（2）若圖2中大正方形的邊長為正整數(shù)，則陰影小正方形的邊長為．9．（2023上·浙江溫州·七年級?？计谥校┲袊糯幸环N求算數(shù)平方根的方法，稱為開方術(shù)，該方法的原理是利用二項式定理，對根式逐位估值．假設(shè)N為被開方數(shù)，a為首根，b為次根，若將根記為，則．以為例：（1）分節(jié)定位：以小數(shù)點為基準(zhǔn)，每兩位分一節(jié)得7，89，61；（2）估首根a：考慮被開方數(shù)的首節(jié)7，由于，故首根為2，由于，故繼續(xù)開方；（3）估次根b：考慮余數(shù)的第一、二節(jié)389，考慮，嘗試估出次根；（4）重復(fù)如上操作．則的算術(shù)平方根為．10．（2023上·北京石景山·八年級?？计谥校┬∶饔糜嬎闫髑罅艘恍┱龜?shù)的平方，記錄如下表.下面有四個推斷：①②一定有個整數(shù)的算術(shù)平方根在之間③對于小于的兩個正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于④比大所有合理推斷的序號是.11．（2023下·七年級課時練習(xí)）已知正數(shù)x的平方根是m和m＋b．(1)當(dāng)b＝8時，求m的值；(2)若，求x的值．12．（2021下·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）我們知道，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，但對于三個互不相等的負(fù)整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“完美組合數(shù)”，例如：，，這三個數(shù)，，，，其結(jié)果6，3，2都是整數(shù)，所以，，這三個數(shù)稱為“完美組合數(shù)”．(1)，，這三個數(shù)是“完美組合數(shù)”嗎？請說明理由，(2)若三個數(shù)，m，是“完美組合數(shù)”，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12．求m的值．13．（2023上·浙江衢州·七年級校聯(lián)考期中）設(shè)x，y都表示有理數(shù)，定義一種新運算“”；當(dāng)時，；當(dāng)時，．(1)請根據(jù)這種新運算定義計算：________，________．(2)若實數(shù)a，b滿足．①請直接寫出a，b的值．②求的值．14．（2023上·安徽宿州·八年級?？茧A段練習(xí)）歸納與探究：(1)計算：_______