2022-2023學年湖北省荊州市部分校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年湖北省荊州市部分校聯(lián)考高一(下)期中數(shù)學試

卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.AB-2AC+BC=()

A.CAB.ACC.^BCD.Cfi

2.若復數(shù)z=Ci,則()

A.z2=2B.Z2=—4C.z4=2D.Z4=4

3.已知集合4={x∣2x-1<1},B={y∣y=廣制，則力DB=()

A.(―∞,0]B.[0,l)C.(-∞,1)D.0

4.已知兩個非零向量五=(l,χ),K=(x2,4x).則“因=2”是ua∕∕bn的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.記△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,且2sin2∕l+2s譏=2s譏2(4+8)+

SsinAsinB,貝∣JcosC=()

233

CD

A.3--4-4-

6.在正方形ABCD中，4B=4,P,Q分別為BC,Cn的中點，BM=3MA,則PQ?PM=()

A.2B.1C.10D.4

7.已知函數(shù)/(乃=1211(3%+3)(|0|號)的圖象關于點(3,0)對稱，則/給)=()

A.-2—V^^3B.-2+V^^3ɑ.2—V3D.2+V~3

8.在△力BC中，AD為BC上的中線，G為AD的中點，M,N分別為線段4B,AC上的動點(不

包括端點4B,C),且M,N,G三點共線，若加=2荏，AN=μAC,則;I+4〃的最小值

為()

A.IBTC.2D.7

224

二、多選題(本大題共4小題，共12.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.在AZBC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,根據(jù)下列條件判斷三角形的情況,

則正確的是()

A.b=19,A=45o,C=30。，有兩解

B.α=y∕~39b=2-∕^2,A=45°,有兩解

C.ɑ=3,b-2ΛΓ~2>A=45。，只有一解

D.a=7,b=7,A=75°,只有一解

已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點分別為且。

10.Zl=l-i,z2=2-i,z3=2+2i4,B,C,

為復平面內(nèi)的原點，貝∣J()

A.Z1+Z2的虛部為一2i

B.Z2-Z3為純虛數(shù)

C.OA1OC

D.以IOal,∣OB∣,∣oc∣為三邊長的三角形為鈍角三角形

11.在AABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,NABC的角平分線交4C于D,E為AC的

中點，則()

A.若BD=->則乙4BC=≡

Q+CJ

B.若BD=9，則NABC=3

a+c6

C.若BE='α2+c2-ac,則NABC=≡

2J

D.若BE=α2+c2-ac,則乙4"=算

12.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊

形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形4BCDEFGH的邊長為

√^1,P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結論正確的是()

B.而在布向量上的投影向量為(9+1)荏

C.若瓦？?芯=(I+/1)可?前，則P為ED的中點

D.若P在線段BC上，且布=X而+y用，則X+y的取值范圍為［1,2+d

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知復數(shù)Z滿足Z=半，則IZl=.

14.若不等式QX2-6%+3>O對％∈R恒成立，則Q的取值范圍是____，a+J?的最小值

a—1

為.

15.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2AD=2,/-BAD=E,存=2PC，延長DP交BC于

點M,則加?AC=

16.廣州國際金融中心大樓，簡稱“廣州/FC”，又稱“廣州西塔”，位

于廣東省廣州市，為地處天河中央商務區(qū)的一棟摩天大樓，東面珠江公園，*∣∣/

南鄰珠江和廣州塔，西近廣州大道，北望天河體育中心與白云山.小勝為測I

量其高度，在點M處測得廣州國際金融中心大樓頂端P處的仰角為也在點N-

處測得廣州國際金融中心大樓頂端P處的仰角為也在點Q處測得廣州國際金

融中心大樓頂端P處的仰角為半其中M,N,Q三點共線且與廣州國際金融中心大樓底部在同

一水平高度，已知MN=NQ=145，%米，則廣州國際金融中心大樓的高度為米.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

己知復數(shù)Zl=a-5i與Z2=-2+bi(a,b∈R)互為共扼復數(shù).

(1)判斷Z2在復平面內(nèi)對應的點在第幾象限，并說明理由；

(2)在復數(shù)范圍內(nèi)，解關于Z的一元二次方程z2+az+b=0.

18.(本小題12.0分)

設五，E是不共線的兩個向量，若市=m五一&Oβ=(m+l)a+b,OC=a-3b.

⑴若m=—：,同=2。|9|，且說1就求五與方的夾角。；

(2)若4B,C三點共線，求m的值.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=e-?(a>0,且a≠1),當f(x)的定義域是［0,1］時，此時值域也是［0,l］?

(1)求α,b的值；

(2)若αbR1,證明/(x)為奇函數(shù)，并求不等式/(2X-1)+/'。-4)>0的解集.

20.(本小題12.0分)

已知α,b,C分別為△/!BC的內(nèi)角4,B,C所對的邊，AB-AC=4,且αcsMB=8sin4.

⑴求A;

(2)求SinaSiTIBS譏C的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=Asin(ωx+W)QI>0,ω>0,0<φ<》的部分圖象如圖所示，且圖中的b=

(1)求f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)g(x)=〃>)-7%+2在［0,+8)上的零點個數(shù)，并說明理由.

22.(本小題12.0分)

在某郁金香主題公園景區(qū)中，春的氣息熱烈而濃厚，放眼望去各色郁金香讓人心潮澎湃，黑

色“夜皇后”低調而奢華；白色"塔克馬山"葉片疊層豐富；姿態(tài)雍容華貴；粉色“香奈兒”

微微張開花瓣，自帶芬芳.園區(qū)計劃在如圖所示的區(qū)域內(nèi)種植櫻花和風信子，讓游客在花的海

洋里有不一樣的體驗，其中AACD區(qū)域種櫻花，△力BC區(qū)域種植風信子.為了滿足游客觀賞需

要，現(xiàn)欲在射線4。，ZB上分別選一處F,E,修建一條貫穿兩區(qū)域的直路EF,EF與力C相交

于點G,其中每百米的修路費用為，萬元，已知"4。=Z.CAB=≡ΛG=1百米，設NGEA=

a.

(1)試將修路總費用S表示為α的函數(shù)S(α);

(2)求修路總費用S(α)的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：AB-2AC+BC=AB+BC-2AC=AC-2AC=-AC=CA-

故選:A.

根據(jù)向量加法、數(shù)乘的幾何意義和向量的數(shù)乘運算即可得出正確的選項.

本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，考查計算能力，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：z=√-2i>

WJz2=2i2=-2,z4=(√-2i)4=4i4=4.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：由己知可得，A={x?2x-1<1}={x?x<1),

由一X≥O可得，X≤0.

因為函數(shù)y=C在［0,+8)上單調遞增，y=—%在(一8,0］上單調遞減，

根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，y=J^=≡在(-8,0］上單調遞減，

所以y≥0,所以B={y∣y≥O},

所以4=(—8,1),B-［0,+∞),

所以4CB=［0,1).

故選：B.

根據(jù)已知解出4,根據(jù)復合函數(shù)的單調性，得出函數(shù)y=廣7的單調性，即可解出8,然后根據(jù)

交集的運算，即可得出答案.

本題考查交集的運算，屬于基礎題.

4.【答案】C

22

【解析】解：非零向量α=(l,x),b=(XI4X),α∕∕b<=>%=4<=>∣X∣=2.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結合向量平行的性質，即可求解.

本題主要考查向量平行的性質，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：由三角形內(nèi)角關系/+B=Tr-C可得，sin(∕l+F)=sinCf

所以滿足2si∏24+2sin2B=2sin2C+SsinAsinB,

由正弦定理可得24+2b2=2C2+?ɑe,即ɑ?+fa2-c2=∣αfe,

利用余弦定理推論可得CoSC=a2+b2-c2=?.

2ab4

故選：D.

22

利用三角形內(nèi)角關系和誘導公式即可得2siτι2j4+2sinB=2sinC+3sinAsinB,再利用正弦定理

和余弦定理計算即可求解.

本題考查余弦定理以及正弦定理的應用，是中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：由題知，在正方形ABCD中，AB=4,

所以以B為原點，BC,B4所在直線分別為X,y軸,

建立如圖所示的平面直角坐標系，

由題可知P(2,0),(2(4,2),由于前=3而彳，則M(0,3),

則前=(-2,3)，^PQ=(2,2)，

所以麗?麗=-2×2+3×2=2.

故選：A.

建立坐標系，用坐標表示向量即可求得數(shù)量積.

本題考查向量的應用，向量的計算，屬于基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：因為/(久)=tan(3x+0)(|例≤》的圖象關于點(一aO)對稱，

所以3X(―5)+W=券,k∈Z>

所以3=÷^yΛ6Z.

因為∣9∣≤%所以口=一*BP∕(x)=tan(3x-ξ),

n.π√-5

則嗚)=tanR)=詈*?=上λ百=2-C

12y46，l+tan^tan^?∣v3

故選：C.

根據(jù)函數(shù)的對稱中心，結合0的范圍，可得出S=Y，f(x)=tan(3%Y).代入X=5，根據(jù)兩角

差的正切公式，即可得出答案.

本題考查了正切函數(shù)的圖象性質，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：由題意芯=J而=:(荏+前)=：(南+,前)=：荏+；(正-荏)=；荏+

4

乙乙LΛLΛ‰ι1T

?,

4

設而=X而，O<X<1,

BDC

則Z=^AM+^MG=AM+x^MN=AM+x(AN-AM)=xAN+(1-x)AM=λ(l-x)AB+

μxAC<

所以;I(I-X)=；,=；,得超+5=1，

所以，+4〃=3(4+44)G+}=*(5+華+》≥](5+4)=3，

當且僅當?=4,WA=p〃時等號成立,

Λμ4r8

???Λ+44的最小值為

故選：D.

利用平面向量的基本定理，用彳屏前表示E，設麗=xMN，O<x<l,再用含參的方式用荏，

正表示怒，得到關于參數(shù)的方程組求得;0+》=1,最后應用基本不等式“1”的代換求;1+4〃

的最小值，注意取值條件.

本題考查了平面向量的線性運算的應用及平面向量基本定理的應用，考查利用基本不等式求最值,

是中檔題.

9.【答案】CD

【解析】解：對于A,?.?A=45tj,C=30°,則B=Io5。，

???由正弦定理E=三=—%,

SinArsιnCSinB

可得α=膂,c=若，顯然有唯一結果，即只有一解，A錯誤；

SinBSinB

對于8,a=√-3,b=2yΓ2<4=45。，

由正弦定理得SinB=詠=空鬻竺：=￡>1,無解，8錯誤；

a<3<3

對于C,%?α=3,b=2√-2,A=45°,:?a>b,?,?B<A=45°,

由正弦定理得SinB=姐吧=迎產(chǎn)=,<1，有唯一解，C正確；

a33

對于。，"a=7,b=7,A=75°,：.a=b,.'-B=A=75o,

此時C=30。，有唯一解，。正確.

故選：CD.

利用正弦定理，逐項計算判斷作答.

本題考查解三角形問題，正弦定理的應用，化歸轉化思想，屬基礎題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對于A項，因為Zl+z2=3-2i,所以Zl+Z2的虛部為—2,所以A錯誤;

對于B項，因為Z2—Z3=-3K所以Z2-Z3為純虛數(shù)，所以B正確；

對于C項，因為刀=（I,一1）,OC=（2,2）.

所以成?元=0，所以。41OC,所以C正確；

對于0項,由已知可得IoAl=IZJ=√"1,?OB?=∣z2∣=y∕-5,?OC?=∣z3∣=2√^2.

且|。川2+∣OB∣2=7<8=∣0C∣2,所以，|0*2+∣0B∣2一∣0Q2<（J,所以。正確.

故選：BCD.

結合復數(shù)的概念，即可判斷4、B；

由已知得出漢,灰，求解數(shù)量積即可判斷C；

由已知求出|0川，∣0B∣,IoCl的長，根據(jù)三邊之間的關系，即可判斷D.

本題主要考查復數(shù)的幾何意義，考查轉化能力，屬于中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解:對于√4項,由SAABC=SMBD+SABCD可得，

?acsinZ.ABC^i?a-BDsinC+?e?BDSin

LLΛLΛLΛ乙

則2acs出乙”,CoS=a?BDSirl",+c?BDSirι"},

所以2QCCOS^^=(Q+c)80,CoS^^=(胃)叱

2'’22ac

因為BD=W竺，

a+c

則COS半=空，即NABC故4正確；

22o

對于B項，由4知，/-ABC=≡,B項錯誤；

對于C項，由題可知而=；（瓦？+品）,

所以而2222

2=1(BA+Bcy=l(g?+BC+ZBA-BC)=^(a+c+2accos^ABC).

因為BE=4竽生,

所以q+；~^^^=+c2+2accos?ABCy

整理可得CoS乙4BC=-?,

所以NABC=半，故C錯誤；

對于。項，由C可知，/.ABC=y,故。項正確.

故選：AD.

根據(jù)SMBC=SΛABD+SABCD可推得，CoS弩=嗎詈.結合已知即可得出COS等=嶺

NABC=判斷力、B項；根據(jù)已知可知或=；（瓦？+瓦f）,平方整理可得而t

?Z

2accosΛABC）,結合已知即可得出CoS乙4BC=-右乙4BC=與，即可判斷C、D.

本題考查解三角形，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】BD

【解析】解：如圖所示：以AE所在直線為y軸，GC所在直線為K軸建立直角坐標系,

設OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a,

則2=α2+α2-2a2XCoSa整理得到α?=2+y∕~2>

J4(0,—a),B(-?a,—殍a),C(α,0),。(殍α,容α),E(O,α),F(—號a,a)<G(—a,O),

H(―a,—a)>設P(XO,?))'

對選項A：BG=(-a—-?a,^?a)?AH=(―a,a--?a)>^BG≠2AH>錯誤;

222r

yΓ2>?！艫DABla+a-∣a1v^2,

對選項B：^AD=(j-γ-a,a+a)>AB=(Ta,Q-〒a)，底二資+g一苧4=E=亍+

即投影向量為（好+1）宿，正確;

2

對選項C：^0A?FC=(O,—a)?(a+?a,—?a)=?a<TA-FD—(—x0,—a—y0)-

(Pa,pa-a)=-容a&-(a+y())(?a-a)，OA-FC=+yJ~l.)PA-^ED，整理得到

—好ax°_（a+yθ）（[!a—a）=^，即％=（「+1）&，與正八邊形有兩個交點，錯誤；

對選項。：而=（Xo,%+α）,南=存α,α—浮α）,而=（一號α,α一號α）,和=xAB+yAH^

（?（7o+a）=%（^y^a,ɑ—2~a^+,（—2~a,a—2~a^'

y0+ar?

整理得到X+y=y0∈[-γa,0]，故％+y6[1,2+/2],正確.

故選：BD.

以AE所在直線為y軸，GC所在直線為X軸建立直角坐標系，計算各點坐標，計算打消2科，A錯

誤，投影向量為（殍+1）荏，B正確,直線與正八邊形有兩個交點，C錯誤，x+y=^∑φ,D

正確，得到答案.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，考查轉化能力，屬于中檔題.

13.【答案】y[~2

22

【解析】解：VZ=—,.l7l=∣i+i,_|1+.|_J1+1-

1"11-1i1-∣t∣1一

故答案為：V^^2?

直接利用商的模等于模的商求解.

本題考查復數(shù)模的求法，考查轉化思想，是基礎題.

14.【答案】（3,+8）7

【解析】解：因為不等式a--6x+3>O對X∈R恒成立,

所以當a=O時，X不符合題意，舍去；

當a≠0時，則L°,?∕n,

M<O136-12a<O

解得Q>3,

綜上a的取值范圍是（3,+∞）;

9QIg~

Q+3=Q-1+3+1≥2（Q-1）?3+1=7,

a-1a-1ΛJ`ja-1

當且僅當a-l=2,即a=4時取等號，

a-1r

則a+々的最小值為7.

故答案為：（3,+8）,7.

對α分情況討論即可求解；α+言=α-l+言+l≥2j(α-l)?^+l=,利用基本不等

式即可求解.

本題考查了函數(shù)的恒成立問題和基本不等式的應用，屬于中檔題.

15.【答案】I

【解析】解：由已知可得AD〃8C,差=2,

所以若=需=蔡=2,即M為"的中點,

所以而=IDM=|(DC+CM)=IAB-g而.

又AB?AD=2×1×cos2=1,

所以前?AC=(∣ΛF-∣?D)-(AB+AD)=|/+??AD-?AD'=IX22

??????

[2_8

1^3?

故答案為：

根據(jù)已知可得出第=需=差=2,然后表示出聲,而，根據(jù)定義求得而.同1，然后根據(jù)數(shù)

量積的運算律，即可得出答案.

本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算，屬于基礎題.

16.【答案】435

【解析】解：作出圖形，如圖所示:

Tr

由題意得P。10M,PO1ON,PO10Q,S.Z.PM0=也乙PNo=乙PQo=?,MN=NQ=

145產(chǎn)米，

設廣州國際金融中心大樓的高度為PQ=h,則OM=√^3∕ι.ON=h,OQ=噂九，

在^ONM中，由余弦定理得cos/0NM=NM?N°2一0M2,

2NM-N0

ζ

在AONQ中,由余弦定理得COSNoNQ=，

"?ZNQ哈PN。/

由圖形得4。NM+乙ONQ=π,BPcoszO/VM+CEONQ=0,

.?.NM2+NO2-OM2+NQ2+ON2-OQ2=0,

.?.(145√^6)2+h2-(√^3∕i)2+(145C)2+∕ι2-(^∕ι)2=0?解得％=435,

故廣州國際金融中心大樓的高度為435米.

故答案為：435.

結合題意作出圖形，利用余弦定理可得CoSNoNM="金迪二”?,COSAoNQ=叱燃;。/

2NM?N0ZNQON

求解即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為復數(shù)Zi=α-5i與Z2=—2+bi互為共輸復數(shù)，所以α=-2,b=5,

所以Zz=-2+5i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限；

(2)在復數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程為z2-2z+5=0,所以/=4—4x5=-16,

解方程得Z=竽，即z=1+2i或Z=1-21.

【解析】(1)根據(jù)共輾復數(shù)的定義求出a、b的值，再判斷Z2在復平面內(nèi)對應點位于第兒象限；

(2)利用判別式，在復數(shù)范圍內(nèi)求一元二次方程的解即可.

本題考查了共軌復數(shù)的定義與應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.

18.【答案】解：(1)若W=—右則證=奧+a

VOF10C，又INl=2<^2∣K∣,

.?.Ofi?0C=(ia+K)■(a-3h)??(a2-a?b-6h2)=0,

??ab=a2-6b=2?b?2'

ab2?b?2√^2

…n=麗=漏薩又8∈[0,7τ],

??.萬與了的夾角。為

(2)VAB=0F-δX=a+2h,AC=OC-OA=(1-m)a-2b^

SLA,B,C三點共線，.?.存在人使得前=4荏，

即(I-Tn)五-23=40+2力，

則td',解得τn=2.

【解析】⑴利用而JL沆rn而?沆f=O即可求解；

(2)由共線定理前=A而及待定系數(shù)即可求解.

本題考查向量數(shù)量積的運算，向量夾角公式的應用，向量共線定理的應用，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)當0<α<l時，函數(shù)y=M+1單調遞減，且M+l>0.

又y=在(0,+8)上單調遞增，

根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)/(x)在［0,1］上單調遞減，

7(0)=b-2=l

,解得α=T

所以/⑴=—=°

U=3

當α>l時，函數(shù)y=謨+1單調遞增，且α"+l>0.

又y=在(0,+8)上單調遞增，

根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)/(X)在［0,1］上單調遞增,

f(0)=b-2=0

解噴鷲

所以4

/(1)=b1

α+l

綜上，a=g,b=3或α=3,b=2.

(2)證明：因為αb≠L所以α=3,b=2,

則/(x)=2-品，定義域為R,且函數(shù)f(x)在R上單調遞增.

因為f(-χ?J.f(χ?—2___-___h2___——4—*3、____——4—4(3：+1)—0

χ+zx4x

四〃八X)+/⑺一Z3-+l3+l~3+l3，+1-43，+1一口'

所以/(X)為奇函數(shù).

則不等式f(2x-1)+f(x-4)>0,可化為f(2x-1)>f(4-x).

又函數(shù)/(x)在R上單調遞增，貝∣J2X-1>4-%,即x>|，

所以不等式/(2X-1)+f(x-4)>。的解集為(|,+∞).

【解析】(1)分0<α<l以及α>l,根據(jù)函數(shù)的單調性，列出方程組，即可求出答案；

(2)根據(jù)已知得出f(x)=2-*p求出/(-X),化簡f(-x)+f(x)即可得出證明；根據(jù)函數(shù)的奇

偶性以及函數(shù)的單調性，列出不等式，求解即可得出答案.

本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質與判斷，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)因為QCSinB=8sbM,

由正弦定理可得αbc=8α,

即be=8,

而南?AC=bccosA=ScosA=4，

故cos/=?,

所以4=品

(2)sinAsinBsinC=?SinBsinC=-?X?[cos(B—C)—COS(B+C)]

=^[cos(B-?+β)+∣]

=^[cos(2B-?)+i],

因為B∈(0,y),

所以28*∈(T,),

故SinASinBS譏C∈(0,K?.

【解析】(1)由已知結合正弦定理先求出兒，然后結合向量數(shù)量積的定義即可求解cos4,進而可求

A；

(2)先利用和差角公式對所求式子進行化簡，然后結合正弦函數(shù)的性質可求.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式在三角化簡求值中的應用，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴由圖可知4=2,又/(X)圖象的一條對稱軸為直線X=Xa+尹α)=各

由*金=*,得7=兀，所以3=竿=2,

因為/給)=2sin償+尹)=2,所以3+φ=^+2kπ(k∈Z),

得9=1+2∕OT(kCZ),

又OVWVl所以5=

故f(X)=2sin(2x+?).

(2)g(x)在［O,+8)上有3個零點.

理由如下：g