2021-2022高中數(shù)學(xué)人教版必修2作業(yè)3.2.3直線的一般式方程（系列四）Word版含解析

3.2.3直線的一般式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握直線方程的一般式．2．掌握一般式與其他形式的互化．3．了解二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系．自學(xué)導(dǎo)引1．一般式方程(1)定義：關(guān)于x，y的二元一次方程______________(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式．(2)斜率：直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)，當(dāng)B≠0時(shí)，其斜率是__________，在y軸上的截距是__________；當(dāng)B＝0時(shí)，這條直線垂直于______軸，不存在斜率．2．二元一次方程與直線的關(guān)系二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的________，這個(gè)方程的全體解組成的集合，就是坐標(biāo)滿足二元一次方程的全體點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)的集合就組成了一條________．二元一次方程與平面直角坐標(biāo)系中的直線是一一對(duì)應(yīng)的．對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一一般式與其他形式的互化例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．(1)斜率是eq\r(3)，且經(jīng)過點(diǎn)A(5,3)；(2)斜率為4，在y軸上的截距為－2；(3)經(jīng)過A(－1,5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；(4)在x，y軸上的截距分別是－3，－1.點(diǎn)評(píng)任何形式的方程都可以化成一般式方程，化為一般式方程以后原方程的限制條件就消失了．由于直線方程的斜截式和截距式是惟一的，而兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式不惟一，因此，通常情況下，一般式不化為兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式．變式訓(xùn)練1求直線3x＋2y＋6＝0的斜截式和截距式方程．知識(shí)點(diǎn)二平行與垂直的應(yīng)用例2求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程．點(diǎn)評(píng)一般地，直線Ax＋By＋C＝0中系數(shù)A、B確定直線的斜率，因此，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0，這是經(jīng)常采用的解題技巧．稱Ax＋By＋m＝0是與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程．參數(shù)m可以取m≠C的任意實(shí)數(shù)，這樣就得到無數(shù)條與直線Ax＋By＋C＝0平行的平行線系．當(dāng)m＝C時(shí)，Ax＋By＋m＝0與Ax＋By＋C＝0重合．變式訓(xùn)練2求經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程．知識(shí)點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用例3已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．點(diǎn)評(píng)針對(duì)這個(gè)類型的題目，靈活地把一般式Ax＋By＋C＝0進(jìn)行變形是解決這類問題的關(guān)鍵．在求參量取值范圍時(shí)，巧妙地利用數(shù)形結(jié)合思想，會(huì)使問題簡(jiǎn)單明了．變式訓(xùn)練3設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y－2＋a＝0，若l經(jīng)過第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．直線方程的五種形式的比較形式條件方程應(yīng)用范圍特殊形式點(diǎn)斜式一般情況過點(diǎn)(x0，y0)，斜率為ky－y0＝k(x－x0)不含與x軸垂直的直線斜截式在y軸上的截距為b，斜率為ky＝kx＋b不含與x軸垂直的直線兩點(diǎn)式一般情況過兩點(diǎn)(x1，y1)和(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2，即不含與x軸或y軸垂直的直線截距式在x軸、y軸上的截距分別為a與b(a、b≠0)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含與x軸或y軸垂直的直線，不含過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為0)任何情況特殊的直線垂直于x軸且過點(diǎn)(a,0)x＝a，y軸的方程x＝0k不存在垂直于y軸且過點(diǎn)(0，b)y＝b，x軸的方程y＝0k＝0課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5mA．－2 B．2C．－3 D．32．直線x＋2ay－1＝0與(a－1)x＋ay＋1＝0平行，則a的值為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)或0C．0 D．－2或03．直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝04．直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是()5．直線ax＋by＋c＝0(ab≠0)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則a，b，c滿足()A．a(chǎn)＝b B．|a|＝|b|且c≠0C．a(chǎn)＝b且c≠0 D．a(chǎn)＝b或c＝0二、填空題6．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m7．已知直線kx－y＋1－3k＝0，當(dāng)k變化時(shí)，直線經(jīng)過的定點(diǎn)為________．8．已知A(0,1)，點(diǎn)B在直線l1：x＋y＝0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，直線AB的一般式方程為________．三、解答題9．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)中，A，B，C滿足什么條件時(shí)，直線有如下性質(zhì)：(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)與坐標(biāo)軸都相交；(3)與x軸垂直；(4)與y軸垂直；(5)與x軸重合；(6)與y軸重合．10．當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？3．2.3直線的一般式方程自學(xué)導(dǎo)引1．(1)Ax＋By＋C＝0(2)－eq\f(A,B)－eq\f(C,B)x2．坐標(biāo)直線對(duì)點(diǎn)講練例1解(1)由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線方程為y－3＝eq\r(3)(x－5)，化為一般式為eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0.(2)由斜截式方程可知，所求直線方程為y＝4x－2，化為一般式為4x－y－2＝0.(3)由兩點(diǎn)式方程可知，所求直線方程為eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，化為一般式方程為2x＋y－3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直線方程為eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，化為一般式方程為x＋3y＋3＝0.變式訓(xùn)練1解斜截式方程y＝－eq\f(3,2)x－3.截距式方程eq\f(x,－2)＋eq\f(y,－3)＝1.例2解方法一設(shè)直線l的斜率為k，∵l與直線3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－eq\f(3,4).又∵l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，可得所求直線方程為y－2＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－11＝0.方法二設(shè)與直線3x＋4y＋1＝0平行的直線l的方程為3x＋4y＋m＝0.∵l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直線方程為3x＋4y－11＝0.變式訓(xùn)練2解方法一設(shè)直線l的斜率為k.∵直線l與直線2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝eq\f(1,2).∴y－1＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y＝0.方法二設(shè)與直線2x＋y－10＝0垂直的直線方程為x－2y＋m＝0.∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直線l的方程為x－2y＝0.例3(1)證明將直線l的方程整理為y－eq\f(3,5)＝a(x－eq\f(1,5))，∴l(xiāng)的斜率為a，且過定點(diǎn)A(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))．而點(diǎn)A(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))在第一象限，故直線l恒過第一象限．(2)解直線OA的斜率為k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.∵l不經(jīng)過第二象限，∴a≥3.變式訓(xùn)練3解將一般式方程化為點(diǎn)斜式方程：y－3＝－(a＋1)(x＋1)，∴l(xiāng)的斜率為－(a＋1)，且過定點(diǎn)A(－1,3)．∵直線OA斜率為k＝－3，∴要使直線l經(jīng)過第一象限，只須使－(a＋1)>－3，解得a<2.課時(shí)作業(yè)1．D2.A3.A4.C5.D6．m∈R且m≠17.(3,1)8.x－