考研數(shù)學(xué)模擬試卷(數(shù)學(xué)二)(附答案詳解)

考研數(shù)學(xué)模擬試卷(數(shù)學(xué)二)(附答案，詳解)

一、選擇題(此題共8小題，每題4分，總分值32分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要

求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

1.設(shè)/(X)在(-8,+8)內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則以下函數(shù)中是奇函數(shù)的是〔).

[A)sin/'(%)[B)sint-[C)f(sint)dt(D)[sint+

2.設(shè)/(x)=「’則x=0是〃》)的〔).

l-ex

1,x=0,

〔A〕可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn)[D)連續(xù)點(diǎn)

3.假設(shè)函數(shù)〃》)與8(的在(-00,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且〃x)<g(x),則必有〔).

[A)f(-x)>g(-x)⑻f(x)<g'(x)

(C)limf(x)<limg(x)ID)f<fg(t)dt

X—>XQX—>XQJOJO

4.設(shè)是奇函數(shù)，除x=o外處處連續(xù)，x=o是其第一類間斷點(diǎn)，則⑺力是().

*0

[A)連續(xù)的奇函數(shù)[B)連續(xù)的偶函數(shù)

〔C〕在x=0間斷的奇函數(shù)[D)在龍=0間斷的偶函數(shù).

5.函數(shù)/(%)=(——%—2),—凡不可導(dǎo)點(diǎn)有〔).

〔A〕3個(gè)(B)2個(gè)(C)1個(gè)[D)0個(gè).

6.假設(shè)/(-X)=/(X),(—8<X<+8),在(一00,0)內(nèi)-。)>0,/"(x)<0,則/(X)在(0,+8)內(nèi)有

〔).

(A)f\x)>0,/"(x)<0(B)f\x)>Q,/"(x)>0

[C)/,(x)<0,/"U)<0ID)/'(x)<0,f'\x)>Q

7.設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且1+4=。.假設(shè)A的秩為3,則A相似于().

p、p、pr-i)

11-1-i

(A)(B)(C)(D)

1-1-1-i

I0；II0；、o,

8.設(shè)3階方陣4的特征值是1,2,3,它們所對(duì)應(yīng)的特征向量依次為名,%，%，令P=(3%,%,2%),則

P-lAP=〔).

(900、(300、<100、<100、

[A)0i0(B)0i0[C)020[D)040

W047W02)W03)09,

二、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分，把答案填在題中橫線上)

9.設(shè)/(%)二階可導(dǎo)，/(0)=0,/'(0)=1,/"(0)=2,則

10.微分方程y+(e-^-l)y=1的通解為.

11.曲線y=x+41mx的水平漸近線為___.

5九一2cos%

12.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且/(x)=x+2j；/⑺分，貝U/(x)=.

cinY

13.假設(shè)lim---(cosx-/?)=5,則。=_____，b-___.

x

—oe-a

14.設(shè)A為幾階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1,則齊次方程組Ax=0的通解為.

三、解答題(此題共9小題，總分值94分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

1

f[t2^

15.(此題總分值10分)求極限lim/---------——.

%f+821Z11\

xln(l+-)

x

16.（此題總分值10分）設(shè)/（%）在（一00,+8）上連續(xù)，且f/（九一力己力=以）5%.求/（%）.

J0

1+xX2

17.(此題總分值10分)設(shè)一1<大<1,證明：xln--+cosx>l+—.

1-x2

18.（此題總分值10分）求微分方程，3y'+2y=2xe*的通解.

設(shè)區(qū)域。={(x,+/<l,x>0},計(jì)算二重積分JJl\Xy-dxdy.

19.（此題總分值10分）

￡>1+冗+y

20.（此題總分值11分）

設(shè)/（X）=[dt，計(jì)算

Jo乃一/Jo

21.（此題總分值11分）

求由曲線y=——2x和直線y=0,x=1,尤=3所圍成平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.

22.（此題總分值11分）

X)+x2+x3+x4=-1

非齊次線性方程組《

4xj+3X2+5X3—x4=—1有3個(gè)線性無關(guān)的解.

axx+x2+3X3+bx4=1

11）證明：方程組系數(shù)矩陣A的秩R（A）=2；

[2）求a力的值以及方程組的通解.

23.（此題總分值11分）

“I71、

設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的秩為2,即尺（A）=2,且A00=00

（I）求A的特征值與特征向量;

（II）求矩陣A.

數(shù)學(xué)根底階段測(cè)試答案解析（數(shù)學(xué)二）

一、選擇題(此題共8小題，每題4分，總分值32分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要

求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

1.設(shè)/(%)在(-00,+00)內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則以下函數(shù)中是奇函數(shù)的是(〕.

(A)sin/,(x)(B)sint-(C)J。/(sin/)山(D)［sint+

解析：選擇⑻.sin，與/⑺都為奇函數(shù)，貝!JsiiU"⑺為偶函數(shù)，由積分的性質(zhì)可得。sin/"⑺力

為奇函數(shù).舉例/(%)=無可得［A)sin/'(%)=sin1為偶函數(shù)，(C)/(sint)dt=sin=1-cosx

為偶函數(shù)，［D)J。［sinr+/⑺］力=J。(sinZ+Z)力=gx2—cosx+l為偶函數(shù).故［A)〔C)［D)錯(cuò)誤.

'\_

l+ex?

2.設(shè)/'ooW；'則無=0是〃尤)的〔).

l-ex

1,x=0,

［A)可去間斷點(diǎn)［B)跳躍間斷點(diǎn)［C)第二類間斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)

1Ax1-U

解析：選擇(B).lim——-=-1,lim——=1.因此龍=0是/(x)的跳躍間斷點(diǎn).

X—>0+—X—>0—r

］-e%l-ex

3.假設(shè)函數(shù)7(%)與g(x)在(F,+O))內(nèi)可導(dǎo)，且/(%)vg(%),則必有().

[A)/(-%)>g(-x)[B)f(x)<g\x)

(C)limf(x)<limg(x)(D)f<fg(t)dt

x—%JOJ0

解析：選擇[C).函數(shù)/(x)與g(x)在(-00,+00)內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)/(x)與g(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù),

因此lim/(%)=/(%),limg(x)=g(x0),而/(尤)<g(x),故lim/(x)<limg(x).

Xf殉與x—>x0Xf與

4.設(shè)/(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點(diǎn)，則「/?)力是().

*0

〔A〕連續(xù)的奇函數(shù)[B)連續(xù)的偶函數(shù)

［C)在x=0間斷的奇函數(shù)［D)在龍=0間斷的偶函數(shù)

解析：選擇(B)./(X)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，因此了(無)可積，由變上限積分函數(shù)的性質(zhì)可知，

假設(shè)了(%)可積，則⑺力連續(xù)./(%)是奇函數(shù)可得二/⑺故是偶函數(shù).因此二/⑺分是連續(xù)的偶

函數(shù).

5.函數(shù)/(%)=(——%—2),—4不可導(dǎo)點(diǎn)有〔〕.

1A)3個(gè)(B)2個(gè)(C)1個(gè)[D)。個(gè).

解析：選擇(B).由按照定義求導(dǎo)法則可知，忖在x=0不可導(dǎo)，x|x|在x=0一階可導(dǎo).因此，

/(X)=(X2-X-2)|?-X|的不可導(dǎo)點(diǎn)，關(guān)鍵在于因子分解并考察1=0的點(diǎn)，

/(X)=(X-2)(1+1),。-1)。+1)[于是可知，/(%)在x=0,1處不可導(dǎo)，而在無=一1處是可導(dǎo)的.故

了(X)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.應(yīng)選(B).

6.假設(shè)/(—x)=/(x)在(—oo,0)內(nèi)尸(x)>0,/"(x)<0,則/(x)在(0,+oo)內(nèi)

有().

[A)/'(x)>0,f"(x)<0⑻f'(x)>0,f"(x)>0

(C)f\x)<0,/"(x)<0(D)f'(x)<0,f"(x)>0

解析：選擇(C).由/(—x)=/(尤)得/(x)在上為偶函數(shù)，則尸(龍)為奇函數(shù)，f"(x)

為偶函數(shù).根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)可得(C)正確.

7.設(shè)4為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且4+4=。.假設(shè)A的秩為3,則A相似于().

PPar-i)

11-i

(A)(B)(C)(D)

1-1-i-i

10；10；1、0,

解析：選擇2).由4+4=?？傻镁仃嘇的特征值2滿足外+彳=0,從而;1=0或/=—1.由4為

4階實(shí)對(duì)稱矩陣，得A可以相似對(duì)角化，A的秩為3得A有三個(gè)非零特征值，即A的特征值為-1,-1,

—1,0.

8.設(shè)3階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對(duì)應(yīng)的特征向量依次為名,%,%,令尸=（3%,%,2%）,則

P-lAP=〔).

A900、（300、<100、<100、

[A)010(B)010[C)020[D)040

,004,,002；,003；,009,

解析：選擇（B）.由題意可得AP=4（3%,%,2%）=（3A?3,兒以24r2）=（9%,%,4%）

,3]<3

=(3%,，,2a2)1=P1.于是P'AP=1

、2)、

2J,\2J

二、填空題（此題共6小題，每題4分,總分值24分，把答案填在題中橫線上）

9.設(shè)了(X)二階可導(dǎo)，/(0)=0,/'(0)=1,/"(0)=2,則lin/R-L

尸⑴-尸（。）=#，（）

解析：應(yīng)填----——=lim----------=—lim0“

x->ox，io2x2%.oX

解析：應(yīng)填y=e"+Ge'+e、此方程為一階線性非齊次微分方程.于是得

y=』(+C)=ex+e'X\e-e'x-xdx+C)=Je-e~xde-x+C)

=產(chǎn)(L+C)="+Cex+e~x.

?x+4sinx,,.

n.曲Z線Jiy=--------------的水平漸近線為

5x-2cosx

…氏1「x+4sinx1x+4smx,,.寶、正、匚心生1

解析：應(yīng)填y=—.hm--------------二一，故曲線y=---------------的水平漸近線為丁=一.

5x^°05%-2cosx55x-2cosx5

12.設(shè)了（X）是連續(xù)函數(shù)，且/（x）=x+2，/⑺dt,貝U/（x）=.

解析：應(yīng)填.設(shè)A=1在/（%）=%+21/⑺力兩邊積分得A=[&Zx+2A[t/x,即

-------J0J0*0*0

11l

A=-+2A,得A=—5.于是/(%)=%+2,ro/⑺力=%—1.

cinv

13.假設(shè)lim-----(cos%一b)=5,則〃=_____，b=_____.

x

-0e-a

解析：應(yīng)填l,-4.1im￥mMcos2—b)=5,分子趨于零得分母也趨于零，于是可知。=1.

%一°e—a

limSmA^COSA=lim(cosx-b)=l-b=5,得b=4

%―0e*—1。

14.設(shè)A為〃階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1,則齊次方程組Ac=0的通解為.

解析：應(yīng)填左(1』,…,1)，由A的伴隨矩陣A*的元素全為1得，A*的秩為1,可得A的秩為〃-1,于是

Ax=0的根底解系中只有一個(gè)向量.由A的秩為〃—1可得，|4=0,于是AA*=|$E=0.可得A*的每

一列即為方程組Av=0的解，因此方程組Ax=0有非零解(LL?」)‘，故At=0的通解為左(1/，,1/.

三、解答題(此題共9小題，總分值94分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

1

[[t2^

15.(此題總分值10分)求極限lim-----------——.

%->+001Z11\

x2ln(lH—)

x

11

2l2l

[[t(e-f[t(e1

解：原式=lim----------------=lim-----------------=limx2(ex-1)-x.

x—>+co21x->+oo%x—>4-00

X.

X

u

1eie#1?(e"_1)一〃「e—1「u1

令A(yù)％=一,則原式=hm^---------=hm------=lim一二一.

u?->o+u2u"->。+2u2

16.(此題總分值10分)設(shè)/(%)在(一8,+8)上連續(xù)，且ff(x-1)endt=cosx/(x).

J0

t_x—uXu

X_p(J------X—

解：設(shè)〃=x—，，則Jo〃力=-J/Q)e〃血=e[。/Q)e〃曲.于是

]%X

￡/(w)endu=encos%.等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得，/(x)e—encosx-e,sin%.即為

n

/(x)=——cosx-sinx.

n

i+YV2

17.(此題總分值10分)設(shè)—證明：xln——+cosx>l+—.

1—x2

]+XY2

證明：設(shè)=----+cosx-l------,-1<x<1./(-%)=/(%)即/(%)在-1vxvl上為偶

1-x2,

]+Xr2

函數(shù)，因此只需要證明在0<x<1時(shí)，xln-----+cosx>1+—.

1-x2

,,1+x2x,1+x1+x2.

fr(zX)x=In-----+-------sinx-x=in-------+x---------smx.

1-x1-x21-x1-x2

1+Y1-uV21+r2

當(dāng)Ovxvl時(shí)，In——>0,——>1,因此有尤------sinx>0,得

1-x1-x271-x2

得當(dāng)Ovxvl時(shí)，/(%)單調(diào)遞增.

]+XY2

因此當(dāng)0<尤<1時(shí)，/(x)=xln-------1-cosx-1----->/(0)=0,即

1-x2

11+X一九2

xln-----+cosx>1+——.

1-x2

18.（此題總分值10分）求微分方程y"-3y'+2y=2%"的通解.

解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為42—32+2=0,解得特征根4=1,4=2,所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

x2

yc=Cxe+C2e'.

設(shè)原方程的一個(gè)特解為y=x（奴+勿/，則

(y*)=(ax2+4ax+bx+2a+2b]&x,

代入原方程,解得。=—1/=—2,故特解為y*=x{-x-T)ex.

故方程的通解為>=兄+>*=C,ex+C,e-X-x(x+2)ex.

19.（此題總分值10分）設(shè)區(qū)域。={（尤°）,2+丁2W1,120},計(jì)算二重積分J[/dxdy.

￡>1+%+y

解：積分區(qū)域?qū)ΨQ于X軸，一半為y的奇函數(shù)，從而知I—學(xué)「公辦=0

1+x+y1+%-+y

所以/=UWT，&WGdN；A7"'=fln（l+3hfln2-

D）2

20.（此題總分值11分）

設(shè)y（x）=二二:力，計(jì)算J：f（x）dx.

解：累次積分交換積分次序

x

產(chǎn)“、7Csm%7)7產(chǎn)sm1717產(chǎn)?73

Ij(x)dx=II----------------力今=[I-----------------ax\dt=\smtat=2.

kJLt)kJLt)

21.1此題總分值11分）

求由曲線>—2x和直線y=0,x=l,x=3所圍成平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.

解:V=J：2〃X|X2—2x|dx=9萬

22.（此題總分值11分）

X,+x2+x3+x4=-1

非齊次線性方程組<4/+3X2+5/-%=-1有3個(gè)線性無關(guān)的解.

X

axx+x2+33+bx4=1

11）證明：方程組系數(shù)矩陣A的秩尺（A）=2；

[2)求a1的值以及方程組的通解.

1111

解：(1)系數(shù)矩陣A=435-1未知量的個(gè)數(shù)為〃=4,且又AX=6有三個(gè)線性無關(guān)解，設(shè)

a13b

是方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解，則的-%,%-%是AX=O的兩個(gè)線性無關(guān)的解.因?yàn)?/p>

%-%,%一%線性無關(guān)又是齊次方程的解，于是AX=O的根底解系中解的個(gè)數(shù)不少于2,得

4-7?(A)>2,從而尺(A)<2.

又因?yàn)锳的行向量是兩兩線性無關(guān)的，所以R(A)22.所以尺(A)=2.

111111

[2)由[1)得尺(A)=2,因此A中所有三階子式全為零，可得435=0,35—1=0,分

a1313b

別計(jì)算出a=2,b=-3.

102-4|2

.rx.=2-2x,+4x,

所以［A例作初等行變換后化為0-1-15|-3,它的同解方程組134

0000|oj［毛=一3+七-5犬4

令％=0,乙=0求出AX=b的一個(gè)特解(2,—3,0,0尸；

AX=0的同解方程組是］%——2%+4x4,?。?1,乙=0,代入得(一2,1』,0)"取退=0,%=1,代