七年級(jí)數(shù)學(xué)因式分解復(fù)習(xí)題

因式分解

一、學(xué)問(wèn)梳理

1、因式分解的概念

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把多項(xiàng)式因式分解.

注：因式分解是“和差”化“積”，整式乘法是“積”化“和差”故

因式分解與整式乘法之間是互為相反的變形過(guò)程，因些常用整式乘法來(lái)檢

驗(yàn)因式分解.

2、提取公因式法

把権+/汕+,僅，分解成兩個(gè)因式乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的

公因式m,另一個(gè)因式(a+0+c)是.+他+微除以m所得的商，像這種分

解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：

注：i多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因

式.

ii公因式的構(gòu)成：①系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

②字母：各項(xiàng)都含有的相同字母；

③指數(shù)：相同字母的最低次塞.

3、運(yùn)用公式法

把乘法公式反過(guò)用，可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方

法叫做運(yùn)用公式法.

i)平方差公式a2-b1=(a+b\a-b)

留意：①條件：兩個(gè)二次第的差的形式；

②平方差公式中的。、6可以表示一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式；

③在用公式前，應(yīng)將要分解的多項(xiàng)式表示成/一"的形式，并弄清。、

人分別表示什么.

ii)完全平方公式a2+2ab+b~=(a+b)2,a2-2ab+b2-{a-b)2

留意：①是關(guān)于某個(gè)字母(或式子)的二次三項(xiàng)式；

②其首尾兩項(xiàng)是兩個(gè)符號(hào)相同的平方形式；

③中間項(xiàng)恰是這兩數(shù)乘積的2倍(或乘積2倍的相反數(shù))；

④運(yùn)用前應(yīng)依據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，按“先兩頭，后中間”的步驟，把二

次三項(xiàng)式整理成/±2皿+〃=3±庁公式原型，弄清。、〃分別表示的量.

補(bǔ)充：常見(jiàn)的兩個(gè)二項(xiàng)式幕的變號(hào)規(guī)律：

①3-"產(chǎn)=S-a)2"；②尸=—3一。尸.①為正整數(shù))

4、十字相乘法

借助十字叉線分解系數(shù)，從而把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字

相乘法.對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，+px+q,找尋滿意

ab=q,a+b=p^]a.b,貝U有寸+px+q=x?+(a+與％+ab=(x+a)(x+b);

5、分組分解法

定義：分組分解法，適用于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，例如+4-b沒(méi)有

公因式，又不能干脆利用分式法分解，但是假如將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分別結(jié)

合，把原多項(xiàng)式分成兩組。再提公因式，即可達(dá)到分解因式的目的。例如:

這種利用分組來(lái)分解因式的方法叫分組分解法.

原則：用分組分解法把多項(xiàng)式分解因式，關(guān)鍵是分組后能出現(xiàn)公因式

或可運(yùn)用公式.

6、求根公式法：假如ax?+Ox+c=O(aHO),有兩個(gè)根和々，貝I

二、典型例題與針對(duì)練習(xí)

考點(diǎn)1因式分解的概念

例1、在下列各式中，從左到右的變形是不是因式分解？

注：左右兩邊的代數(shù)式必需是恒等，結(jié)果應(yīng)是整式乘積，而不能是分

式或者是〃個(gè)整式的積與某項(xiàng)的和差形式..

考點(diǎn)2提取公因式法

例2(D-8x4y+6x3y2-2x3y；(2)x(x-y)2-2(y-x)3

解：

注：提取公因式的關(guān)鍵是從整體視察，精確找出公因式，并留意假如

多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)

為正.提出公因式后得到的另一個(gè)因式必需按降幕排列.

［補(bǔ)例練習(xí)］1、⑴45a3/?2c+9a2be-54a2b2c；⑵

(a-b)4+a(a-b)3+b(b-a)3

考點(diǎn)3、運(yùn)用公式法

例3把下列式子分解因式:

解:

注：能用平方差分解的多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，并且具有平方差的形式.留意

多項(xiàng)式有公因式時(shí)，首先考慮提取公因式，有時(shí)還需提出一個(gè)數(shù)字系數(shù).

例4把下列式子分解因式:

解:

注：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特征是：有三項(xiàng)，并且

這三項(xiàng)是一個(gè)完全平方式，有時(shí)需對(duì)所給的多項(xiàng)式作一些變形，使其符合

完全平方公式.

［補(bǔ)例練習(xí)］2、⑴/一16/；⑵(a+2b)2-(2a+b)2；

注：整體代換思想:以。比較困難的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)，先將其作為

整體替代公式中字母.還要留意分解到不能分解為止.

考點(diǎn)4、十字相乘法

例5(Da2-5a+4；(2)x4-5x2y+4/.

［補(bǔ)例練習(xí)］3、(l)x2-6xy-\f)y2(2)(x-y)2-2(y-x)-80

考點(diǎn)5、分組分解法

例6分解因式：

(1)4x2-4xy+y2-z2；(2)a3—a+2b—2a2b

(3)x~—2xy+y~+2x—2y—3

分析：對(duì)于四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的因式分解，一般采納分組分解

法，。四項(xiàng)式一般采納“二、二”或“三、一”分組，五項(xiàng)式一般采納“三、

二”分組，分組后再試用提公因式法、公式法或十字相乘法接著分解。

答案：(1)(2x-y+z)(2x-y-z)(三、一分組后再用平方差)

(2)(a-2b)(a+l)(a-1)(三、二分組后再提取公因式)

(3)(x-y+3)(x-y-l)(三、二、一分組后再用十字相乘法)

★綜合探究創(chuàng)新

例7若/+2(a+4)x+25是完全平方式，求a的值.

說(shuō)明依據(jù)完全平方公式特點(diǎn)求待定系數(shù)。，嫻熟公式中的“。、

便可自如求解.

例8已知a+0=2,求丄/+姉+丄/的值.

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說(shuō)明將所求的代數(shù)式變形，使之成為a+b的表達(dá)式，然后整體代入

求值.

例9已知x-y=l,xy=2,求+孫，的值.

說(shuō)明這類問(wèn)題一般不適合通過(guò)解出x、y的值來(lái)代入計(jì)算，奇妙的方

法是先對(duì)所求的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，使之轉(zhuǎn)化為關(guān)于肛與x-y的式子，

再整體代入求值.

三、鞏固練習(xí)

課外練

一、填空題

1.分解因式：-5m2+10/?m3=.

2.分解因式：-x2-9y2+6xy=.

3.當(dāng)a=99時(shí)，/_2a_3的值是.

4.(x2-4xy-5y2)4-(x-5^)=.

5.分解因式：1一巒+2ah-b2-.

6.分解因式：x4+x2/+/=.

二、解答題

7.分解因式：2〃?(a—c)—5(c—。).

8.運(yùn)有簡(jiǎn)便的方法計(jì)算：75X2.62-12X3.52.

9.分解因式：X2-4xy+4j2-x+2^-6.