專題03 分式（講義）（解析版）-備戰(zhàn)中考數(shù)學一輪復習（全國通用）

專題03分式的核心知識點精講1.了解分式、分式方程的概念，進一步發(fā)展符號感；2．熟練掌握分式的基本性質，會進行分式的約分、通分和加減乘除四則運算，發(fā)展學生的合情推理能力與代數(shù)恒等變形能力；3．能解決一些與分式有關的實際問題，具有一定的分析問題、解決問題的能力和應用意識；4．通過學習能獲得學習代數(shù)知識的常用方法，能感受學習代數(shù)的價值?？键c1：分式的概念1.定義：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式；3.分式有意義的條件：B≠0；4.分式值為0的條件：分子=0且分母≠0考點2：分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.考點3：分式的運算考點4：分式化簡求值有括號時先算括號內的；分子/分母能因式分解的先進行因式分解；進行乘除法運算約分；進行加減運算，如果是異分母分式，需線通分，變?yōu)橥帜阜质胶?，分母不變，分子合并同類項，最終化為最簡分式；帶入相應的數(shù)或式子求代數(shù)式的值【題型1：分式的相關概念】【典例1】（2022?懷化）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3個，故選：B．【典例2】（2023?廣西）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意義，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故選：A．1．（2022?涼山州）分式有意義的條件是（）A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≠0【答案】B【解答】解：由題意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故選：B．2．（2023?涼山州）分式的值為0，則x的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值為0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故選：A．【題型2：分式的性質】【典例3】（2023?蘭州）計算：＝（）A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a【答案】D【解答】解：＝＝a，故選：D．1．（2020?河北）若a≠b，則下列分式化簡正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故選項A錯誤；，故選項B錯誤；，故選項C錯誤；，故選項D正確；故選：D．2．（2023?自貢）化簡：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案為：x﹣1．【題型3：分式化簡】【典例4】（2023?廣東）計算的結果為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本題選：C．1．（2023?河南）化簡的結果是（）A．0 B．1 C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故選：B．2．（2023?赤峰）化簡+x﹣2的結果是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故選：D．【題型4：分式的化簡在求值】【典例5】（2023?深圳）先化簡，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝?＝?＝，當x＝3時，原式＝＝．1．（2023?遼寧）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】見試題解答內容【解答】解：原式＝（﹣）?＝?＝x+2，當x＝3時，原式＝3+2＝5．2．（2023?大慶）先化簡，再求值：，其中x＝1．【答案】見試題解答內容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，當x＝1時，原式＝＝．3．（2023?西寧）先化簡，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的兩個根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的兩個根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春?汝州市期末）下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最簡分式，不符合題意；B、＝＝，不是最簡分式，不符合題意；C、是最簡分式，符合題意；D、＝＝﹣1，不是最簡分式，不符合題意；故選：C．2．（2023秋?岳陽樓區(qū)校級期中）如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值（）A．不變 B．擴大2倍 C．擴大4倍 D．縮小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值擴大2倍，故選：B．3．（2023?河北）化簡的結果是（）A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3?＝xy6，故選：A．4．（2023秋?來賓期中）若分式的值為0，則x的值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．【答案】C【解答】解：由題意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故選：C．5．（2023秋?青龍縣期中）分式的最簡公分母是（）A．3xy B．6x3y2 C．6x6y6 D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分別是x2y、2x3、3xy2，故最簡公分母是6x3y2；故選：B．6．（2023春?沙坪壩區(qū)期中）下列分式中是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解；A、是最簡二次根式，符合題意；B、＝，不是最簡二次根式，不符合題意；C、＝＝，不是最簡二次根式，不符合題意；D、＝﹣1，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A．7．（2023春?原陽縣期中）化簡（1+）÷的結果為（）A．1+x B． C． D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故選：A．8．（2023?門頭溝區(qū)二模）如果代數(shù)式有意義，那么實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2【答案】A【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故選：A．9．（2023春?武清區(qū)校級期末）計算﹣的結果是（）A． B． C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案為：B．10．（2023春?東?？h期末）根據(jù)分式的基本性質，分式可變形為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故選：C．11．（2023秋?萊州市期中）計算的結果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝?（﹣）＝﹣x，故答案為：﹣x．12．（2023秋?漢壽縣期中）學校倡導全校師生開展“語文閱讀”活動，小亮每天堅持讀書．原計劃用a天讀完b頁的書，如果要提前m天讀完，那么平均每天比原計劃要多讀的頁數(shù)為（用含a、b、m的最簡分式表示）．【答案】．【解答】解：由題意得：平均每天比原計劃要多讀的頁數(shù)為：﹣＝﹣＝，故答案為：．13．（2023春?宿豫區(qū)期中）計算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案為：1．14．（2023?廣州）已知a＞3，代數(shù)式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任選兩個代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）選A，B兩個代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋?思明區(qū)校級期中）先化簡，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝?＝，當x＝﹣1時，原式＝＝．16．（2023秋?長沙期中）先化簡，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）?＝?＝，當x＝5時，原式＝＝．17．（2023?鹽城一模）先化簡，再求值：，其中x＝4．【答案】見試題解答內容【解答】解：原式＝（+）?＝?＝?＝x﹣1，當x＝4時，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋?廉江市期末）先化簡（﹣x）÷，再從﹣1，0，1中選擇合適的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）?＝﹣?＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，當x＝0時，原式＝﹣＝0．1．（2023秋?西城區(qū)校級期中）假設每個人做某項工作的工作效率相同，m個人共同做該項工作，d天可以完成若增加r個人，則完成該項工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C． D．【答案】C【解答】解：工作總量＝md，增加r個人后完成該項工作需要的天數(shù)＝，故選：C．2．（2023秋?長安區(qū)期中）若a＝2b，在如圖的數(shù)軸上標注了四段，則表示的點落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的點落在段③，故選：C．3．（2023秋?東城區(qū)校級期中）若x2﹣x﹣1＝0，則的值是（）A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故選：A．4．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）對于正數(shù)x，規(guī)定，例如，，則＝（）A．198 B．199 C．200 D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故選：B．5．（2023秋?延慶區(qū)期中）當x分別取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，時，計算分式的值，再將所得結果相加，其和等于（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2023【答案】A【解答】解：當x＝﹣a和時，＝＝0，當x＝0時，，則所求的和為0+0+0+?+0+（﹣1）＝﹣1，故選：A．6．（2022秋?永川區(qū)期末）若分式，則分式的值等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．【答案】B【解答】解：整理已知條件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy將x﹣y＝﹣2xy整體代入分式得＝＝＝＝．故選：B．7．（2023春?鐵西區(qū)月考）某塊稻田a公頃，甲收割完這塊稻田需b小時，乙比甲多用0.3小時就能收割完這塊稻田，兩人一起收割完這塊稻田需要的時間是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：乙收割完這塊麥田需要的時間是（b+0.3）小時，甲的工作效率是公頃/時，乙的工作效率是公頃/時．故兩人一起收割完這塊麥田需要的工作時間為＝（小時）．故選：B．8．（2023春?臨汾月考）相機成像的原理公式為，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．下列用f，u表示v正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故選：D．9．（2023?內江）對于正數(shù)x，規(guī)定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，計算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199 B．200 C．201 D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故選：C．10．（2023春?靈丘縣期中）觀察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣將以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法計算：+++…+其結果為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故選A．11．（2023秋?順德區(qū)校級月考）先閱讀并填空，再解答問題．我們知道，（1）仿寫：＝，＝，＝．（2）直接寫出結果：＝．利用上述式子中的規(guī)律計算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案為：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案為：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+??+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋?株洲期中）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)”和“假分數(shù)”，而假分數(shù)都可化為帶分數(shù)．如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；，這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．如：，；解決下列問題：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）將假分式化為帶分式；（3）如果x為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，求所有符合條件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案為：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值為整數(shù)，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋?漣源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，則，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒數(shù)法”．請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x?＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，則＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x?＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．則＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋?興隆縣期末）設．（1）化簡M；（2）當a＝3時，記M的值為f（3），當a＝4時，記M的值為f（4）．①求證：；②利用①的結論，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①見解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①證明：；②f（3）+f（4）+???+f（11）＝＝＝＝；③由②可知該方程為，方程兩邊同時乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，經檢驗x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解為x＝15．15．（2023春?蜀山區(qū)校級月考）【閱讀理解】對一個較為復雜的分式，若分子次數(shù)比分母大，則該分式可以拆分成整式與分式和的形式，例如將拆分成整式與分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：設x+1＝t，則x＝t﹣1，則原式＝＝．根據(jù)上述方法，解決下列問題：（1）將分式拆分成一個整式與一個分式和的形式，得＝；（2）任選上述一種方法，將拆分成整式與分式和的形式；（3）已知分式與x的值都是整數(shù)，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由題知，，故答案為：．（2）選擇方法一：原式＝＝．選擇方法二：設x﹣1＝t，則x＝t+1，則原式＝＝＝＝＝．（3）由題知，原式＝＝＝＝．又此分式與x的值都是整數(shù)，即x﹣4是39的因數(shù)，當x﹣4＝±1，即x＝3或5時，原分式的值為整數(shù)；當x﹣4＝±3，即x＝1或7時，原分式的值為整數(shù)；當x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17時，原分式的值為整數(shù)；當x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43時，原分式的值為整數(shù)；綜上所述：x的值為：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5時，原分式的值為整數(shù)．16．（2023春?蘭州期末）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)”和“假分數(shù)”，而假分數(shù)都可以化為帶分數(shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如：．解決下列問題：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）將假分式化為整式與真分式的和的