遼寧省2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二年級上冊期末調(diào)研試題含解析

遼寧省2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知直線/和拋物線丁=2px（〃>0）交于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且QALOB,交AB于點(diǎn)O,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,1）,則。的值為（）

1

A.—B.1

2

5

C.-D.2

4

2.設(shè)P為直線丫=履+2上任意一點(diǎn)，過P總能作圓x2+y2=i的切線，則左的最大值為（）

A.—B.1

3

C.y/2D.y/3

3.已知曲線。的方程為三+4可=4,則下列說法正確的是（）

①曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；

②曲線C是一個橢圓；

③曲線C圍成區(qū)域的面積小于橢圓E:—+y2=l圍成區(qū)域的面積.

4

A.①B.①②

C.③D.①③

（J1

4.已知數(shù)列｛凡｝滿足。1=1，。用=豆七，則滿足%>有的”的最大取值為（）

A.6B.7

C.8D.9

5.若avO,-l<Z?<0,則下列各式中正確的是（）

^-a>ab>ab2^-ab>a>ab1

C.ab2>ab>aD.ab>ab1>a

6.已知〃、b、c、/是直線，。、夕是平面，A、B、P是點(diǎn)（A、3不重合），下列敘述錯誤的是（）

A.若Ae/,Bel,Aea,Bea,貝！l/u。

B.若Pea,Pe0,a（3=1,則Pc/

C若al/b,bile,則。〃c

D.若〃_!_/?，c_Lb，貝!la〃c

7.已知｛4｝是等比數(shù)列，則（）

A.數(shù)列｛向｝是等差數(shù)列B.數(shù)列｛叫是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛lgan｝是等差數(shù)列D.數(shù)列｛2%｝是等比數(shù)列

8.若圓C與直線3x+y=O和3x+y—8=0都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）

A.x2+（_y+4）2=8B.12+（y—4J=8

C.x2+（y+4）2=16D.x2+（y-4）-=16

9.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在"時，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1米后，水面寬為（）

C.2A/5D.2痣

2222

10.曲線工—2L=1與曲線L—上=左（左〉1）的（）

259259

A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等

C.焦距相等D.漸進(jìn)線相同

11.已知曲線。：y=_￡^71予與直線+y—4相—2=O（"CR）總有公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

2

5

22

12.已知用，工是雙曲線三-/=1(。〉0力〉0)的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)耳且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸

兀71

近線相交于點(diǎn)A,且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，々為直線8片的傾斜角，若ae,則該雙

曲線離心率的取值范圍是()

13.已知A(l,—2,1),5(2,2,2),點(diǎn)p在z軸上，且科=忸用，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

14.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.

心

IT

俯視圖

15.已知直線/：y=H與圓。：爐+y―6x—6y+9=0交于A,3兩點(diǎn)，貝!|ABC面積的最大值為.

16.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，滿足S2=z，%+。6=12,貝IJS4=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，JR4_L平面ABC。，ABLAD,BC//AD,AD^2BC^2PA=2AB=2,E,

F,G分別為線段AO,DC,P5的中點(diǎn).

(1)證明：直線尸尸〃平面ACG；

（2）求直線與平面ACG所成角的正弦值.

18.（12分）已知｛4｝是公差不為零等差數(shù)列，4=1,且為、出、生成等比數(shù)列

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

,11

（2）設(shè)2=-----.數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S“，求證：Sn<-

4%+i2

19.（12分）已知橢圓E:「+與=1（。〉6〉0）過點(diǎn)（O,JI）,且離心率6=受.

a-b22

（1）求橢圓E的方程；

9

（2）設(shè)直/:x=7改一1（m6夫）交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G（—-,0）與以線段A3為直徑的圓的位置關(guān)系，并說

4

明理由.

20.（12分）已知直線/：y=%+加，拋物線C:y2=4x.

（1）/與。有公共點(diǎn)，求加的取值范圍；

（2）。是坐標(biāo)原點(diǎn)，/過C的焦點(diǎn)且與C交于A3兩點(diǎn)，求Q鉆的面積.

21.（12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得

到的封閉圖形.

（1）設(shè)BC=1,AB=2,求這個幾何體的表面積；

（2）設(shè)G是弧。尸的中點(diǎn)，設(shè)尸是弧CE上的一點(diǎn)，且APL座.求異面直線AG與5P所成角的大小.

22.（10分）已知圓。的圓心為C（l,2）,且圓C經(jīng)過點(diǎn)P（5,5）

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若圓。：x2+y2=加2（爪＞0）與圓。恰有兩條公切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】由垂直關(guān)系得出直線/方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.

1-0

【詳解]k=—=1,.-.^=-1,即AB:y=-(x_l)+l=_x+2

OD1—0

聯(lián)立直線和拋物線方程得/—（4+2p）x+4=0

設(shè)A(%,%),5(%2，%),則=4+2p,x/2=4

OA±OB

OA-OB=xxx2+%%=4+4—2(X]+x2)+\x2=12-8-4/?=0

解得，=1

故選:B

2、D

【解析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得上的最

大值.

【詳解】因?yàn)檫^過P總能作圓％2+丁=1的切線，故點(diǎn)P在圓外或圓上,

也即直線y=H+2與圓_?+y2=1相離或相切,

2

則我直21,即左2+"4,解得左e[-6，豆]

故攵的最大值為君.

故選：D.

3、D

【解析】對于①在方程中R換為-％,y換為一，可判斷；對于②分析曲線。的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷;

對于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線c圖形的位置關(guān)系可判斷.

【詳解】在曲線C的方程f+4國=4中，X換為-X,y換為-y,方程不變，故曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

所以①正確，

當(dāng)y>。時，曲線C的方程化為y=l—3,此時—2WXW2

V2

當(dāng)y<0時，曲線。的方程化為y=、—1,此時—2WxW2

所以曲線C圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.

2IT

當(dāng)y>0,0W光W2時，設(shè)％=1—土，y=J1-—

4\4

設(shè)/=1貝!J0WY1,%—%=〃T=〃（1—〃）2。（當(dāng)且僅當(dāng)f=0或t=1時等號成立）

所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線。的上方.

根據(jù)曲線C和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線C的外部（四個頂點(diǎn)在曲線。上）

所以曲線C圍成區(qū)域的面積小于橢圓￡：—+/=:圍成區(qū)域的面積，故③正確.

故選：D

4、B

11,1，、

【解析】首先地推公式變形，得--------=4,—=1,求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式后，再解不等式.

an+\ana\

a14aH+1

【詳解】因?yàn)?+i=L：,兩邊取倒數(shù)，得———,

4a“+1an+1an

11,1

整理為：--------=4,—=1,

%an%

是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列,

所以數(shù)列B7L4

n

1

—=1+(/7-1)X4=4/7-3,an=

冊nAn-3

因?yàn)?gt;—，即------>—,得4孔—3<29，

294n-329

解得：1<?<8,rtwN*,

所以〃的最大值是7.

故選：B

5、D

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合”0,-l<b<0,利用不等式的性質(zhì)可判斷ab>0,從而判斷ab2<0,再利用不等式性

質(zhì)得出正確答案.

【詳解】a<0,-l<b<0,ab>0,ab2<0

X-l<Z?<0,:.Q<b2<l>兩邊同乘以負(fù)數(shù)。，可知aZ?2>a

ab>0>ab2>a

故選：D

6、D

【解析】由公理2可判斷A選項(xiàng)；由公理3可判斷B選項(xiàng)；利用平行線的傳遞性可判斷C選項(xiàng)；直接判斷線線位置關(guān)

系，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，由公理2可知，若Ae/,Bwl,Aea,Bea,貝！Hua,A對；

對于B選項(xiàng)，由公理3可知，若Pee,Pe萬，a尸=/,則Pe/,B對；

對于C選項(xiàng)，由空間中平行線的傳遞性可知，若“/力，bile,則?！╟,C對；

對于D選項(xiàng)，若a_L6，cLb,則。與c平行、相交或異面，D錯.

故選：D.

7、B

【解析】取?！?lt;0,可判斷AC選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)；取為=2"可判斷D選項(xiàng).

【詳解】若?！?lt;0,則阮、Iga”無意義，A錯C錯；

2（Y

設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的公比為彘則q/0,4f=幺旦=q2（常數(shù)），

anVan）

故數(shù)列｛%；｝是等比數(shù)列，B對；

2〃+i

取%=2",則」a包=少=2,數(shù)列｛a“｝為等比數(shù)列，

an,

因?yàn)?%=4，2%=24=16，2%=2'=256，且（2"2）2w2%-2"3,

所以，數(shù)列｛2""｝不是等比數(shù)列，D錯.

故選：B.

8、B

【解析】首先求出兩平行直線間的距離，即可求出圓的半徑，設(shè)圓心坐標(biāo)為（0力），（0<Z?<8）,利用圓心到直線的

距離等于半徑得到方程，求出萬的值，即可得解；

【詳解】解：因?yàn)橹本€3x+y=0和/,：x+y—8=0的距離=4夜，由圓C與直線/1：x+y=0和

-VI2+12

/2：x+y—8=0都相切，所以圓的半徑為2夜，又圓心在V軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（0力），（0</;<8）,所以圓心到

直線4的距離等于半徑，即=所以6=4或b=T（舍去），所以圓心坐標(biāo)為（0,4）,故圓的方程為

%2+（y-4）2=8；

故選：B

9、D

【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為必=my,結(jié)合條件即求.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：

設(shè)拋物線方程為必=/成，

由題意知：（2,-2）在拋物線上,

即2r=-2m,

解得：m=—2,

X2=-2y,

當(dāng)水位下降1米后，即將y=-3代入/=—2y，

即三=—2x(—3),解得：x=+^6,

水面寬為2m米.

故選：D.

10、D

22

【解析】將曲線1_=左(左〉1)化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求解.

2222

【詳解】土-匕=左化為標(biāo)準(zhǔn)方程為一―-乙=1,由于左>1,則兩曲線實(shí)軸長、虛軸長、焦距均不相等，而漸近

25925k9k

3

線方程同為'=±二葭

故選：D

11、D

【解析】對曲線C化簡可知曲線。表示以點(diǎn)C(1,O)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線/方程化簡可得直線/過

定點(diǎn)P(4,2),畫出圖形，由圖可知，kPA<kt<kPD,然后求出直線PA的斜率即可

【詳解】由y=_j4_(x_l『，得(x—1)2+/=4,

因?yàn)閥=—J"(尤—1)~<0，

所以曲線。表示以點(diǎn)C(1,O)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，

由mx+y-4m一2=0,得根(x-4)+(y-2)=0,

x-4=0x=4

所以得

〔y—2=0y=2

所以直線/過定點(diǎn)P(4,2),

如圖所示設(shè)曲線。與左軸的兩個交點(diǎn)分別為A(-l,0),5(3,0),

直線/過定點(diǎn)P(4,2),M為曲線。上一動點(diǎn)，

根據(jù)圖可知，若曲線。與直線/總有公共點(diǎn)，則

2-0

kpA<與<kPD,得—-~—W—〃，<,

設(shè)直線尸。為y—2=4%—4),則

…2-44|

解得左=0,或%=玄,

所以kpD=—,

212122

所以g＜—機(jī)＜(，所以—不＜根＜—］，

故選：D

【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知5也在雙曲線的漸近線上，且3在第一象限，從而由

be

A￡//因可知即Lx軸，所以在直角三角形陷耳中，tana=〃^=工=2,由吟,今，可得tanc的范圍,

KB2c2a64

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為。，6的不等式，結(jié)合從=°2一/可得離心率的取值范圍

【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)耳且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A,且A在第三象限，四邊形片A63

為平行四邊形,

所以由雙曲線的對稱性可知5也在雙曲線的漸近線上，且3在第一象限,

由Af；_Lx軸，可知88_1_了軸,

所以BC—),

a

be

在直角三角形3工耳中，tanc="=工=2,

F{F22C2a

因?yàn)?/p>

所以tana￡1),

>/3bi

RHPn—<—<1,

32a

所嗎1h*1<1,

即L上金<1,

34a2

4

BP-<e2-1<4,

7

故<5,

所以叵<e<7L

3

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(0,0,3)

【解析】設(shè)P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(Z-1)2=4+4+(Z-2)2,解得Z=3,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,3).

1

14、-

3

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，由此計(jì)算出幾何體的體積.

【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示三棱錐，

所以該幾何體的體積為LxLxlxlx2=L

323

故答案為：—

3

【解析】先求出人的范圍，再利用面積公式可求面積的最大值.

【詳解】圓+/一6x—6y+9=0即為C:(x—3)?+(y—3)2=9,

直線/：y=履為過原點(diǎn)的直線，如圖，連接CA,C3,

199

此時0<NAC5<〃，故ABC的面積為S=5|C4||C到sinNAC3=]sinNAC3<5,

當(dāng)且僅當(dāng)乙4c3=工時等號成立，此時[=2互即左=2—6，

22

9

故答案為：—.

2

【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，即可得到答案.

31

a+aq=-=a1=——

【詳解】由題意各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列得：xx'4

axq+axq=124=2

r小-有15,

故答案為：?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析

【解析】(1)連接EC,設(shè)成與AC相交于點(diǎn)0,結(jié)合已知條件利用線面平行的判定定理可證得0G//平面PEB再

由三角形中位線定理結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC//平面PE尸，從而由面面垂直的判定可得平面PEF〃平面GAC,

進(jìn)而可證得結(jié)論，

(2)由已知可證得初、AB.AO兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線為龍軸，y軸，z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可

【小問1詳解】

證明：連接EC,設(shè)E3與AC相交于點(diǎn)0,如圖，

因?yàn)?C//AD,且==ABLAD,

2

所以四邊形A3CE為矩形，

所以。為的中點(diǎn)，又因?yàn)镚為的中點(diǎn)，

所以O(shè)G為△P5E的中位線，即OG//PE,

因?yàn)镺G4平面PE尸，PEu平面PEF,

所以O(shè)G//平面PEF,

因?yàn)镋,尸分別為線段AZ>,OC的中點(diǎn)，所以EF//AC,

因?yàn)锳C4平面PEF,E尸u平面PE尸，

所以AC//平面PEF,

因?yàn)镺Gu平面GAC,ACu平面GAC,ACC\OG=O,

所以平面PE尸〃平面GAC,

因?yàn)镻Fu平面PEF,所以尸///平面GAC.

【小問2詳解】

因?yàn)榈酌鍭BC。，ABCD,ADu平面ABC。，

所以物_LA8,PALAD,

因?yàn)锳5LW,

所以初、AB.AO兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示：

F

則A(0,0,0),G(g,0,g),C(1,1,0),D(0,

2,0),P(0,0,1),

所以AG=g,0,1),AC=(1,1,0),PD=(0,2,-1),

n-AG=0x+z=0

設(shè)平面ACG的法向量為〃=（x,y,z）,則＜所以

n-AC=0'x+y=0'

令x=l,可得y=T,z=-l,所以〃=(1,一1,一1),

設(shè)直線P。與平面ACG所成角為0,則

nPD」0xl+2x(_l)+(_l)x(-l)［厲

sin6=

\n\\PD\73X702+22+(-1)215

所以直線PD與平面ACG所成角的正弦值為巫

15

18、（1）an=2/z-1；

（2）證明見解析.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則根據(jù)題意可得出關(guān)于d的方程，求出d的值，利用等差數(shù)列的

通項(xiàng)公式可求得數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式；

（2）求得用=!（二工-不二］,利用裂項(xiàng)相消法求出S“，即可證得結(jié)論成立.

【小問1詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛%,｝的公差為d,則d/0,

由題意可得蟾=4%，即（l+d）2=l+4d,整理可得屋一2d=0，d#0,解得d=2,

因此，4=q=1+2（“-1）=2〃一1.

【小問2詳解】

1-lf1______

證明：2=------

(((〃

4A+12n-l)2n+l)22-12n+l)

因此，S“=g___qkiJ^<i

2n—l2n+lJJ22(2〃+l)2

故原不等式得證.

19、（1）土+匯=1（2）點(diǎn)G在以四為直徑的圓外

42

【解析】解法一：（I）由已知得

b=72,2

{2=1,解得g=加

a2r-

a2=b2+c2,c=S

22

所以橢圓E的方程為土+2L=1

42

(II)設(shè)點(diǎn)A(為yi),B(X2，y2),AB中點(diǎn)為H(Xo，yo)

x=my

由｛/>2^(,n2+2)/-2my-3=0,

-----1------1

42

2m3u而m

所以丫1+丫2，丫42詆,從而獷

m2+2m2+2

所以GH『=(5+：g)2+%2=(加%+5)2+為2=(加2+])為2+5%+25

44216

22222

|AB|_(xt-x2)+(^-y2)_(m+1)(^-y2)

44-4

=k+1)[(%+:)2-22]=加+1)仇2-y?),

故?唳.=%。+而+1叱+生=」^-01+至="2

42012162(m2+2)m2+21616(m2+2)

IARIQ

所以|GH|>J~故G「一，0)在以AB為直徑的圓外

24

解法二：（I）同解法一.

99

(II)設(shè)點(diǎn)4玉丫1)網(wǎng)九242),，則GA=(%+1%),GB=(%2+1y2)?

x=my-1

222

由｛■?yW(rn+2)y-2my-3=Q,^]^yx+y^=,y^,=f

-----b--=1m+2m+2

42

+1)+%%=(沖i

從而GAGB=(再++^)(my2+^)+yiy2

/21、5、255m3(m2+1)2511m2+2八

=(m+1)%%+73+丫2)+H~-+——=------；——>0

1rym2+21616(m2+2)

所以co魂A,GB>0,又GA,GB不共線，所以BAGB銳角.

9

故點(diǎn)G(--,0)在以AB為直徑的圓外

■4

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

20、(1)??z￡l；

⑵2VL

【解析】(1)聯(lián)立直線/與拋物線C的方程消去X,借助判別式建立不等式求解作答.

⑵利用⑴中信息求出點(diǎn)A3縱坐標(biāo)差的絕對值即可計(jì)算作答.

【小問1詳解】

y=x+m,

依題意，由<2，消去x并整理得：y2-4y+4m^0,

y~=4x