2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)練06導(dǎo)數(shù)大題基礎(chǔ)練（解析版）

【一專三練】專題06導(dǎo)數(shù)大題基礎(chǔ)練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練(新高考通用)

1.(2022秋?浙江紹興?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=gd-4x+4?

⑴求函數(shù)f(x)在x=3處的切線方程；

(2)求函數(shù)〃x)在［0,3］上的最大值與最小值.

【答案】(1)-4

4

(2)最大值為4,最小值為

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在x=3的值，可求出切線斜率，根據(jù)點斜式寫出切線方程.

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值.

【詳解】(1)由"x)=gV-4x+4得r(x)=x2-4..?J'⑶=5又"3)=1,所以函數(shù)

/(x)在x=3處的切線方程為:y-l=5(x-3),即y=5x—14

(2)由f'(x)=f-4,令r(x)=χ2-4X),解得χ<-2或r>2

令/'(X)=Y-4<0,解得-24<2,所以F(%)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,3)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=2時,f(x)最小,且最小值為/(2)=-+*0)=4.43)=1,

故最大值為/(O)=4

2.(2022秋?山西晉中?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=Hn"3》2-(4+1卜36夫且

^≠0).

⑴當(dāng)“<0時，求函數(shù)“X)的極值;

(2)當(dāng)α>0時，求函數(shù)f(x)零點的個數(shù).

【答案】(1)有極小值-α-g，無極大值

(2)零點個數(shù)為1

【分析】(I)求出導(dǎo)函數(shù)，求出極值點，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后求解函數(shù)的極值；

(2)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過對參數(shù)。分類討論分析其單調(diào)性即可知函數(shù)的零點個數(shù).

【詳解】(1)解：由題意得：

r(x)=,Ia+l)LylI)X+α=(xT]ι),

令/'(x)=0,得X=I或x="(舍去)，

當(dāng)o<x<ι時，r(χ)<o,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時?，∕<X)>O,函數(shù)單調(diào)遞增；

所以函數(shù)/(x)有極小值/⑴=-α-g,無極大值.

(2)由(1)得r(χ)=(l)[i).因為q>0,

①若O<α<l,當(dāng)0<x<α?xí)r，/^x)>O,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)α<x<l時，/'(x)<O,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時，∕qx)>O,函數(shù)單調(diào)遞增；

所以/(x)有極大值/(α)=Hna+；a2_(a+l)“=q[nq_ga_l)<0,

極小值/(1)=一。一；<0，又/(為+2)=Hn(2a+2)>O,

所以函數(shù)f(x)有1個零點.

②若a=l,則f'(x)=色三匚.(E所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

此時/⑴=—1<0j(20+2)=Hn(2α+2)>0,所以函數(shù)”x)有1個零點.

③若α>l,當(dāng)O<x<l時，/^Λ-)>O,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)l<x<α?xí)r，/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>“時，/^x)>O,函數(shù)單調(diào)遞增；

所以〃x)有極大值/⑴=-α-g<O,顯然極小值/(")<O,

又/(2α+2)="ln(2α+2)>0,所以函數(shù)"x)有1個零點.

綜上所述，當(dāng)α>0時，函數(shù)/(x)的零點個數(shù)為1.

3.(2022秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)/'(X)為函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)，已知

f(x)=x+f'(O)cos2x+a(aeR),且f(x)的圖像經(jīng)過點(0,2).

(1)求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵求函數(shù)/O)在[0,兀]上的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(I)X7+2=0

π5π

⑵單調(diào)遞增區(qū)間為0,匚和g,π單調(diào)遞減區(qū)間為

12,12

【分析】(1)求導(dǎo)，計算/'(O)得到切線斜率，點斜式求切線方程.

(2)求出函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)解得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)

f(x)=x+∕,(0)cos2x+a(aeR),貝IJF(X)=I-2∕'(0)sin2x,得/(O)=L

由題意/(0)=2,可得曲線y=∕(x)在點(OJ(O))處的切線方程為y-2=x,即

x-y+2=0.

(2)

由已知得F(O)=F(O)+α=2.

又由(1)知/'(0)=1,所以α=l.

故/(x)=X+CoS2x+?.

f?x)=1—2sin2x,x∈［O,π］,

由廣⑶>0,得0≤x*,或*x≤τt;由小)<0,得三<x卷.

故/(χ)在［0,兀］上.的單調(diào)遞增區(qū)間為°，總和(ff,π；單調(diào)遞減區(qū)間為倨，總

4.(2022秋?湖北襄陽?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=χ3-0√,a∈R,且

∕,(1)=1.求：

⑴。的值及曲線y=“X)在點(IJ⑴)處的切線方程;

⑵函數(shù)”χ)在區(qū)間［0,2］上的最大值.

【答案】(i)y=χτ

⑵4

【分析】(1)先求導(dǎo)，求出參數(shù)α,然后根據(jù)點斜式寫出直線方程.

(2)先求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【詳解】(1)Q∕(x)=x3-αr2

∕'(X)=3X2-Iax

.?.∕(l)=3-2o=l,解得：a=l

故/(x)=x3-1，/(1)=0

曲線y=/(χ)在點(IJ⑴)處的斜率為Z=I，切線方程y-/(D=Mx-D

即y=x-?

(2)由(1)可知：/(x)=x3-X2,/(X)=3X2-2X

2

令f(X)=3X-2X=0,解得X∣=0,X2=—

故當(dāng)x∈［0,早時，/(x)<0,所以/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈g,2］時,/(x)>0,所以/(x)單調(diào)遞增；

/(X)區(qū)間［0,2］內(nèi)，當(dāng)x=2時取最大值，最大值為/(2)=4

5.(2022秋?廣東揭陽?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=gV-21nx-X

(1)求函數(shù)/U)在x=l處的切線方程;

(2)求函數(shù)/(N在［1,4］上的最小值.

【答案】(I)4x+2y-3=0;(2)，(幻而?=-21n2.

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)求導(dǎo)分析/(x)的單調(diào)性，再求區(qū)間內(nèi)的最小值即可

【詳解】(1)/(l)=^-21nl-l=-l

???切點為(1，一；)，Γ(x)=x-∣-1

.?.f(l)=l-2-l=-2

???切線方程為：y+g=-2(x-l)

故函數(shù)/S)在x=l處的切線方程4x+2y-3=0

(2)/Cx)=x_2_］=牝2)(x+l)go)

XX

令/'(X)=O

X=2或X=-I(舍)

XM2(2,4]

r(?)——O-X.

最小值

AM遞減遞增

-21n2

"(x)mM=A2)=-21n2

6.(2022?浙江?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=OX-2-InX(α∈R).

⑴若/(x)在點(ej(e))處的切線為χ-ey+8=0,求“，人的值；

⑵求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2

【答案】(1)。=—,?=-2e;

e

(2)答案見解析.

【分析】(1)已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點在曲線，切點在切線，切點處的

導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.

(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0,求解析，即可得到答案.

【詳解】⑴"x)=0x-2-InMaeR)的定義域為(0,+8),f'(x)=a-^-,

因為/(》)在點卜,/(6))處的切線為犬-0+人=。，

11?

所以r(e)=α-^=L所以α=J所以〃e)=T

eee

把點代入x-ey+b=O得：b=-2e.

?

即4,人的值為：a=—,b=—2e.

e

(2)由(1)知：/,(x)=α-i=≡^-(x>0).

①當(dāng)α≤OB寸，/'(x)<0在(0，+8)上恒成立，所以〃”)在(。，+8)單調(diào)遞減;

②當(dāng)α>0時，令T(X)=0,解得：X=-,

列表得:

,+c0

X

a?)

r(χ)-O÷

y=∕(χ)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，α>0時，"x)的遞減區(qū)間為(0，：),單增區(qū)間為\，+8

綜上所述：當(dāng)α≤0時，"x)在(0，+功單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時，/(x)的遞減區(qū)間為(O，￡j,單增區(qū)間為+

【點睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問題第一步求導(dǎo)，第二步列切點在曲線，切點在切線，切點處

的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個方程，可解切線相關(guān)問題.

7.(2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=gχ2-2αinx+(α-2)x.

(1)當(dāng)α=T時，求函數(shù)/(χ)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實數(shù)“，使函數(shù)g(x)=/(X)-OX在(0,+8)上單調(diào)遞增？若存在，求出”的

取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】(I)增區(qū)間為(0,1),(2,+∞),減區(qū)間為(1,2)；(2)存在，4e1-8,-B.

【分析】(1)將。=-1代入，求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

之間的即可求解.

(2)由題意可得g'(x)=∕,(x)-α=X-?-2≥O恒成立，分離參數(shù)可得α≤[(X-1)?-?

恒成立，令火幻=；(X-I)2-；,利用導(dǎo)數(shù)求出e(x)的最小值即可求解.

【詳解】解：(1)當(dāng)。=—1時，

C1

/(x)="X"9+21nx-3x(x>0),

則r(x)=x+i-3=χi+2=(D(X-2)

XXX

當(dāng)O<x<l或x>2時，∕,(x)>O,/(χ)單調(diào)遞增；

當(dāng)l<x<2時，/V)<0,f(χ)單調(diào)遞減.

/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,*o),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).

(2)假設(shè)存在實數(shù)4，使g(x)=/(X)-依在(0,+8)上是增函數(shù)，

則g'(x)=∕'(x)-α=X-即-220恒成立，

X

即廠-2Λ-2"2O在(O,+∞)上恒成立,

X

九2—2x—2Q≥O在(0,+8)上恒成立，

:?a<-^x2-2xj=-(?-1)^——怛成立.

又9(X)-3，

X€(0,+8)的最小值為-g.

.?.當(dāng)a≤-g時，g'(x)*O恒成立.

又當(dāng)“=時，g，(X)=宜辿，

2X

當(dāng)且僅當(dāng)χ=l時，g'(χ)=o.

故當(dāng)“?(-<?,一；時，

g(x)=∕(X)-S在(O,+∞)上單調(diào)遞增.

8.(2022秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期中)給定函數(shù)/(x)=(x+l)e'.

(1)判斷函數(shù)/(N的單調(diào)性，并求出f(χ)的極值;

(2)畫出函數(shù)/*)的大致圖象;

(3)求出方程/(x)="(αeR)的解的個數(shù)

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(F,-2),極小值,/(-2)=-4

e

⑵答案見詳解；(3)當(dāng)"T時’解為。個；當(dāng)“=T或/°時’解為1個；當(dāng)

T<"°時’解為2個

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(X),再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.

(2)由函數(shù)的單調(diào)性、極值即可作出圖象.

(3)利用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】(1)由/(x)=(x+l)e",定義域為R

f'(x)-ex+(x+l)e*=(X+2)e”,

令用x)>0,即χ>2

令r(x)=0,即x=—2,

令r(x)<0,即X<-2,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,48)；

單調(diào)遞減區(qū)間為(rɑ,-2),X=-2為極小值點,

所以函數(shù)的極小值為"-2)=-?.

(2)函數(shù)/(x)的大致圖象，如圖所示:

(3)方程解的個數(shù)等價于y=∕(x)TV=。的交點個數(shù).

作出“X)與y=α的圖象，

當(dāng)α=-二或α≥O時，方程/(X)=a(a∈R)的解為1個；

e"

當(dāng)-[<α<O時，方程/(X)=a{a∈R)的解為2個；

e

9.(2022秋?江蘇淮安?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-2)e<+α?

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(X)≥0恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)函數(shù)/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(l,+∞);

(2)[e,+s).

【分析】(1)求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得到單調(diào)區(qū)間；

(2)由題可知.f(x)m∕O,進(jìn)而可得r+α≥0,即得.

(1)

*?'f(x)=(x-2)ev+a,

/'(x)=(x-l)e*,

令r(χ)=o,解得：χ=ι,

所以xe(γ,l),∕'(x)<O,函數(shù)”x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，Xe(I,+8),r(x)>O,函數(shù)

/(x)在(l,*o)上單調(diào)遞增，

即函數(shù)/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,轉(zhuǎn))；

(2)

由題可知/(x)*>0，

由(1)可知，當(dāng)X=I時，函數(shù)F(X)有最小值/⑴=Y+”,

；?-e+a≥0,即α≥e,

故。的取值范圍為［e,+8).

10.(2022秋?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=COSΛ-χ2.

⑴設(shè)g(χ)=rα),求g(χ)在區(qū)間會兀上的最值；

⑵討論/(χ)的零點個數(shù).

【答案】(1)最大值為-二-立，最小值為-2π

22

⑵/(x)在R上有兩個零點

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可求最值；(2)討論函數(shù)在［O,+e)上的單調(diào)性，并用

零點的存在性定理確定零點個數(shù)，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)即可求解.

【詳解】⑴因為g(x)=∕'(x)=-2X-SinX,g<x)=-2-CoSX<0,

所以g(x)在區(qū)間：，兀上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=；時,g(x)取最大值=-5-；

當(dāng)X=兀時?，8(Κ)取最小值8(兀)=-2兀.

(2)先討論/(x)在［0,+巧上的零點個數(shù)，

由(1)可知，/(同在(0,的)上遞減，∕,(x)<∕,(0)=0,

所以/(x)在(0,+8)上遞減，因為〃0)=1>0,/(小=-但］<°，

所以/(x)在［0,+8)上有唯一零點，

又因為/(-x)=COS(-X)-(-X)2=COSX-X2=/(x),

所以/(X)是偶函數(shù)，所以/(X)在R上有兩個零點.

11.(2022秋?黑龍江大慶?高三鐵人中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=V-3d+3云+c

在x=0處取得極大值1.

⑴求函數(shù)y=∕(χ)的圖象在戶-1處的切線方程；

(2)求過點(1,-1)與曲線y=“X)相切的直線方程.

【答案】⑴y+6=0

(2)3x+,y-2=0

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求匕,c,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方

程；(2)先設(shè)切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，根據(jù)題意列式求解方,進(jìn)而

可得結(jié)果.

【詳解】(1)/(x)=X3-3X2+3hx+c,則/'(無)=3f—6x+3b,

ff(0)=3fc=0仿=O

由題意可得［溜,,解得｛1,

/(O)=C=I［c=l

即/(x)=x3-3d+l,∕,(X)=3X2-6X,

令用x)>0,解得x>2或x<0,

故」(x)在(F,0),(2,—)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，則〃力在x=0處取得極大

值1,

即b=O,c=l符合題意.

V∕(-l)=-3√,(-l)=9,則切點坐標(biāo)為(T,-3),切線斜率&=9,

函數(shù)y=∕(x)的圖象在廣―1處的切線方程為y+3=9(x+l),即9x—y+6=0.

(2)由(1)可得：/(X)=Λ3-3X2+1,∕,(X)=3X2-6X,

設(shè)切點坐標(biāo)為(女,片-3片+1),切線斜率A=3x：-6x0,

則切線方程為y—(X—3x；+1)=(3片—6Xo)(X—%),

I切線過點(L-I),則一1-(%—3考+1)=(3石—6%XIT°),整理得(XOT)3=0,即%=1,

???切線方程為y+1=—3(x—1),即3x+y-2=0.

12.(2022秋?安徽安慶?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(Λ-+∣)et',(k為常數(shù)，?≠0).

⑴當(dāng)Z=I時，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)極小值-士，無極大值；

e

⑵_；，0卜(0，+8).

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷/(X)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求得函數(shù)極值；

(2)根據(jù)/'(x)≥O在區(qū)間(0,1)卜.恒成立，列出不等式，求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)Z=I時，函數(shù)/(x)=(x+l)e',f'(x)=(x+2)e?

令/'(x)=O,解得x=-2.

令Γ(x)>0,解得x>-2,.?.函數(shù)/(x)在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞增；

令f'(x)<0,解得x<-2,.,?函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,-2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)后一2時，函數(shù)/(x)取得極小值，/(-2)=-4,無極大值.

e

(2)由題可得尸(X)=(履+%+1)*,因為函數(shù)f(X)在區(qū)間9,1)上是單調(diào)增函數(shù),

所以/'(X)≥0在區(qū)間(0,1)上恒成立，但是∕,(X)不恒等于0.

.?.g(x)=履+左+120在區(qū)間(0,1)上恒成立，但是不恒等于0.

[g(0)≥01

二二、八，≡∣U+l>0K2?+l>0,解得22—彳?

因此實數(shù)%的取值范圍是O)U(O,+8).

2χ2

13.(2022秋?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=In—+(〃——)％-f

aa

⑴若a<0,討論八“)的單調(diào)性;

2

(2)若V^∈(0,+oo),?(?)<axex+(a------?)x-x2,求實數(shù)Q的取值范圍.

a

【答案】(1)八必在(70,會上單調(diào)遞增，在(參0)上單調(diào)遞減

+∞

2

【分析】(1)先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性；(2)由題意整理得ln=<ag'-ln(以e'),令

a

2

/=αre(>0),則ln∕V-lnf,令gQ)="hu,利用導(dǎo)數(shù)研究最值，可得實數(shù)。的取

值范圍?

【詳解】(1)因為a<0,由子>0,得x<0,即/(X)的定義域為(-∞,0)?

2τ2c

因為/(x)=ln-+(a--)x-x2,

a

所以122(?χ--)(^+-)

力以r(X)=_L+q_N_2x=--------Z--------

XaX

因為x<0,a<0,x+,<0,

a

-8,?^時，f?x)>O,

所以當(dāng)Xe

當(dāng)XWd,0)時，/'(X)<0,

所以當(dāng)a<0時，/3在卜8,1J上單調(diào)遞增，在［*0J上單調(diào)遞減.

2

2

(2)當(dāng)x∈(0,+8)時，a>O,f(x)<cιxex÷(a------?)x-x2,

2χ2

即In—<axex-x,所以In二<cυcex-In(Ore工).

aa

2

令f=axex(t>0),則In-YVf-Inf,

151

令gQ)=iTn/,則g(/)=l_；=—^―,

所以當(dāng)r∈(O,l)時?，g,(t)<O,當(dāng)te(l,4∞)時,g,(t)>O,

所以g(r)在S,1)上單調(diào)遞減，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增,

所以Tf>0,g(f)2g⑴=1,

2

即DX>0,are"-In(OVer)≥1,所以In—<1,

22

所以~<e,又。>0,所以〃>

aτe

2

所以實數(shù)”的取值范圍是

14.(2022秋?重慶江北?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=X3+以2+for,/(x)在x=l處

的切線方程為y=4x-3.

(1)求實數(shù)”，〃的值;

(2)求函數(shù)/(x)在卜1,1］上的單調(diào)區(qū)間和最值.

a=?,

【答案】(1)

b=-?.

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(g,l,單調(diào)遞減區(qū)間為T最大值為1,最小值為一\.

【分析】(1)由題意先求f(x)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點的性質(zhì)，建立a,b

的方程求解即可.

(2)求f(x)的導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)F(X)在［-1』上的最值.

因為/(x)=d+衣2+bx,所以/'(x)=3χ2+2tzr+6,

/、/⑴=2α+6+3=4

又“x)的圖象在x=l處的切線方程為y=4x-3,所以"L+α+匕=4-3

(2)

由(1)可知，∕r(x)=3X2+2Λ-1=(3X-1)(X+1),

則當(dāng)XeT，；)時，r(x)≤O;當(dāng)Xe1,l時，/")>°，

故"x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(；，1，單調(diào)遞減區(qū)間為T

又〃-I)=IJ⑴=IJf,

所以“x)在上的最大值為1,最小值為-捺.

15.(2022秋?遼寧葫蘆島?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)Fa)=63-12尤?+1.

(1)討論〃χ)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)α=l時，求/(x)在上的最大值與最小值.

【答案】(1)分類討論，答案見解析；

⑵最大值為1,最小值為-12.

【分析】(I)對參數(shù)。分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究每一種情況下對應(yīng)的單調(diào)性即可;

(2)根據(jù)(I)中所求函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值.

【詳解】(1)因為/'(x)=3加-24x=3x(8).

當(dāng)α=0時?，/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，若Xe(O［J，∕,(x)<0;若xe(-∞,0)u(j,+∞),>0,

所以/(x)在(Oq)上單調(diào)遞減，在(e,0),1%+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)α<0時，若x∈t8,U(O,+8),∕,(x)<0:若xe(g,θ),/,x)>0.

所以/(x)在弓，。)上單調(diào)遞增，在1-8,2，(0,+8)上單調(diào)遞減；

綜上所述：當(dāng)α=0時，/(x)在(-,O)上單調(diào)遞增，在(0,+⑹上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，小)在(0,W上單調(diào)遞減，在(-8,0),已+8)上單調(diào)遞增；

Wla<0時，/(x)在(),0)上單調(diào)遞增，在卜8,§,(0,田)上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)α=l時-，由(1)知，f(x)在(0,1］上單調(diào)遞減，在［TO)上單調(diào)遞增，

所以f(χ)在［T,l］上的最大值為F(O)=L

因為J(T)=T2,/(I)=-IO,所以/(x)在［-1,1］上的最小值為-⑵

綜上所述：/(x)的最大值為1,最小值為-12.

16.(2022秋?河北衡水?高三河北深州市中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=--x3+x2+3x+l.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；

⑵求/(x)在區(qū)間［0,6］上的最值.

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為(f),-l)和(3,+∞);極小值-?∣;極大

值10

⑵最大值為10；最小值為-17

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到((x)，/(x)的變化表，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間與極值；

(2)由(1)可得”x)在區(qū)間［0,6］上的單調(diào)性，求出區(qū)間端點值，即可得到函數(shù)的最

值；

【詳解】(1)解：函數(shù)"x)的定義域為R,∕,(X)=-X2+2X+3=-(X-3)(X+1).

令/'(x)=0,得X=-I或x=3.

當(dāng)X變化時，/'(X),"X)的變化情況如表所示.

X(-∞,T)-1(T,3)3(3,+oo)

r(?)—O+O—

_2

單調(diào)遞減單調(diào)遞增10單調(diào)遞減

/(?)~3

故“X)的單調(diào)增區(qū)間為［-1,3］,單調(diào)減區(qū)間為(7,T)和(3,4W).

當(dāng)X=T時，/(X)有極小值/(-1)=-：；當(dāng)x=3時，“X)有極大值"3)=10.

(2)解：由(1)可知，/(x)在［0,3］上單調(diào)遞增，在［3,6］上單調(diào)遞減，所以在［0,6］

上的最大值為"3)=10.

又〃O)=Lf(6)=-17,/(6)<∕(0),所以〃力在區(qū)間［0,6］上的最小值為"6)=-17.

17.(2022秋?福建龍巖?高三上杭一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=α√-(α+2)x+Inx.

(1)若/'(l)=0,求。的值；

(2)若"≥1,求證：當(dāng)xw［l,e］時，Γ(x)≥O,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

【答案】(1)1;(2)證明見解析.

【分析】(1)求出((x),根據(jù)題意可得24-(α+2)+l=0,解方程即可求出結(jié)果；

(2)求出((x),根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證出結(jié)論.

【詳解】(1)因為尸⑴=0,尸(X)=2αr-(α+2)+g,

所以2α-(α+2)+l=0,解得α=l.

(2)函數(shù)f(x)=OX2-(a+2)x+InX的定義域是(O,+∞),

∕r(x)=20x-(α+2)+-,

所以尸(x)=2/-m+2)x+l=(2x-l)(0x-l)

XX

當(dāng)α≥l,x∈［l,e］時，2x-l>0?ax-l≥O,

可得r(x)≥o.

18.(2022秋?福建莆田?高三莆田第二十五中學(xué)校考期中)已知函數(shù)

/(x)=X-SinX-COSX.

⑴求曲線y=/(χ)在X=O處的切線方程；

(2)當(dāng)x∈[0,2π]時,，求函數(shù)/*)的最值.

【答案】⑴y=τ

3

⑵/(X)∏≡=5兀+L∕(x)min=T

【分析】(1)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)即可求解斜率,根據(jù)點斜式即可求解切線方程，

(2)利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值.

【詳解】(1)由/(x)=X-SinX—Costr,得/'(x)=l—CoSX+sinx,

所以，/(O)=-Lf(O)=O.

所以曲線y=∕(χ)在X=O處的切線方程為y+i=0,即y=-L

(2)令f'(x)=l+√∑sin[x-()>O,則Sin(X-孝，因此

π,π5π.八，3兀分,,?

-----F2kn<X—<Fλ2Aτι=>2kjι<x<F2kτι,k∈Z,

4442

由于XelO,2π],故Xe(O,?∣兀)，

故函數(shù)y=F⑺在(Oq兀)上遞增，在仁兀，2兀)上遞減，

故7(x)∏≡=/(3)=3+1/"*°=min{∕(0),f(2n)}=-l

19.(2022秋?山東菊澤?高三統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)/(x)=χ2+cos2χ.

(1)求曲線y=∕(χ)在點￥"(/)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

⑵求函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值.

【答案】(1)=

32

(2)最大值為方2+[,最小值為1

_2

【分析】(1)求得r(χ)=2χ-si∏2x,得到「名)=乃j(g=?,利用直線的點斜式方

2

程，求得切線方程為y=〃X-二，進(jìn)而求得二角形的面積；

4

(2)由/'(x)=2x-sin2x,得至∣J∕"(x)=2(l-cos2x)≥0,結(jié)合廣(0)=0,得到/(x)在

［0,可上單調(diào)遞增，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.

(1)

解：由題意，函數(shù)/(x)=χ2+COs2χ,

則r(x)=2x-2sinxcosx=2x-sin2x,n?f'(-)=π,f(―)=—,

所以曲線y=∕(χ)在點弓.嗎))處的切線方程為y-*=Jχg),

^y=πx-Ξ^,可得直線y=%χ-:在X軸，J軸上的截距分別為5，—!，

.)3

所以所求三角形的面積為Lχ三χ二=二.

24432

(2)

解：由f'(x)=2x-2sinxcosx=Irx-sin2x,

則/(x)=2-2cos2x=2(1-cos2x)≥0,所以函數(shù)((x)為增函數(shù)，

又因為/'(0)=0，所以當(dāng)尤40,句時,r(x)≥0,

所以函數(shù)/(x)在［0,句上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,句上的最大值為/(")=/+1，最小值為〃O)=L

即函數(shù)“X)在區(qū)間［0,句上的最大值為/+1,最小值為I.

20.(2022秋?江蘇常州?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃X)=奴+"cosXgseR),若

"x)在點(OJ(O))處的切線方程為y=gχ+2.

(1)求f(x)的解析式;

⑵求函數(shù)F(X)在［0,2兀］上的極值.

【答案】⑴/(x)=gx+l+cosX

(2)極大值1+工+@,極小值1+2-3

122122

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線方程的關(guān)系列式計算即可；

(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.

【詳解】(1)因為/(x)=Or+6+CoSX(α,6eR),所以尸(X)=α-sinx,

/(0)=?+cos0=?+l=2

由題意得.八1.所以α=77,b=\；

f(O)=α-sιnθ=〃=—2

,2

故/(X)的解析式為/(x)=gx+l+cosx

(2)由(1)得/(x)=；x+l+cosx,用X)=B-Sinx,

,

因為x∈[0,27t],當(dāng)0≤x≤2時，∕(x)>0,函數(shù)”x)單調(diào)遞增，

6

當(dāng)F<χ<乎時，/(χ)<0,函數(shù)“X)單調(diào)遞減，

OO

當(dāng)當(dāng)≤x≤2π時，/'(x)≥0,函數(shù)”x)單調(diào)遞增，

O

故當(dāng)χ=m時，函數(shù)取得極大值/■⑶」X?Ξ+1+COS2=1+J更，

6,⑹266122

故當(dāng)Xq時，函數(shù)取得極小值/(詈)=gχ*l+cos答1+泮*

21.(2022秋?山東濟(jì)寧?高三?？茧A段練習(xí))已知/(x)=x+A,且/(2)=1

X

(1)求實數(shù)k的值；

(2)判斷此函數(shù)的奇偶性并證明；

(3)判斷此函數(shù)在(0，+8)的單調(diào)性(無需證明).

【答案】(1)&=-2

(2)奇函數(shù)，證明見解析

(3)單調(diào)遞增

【分析】(1)由〃2)=1解出人即可；

(2)利用奇偶性的定義判斷證明即可；

(3)由導(dǎo)數(shù)法判斷即可.

(1)

由/(2)=2+g=l,解得&=一2

(2)

/(x)為奇函數(shù).

2

證明：由(1)w∕ω=χ-,則Xw(-∞,o)u(o,+∞),

X

22

.f(-χ)=-χ—=一(X--)=-∕ω,.???(?)為奇函數(shù)

-XX

(3)

2

?；f'{x}=l+4>0,.?.f(χ)在(O,+∞)上單調(diào)遞增

X

22.(2022秋?山東臨沂?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)f(x)=αe'+Ainx-2x,曲線y=f(x)

在點(0,f(0))處的切線為V=L

⑴求。也

(2)求/(χ)的最小值.

[α=1

【答案】⑴A,

(2)1

【分析】(I)求得/(x)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切點，可得。的方程組，即可得α,b的值；

(2)求出Ax)的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0,求得極值點，討論當(dāng)x<0和x>0時

區(qū)間的單調(diào)性，可得最值.

【詳解】(1)解：由已知：∕,(x)=ae`+hcofix-2

V曲線y="χ)在點(Oj(O))處的切線方程為y=?

.["°)=ι,即卜=1,

??[r(o)=o,1'1μ+?-2=o,

[b=l.

(2)由(1)知，∕r(x)=e'+cosx-2,

當(dāng)XVO時

β/ev<1,coax<1

.?.∕,(χ)≤0

???/(X)單調(diào)遞減.

當(dāng)x>0時，令g(x)=J"(x),則g'(x)=e*-SinX

Vex>l,sinx≤1

g'(x)>O,

.?./'(X)單調(diào)遞增

.?.r(x)>r(o)=o.

.?.當(dāng)x>0時?，/(x)單調(diào)遞增.

二"χL="°)=i?

???∕(χ)的最小值為1.

23.(2022秋?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'M'-(x+l).

⑴求函數(shù)y=∕(χ)在點處的切線方程；

(2)證明：函數(shù)y=/(X)在(-1,0］上有且僅有一個零點.

【答案】(l)x+y-e+l=O;

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解.

(2)判斷函數(shù)y=∕(x)在(-1,01上單調(diào)性，然后觀察零點.

【詳解】⑴因為r(x)=e'M'cosx-1,且G)=e-尸,∕,?‰-l,

所以切線方程為,_"_5_1)=_卜一'|),

即所求切線方程為χ+y-e+ι=o.

(2)∕,(x)=esi"r?cosx-l.

因為xe(-l,θ],所以SinX≤0,esinx≤1.O<cosx≤l,

所以e?'?cosx≤l,所以f'(x)≤O,當(dāng)且僅當(dāng)X=O時取等號，

所以/(x)在(TO］上是減函數(shù),且/(o)=o,

所以/(x)在(T,0］上僅有一個零點.

24.(2022秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=0√+7χ3.

⑴討論/(x)的單調(diào)性.

(2)當(dāng)4=1時，試問曲線y^(x)是否存在過坐標(biāo)原點且斜率不為0的切線？若存在，求

切點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)答案見解析

14

(2)存在，切點的橫坐標(biāo)為-T

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)來討論單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)過曲線外的一個點作曲線的

切線的求解方法即可.

【詳解】(1)∕,(x)=40x3+21X2=X2(40r+21).

當(dāng)a=0時，F(xiàn)(X)在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)a>0時，若xe1-e,-亮),∕'(x)<0;若Xd-親+e)J'(X)20.

則〃x)在‘叫-葛)上單調(diào)遞減，在‘K,+"上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時,若x{-8,-為,尸(X)Z0；若%€(-葛,+8]J'(x)<0.

則F(X)在1-8,-上單調(diào)遞增，在卜亮,+8)匕單調(diào)遞減.

……/?∣[4AΠ3+21AH2=k,

(2)設(shè)切點為(根,如F2),則Π{4T、，

m+Int=km,

消去左，得4"+2Im3="+7布，

14

即3)/+14/√=0,解得m=0或加=一了.

14

當(dāng)利=0時，2=0；當(dāng)機(jī)=一§時，k≠0.

所以曲線產(chǎn)“X)存在過坐標(biāo)原點且斜率不為0的切線，且切點的橫坐標(biāo)為一號.

25.(2022秋?湖北省直轄縣級單位福三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=χ3-∕-χ+]

(1)求y=f(x)在(OJ(O))處的切線方程：

(2)求函數(shù)AN的單調(diào)區(qū)間與極值.

【答案】⑴χ+yT=0;

(2)函數(shù)y=∕(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為18,一目和(1,同，單調(diào)遞減區(qū)間為(-g,l),極大

值為3蘭2，極小值為0?

【分析】(1)求出函數(shù)y=f(χ)的導(dǎo)數(shù)，計算出40)和/'(0)的值，利用點斜式寫出切

線的方程；

(2)解方程f'(χ)=o,然后列表對函數(shù)y=f(χ)進(jìn)行分析,可得出函數(shù)y=C(χ)的單

調(diào)區(qū)間和極值.

【詳解】(1)V/(x)=x3-x2-x+l,

.?.∕,(X)=3X2—2X-1,

?√(o)=ι.r(o)=τ,

因此，函數(shù)y=∕(χ)在點(0,f(0))處的切線方程為y-i=-χ,即x+y-l=。；

(2)因為r(x)=3χ2-2x-l=(3x+l)(x-l),

令/'(x)=0,得X=-g或x=l,

當(dāng)X變化時,/(x)./'(X)變化如下：

Xoj1(1,÷∞)

(-°'4)^3H)

/'(X)+O—O+

32JB

“X)極大值為?極小值。

因此，函數(shù)y=∕(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間為18,-g)和。,”)，單調(diào)遞減區(qū)間為‘小

32

極大值為N，極小值為0?

27

26.(2022秋?湖南常德?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=l-αrcosx(αwθ).

(I)當(dāng)。=1時，求曲線y=f(χ)在點(O"(o))處的切線方程;

π

(2)求函數(shù)外幻在0,-的最小值.

_4_

【答案】(I)x+y—1=0;(2)答案見解析.

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；

(2)由導(dǎo)數(shù)得出f'(x)=α(xsinx-cosx),令g(x)=xsinx-cosx,利用導(dǎo)數(shù)得出

XSinX-cosx<0在θΛ恒成立，再討論0>0,a<0時函數(shù)/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而得出最

4

值.

【詳解】解：(1)當(dāng)」=1時,/(x)=l-xcosx,Λ∕,(x)=XSinx-COSX,

又"0)=1得切點(0,1)，；.%=/'(。)=—1,

所以切線方程為y_i=_x,即χ+y-ι=0;

?π

(2)/(x)=l-αrcosx/./'(X)=Q(XSinX-COSx),x∈0,—

4

令g(x)=xsinX-COSX,.?g'(x)=2sinx+xcosx

TTTT

由XWO,-,得g,(x)≥O,所以g(x)在0,-上為單調(diào)增函數(shù)

Xg(O)=-KO,若］=￡(1卜0

所以g(χ)<0在0,(］上恒成立

冗

即XSinX—CoSXVo在0,—恒成立

_4_

,

當(dāng)4>0時，∕ω<0,知/(X)在θ?上為減函數(shù)，從而/(χ)nιhl=∕(f=l

當(dāng)。<0時，r(x)>O,知/(X)在0,(］上為增函數(shù)，從而/(X)mta=/(0)=1；

綜上，當(dāng)α>0時，=l-用；當(dāng)α<0時/Cr)*=/(O)=L

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決問題二的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，進(jìn)而得出最值.

27.(2022秋?湖南衡陽?高三?？计谥?設(shè)函數(shù)/(x)=αxlnx+"α≠0.

(1)若曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為y=2x+1,求α,b；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(l)a=2S=3

(2)答案見解析

【分析】⑴求出f'(x)J'(l)=2J(l)=3,建立。力方程關(guān)系，即可求出結(jié)論;

(2)對。分類討論,求出F(X)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(I)由于切點在切線上，所以y=2xl+l=3,函數(shù)通過點(1,3)

.?./(l)=0+?=3,?=3

,

又/(x)=α(lnx+l),根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，∕(l)=π(∣nl+l)=α=2

a=2,b=3；

(2)由可知/'(x)="(lnx+I)x>0

當(dāng)4>0時，/'(x)="(lnx+l)>0則x>J；/(*)<0,0<》<！

Ce

當(dāng)“<0時，/'(x)=α(lnx+l)>0則O<x<Lf'(x)<O,x>l

Ce

當(dāng)α>0時，/S