專題3.1一元一次不等式（組）及其應用考點專訓（5大熱點68題）-簡單數(shù)學2024年中考數(shù)學一輪復習風向標

第二章方程（組）與不等式（組）第三節(jié)一元一次不等式（組）及其應用新新課標溯源1內(nèi)容要求①合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)。②能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸.上表示出解集；會用數(shù)軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。③能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題。2學業(yè)要求結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)；能用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形；能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸.上表示出解集；會用數(shù)軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的實際問題。建立模型觀念。3教學提示方程與不等式的教學。應當讓學生經(jīng)歷對現(xiàn)實問題中量的分析，借助用字母表達的未知數(shù)，建立兩個量之間關系的過程，知道方程或不等式是現(xiàn)實問題中含有未知數(shù)的等量關系或不等關系的數(shù)學表達。考點專訓考點專訓考點一：不等式的性質(zhì)典型例題例1：已知實數(shù)a，b滿足3a+2b<2，A．2a+b<0 B．b>4 C．b-1a<-3【答案】C【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)．根據(jù)不等式的性質(zhì)進行計算和推理，即可求解．【詳解】解：∵3a+2b<2，∴3a+2b<a+b，∴2a+b<0，A項正確，不符合題意；由3a+2b<2，得3a+2b=-b+3a+b∴b>4，B項正確，不符合題意；由a+b=2，得b=-a+2，代入3a+2b<2，得a<-2，∴a<0，∵3a+2b<2，∴2b-2<-3a，2b-1∴b-1a>-3∵3a+2b<2，∴4a+3b<4，4a-4<-3b，4a-1∴a-1b<-3故選：C．變式練習1．已知a<b，則下列不等式一定成立的是（）A．b-a<0 B．-a>b C．a(chǎn)-1<b+1 D．a(chǎn)【答案】C【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項分析即可求解．【詳解】已知a<b，A、b-a>0，A選項錯誤，不符合題意；B、-a>-b，B選項錯誤，不符合題意；C、a-1<a+1<b+1，C選項正確，符合題意；D、ab<1b>0故選：C．2．已知a<b，則下列各式中一定成立的是（

）A．a(chǎn)-b>0 B．a(chǎn)c2>bc2 C【答案】D【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】A．不等式兩邊同時減b，可得a-b<0，選項一定不成立，不符合題意；B．當c=0時，可得acC．不等式兩邊同時除以2再減去1，可得a2D．不等式兩邊同時乘-3，可得-3a>-3b，選項一定成立，符合題意；故選：D．3．已知a<b<0，則下列各式中，正確的是（

）A．3a>3b B．a(chǎn)C．-4a+1>-4b+1 D．a(chǎn)【答案】C【分析】此題考查了不等式性質(zhì)的應用能力，關鍵是能準確理解并運用該知識進行辨別．運用不等式的性質(zhì)進行逐一辨別、求解．【詳解】解：∵a<b<0，∴3a<3b故A錯誤；a2>b-4a+1>-4b+1，故C正確；a-5>b∴選項C符合題意．故選：C．4．下列命題正確的是（）A．若a>b，則ac>bc B．若a>b，則aC．若ac2>bc2，則a>b D．若【答案】C【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．掌握不等式的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、若a>b，則ac>bc，在c是正數(shù)時才成立，原命題是假命題；B、若a>b，則acC、若ac2>bD、若a>b，b<c，則a>c不一定成立，原命題是假命題；故選：C．5．如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為a,7、5,b，則點C6-a,b-10在此坐標系中的第【答案】四【分析】本題考查了點的坐標，不等式的性質(zhì)．熟練掌握點的坐標，不等式的性質(zhì)是解題的關鍵．由題意知，a<5，b<7，則【詳解】解：由題意知，a<5，∴6-a>0，∴C+故答案為：四．6．若關于x的不等式a+1x>a+1的解集是x>1，求a【答案】a>-1【分析】本題考查根據(jù)不等式的解集求參數(shù)的范圍，根據(jù)不等式的性質(zhì)，得到a+1>0，進行求解即可．掌握不等式的性質(zhì)，是解題的關鍵．【詳解】解：∵關于x的不等式a+1x>a+1的解集是x>1∴a+1>0，∴a>-1．考點二：解一元一次不等式典型例題例2：解不等式：-x-1【答案】x<1，數(shù)軸見解析【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，解題的關鍵是嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．首先去分母，移項、合并同類項，系數(shù)化為1，即可求得原不等式的解集，再將解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：去分母得：-x-1去括號得：-x+1+2>2x移項合并得：-3x>-3，解得：x<1；在數(shù)軸上表示：．例3：已知兩個有理數(shù)-9和5，(1)計算：-9+5(2)若再添一個負整數(shù)m，且-9，5與m的平均數(shù)仍小于m，求m的值．【答案】(1)-2(2)-1【分析】本題主要考查了解一元一次不等式：（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運算順序計算，即可；（2）根據(jù)題意列出不等式，再解出不等式，即可．【詳解】（1）解：-9+5（2）解：由題意得：-9∴-4+m<3m，∴2m>-4，解得：m>-2，∵m為負整數(shù)，∴m的值是-1．例4：已知關于x的方程3x-a=4．(1)若該方程的解滿足x>-2，求a的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式x-23x-1≥x+4的最大整數(shù)解，求【答案】(1)a>-10(2)a=-7【分析】（1）先求出方程的解，再根據(jù)方程的解滿足x>-2，得到關于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根據(jù)該方程的解是不等式x-23x-1≥x+4的最大整數(shù)解，可得【詳解】（1）解方程3x-a=4，得x=a+4∵該方程的解滿足x>-2，∴a+43>-2，解得（2）解不等式x-23x-1≥x+4，得則最大的整數(shù)解是x=把x=-1解得a=-7．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步驟是解題的關鍵．變式練習1．x與5的和大于3，用不等式表示為（

）A．x+5<3 B．x+5>3 C．x-5>3 D．x-5<3【答案】B【分析】本題考查列不等式．根據(jù)x與5的和大于3，列出不等式即可．【詳解】解：x與5的和大于3，用不等式表示為x+5>3，故選：B．2．若x=1是關于x的不等式2x+a<2的一個整數(shù)解，則a的取值可以是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】本題考查了不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關鍵．解不等式應根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．首先解不等式求得不等式的解集，然后根據(jù)已知條件即可得到一個關于a的不等式，求得a的值．【詳解】解：解不等式2x+a<2得：x<2-a∵x=1是不等式2x+a<2的一個正整數(shù)解，則2-a2>1，故答案為：A．3．按照下面給定的計算程序，當x=-2時，輸出的結(jié)果是______；使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是（）．A．1，7 B．2，7 C．1，-7 D．2，-7【答案】A【分析】把x=-2代入2x+5計算，即可求出輸出結(jié)果；列不等式求解可得出使2x+5的值小于20的最大整數(shù)x．【詳解】當x=-2時，第1次運算結(jié)果為2×(-2)+5=1，∴當x=-2時，輸出結(jié)果是1；由題意，得2x+5<20，解得x<7.5，∴使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是7，故選A．【點睛】本題考查了程序框圖的計算，以及一元一次不等式的應用，能夠理解題意是解題的關鍵．4．若不等式x≤m的解都是不等式2-3x≥5的解，則m的取值范圍是（

）．A．m≤-1 B．m<-1 C．m≥-1 D．m>-1【答案】A【分析】先求出不等式2-3x≥5的解集，然后根據(jù)x≤m的解都是不等式2-3x≥5的解進行求解即可．【詳解】解：解不等式2-3x≥5得x≤-1，∵不等式x≤m的解都是不等式2-3x≥5的解，∴m≤-1，故選A．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，正確求出不等式2-3x≥5的解集是解題的關鍵．5．若不等式3x-m≤0的正整數(shù)解是1，2，3，則m的取值范圍是．【答案】9≤m<12/12>m≥9【分析】本題考查了不等式的解法和一元一次不等式整數(shù)解的應用．先解不等式得到x≤m3，再根據(jù)正整數(shù)解的情況得到3≤m【詳解】解：解不等式3x-m≤0得x≤m∵正整數(shù)解是1，2，3，∴m的取值范圍是3≤m即9≤m<12．故答案為：9≤m<126．解不等式：1-x2【答案】x>3，數(shù)軸見解析【分析】本題考查解一元一次不等式，用數(shù)軸表示不等式的解集，先去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化為1求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：1-x2去分母，得1-x<-2，移項、合并同類項，得-x<-3，解得x>3，用數(shù)軸表示為：7．關于x的不等式①4+2x>0與②-3x+1(1)若兩個不等式的解集相同，求a的值；(2)若不等式②的解都是不等式①的解，求a的取值范圍．【答案】(1)a=-(2)a≥-【分析】本題考查不等式的解集，解一元一次不等式：（1）解不等式①，②，根據(jù)兩個不等式的解集相同，得到關于a的方程，解方程即可；（2）根據(jù)不等式②的解都是不等式①的解，得到關于a的不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：解不等式①4+2x>0，得x>-2，解不等式②-3x+1>4a-x∵兩個不等式的解集相同，∴4a+3=2，解得a=-1（2）解：由（1）知不等式①的解集為x>-2，不等式②的解集為x>4a+3，∵不等式②的解都是不等式①的解，∴4a+3≥-2，解得a≥-58．解不等式2x-13【答案】x≤2，非負整數(shù)解為：0，1，2【分析】本題考查求一元一次不等式的整數(shù)解．根據(jù)解一元一次不等式的步驟，求出不等式的解集，進而求出其非負整數(shù)解即可．正確的計算，是關鍵．【詳解】解：2x-1去分母得，42x-1去括號得，8x-4≥9x+6-12，移項得，8x-9x≥-6+4，合并同類項得，-x≥-2，系數(shù)化為1得，x≤2，∴非負整數(shù)解為：0，1，2．9．已知有理數(shù)-3，1．(1)在如圖所示的數(shù)軸上，標出表示這兩個數(shù)的點，并分別用A,B表示(點A在點B的左邊)．(2)若m=2，在數(shù)軸上表示數(shù)m的點介于點A,B之間；表示數(shù)n的點在點A右側(cè)且到點B距離為6①計算：m=______，n=______②解關于x的不等式mx+3<n，并把解集表示在所給數(shù)軸上．【答案】(1)見解析(2)①-2；7；②x>-2；數(shù)軸表示見解析【分析】本題考查一元一次不等式及數(shù)軸，解題的關鍵是一元一次不等式得根據(jù)題意畫出數(shù)軸．（1）直接在數(shù)軸上標出A、B即可；（2）①根據(jù)“m=2，在數(shù)軸上表示數(shù)m的點介于點A,B之間”，得出m的值；根據(jù)“表示數(shù)n的點在點A右側(cè)且到點B距離為6”，得出n②將m、n代入不等式中，求出解，再在數(shù)軸上表示即可．【詳解】（1）解：如圖，點A與點B即為所求作的點：．（2）∵m=2∴m=±2，∵在數(shù)軸上表示數(shù)m的點，介于點A，B之間，∴m=-2，∵在A的右側(cè)且到點B距離為6的點表示為n，∴n=1+6=7，或n=1-6=-5<-3(舍去)故答案為：-2；7②由-2x+3<7，解得x>-2，表示在數(shù)軸上如圖所示：．10．已知x=2y=3是關于x，y的二元一次方程的ax+y=7(1)求a的值．(2)若y的取值范圍如圖所示，求x的最小值．【答案】(1)a=2(2)0【分析】（1）將x=2y=3代入二元一次方程的ax+y=7可得一個關于a（2）先求出y=7-2x，再根據(jù)數(shù)軸可得y≤7，從而可得7-2x≤7，解一元一次不等式即可得．【詳解】（1）解：將x=2y=3代入二元一次方程的ax+y=7得：2a+3=7解得a=2．（2）解：由（1）得：2x+y=7，則y=7-2x，由數(shù)軸得：y≤7，則7-2x≤7，解得x≥0，所以x的最小值是0．【點睛】本題考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知識點，熟練掌握不等式的解法是解題關鍵．11．約定：上方相鄰兩個數(shù)之和等于這兩個數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．例如：(1)a=___________，b=___________（用含x的代數(shù)式表示）(2)若m>-2，求x的最小整數(shù)值．【答案】(1)-1，2x+2(2)x的最小整數(shù)值為-1【分析】（1）根據(jù)上方相鄰兩個數(shù)之和等于這兩個數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)即可得到答案；（2）根據(jù)題意求出m=2x+1，由m>-2得到2x+1>-2，解不等式求出最小整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：由題意得到a=-3+2=-1，b=2x+2，故答案為：-1，2x+2（2）由題意得，m=a+b=2x+2-1=2x+1，∵m>-2，∴2x+1>-2，解得x>-3∴x的最小整數(shù)值為-1．【點睛】此題主要考查了整式的加減和求一元一次不等式的特殊解，理清題意和正確計算是解題的關鍵．考點三：一元一次不等式的應用問題典型例題例5：某服裝店老板預測一種應季T恤衫能暢銷市場，就用10000元購進一批這種T恤衫，面市后銷量果然很好，又用6000元購進了第二批這種T恤衫，所購數(shù)量是第一批購進量的一半，但每件的進價貴了10元．(1)該服裝店購進第一批、第二批T恤衫每件的進價分別是多少元？(2)如果這兩批T恤衫按相同的標價銷售，最后缺碼的20件T恤衫按七折優(yōu)惠售出，要使兩批T恤衫全部售完后利潤率不低于60%（不考慮其他因素），那么每件T恤衫的標價至少是多少元？（精確到個位）【答案】(1)該服裝店購進第一批、第二批T恤衫每件的進價分別是50元和60元(2)每件T恤衫的標價至少是94元【分析】（1）根據(jù)題意，設該服裝店購進第一批、第二批T恤衫每件的進價分別是x元和x+10元，列分式方程求解即可得到答案；（2）先求出T恤衫銷售總數(shù)量，設每件T恤衫的標價是y元，列不等式求解即可得到答案．【詳解】（1）解：設該服裝店購進第一批、第二批T恤衫每件的進價分別是x元和x+10元，根據(jù)題意可得：10000x解得x=50，經(jīng)檢驗，x=50是方程的解，且符合題意，∴x+10=50+10=60，答：該服裝店購進第一批、第二批T恤衫每件的進價分別是50元和60元；（2）解：由題意可得兩批共銷售1000050設每件T恤衫的標價是y元，根據(jù)題意可得(300-20)y+20×0.7y≥(10000+6000)×(1+60%解得y≥12800根據(jù)題意取y≥88，答：每件T恤衫的標價至少是88元．【點睛】本題考查分式方程及不等式解實際應用題，涉及分式方程的應用、一元一次不等式的應用等知識，讀懂題意，準確列出方程及不等式求解是解決問題的關鍵．例6：為創(chuàng)建文明城市，促進生活垃圾分類工作的開展，某小區(qū)準備購買A、B兩種分類垃圾桶，通過市場調(diào)研得知：A種垃圾桶每組的單價比B種垃圾桶每組的單價少150元，且用4000元購買A種垃圾桶的組數(shù)量與用5500元購買B種垃圾桶的組數(shù)量相等．(1)求A、B兩種垃圾桶每組的單價；(2)若該小區(qū)物業(yè)計劃用不超過18000元的資金購買A、B兩種垃圾桶共40組，則最多可以購買B種垃圾桶多少組？【答案】(1)A種垃圾桶每組的單價為400元，B種垃圾桶每組的單價為550元(2)13組【分析】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．（1）設A種垃圾桶每組的單價為x元，則B種垃圾桶每組的單價為(x+150)元，利用數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用4000元購買A種垃圾桶的組數(shù)量與用5500元購買B種垃圾桶的組數(shù)量相等，即可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出B種垃圾桶每組的單價，再將其代入(x+150)中，即可求出A種垃圾桶每組的單價；（2）設購買B種垃圾桶m組，則購買A種垃圾桶(40-m)組，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過18000元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設A種垃圾桶每組的單價為x元，則B種垃圾桶每組的單價為x+150元，根據(jù)題意得：4000x整理得：3x-1200=0，解得：x=400，經(jīng)檢驗，x=400是所列方程的解，且符合題意，∴x+150=400+150=550．答：A種垃圾桶每組的單價為400元，B種垃圾桶每組的單價為550元．（2）設購買B種垃圾桶m組，則購買A種垃圾桶40-m組，根據(jù)題意得：40040-m解得：m≤40又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為13．答：最多可以購買B種垃圾桶13組．變式練習1．我國古代《易經(jīng)》記載，遠古時期人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進一，用來記錄采集到野果的個數(shù)．若她采集到的一筐野果不少于46個則在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)至少是．【答案】4【分析】本題是以古代“結(jié)繩計數(shù)”為背景，按滿五進一計數(shù)，運用了類比的方法，根據(jù)圖示列式求解．解題的關鍵是運用“滿五進一”的進制思想．設在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)是x，根據(jù)滿五進一列出不等式，然后求解即可得出答案．【詳解】解：設在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)是x（x為正整數(shù)），根據(jù)題意得：3+5x+1×5×5≥46解得：x≥3.6因x為正整數(shù)，故x取最小值4．即在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)至少是4．故答案為：4．2．一次生活常識知識競賽一共有10道題，答對一題得5分，不答得0分，小濱有1道題沒答，競賽成績超過30分，則小濱至多答錯了題．【答案】2【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．【詳解】解：設小濱答錯了x道題，則答對(10-1-x)道題，根據(jù)題意得：5(10-1-x)-2x>30，解得：x<15又∵x為自然數(shù)，∴x的最大值為2，∴小濱至多答錯了2道題．故答案為：2．3．某種商品的進價為200元，出售時標價300元，后來由于該商品積壓，商店準備打折銷售，但保證利潤率不低于20%，則最多可打折．【答案】8【分析】本題考查一元一次不等式的實際應用，設可打x折，根據(jù)利潤率不低于20%，列出不等式，進行求解即可．正確的列出不等式，是解題的關鍵．【詳解】解：設可打x折，由題意，得：300?x解得：x≥8，∴最多可打8折；故答案為：8．4．某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進8臺機器用于生產(chǎn)某種零件，現(xiàn)有A、B兩種機器可供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器的日生產(chǎn)量情況如下表所示，經(jīng)過預算，本次購買機器所用資金不能超過52萬元．AB價格（萬元/臺）86日生產(chǎn)量（個/臺）8060(1)該公司有哪幾種購買方案？(2)若該公司購進的8臺機器的日生產(chǎn)量不能低于500個，那么為了節(jié)約資金應選擇哪種購買方案？【答案】(1)見解析(2)購進1臺A種機器，7臺B種機器【分析】本題考查一元一次不等式的實際應用．正確的列出不等式，是解題的關鍵．（1）設購進A種機器x臺，則購進B種機器8-x臺，根據(jù)本次購買機器所用資金不能超過52萬元，列出不等式，求出非負整數(shù)解即可；（2）根據(jù)該公司購進的8臺機器的日生產(chǎn)量不能低于500個，列出不等式，結(jié)合（1）中結(jié)果，求出x的取值范圍，確定方案，再求出每種方案花費的費用，進行判斷即可．【詳解】（1）解：設購進A種機器x臺，則購進B種機器8-x臺，由題意，得：8x+68-x解得：x≤2，∴不等式的非負整數(shù)解為：0，1，2；∴共有3種方案：方案一：購進8臺B種機器；方案二：購進1臺A種機器，7臺B種機器；方案三：購進2臺A種機器，6臺B種機器；（2）解：由題意，得：80x+608-x解得：x≥1，∴有2種方案可以選擇：購進1臺A種機器，7臺B種機器或購進2臺A種機器，6臺B種機器；當購進1臺A種機器，7臺B種機器時，所需費用為：8+6×7=50（萬元）；當購進2臺A種機器，6臺B種機器時，所需費用為：8×2+6×6=52（萬元）；∵50<52，∴應購進1臺A種機器，7臺B種機器．5．小明受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，利用水杯、大球和小球進行了如下操作.請根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：(1)放入1個小球水面升高______cm，放入1個大球水面升高______cm；(2)如果小明想在水杯中放入大球、小球共10個，并限定水面高不超過50cm【答案】(1)2，3(2)6個【分析】本題考查一元一次不等式的應用，找準數(shù)量關系列不等式是解題的關鍵．（1）根據(jù)3個小球使水位升高了6cm，2個大球使水位升高了6（2）設應該放入x個大球，y個小球，根據(jù)圖示中的關系列不等式，并解答．【詳解】（1）解：放入1個小球水面升高32-263放入1個大球水面升高32-262故答案為：2，3；（2）解：放入x個小球，則26+2x+3(10-x)≤50，解得：x≥6，∴至少放入6個小球．6．2022年北京冬奧會前夕，某網(wǎng)絡經(jīng)銷商以5元/件的價格購進了一批以冬奧會為主題的飾品進行銷售，該飾品的日銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元）之間有如表所示的關系：x…66.578…y…180170160140…(1)已知上表數(shù)據(jù)滿足我們初中所學函數(shù)中的一種，請判斷是何種函數(shù)并求出y關于x的函數(shù)表達式；(2)當該飾品的銷售單價定為多少時，日銷售利潤最大？(3)銷售一段時間后，物價部門出臺新的規(guī)定：單件利潤不得超過80%【答案】(1)一次函數(shù)，y=-20x+300(2)10元(3)480元【分析】本題主要考查一次函數(shù)的運用，二次函數(shù)求最值的方法，掌握待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象的增減性及最值的計算，解一元一次不等式的方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)表格信息，運用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性，最值即可求解；（3）根據(jù)題意列一元一次不等式求解即可．【詳解】（1）解：一次函數(shù)，理由如下，設y關于x的函數(shù)表達式為y=kx+b．將點(6,180)和點(8,140)代入，得6k+b=1808k+b=140解得k=-20b=300∴y關于x的函數(shù)表達式為：y=-20x+300．（2）解：設日銷售利潤為W，則W=(-20x+300)(x-5)=-20(x-10)∵-20<0，∴當x=10時，W有最大值，∴當該飾品的銷售單價為10元時，日銷售利潤最大．（3）解：由題意可知，x≤(1+80%解得x≤9，由（2）可知，當x≤9時在對稱軸左側(cè)，W隨x增大而增大，故當x=9時利潤最大，此時最大利潤為Wmax答：在新的規(guī)定下，該飾品的最大日利潤為480元．考點四：解一元一次不等式組典型例題例7：（1）不等式組x+2>02x≤2的解為（

A．-2<x≤1 B．-2<x<1 C．-【答案】A【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解題關鍵是熟練運用解一元一次不等式組的方法進行準確計算．根據(jù)解不等式組的方法求解即可．【詳解】解：解不等式x+2>0，得：x>-2；解不等式2x≤2，得：x≤1；則不等式組的解集為-2<x≤1．故選：A．（2）已知方程組x+y=1-a,x-y=3a+5的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，給出下列結(jié)論：①-1<a≤1；②當a=-53時，x=y；③當a=-2時，方程組的解也是方程x+y=5+a的解；④若0<x≤1，則2≤y<4.A．①② B．②③ C．①④ D．②③④【答案】D【分析】解二元一次方程組，根據(jù)方程組的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，列不等式求解即可證明①；把a=-53代入驗證即可證明②；把a=-2代入驗證③即可；根據(jù)條件求出a的取值范圍即可求出【詳解】解：x+y=1-a①①+②得：∴x=3+a，把x=3+a代入①得：y=-2-2a，∵方程組的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，∴3+a>0-2-2a≥0，解得a>-3∴-3<a≤1，故①錯；當a=-53時，x=3+a=4∴x=y，故②正確；當a=-2時，x+y=1-a=3，x+y=5+a=3，故③正確；若0<x≤1，則0<3+a≤1，即-3<a≤-2，∴2≤-2-2a<4，即2≤y<4，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解法和一元一次不等式組的解法，正確解出方程組是解題的關鍵，注意方程與不等式組的綜合運用．（3）關于x的不等式組x>m-36x-1<5x+2的整數(shù)解僅有4個，則m的取值范圍是【答案】1≤m<2/2>m≥1【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解問題，熟練掌握解不等式組的方法是解題的關鍵．先解不等式組，再根據(jù)僅有4個整數(shù)解，得出關于m的不等式，求解即可．【詳解】解∶6x-1<5x+2解得：x<3，∵關于x的不等式組x>m-36x-1<5x+2的整數(shù)解僅有4∴-2≤m-3<-1，解得：1≤m<2，故答案為：1≤m<2．例8：解不等式組：5x-4>3x-6x-2【答案】-1<x≤1【分析】本題考查解一元一次不等式組，先解出每個不等式的解集，再把解集表示在數(shù)軸，即可得到不等式組的解集．【詳解】解：5x-4>3x-6解不等式①，得x>-1解不等式②，得x≤表示在數(shù)軸上如圖：∴不等式組的解集為：-1<x≤1變式練習1．不等式組x+1>0x-2≤0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

A． B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題主要考查了解不等式組、在數(shù)軸上表示解集等知識點，求得不等式組的解集是解題的關鍵．先分別求出各不等式的解集，然后確定不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：由x+1>0得：x>-1，由x-2≤0得：x≤2，則不等式組的解集為-1<x≤2．在數(shù)軸上表示如下：故選：A．2．已知點P坐標為(a+1,5-a)且在第二象限，則a的值可能是（）A．-1 B．-2 C．0 D．1【答案】B【分析】本題考查了解一元一次不等式組，點的坐標，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．根據(jù)平面直角坐標系中第二象限點的坐標特征可得a+1<05-a>0【詳解】解：∵點P坐標為(a+1,5-a)且在第二象限，∴a+1<05-a>0解得：a<-1，∴a的值可能是-2，故選：B3．若關于x的不等式組x2+x+13>0A．12<k≤1 B．12≤k<1 C．【答案】A【分析】本題考查了解一元一次不等式組，根據(jù)不等式組的解集確定字母的取值范圍；先求出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組恰有兩個整數(shù)解，可得關于k的不等式，即可求解．【詳解】解：x解不等式①得：x>-2解不等式②得：x<2k；由題意，不等式組有解，則-2由于不等式組恰有兩個整數(shù)解，則這兩個整數(shù)解是0與1，∴1<2k≤2，解得：12故選：A．4．在一個三角形中，如果最大角的度數(shù)是最小角的度數(shù)的4倍，那么最小角α的取值范圍是（

）A．20°≤α≤30° B．20°≤α≤36°C．30°≤α≤36° D．α≤36°【答案】A【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用，不等式組的應用，利用“最大角的度數(shù)是最小角的度數(shù)的4倍”建立不等式組解題即可．【詳解】解：設最小角為α，則α+α+4α≤180°，∴α≤30°；而α+4α+4α≥180°，∴α≥20°，則20°≤α≤30°．故選A5．若分式x-1x-2的值為正數(shù)，則x的取值范圍是（A．1<x<2或x<-2 B．C．-2<x<1或x>2【答案】C【分析】根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組則可．此題考查分式的值，解不等式組，解題關鍵在于根據(jù)題意列出不等式組．【詳解】解：∵分式x-1x∴x-2>0x-1>0或解得：-2<x<1或x>2故選：C．6．若關于的不等式組3x+54≤x+32x+12>x+a2A．12 B．10 C．9 D．16【答案】A【分析】本題主要考查解一元一次不等式組和解分式方程，牢記解一元一次不等式組和解分式方程的步驟是解題的關鍵．先求得不等式組中各不等式的解集，根據(jù)不等式組無解可求得a的取值范圍，然后求得分式方程的解，根據(jù)解為整數(shù)，且y-2≠0，即可求得滿足條件的所有整數(shù)a的值．【詳解】解：3x+5解不等式①，得x≤1．解不等式②，得x>a-1．因為關于x的不等式組3x+54a-1≥1．解得a≥2．解關于y的分式方程5-ay2-yy=6∵6a-1為整數(shù)，a≥2，6∴a=2或a=3或a=7．∴滿足條件的所有整數(shù)a的和=2+3+7=12．故選：A．7．已知關于x，y的方程組x+3y=4-ax-y=3a，其中-3≤a≤1，給出下列結(jié)論：①x=1y=-1是方程組的解；②當a=-2時，x，y的值互為相反數(shù)；③若y≤1，則1≤x≤4；④S=3x-y+2a的最大值為11，其中正確的是（A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④【答案】D【分析】先利用加減消元法求出x+3y=4-ax-y=3a，即可判斷①②；根據(jù)y≤1推出0≤a≤1，則1≤x=1+2a≤3即可判斷③；先推出S=9a+2，再結(jié)合a的取值范圍即可判斷④【詳解】解：x+3y=4-a①用①-②得：解得：y=1-a，將y=1-a代入①得：x+3-3a=4-a，解得：x=1+2a，∴方程組的解為y=1-ax=1+2a把x=1代入x=1+2a，解得a=0，把y=-1代入y=1-a，解得a=2，a=-2不符合題意，故①錯誤；②當a=-2時，因為y=1-ax=1+2a，得x=-3所以x，y的值互為相反數(shù)，故②正確；∵y=1-ax=1+2a，y≤1則y=1-a≤1，∴0≤a≤1，∴1≤x=1+2a≤3，故③錯誤；∵S=3x-y+2a,∴S=3+6a-1+a+2a=9a+2，∵-3≤a≤1，∴-25≤S=9a+2≤11，∴S的最大值為11，故④正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解題的關鍵在于能夠根據(jù)題意求出y=1-ax=1+2a8．已知方程組x+y=1-ax-y=3a+5的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，給出下列結(jié)論：①-3<a≤-1；②當a=-53時，x=y；③當a=-2時，方程組的解也是方程x+y=5+aA．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】解方程組，由題意建立不等式組，解得-3<a≤-1，①正確；a=-53時，代入計算，②正確；當a=-2時，x+y=1-a=3，x+y=5+a=3，【詳解】解：x+y=1-ax-y=3a+5，解得∴a+3>0-2a-2≥0，解得-3<a≤-1，所以①a=-53時，x=a+3=43，當a=-2時，x+y=1-a=3，x+y=5+a=3，∴方程組的解也是方程x+y=5+a的解，所以③正確；故選：C．【點睛】本題考查方程組解的定義，二元一次方程組的求解，掌握二元一次方程組的求解是解題的關鍵．9．已知關于x，y的方程組x+2y=k2x+3y=3k-1.以下結(jié)論中正確的個數(shù)是（①不論k取何值，x+3y的值始終不變；②存在有理數(shù)k，使得x+y=0；③若2<k<4，則x-y的取值范圍是5<x-y<13；④當k=0，方程組的解也是方程x-2y=-4的解．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①方程組整理后，表示出x+3y，即可作出判斷；②方程組兩方程相減表示出x+y，使其值為0確定出k的值，即可作出判斷；③方程組整理后，表示出x-y，根據(jù)k的范圍確定出x-y的范圍即可；④把k=0代入方程組求出解，即可作出判斷．【詳解】解：①方程組x+2y=k①2x+3y=3k-1②①×3-②得：則不論k取何值，x+3y的值始終不變，本選項正確；②方程組x+2y=k①2x+3y=3k-1②②-①得：令x+y=0，得到2k-1=0，解得：k=1③方程組x+2y=k①2x+3y=3k-1②①×2-②得：把y=1-k代入①得：x=3k-2，∴x-y=3k-2-1+k=4k-3，∵2<k<4，∴5<4k-3<13，本選項正確；④把k=0代入方程組得：x+2y=02x+3y=-1解得：x=-2y=1把x=-2y=1代入方程x-2y=-4得：左邊=-2-2=-4，右邊=-4∴方程組的解也是方程x-2y=-4的解，本選項正確．故選：D．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，二元一次方程的解，以及二元一次方程組的解，熟練掌握方程組的解法是解本題的關鍵．10．已知不等式組4x-5≤1x-a>a，有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是【答案】-1≤a<-【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解．關鍵是先解每一個不等式，再根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)，確定含a的不等式的取值范圍．先解每一個不等式，再根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解，確定含a的不等式的取值范圍．【詳解】解：4x-5≤1解不等式①，得x≤3解不等式②，得x>2a，∵不等式組有3個整數(shù)解，即：-1，0，1，∴-2≤2a<-1，∴-1≤a<-1故答案為：-1≤a<-111．已知關于x、y的二元一次方程組2x+y=3kx+2y=6（k（1）若該方程組的解x，y滿足x+y<3，則k的取值范圍為．（2）若該方程組的解x，y均為正整數(shù)，且k<3，則該方程組的解為．【答案】k<1【分析】本題主要考查解一元一次不等式組和二元一次方程組，解題的關鍵是得出關于k的不等式．（1）將方程組中的兩個方程相加，即可得到用含k的代數(shù)式表示出x+y，然后根據(jù)x+y<3，即可求得k的取值范圍(2)先用含k的式子表示出方程組的解，再根據(jù)x，y均為正整數(shù)，且k<3，即可得到該方程組的解．【詳解】解：（1）2x+y=3k①+②，得3x+3y=3k+6，∴x+y=k+2，∵x+y<3，∴k+2<3，∴k<1；故答案為：k<1；（2）由2x+y=3kx+2y=6x=2k-2y=-k+4∵x,y均為正整數(shù)，且k<3，∴當k=2時，x=2,y=2；當k=1時，x=0,y=3，不合題意，舍去；當k<-1時，x=2k-2<0，不符合題意，都舍去，由上可得，該方程組的解為x=2y=2故答案為：x=2y=212．解不等式（組）：(1)5x-3<1-3x；(2)3-5x2【答案】(1)x<(2)x≤【分析】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．也考查了解一元一次不等式．（1）移項、合并同類項，然后把x的系數(shù)化為1得到不等式的解集即可；（2）先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分就是不等式組的解集．【詳解】（1）解：5x-3<1-3x，移項得5x+3x<1+3，合并得8x<4，系數(shù)化為1得x<1（2）3-5x2由①得：33-5x∴-21x≥-10，解得：x≤10由②得：3x≤9，解得：x≤3，∴不等式組的解集為x≤1013．已知關于x，y的方程組x-2y=m2x+3y=2m-3的解滿足不等式組3x+y≥0x+5y<0．求：滿足條件的【答案】1和2【分析】方法一：①+②得，3x+y=3m-3，②-①得，x+5y=m-3，根據(jù)不等式組即可求出1≤m<3；方法二：求解二元一次方程組x=-6【詳解】方法一：解：x-2y=m①①+②得，∵3x+y≥0，∴3m-3≥0，解得：m≥1，②-①得，∵x+5y<0，∴m-3<0，解得：m<3，∴1≤m<3，則滿足條件的m的整數(shù)值為1和2；方法二：x-2y=m①解得：x=-6把x=-67+my=-3解得：1≤m<3∴滿足條件的m的整數(shù)值為1和2．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法和步驟，以及解一元一次不等式組的方法和寫出不等式組解集的方法．14．閱讀下列關于不等式x-1x+2由兩實數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”可得：①x-1>0x+2>0或②x-1<0解不等式組①得x>1，解不等式組②得x<∴等式x-1x+2>0的解集為x>1請利用上面的解題思路解答下列問題：(1)求出x-1x+2(2)求不等式x-3x+2【答案】(1)-2<x<1(2)x>3或x<-2【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的乘法法則以及解一元一次不等式組解決此題．（2）根據(jù)實數(shù)的除法法則以及解一元一次不等式組解決此題．【詳解】（1）由兩數(shù)相乘，異號為負，得：①x-1>0x+2<0或②x-1<0解不等式組①，無解；解不等式組②，-2<x<1.∴(x-1)(x+2)<0的解集為-2<x<1.（2）由兩數(shù)相除，同號為正，得：①x-3>0x+2>0或②x-3<0解不等式組①，x>3；解不等式組②，x<-2.∴不等式x-3x+2>0的解集為x>3【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解決本題的關鍵．考點五：一元一次不等式組的應用典型例題例9：學校準備安裝校園人臉識別系統(tǒng)，計劃購買人臉識別通道閘機和門禁機．已知通道閘機的單價是門禁機單價的3倍，購買2臺通道閘機和4臺門禁機共需7500元．(1)求通道閘機和門禁機的單價．(2)已知該校園內(nèi)至少需要安裝10臺通道閘機，若購買通道閘機和門禁機共40臺，且費用不超過48000元，請列出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少資金多少元？【答案】(1)通道閘機的單價為2250元，門禁機的單價為750元(2)方案1：購買道閘機10臺，購買門禁機30臺；方案2：購買道閘機11臺，購買門禁機29臺；方案3：購買道閘機12臺，購買門禁機28臺．其中方案1所需資金最少，為45000元【分析】（1）設門禁機的單價為x元，則通道閘機的單價為3x元，根據(jù)題意列方程并求解，即可獲得答案；（2）設購買道閘機m臺，則購買門禁機(40-m)臺，根據(jù)題意列出關于m的一元一次不等式組并求解，結(jié)合實際確定m的值，即可列出可能方案，并分別計算每一種方案的費用，比較即可獲得答案．【詳解】（1）解：設門禁機的單價為x元，則通道閘機的單價為3x元，根據(jù)題意，可得2×3x+4x=7500，解得x=750元，則3x=2250元．答：通道閘機的單價為2250元，門禁機的單價為750元；（2）解：設購買道閘機m臺，則購買門禁機(40-m)臺，根據(jù)題意，可得m≥102250m+750(40-m)≤48000解得10≤m≤12，∵m為正整數(shù)，∴m可以為10，11，12，∴共有3種購買方案：方案1：購買道閘機10臺，購買門禁機30臺，費用為10×2250+30×750=45000元；方案2：購買道閘機11臺，購買門禁機29臺，費用為11×2250+29×750=46500元；方案3：購買道閘機12臺，購買門禁機28臺，費用為12×2250+28×750=48000元，∵45000<46500<48000，∴方案1所需資金最少，為45000元．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用、一元一次不等式的應用、有理數(shù)混合運算以及有理數(shù)比較大小等知識，理解題意，弄清數(shù)量關系是解題關鍵．變式練習1．某校為響應政府號召，準備購買甲，乙兩種型號的分類垃圾桶．購買時發(fā)現(xiàn)，甲種型號的單價比乙種型號的單價少50元，用3000元購買甲種垃圾桶的個數(shù)與用3300元購買乙種垃圾桶的個數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種型號垃圾桶的單價各是多少元？(2)若某校需要購買分類垃圾桶6個，總費用不超過3300元，求所有不同的購買方式．【答案】(1)甲種垃圾桶的單價為500元，乙種垃圾桶的單價為550元(2)共有3種購買方式：①購買甲種型號的垃圾桶4個，乙種型號的垃圾桶2個；②購買甲種型號的垃圾桶5個，乙種型號的垃圾桶1個；③購買甲種型號的垃圾桶6個，乙種型號的垃圾桶0個．【分析】本題考查了分式方程，一元一次不等式組，（1）設甲種垃圾桶單價為x元，則乙種垃圾桶單價為(x+50)元，根據(jù)題意可得：3000x=（2）設購買甲種垃圾桶a個，則購買乙種垃圾桶(6-a)個，根據(jù)題意得500a+550(6-a)≤31006-a≥0，解得：4≤a≤6，根據(jù)a是正整數(shù)，可分類討論得：當a=4時；當a=5時；當a=6根據(jù)題意找出等量關系列出分式方程，一元一次不等式組是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設甲種垃圾桶單價為x元，則乙種垃圾桶單價為(x+50)元，根據(jù)題意可得：3000x3000x+150000=3300x300x=150000解得：x=500，經(jīng)檢驗：x=500是所列方程的根，則x+50=550（元）．答：甲種垃圾桶的單價為500元，乙種垃圾桶的單價為550元．（2）解：設購買甲種垃圾桶a個，則購買乙種垃圾桶(6-a)個，根據(jù)題意得：500a+550(6-a)≤3100①解不等式①得，a≥4，解不等式②得，a≤6，解得：4≤a≤6，∵a是正整數(shù)，∴當a=4時，6-a=2；當a=5時，6-a=1；當a=6時，6-a=0；共有3種購買方式：①購買甲種型號的垃圾桶4個，乙種型號的垃圾桶2個；②購買甲種型號的垃圾桶5個，乙種型號的垃圾桶1個；③購買甲種型號的垃圾桶6個，乙種型號的垃圾桶0個．2．第一屆茶博會在海絲公園舉行，全國各地客商齊聚于此，此屆茶博會主題“精彩閩茶?全球共享”．一采購商看中了鐵觀音和大紅袍這兩種優(yōu)質(zhì)茶葉，并得到如表信息：鐵觀音大紅袍總價/元質(zhì)變/Akg251800311270(1)求每千克鐵觀音和大紅袍的進價；(2)若鐵觀音和大紅袍這兩種茶葉的銷售單價分別為450元/kg、260元/kg，該采購商準備購進這兩種茶葉共30kg，進價總支出不超過1萬元，全部售完后，總利潤不低于2660元，該采購商共有幾種進貨方案？（均購進整千克數(shù)）（利潤＝售價﹣進價）【答案】(1)每千克鐵觀音的進價是350元，每千克大紅袍的進價是220元；(2)該采購商共有2種進貨方案．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用：（1）設每千克鐵觀音的進價是x元，每千克大紅袍的進價是y元，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設購進m千克鐵觀音，則購進30-m千克大紅袍，根據(jù)“進價總支出不超過1萬元，全部售完后，總利潤不低于2660元”，可得出關于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出該采購商共有2種進貨方案．【詳解】（1）解：設每千克鐵觀音的進價是x元，每千克大紅袍的進價是y元，根據(jù)題意得：2x+5y=18003x+y=1270解得：x=350y=220答：每千克鐵觀音的進價是350元，每千克大紅袍的進價是220元；（2）設購進m千克鐵觀音，則購進30-m千克大紅袍，根據(jù)題意得：350m+22030-m解得：733又∵m為正整數(shù)，∴m可以為25，26，∴該采購商共有2種進貨方案．3．江津區(qū)按照政府引導、市場主導的原則，打造本地品牌市集“蓮花市集”，激發(fā)“煙火經(jīng)濟”，發(fā)展市場活力．“蓮花市集”擬分A、B兩類攤位，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費用為60元，建B類攤位每平方米的費用為50元．用120平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的23(1)求每個A、B類攤位占地面積各為多少平方米？(2)若擬建A、B兩類攤位共100個，A類攤位的數(shù)量不少于20個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求建造這100個攤位的最大費用．【答案】(1)每個A、B類攤位占地面積分別為6平方米、4平方米(2)當A攤位有25個時，費用最大為24000元【分析】本題考查了分式方程的實際應用和不等式組的實際應用；（1）根據(jù)“用120平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的23”（2）先根據(jù)“A類攤位的數(shù)量不少于20個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍”列不等式組求出建A類攤位的數(shù)量，再求最大費用．【詳解】（1）設每個A攤位占地面積為x平方米，則：120x解得：x=6，經(jīng)檢驗：x=6是原分式方程的解，∴x-2=4，答：每個A類攤位占地面積為6平方米，每個B類攤位占地面積為4平方米；（2）設A類攤位有a個，則B類攤位100-a個，由題意得a≥20100-a≥3a解得20≤a≤25，因為每個A攤位的費用為60×6=360元，每個B攤位的費用為50×4=200元．360>200，所以A攤位個數(shù)越多，費用越大．當A攤位有25個時，費用最大為25×360+100-254．近兩年國際局勢出現(xiàn)了一些不安因素，為保障國家安全，需要將A、B、C三地的軍用物資全部運往D、E兩地，已知A、B、C三地的軍用物資分別有100噸、100噸、(1)這批軍用物資運往D、(2)若由C地運往D地的物資為60噸，A地運往D地的物資為x噸，B地運往D地的物資數(shù)量少于A地運往D地的物資數(shù)量的2倍，且B地運往E地的物資不超過25噸，則A、B、(3)如果將A、B、A地B地C地運往D地的費用（元/噸）220200200運往E地的費用（元/噸）250220210那么在（2）的條件下，運送這批物資的總費用是多少？【答案】(1)180、100(2)5種(3)60390或60380或60370或60360或60350【分析】本題考查了一元一次不等式組的應用、二元一次方程組的應用等知識，正確找出題中的等量關系和不等關系是解題的關鍵．（1）設出運往E地的數(shù)量為未知數(shù)，從而表示出運往D地的數(shù)量，進一步列出方程并求解即可；（2）根據(jù)題意得到一元一次不等式組，再找出符合條件的整數(shù)值即可；（3）將總費用表示出來，分別將可取的值代入即可求解．【詳解】（1）解：設運往E地的數(shù)量為a噸，則運往D地的數(shù)量為(2a-20)噸，依題意有：2a-20+a=100+100+80，解得：a=100,2a-20=180，答：運往D地的數(shù)量為180噸，運往E地的數(shù)量為100噸；（2）由題意知，A地運往E地的數(shù)量為x噸，B地運往D地、E地的數(shù)量分別為(180-60-x)噸、(x-20)噸，C地運往E地的數(shù)量為20噸，則：120-x<2xx-20≤25解得40<x≤45；x為整數(shù)，故有以下5種方案：A地B地C地第一種D417960E592120第二種D427860E582220第三種D437760E572320第四種D447660E562420第五種D457560E552520（3）總費用W=220x+250×(100-x)+200×(120-x)+220×(x-20)+200×60+210×20，即W=60800-10x，當x=41時，W=60800-10x=60800-10×41=60390（元）；當x=42時，W=60800-10x=60800-10×42=60380（元）；當x=43時，W=60800-10x=60800-10×43=60370（元）；當x=44時，W=60800-10x=60800-10×44=60360（元）；當x=45時，W=60800-10x=60800-10×41=60350（元）．5．為響應政府低碳生活，綠色出行的號召，某公交公司決定購買一批節(jié)能環(huán)保的新能源公交車，計劃購買A型和B型兩種公交車，其中每輛的價格、年載客量如表：A型B型價格（萬元/輛）ab年載客量（萬人/年）60100若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．(1)求a，b的值；(2)計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次，問有幾種購買方案?(3)在（2）的條件下，請用一次函數(shù)的性質(zhì)說明哪種方案使得購車總費用最少?最少費用是多少萬元?【答案】(1)a的值為100，b的值為150；(2)有4購買方案(3)購車總費用最少的方案是購買A型公交車9輛，購買B型公交車1輛，購車總費用為1050萬元【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用和一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；正確列出函數(shù)解析式．（1）利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合“購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元”，即可得出關于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設購買A型公交車m輛，則購買B型公交車(10-m)輛，根據(jù)“購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為整數(shù)，即可得出m的值，得出購買方案；（3）設購車總費用為w萬元，根據(jù)總費用=購買兩種公交車費用之和列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)得出最值．【詳解】（1）解：依題意得：a+2b=4002a+b=350，解得：a=100答：a的值為100，b的值為150；（2）解：設購買A型公交車m輛，則購買B型公交車10-m輛，依題意得：100m+150解得：6≤m≤9又∵m為整數(shù)∴有4購買方案；（3）解：設購車總費用為w萬元，則w=100m+15010-m=-50m+1500，（6≤m≤9且∵-50<0，∴w隨m的增大而減小∴當m=9時，w最小，最小值為-50×9+1500=1050（元），∴購車總費用最少的方案是購買A型公交車9輛，購買B型公交車1輛，購車總費用為1050萬元．6．2023年暑期某地發(fā)生水災，防洪救援部門準備安排30輛貨車裝運甲、乙、丙三種物資共150噸前往災區(qū)救援，按計劃30輛貨車都要裝運，每輛貨車只能裝運同一種物資且必須裝滿．已知每輛貨車單獨裝甲種物資可裝8噸，單獨裝乙種物資可裝6噸，單獨裝丙種物資可裝4噸．(1)設裝運甲種物資的車輛數(shù)為x輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為y輛，求y與x之間的函數(shù)關系式；(2)如果裝運每種物資的車輛都不少于3輛，那么車輛的安排方案有哪幾種？(3)若購買甲種物資需每噸3萬元，乙種物資每噸4萬元，丙種物資每噸5萬元，在（2）的條件下，該公司此次購買捐贈物資至少花費多少萬元？【答案】(1)y=-2x+15(2)安排方案有4種：①裝運甲種物資的車輛數(shù)為3輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為9輛，則裝運丙種物資的車輛為18輛；②裝運甲種物資的車輛數(shù)為4輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為7輛，則裝運丙種物資的車輛為19輛；③裝運甲種物資的車輛數(shù)為5輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為5輛，則裝運丙種物資的車輛為20輛；③裝運甲種物資的車輛數(shù)為6輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為3輛，則裝運丙種物資的車輛為21輛；(3)該公司此次購買捐贈物資花費636萬元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用、一元一次不等式的應用，理解題意，找準變量之間的關系是解此題的關鍵．（1）設裝運甲種物資的車輛數(shù)為x輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為y輛，則裝運丙種物資的車輛為30-x-y輛，根據(jù)“甲、乙、丙三種共150噸救援物資前往災區(qū)”得出8x+6y+430-x-y（2）根據(jù)裝運每種物資的車輛都不少于3輛，可得一元一次不等式，解不等即可得到答案；（3）設該公司此次購買捐贈物資花費w萬元，由題意得：w=-4x+660，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：設裝運甲種物資的車輛數(shù)為x輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為y輛，則裝運丙種物資的車輛為30-x-y輛，根據(jù)題意得：8x+6y+430-x-y解得：y=-2x+15，∴y與x之間的函數(shù)關系式為：y=-2x+15；（2）解：由（1）得：裝運甲種物資的車輛數(shù)為x輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為15-2x輛，則裝運丙種物資的車輛為30-x-y=30-x-15-2x由題意得：x≥315-2x≥3解得：3≤x≤6，∵x為整數(shù)，∴x的值為3，4，5，6∴安排方案有4種：①裝運甲種物資的車輛數(shù)為3輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為9輛，則裝運丙種物資的車輛為18輛；②裝運甲種物資的車輛數(shù)為4輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為7輛，則裝運丙種物資的車輛為19輛；③裝運甲種物資的車輛數(shù)為5輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為5輛，則裝運丙種物資的車輛為20輛；③裝運甲種物資的車輛數(shù)為6輛，裝運乙種物資的車輛數(shù)為3輛，則裝運丙種物資的車輛為21輛；（3）解：設該公司此次購買捐贈物資花費w萬元，由題意得：w=8x×3+6=-4x+660，∵-4<0，∴w隨著x的增大而減小，又3≤x≤6，∴當x=6時，w最小=-4×6+660=636（萬元），∴該公司此次購買捐贈物資至少花費636萬元．7．元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批發(fā)市場批發(fā)A，B兩種盆栽共300盆，A種盆栽盆數(shù)不少于B種盆栽盆數(shù)，付款總額不超過3320元，兩種盆栽的批發(fā)價和零售價如下表．設該超市采購x盆A種盆栽．品名批發(fā)市場批發(fā)價：元/盆盆栽超市零售價：元/盆A種盆栽1219B種盆栽1015(1)求該超市采購費用y（單位；元）與x（單位；盆）的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)該超市把這300盆盆栽全部以零售價售出，求超市能獲得的最大利潤是多少元；(3)受市場行情等因素影響，超市實際采購時，A種盆栽的批發(fā)價每盆上漲了2mm>0元，同時B種盆栽批發(fā)價每盆下降了m元．該超市決定不調(diào)整盆栽零售價，發(fā)現(xiàn)將300盆盆栽全部賣出獲得的最低利潤是1460元，求m【答案】(1)y=2x+3000(2)商場能獲得的最大利潤為1820元(3)m=2【分析】本題考查一次函數(shù)的應用、一元一次不等式組的應用、解一元一次方程，理解題意，正確列出函數(shù)解析式是解答的關鍵．（1）根據(jù)題意列函數(shù)解析式和不等式組求解即可；（2）設利潤為W，根據(jù)題意得到總利潤W=10x+2000，利用一次函數(shù)的增減性質(zhì)求解即可；（3）設利潤為W，根據(jù)題意得到總利潤=2-3mx+300m+1500，分2-3m>0和【詳解】（1）解：該超市采購x盆A種盆栽，則采購300-x盆B種盆栽，根據(jù)題意，y=12x+10300-x由題意得：x≥300-x2x+3000≤3320解得：150≤x≤160，答：該商場的采購費用y與x的函數(shù)關系式為y=2x+3000150≤x≤160（2）解：設總利潤為W，根據(jù)題意得：W=19-12∵2>0，∴W隨x的增大而增大，又150≤x≤160，∴當x=160時，W最大，最大值為1820，答：商場能獲得的最大利潤為1820元；（3）解：設總利潤為W元，根據(jù)題意得：W==2-3m當2-3m>0即0<m<23時，W隨又∵150≤x≤160，∴當x=150時，W有最小值為150×2-3m解得m=34當2-3m<0即m>23時，W又∵150≤x≤160，∴當x=160時，W有最小值為160×2-3m解得：m=2，綜上分析可知，滿足條件的m值為2．8．大華櫥具店購進電飯煲和電壓鍋兩種電器進行銷售，其進價與售價如表：進價（元/臺）售價（元/臺）電飯煲200250電壓鍋160200(1)一季度，櫥具店購進這兩種電器共30臺，用去了5600元，并且全部售完，問櫥具店在該買賣中賺了多少錢？(2)為了滿足市場需求，二季度櫥具店決定用不超過9000元的資金采購電飯煲和電壓鍋共50臺，且電飯煲的數(shù)量不少于電壓鍋的56，問櫥具(3)在（2）的條件下，請你通過計算判斷，哪種進貨方案櫥具店賺錢最多？【答案】(1)廚具店在該買賣中賺了1400元(2)共有三種進貨方案：①購買電飯煲23臺，購買電壓鍋27臺；②購買電飯煲24臺，購買電壓鍋26臺；③購買電飯煲25臺，購買電壓鍋25臺；(3)購買電飯煲25臺，購買電壓鍋25臺時，該廚具店賺錢最多【分析】本題考查二元一次方程組，不等式的應用，找準等量關系，列式計算是解題的關鍵．（1）設櫥具店購進電飯煲x臺，電壓鍋y臺，根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)列出關于x、y的方程組并解答即可，櫥具店在該買賣中賺了錢數(shù)；（2）先設購買電飯煲a臺，則購買電壓鍋(50-a)臺，根據(jù)題意列出不等式組，再解不等式組即可；（3）結(jié)合（2）中的數(shù)據(jù)進行計算，即可得到進貨方案櫥具店賺錢最多．【詳解】（1）設該廚具店購進電飯煲x臺，則購進電壓鍋y臺，由題意，得x+y=30200x+160y=5600解得：則20×250-200+10×200-160即廚具店在該買賣中賺了1400元；（2）設購買電飯煲m臺，則購買電壓鍋50-m臺，由題意得200m+160(50-m)≤9000m≥解得：25011∵m是正整數(shù)，∴m=23或24或25，當m=23時，50-m=50-23=27當m=24時，50-m=50-24=26當m=25時，50-m=50-25=25故共有三種進貨方案：①購買電飯煲23臺，購買電壓鍋27臺；②購買電飯煲24臺，購買電壓鍋26臺；③購買電飯煲25臺，購買電壓鍋25臺；（3）①當購買電飯煲23臺，購買電壓鍋臺27臺時，23×(250-200)+27×(200-160)=2230(元)；②當購買電飯煲24臺，購買電壓鍋26臺時，24×(250-200)+26×(200-160)=2240(元)③當購買電飯煲25臺，購買電壓鍋25臺時，25×(250-200)+25×(200-160)=2250(元)∵2230<2240<2250，∴當購買電飯煲25臺，購買電壓鍋25臺時，該廚具店賺錢最多．9．探究獎項設置和獎品采購的方案．素材1：如圖，某學校舉辦“中國傳統(tǒng)文化”知識競賽，分別設置一等獎、二等獎和三等獎的獎品．已知一盒水筆比一本筆記本的單價高9元，10盒水筆和10本筆記本的總價為210元．素材2：為提高今后參賽積極性，學校將原定的獲獎級別及人數(shù)進行調(diào)整，如表：獲獎級別一等獎二等獎三等獎調(diào)整前人數(shù)（單位：個）51530調(diào)整后人數(shù)（單位：個）m20n調(diào)整前后獲獎總?cè)藬?shù)不變．調(diào)整前一、二、三等獎的平均分數(shù)分別為94分、80分、71分，調(diào)整后一、二、三等獎的平均分數(shù)分別為90分、75分、70分．素材3：調(diào)整后開始采購，學校有活動經(jīng)費690元和30張“吉祥超市”的兌換券，一張兌換券兌換3盒水筆或者7本筆記本（一張兌換券只能兌換一種商品）．【任務1】分別求一盒水筆和一本筆記本的單價．【任務2】求m，n的值．【任務3】學校計劃將活動經(jīng)費用完，所需獎品全部在“吉祥超市”采購，請你設計一個最佳采購方案．【答案】任務1：一盒水筆20元，一本筆記本10元；任務2：m=6n=24或m=7n=23；任務3：兩種情形均選擇去【分析】本題主要考查二元一次方程組及不等式的應用，解題的關鍵是理解題意；（1）設每盒水筆的價格是x元，每本筆記本的價格是y元，然后根據(jù)題意可列方程x-y=106x+3y=150（2）由題意易得m>520（3）由（2）及題意可分類求出所需費用，然后問題可求解【詳解】解：（1）設每盒水筆的價格是x元，每本筆記本的價格是y元，根據(jù)題意得x-y=106x+3y=150解得x=20y=10答：一盒水筆20元，一本筆記本10元．（2）根據(jù)題意，得m>520解得5<m≤15∵m是整數(shù)，∴m=6或7，∴共有兩種可能，分別是m=6n=24或m=7（3）①當m=6，n=24時，需采購水筆82盒，筆記本32本．A超市：買水筆82盒，需支付1640元，送20本筆記本，再買12本筆記本，需支付120元，共支付1760元；B超市：20×0.9×82+10×0.9×32=1764（元）∵1760<1764，∴選擇去A超市購買比較合算．②當m=7，n=23時，需采購水筆84盒，筆記本34本．A超市：買水筆84盒，需支付1680元，送21本筆記本，再買13本筆記本，需支付130元，共支付1810元；B超市：20×0.9×84+10×0.9×34=1818（元）∵1810<1818，∴選擇去A超市購買比較合算，∴兩種情形均選擇去A超市購買比較合算．拔高訓練拔高訓練1．將函數(shù)y=2x-3的圖象記為G．若一次函數(shù)y=kx-1的圖象與G有交點，則k的取值范圍是（

A．k≥23 B．k≥23或k>-2 C．k≥23或【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)與不等式的關系，找出一元一次不等式是解題的關鍵；根據(jù)y=2x-3的非負性得x≥32【詳解】圖象如圖所示：設A3當x≥32時，∴y=2x-3當x≤32時，∴y=2x-3∴∵y=kx-1過點B0,-1，當y過l1處，即同時過A、將A32,0解得：k=∴當k≥23時，y=kx-1的圖象與k<0時，當l2與y=-2x+3平行時，y=kx-1的圖象與G∴k=-2，∴k<-2時，y=kx-1的圖象與G在第二象限有交點，故選：D2．某校七年級有三個班組織數(shù)學競賽、英語競賽和作文競賽，各項競賽均取前三名（每項競賽的每一名次都只有一人），第一名可得5分，第二名可得3分，第三名可得1分．已知七（1）班和七（2）班總分相等，并列第一名，且七（2）班進入前三名的人數(shù)是七（1）班的兩倍，那么七（3）班的總分是分．【答案】7【分析】本題考查了一元一次不等式組的應用，正確理解題中的數(shù)量關系是解答本題的關鍵，設七（2）班進入前三名有x人，根據(jù)題意可列不等式組并解得1≤x≤3，由（1）班、（2）班分數(shù)相等，并且比（3）班分數(shù)高，可知（1）班、（2）班的得分都高于平均分9分，故x≥2，再分x=3和x=2兩種情況分別分析推理即可得到答案．【詳解】解：設七（2）班進入前三名有x人，則七（1）班進入前三名有2x人，七（3）班進入前三名有9-3x人，由題意得x≥19-3x≥0解得1≤x≤3，因為三個競賽項目的總分是（5+3+1）×3=27（分），（1）班、（2）班分數(shù)一樣，并且比（3）班分數(shù)高，所以（1）班、（2）班的得分都高于平均分9分，∴x≥2，即（1）班最少有2個人進入前三名，則（2）班最少有4人進入前三名，當x=3時，（1）班有3人進入前三名，那么（2）班就有6人進入前三名，（3）班就沒人進入前三名，則27分由（1）班、（2）班平分，但27不能被2整除，不合題意，舍去；當x=2時，（1）班、（2）班進入前三名的人數(shù)分別為2人、4人．因為他們的得分必須大于9分，所以（1）班得分是5+5=10（分），（2）班也是得10分，所以（3）班得7分；綜上所述，七（3）班的總分是7分．故答案為7．3．若關于x的一元一次不等式組x-8<4x+4x<m有解且最多4個整數(shù)解，且關于y的分式方程2y-my-1-y-41-y【答案】-2【分析】本題考查了根據(jù)不等式解的情況確定字母的取值范圍，解含參數(shù)的分數(shù)方程等知識，綜合性強，難度較大．先求出一元一次不等式組的解集，根據(jù)它有解且最多4個整數(shù)解，求得m的取值范圍-4<m≤1；解分式方程得y=m+32，根據(jù)其解為整數(shù)，結(jié)合-4<m≤1求得所有符合條件的【詳解】解：由題意得關于x的一元一次不等式組x-8<4x+4x<m得-4<x<m∵原不等式組有解且最多4個整數(shù)解，∴-4<m≤1．解分式方程2y-my-1-y-4∵當y=1是原分式方程無解，∴m≠-1．∴-1<m+3≤4，且m+3≠2，∵y=m+3∴m+3=0或4，當m+3=0時，m=-3，當m+3=4時，m=1，∴-3+1=-2．故答案為：-24．一個四位正整數(shù)M，如果千位數(shù)字與十位數(shù)字之和的兩倍等于百位數(shù)字與個位數(shù)字之和，則稱M為“共進退數(shù)”，并規(guī)定FM等于M的前兩位數(shù)所組成的數(shù)字與后兩位數(shù)所組成的數(shù)字之和，GM等于M的前兩位數(shù)所組成的數(shù)字與后兩位數(shù)所組成的數(shù)字之差，如果FM=60，那么M各數(shù)位上的數(shù)字之和為；有一個四位正整數(shù)N=1101+1000x+10y+z(0≤x≤8，0≤y≤9，0≤z≤8，且為整數(shù))是一個“共進退數(shù)”，且FN【答案】151125【分析】本題考查整式的加減，一元一次方程的應用，解不等式組等知識，由四位正整數(shù)M為“共進退數(shù)”推出2a+c=b+d，由FM=60推出10a+c+b+d=60，從而解得a+c=5，b+d=2a+c=10，繼而得解；由N=1101+1000x+10y+z=1000x+1+100×1+10y+z+1推出N的各位數(shù)字，繼而表示出FN與GN，由N是一個“共進退數(shù)”推出z=2x+2y【詳解】解：設M的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是b，十位數(shù)字是c，個位數(shù)字是d，則M=1000a+100b+10c+d，∵四位正整數(shù)M為“共進退數(shù)”，∴2a+c又∵FM∴10a+b+10c+d=60∴10a+c∴a+c=5，∴b+d=2a+c∴a+b+c+d=15，即M各數(shù)位上的數(shù)字之和為15．∵N=1101即N的千位數(shù)字是x+1，百位數(shù)字是1，十位數(shù)字是y，個位數(shù)字是z+1，∴FNGN又∵N是一個“共進退數(shù)”，∴2x+1化簡得：z=2x+2y，∴FN∵0≤z≤8，z=2x+2y，∴0≤2x+2y≤8，∴0≤x+y≤3，1≤x+y+1≤4，又∵FN是一個平方數(shù)，F(xiàn)∴x+y+1=3，即x+y=2，∴z=2x+2y=4，y=2-x∵0≤x≤8，0≤y≤9，∴0≤x≤8，0≤2-x≤9，解得：0≤x≤2，∴GN∴GN又∵GN∴x是7的倍數(shù)，∴x=0，y=2-x=2，∴N=1000x+1故答案為：15；1125．5．若關于x的一元一次不等式組3x-12<x+25x-3≥a-2x有且僅有4個整數(shù)解，且關于y的分式方程3yy-2+【答案】-16【分析】不等式組變形后，根據(jù)有且僅有4個整數(shù)解確定出a的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有整數(shù)解，確定出滿足條件a的值．【詳解】解：解不等式組3x-12<x+25x-3≥a-2x∵不等式組3x-12<x+25x-3≥a-2x∴0<a+3∴-3<a≤4．解分式方程3yy-2+6-a∵y=4-a∴a為偶數(shù)，