直線與圓（練習）（含解析）2023年高考數學二輪復習

考點8?1直線與圓

卜維練基礎J//

1.(2020?山東?高考真題)已知直線/：y=xsin6+cose的圖像如圖所示，則角。是()

O??X

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】本題可根據直線的斜率和截距得出sin6<0?CoSe>0,即可得出結果.

【詳解】結合圖像易知,SineC0,COSe>0,

則角。是第四象限角，

故選：D.

2.(2020?山東?高考真題)已知圓心為(-2,1)的圓與y軸相切，則該圓的標準方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=lB.(x+2)2+(?-l)2=4

C.(^-2)2+(y+l)2=lD.(X-2)2+(J+1)2=4

【答案】B

【分析】圓的圓心為(-2,1),半徑為2,得到圓方程.

【詳解】根據題意知圓心為(-2,1),半徑為2,故圓方程為：(x+2)2+(y-l)2=4.

故選：B.

3.(2021?河南?高三開學考試(文))已知直線y=x+l與圓心為。的圓：/+)，2=［交于人、

B兩點，則在圓。中任取一點，該點取自，ABO中的概率為()

【答案】C

［分析］根據直線y=X+1與圓心為。的圓：/+V=1交于A、B兩點,可得4(TO),5(0,1),

進而可得三角形的面積和圓的面積，利用幾何概型的公式，可得答案.

【詳解】根據題意，易知月(TO),8(0,1),則So08=gxlxl=g,

圓的面積??=1，所以圓。內任取■點，該點落在“AeC中的概率為?^-.

2萬

故選：C.

4.(2019?全國?專題練習)若。Q:/+)2=5與。CV(X-M):+V=20(,"€/?)相交于A、B

兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是.

【答案】4

【詳解】依題意得Ool=歷方=5,口ZOOiA是直角三角形，S?OOiA=^-OOl

IC…,,,..C2OA-AO,2×->1∕5×2>/54

=?OA-AOi,因此AB=—―~~L=—、§、=4.

5.(2022?全國?高考真題)設點A(-2,3),B(O,α),若直線A8關于N=。對稱的直線與圓

(x+3)2+(y+2f=1有公共點，則。的取值范圍是.

^13一

【答案】

【分析】首先求出點A關于丫=。對稱點A的坐標，即可得到直線/的方程，根據圓心到直線

的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：A(-2,3)關于y=α對稱的點的坐標為A(-2,24-3),8(0,。)在直線N=。上,

所以AB所在直線即為宜線/,所以直線/為y=一x+”,即(a—3)x+2y-2a=0;

圓C(x+3y+(y+2)2=l,圓心C(—3,—2),半徑z?=l,

∣-3(<7-3)-4-2tz∣

依題意圓心到直線/的距離1=1,、，，≤∣,

√(a-3)^+22

??1313

即(5-5a)≤(a-3)+22,解得q≤a≤γ,即a∈

13

故答案為：5

2堆練能力Jll

6.(2022?江蘇?鹽城中學模擬預測)直線XCoSe+ysin。=()力∈((),篇的斜率的取值范圍為

()

A.(-∞,G)B.(2,+∞)C.(-√3,^)D.(-∞,2)

【答案】A

【分析】將直線的一般方程轉化為直線的斜截式方程，根據。的范圍求出tan。的范圍，進

而求出二范圍即可求解.

tan。

【詳解】當COSo=O時，直線XCOSe+ysin6=0的斜率為％=。，

因為所以CoSeWO時，tanθ<-且或tan6>0,

63

八?八八加COSe1

由lXCoS夕+ysin，=O,得y=---------x=---x,

sinθtanθ

當cos，Wo即——≠0時，直線XCoSθ+ysin<9=0的斜率為k=——!—.

tanθtanθ

因為0<。<生,所以tan，<-立或tan。〉。，即--^<0或一-二〈拒.

所以直線XCoSe+ysine=O的斜率的取值范圍為(-∞,0)(θ,√3).

綜上所述，直線XCoSe+ysin6=0的斜率的取值范圍為卜》,君).

故選：A.

7.(2021?吉林油田高級中學高三開學考試)已知圓P的方程為/+y2+6x-8y=0,過點

M(-1,2)的直線與圓P交于A,B兩點，則弦AB的最小值為()

A.2√17B.10C.2√2D.5

【答案】A

【分析】確定圓的圓心和半彳仝，確定當ASl.PΛ∕時，AB最短，根據圓心距和圓的半件以

及弦長的關系，即可求得答案.

【詳解】圓P的方程可化為(x+3>+(y-4)2=25,則尸(-3,4),r=5,

因為(-1+3)2+(2-4)2<25,

故點例(-1,2)在圓內，

過點V(T,2)的最長弦?定是圓P的直徑，當AβLP"時，AB最短，

此時PM=√(-3+I)2+(4-2)2=2√2，

則AB=2√r2-PM2=2√∏>

故選:A.

8.(2022?重慶一中高三模擬)若方程χ+6=3-"T二？有兩個不等的實根，則實數匕的取

值范圍為()

A.(l-2√2,l+2√2)B.(l-2√2,-l]C.[-l,l+2√2)D.(1-2√2,3J

【答案】B

【分析】將y=3-"Γ，化為0-2)2+(y-3)2=4(y≤3),作出直線與半圓的圖形，利用

兩個圖形有2個公共點，求出切線的斜率,觀察圖形可得解.

【詳解】解：由y=3—J4x-f得(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),

所以直線y=x+b與半圓(x-2>+(y-3)2=4(y≤3)有2個公共點，

作出直線與半圓的圖形，如圖：

當直線經y=x+。過點(4,3)時，6=3-4=-1,

當直線與圓(x-2)2+(y-3)2=4相切時，與M=2,解得b=J2√Σ或6=1+20(舍)，

由圖可知，當直線y=x+b與曲線y=3-√^二子有2個公共點時，l-2√∑<b≤-l,

故選：B.

9.(2022?全國?高三練習)已知點尸(九〃)是函數y=J-χ2-2χ的圖象上的動點,則

|4加+3〃-21|的最小值為.

【答案】20

【分析】整理y=J-x2-2X可得為半圓,再將∣4%+3w-21∣轉化為尸(見〃)到直線

4x+3y-21=O的距離的5倍，進而根據P(m,n)至IJ直線4x+3y-21=O的距離的最小值求解

即可.

【詳解】由y=√-x3-2x整理得(x+1尸+/=Ky≥0),

可知其圖象是半圓，圓心為C(T,0),半徑為r=l.

∣4/n+3n-21∣,其幾何意義為點α肛”）至IJ直線4x+3y-21=0距離的5

又|46+3〃-21|=5χ

5

倍，

故分析點P（m〃）至『直線4x+3），-21=0距離的最小值即可.

+

如圖，作直線4x+3y-21=0,點C到直線4x+3y—21=0的距離d=I"°-=5,

√42+32

所以P（"2,"）到直線4x+3y-21=0的距離的最小值為5-1=4,即出Wtwl的最小值為4,

所以∣4m+3〃-21|的最小值為5x4=20.

10.（2022?全國高三專題練習）過直線x-尸加=。上動點尸作圓M:（x-2）+（y-3）2=l的

一條切線，切點為4若使得IPAl=I的點P有兩個，則實數，"的取值范圍為.

【答案】（-3,1）

（分析】將使得I網=1的點P有兩個，轉換為圓心M到直線X-y-機=0的距離的不等關系

式求解即可

【詳解】由題，使得IF=I的點尸有兩個，即使得IPMl=Jirn=&的點尸有兩個，即圓

∣2-3-∕nlIl+m?

心到直線的距離小于半徑.又圓心M至!|直線ay-W=0的距離d="+（_］）2=二方，故

Ii+/721/—/、

—7=—<v2,即一2<m+l<2,即機∈(—3,1)

√2

故答案為：(-3,1)

3維練素養(yǎng)JH

IL（2021?全國?高三專題練習）曲線4-*=1與過原點的直線/沒有交點，則/的傾斜角α

的取值范圍是

ππ2π

A.U-,πB.,C.,πd0

3T3^~i?S

【答案】A

【分析】作出曲線耳-號=1的圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線/在繞著原

點旋轉時，直線/與曲線4-

忑=1沒有交點時，直線/的傾斜角α的變化，由此得出ɑ的取

值范圍.

當x≥0,y>0時，由學-*=1得該射線所在直線的傾斜角為?；

【詳解】

/0時，由呼一號=1得尹a∣'該射線所在直線的傾斜角為尊

當?x≤0,

y≤0時，由與一"=1得定一,=1，該射線所在直線的傾斜角為?；

當XW0,

y≤0時，由d=l得U=1,該射線所在直線的傾斜角為與.

當了20，

作出曲線4一號

=1的圖象如下圖所示:

M

G1沒有父點,

至

U故選

乃A

則直線/的傾斜角α的取值范圍是O-J3

12.(2022?甘肅白銀?三模(文))在平面直角坐標系Xoy中，圓0:『+尸=1,若曲線

y=k|x—1|+2上存在四個點［(i=l,2,3,4),過動點￡作圓。的兩條切線，A,B為切點，滿

3

足。AEB=則％的取值范圍是(),

?-H'0)B?18,4)

C.(0,+oo)D.(→0,--)(0,+∞)

【答案】B

【分析】通過圓外?點圓的切線的性質，根據關系片468=；,求出滿足條件的點P的軌

跡方程，分情況討論此軌跡方程與曲線y=k∣χ-l∣+2有四個交點，即滿足題意.

【詳解】設出o|=d,^APiO=a,則EAwB=d7)cos2α=dτ)(j*)=∣,

整理得，2/-91+4=0,解得/=；(舍去)或1=4，

所以點P的軌跡方程為Y+丁=4,

若直線y="(χ-l)+2與/+丁=4相切時，-?i=2,解得/=_;或Z=0,

√?2+l3

當曲線y=gxT∣+2與圓f+y2=4有四個交點時，對應的人滿足題意,

當k=O時，如圖所示，二者一個交點，存在一個點P,不符合題意，

4

當女＜一］時，二者有四個交點，存在四個點P,滿足題意,

綜上，-

故選：B.

【點睛】本題綜合考查了直線與圓的位置關系，通過向量數量積求動點的軌跡方程，以及在

不同的情況下，折線函數與圓的交點個數問題，對數形結合、曲線作圖要求很高，難度很大.

13.(2021?四川省綿陽南山中學高三階段練習(文))已知圓C:x2+(y-3)2=2,點A是X

軸上的一個動點，AP,AQ分別切圓C于P,Q兩點，則線段PQ的取值范圍是

A?呼，√2)B.呼,2√2)C.呼,√2］D.呼,2√2］

【答案】B

【分析】根據點A在原點及在X軸極限遠的特殊位置，求得PQ的取值范圍.

【詳解】當A在坐標原點時，SinNPOC=交

3

，由sin2ZPOC+cos2ZPOC=I可得cos/POC=立

3

sinZP0Q=sin2ZP0C=2sinZPOCcosZPOC=

9

即.?.sin/PCQ=

ACOSZPCQ=--

22

此時PQ=y］CP+CQ-2CP-CQ-cosZPCβ

I/,/(5)_29

VI9)3

當點A在X軸上無限遠時，PQ值接近直徑2√Σ

所以PQ的取值范圍為［半，2√2)

所以選B

【點睛】本題考查了直線與圓位置關系的綜合應用，結合余弦定理求得最值，注意極限位置

的用法，屬于難題.

14.(2021?全國?高三專題練習)已知點尸(0,2),圓0：N+y=i6上兩點”(西,乂)，N(x2,%)

F

滿足MP=APN(AGR)貝∣J13%+4y∣+251+13x2+4γ2+251的最小值為.

【答案】48

［分析］將原式化為51^+4)1+251+13&二251),而∣3x∣+4y+25∣,13、+4y?+251

分別表示M,N到直線L3x+4y+25=0的距離，取MN的中點T,設T在直線

L3x+4y+25=0的射影為工，則原式=IOlT根據圓的性質可以知道T在以OP為直徑的

圓C上，其中C(O,1),進一步即可得到答案.

【詳解】由題意，M,P,N三點共線，設T為MN的中點，M,T,N在直線/:3x+4y+25=0的

射影分別為M,7；,M,點。到直線/:3x+4y+25=O的距離d=。+；(心

41=5>4,

/:3x+4y+25=0與圓0：/+丫2=16相離，如圖：

13x∣+4y∣+251+13.r+4y+251

而|3%+4乂+25|+|3蒞+4%+25|=522

=5(∣MΛ√J+∣"∣)=10∣77J,

易得OT工MN,即07,PT,.?.T在以。尸為直徑的圓C上，其中C(O,1).

l3x0+xl+25l

VITT1∣≥∣CT11-l=^-l=y,當C廠7；共線，且7在C7；之間時取“=”.

W+4y∣+25∣+∣3x2+4%+25∣的最小值為IoXM=48.

故答案為：48.

【點睛】本題突破口有兩點，一是將原式轉化為距離的問題，這需要我們對距離公式非常熟

悉；二是取MN的中點T,這就需要對圓的性質要敏感，提到弦立馬要想到弦心距，進而問

題才能得解.

15.(2021?北京?北理工附中高三階段練習)已知圓R(x-5y+(y-2)2=2,直線/：>=如，

點用(5,2+√Σ),點A(s,f).給出下列4個結論：

①當α=O時，直線/與圓P相離；

②若直線/是圓P的一條對稱軸，則。=:；

③若直線/上存在點A,圓P上存在點N,使得NMAN=90。，則。的最大值為天；

④N為圓P上的一動點，若/M4N=90。，則f的最大值為§拒+8.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【解析】對于①：a=0,l：y=0,圓心(5,2),半徑&,直線/與圓P相離；對于②：若

直線/圓P的一條對稱軸,則直線過圓的圓心,即可得到;對于③:由垂徑定理，NMQP=90。，

設NQWP=C.得到2≥∕?22,但兩處等號無法同時取到，矛盾；對于④：N為圓ρ上的一

個動點.若NMW=90°,設Q(%,%),NQMP=a,利用參數方程解決即可.

【詳解】對于①：當α=0時，直線/：y=0,圓心(5,2),半